Kurzes Ergebnis zu dualen Basen:

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1 Kurzes Ergebnis zu dulen Bsen: Lemm 1 Es sei V ein Vektorrum der Dimension n mit Bsis B = {v j } n j=1, und B = {vj} n j=1 die dzu dule Bsis von V Dnn ist der Koeffizientenvektor eines beliebigen Elements v V bezüglich B gegeben durch: [v ] B = [v (v 1 ),, v (v n )] T Beweis Wir beginnen mit dem unbestimmten Anstz v = n j=1 x jv j, wobei die Koeffizienten x j zu bestimmen sind Es muss nun lso v (v) = n j=1 x jv j(v) für lle v V gelten, lso insbesondere v (v k ) = n j=1 x jv j(v k ) für die Bsiselemente D nun ber nch Definition der dulen Bsis v j(v k ) = δ j,k ist, reduziert sich obige Summe zu nur einem Term Wir bekommen dher v (v k ) = n j=1 x jδ j,k = x k Beispiel 1 Beknntlich ist für gegebene, prweise verschiedene Stützstellen x 0, x 1, x 2 die Menge L = {L i } 2 i=0 der Lgrnge Polynome L i (x) = Π j i x x j x i x j eine Bsis für P 2 (R) In den Übungen wurde besprochen, dss die zu L dule Bsis gerde die Punktuswertungen δ xi sind, lso L = {δ xi } 2 i=0 Seien nun zum Beispiel x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2 Dnn ist L 0 (x) = L 1 (x) = L 2 (x) = (x 1)(x 2) 2 x(x 2) 1 x(x 1) 2 Betrchten wir nun zum Beispiel δ 3 P 2, dnn gilt nch obigem Lemm, dss [δ 3 ] L = [δ 3 (L 0 ), δ 3 (L 1 ), δ 3 (L 2 )] T = [L 0 (3), L 1 (3), L 2 (3)] = [1, 3, 3], lso in nderen Worten δ 3 = 1δ 0 3δ 1 + 3δ 2 Bemerkung 1 Dem obigen Lemm zufolge knn mn nun rgumentieren, dss die zu B jedem v v v (v k ) sind dule Bsis, dh die lineren Funktionle uf V, welche V den k-ten Koeffizienten bzgl B zuordnet, von der Form 1

2 Ds ist ein llgemeines Prinzip In den Übungen wird gezeigt, dss mit Hilfe dieser Zuordnung die Vektorräume V und sein Bidulrum ( V ) (üblicherweise geschrieben ls V ) miteinnder identifiziert werden können Mn spricht in der Funktionlnlysis dvon, dss jeder endlichdimensionle Vektorrum reflexiv ist D nun lle lineren Funktionle des n dimensionlen Rumes V ls Linerkombintionen der oben beschriebenen Bsiselemente drgestellt werden können hben wir lso gezeigt, dss die DUALE BASIS der DUALEN BASIS wieder (unter Identifizierung der Räume V und V ) mit der ursprünglichen Bsis übereinstimmt In diesem Sinne ist die Dulität von Bsen in dulen Pren ein symmetrischer Begriff Bilinerformen Definition 1 Es seien V und W endlich-dimensionle Vektorräume über dem selben Körper K Eine Abbildung φ : V W K heißt Bilinerform, flls für lle v V, w W und α, β K gilt φ(αv + βv, w) = αφ(v, w) + βφ(v, w) φ(v, αw + βw ) = αφ(v, w) + βφ(v, w ), lso φ sowohl in der ersten ls uch der zweiten Komponente liner ist Wir bezeichnen die Menge ller solcher Bilinerformen mit Bil ( V, W ) := {φ : V W K, φ ist Bilinerform} Bemerkung 2 In den Übungen wird gezeigt, dss Bil ( V, W ) wieder ein Vektorrum über K ist Beispiel 2 Wähle V = P n (R) und W = P m (R) Für zwei Polynome p P n (R), q P m (R) und < b R ist φ(p, q) = b p(x)q(x)dx eine 2

3 Bilinerform Denn offensichtlich gilt φ(αp + βp ), q) = = α b b (αp + βp )(x)q(x)dx p(x)q(x)dx + β = αφ(p, q) + βφ(p, q) b p (x)q(x)dx Ebenso für die zweite Komponente Beispiel 3 Wähle V = W = R n Dnn ist für v, w R n ds innere Produkt φ(v, w) = v T w = v, w klrerweise eine Bilinerform Genuer ist ds innere Produkt uf einem beliebigen Vektorrum V über R eine Bilinerform Im komplexen Fll, lso K = C, bekommt mn so eine Sesquilinerform Bemerkung 3 Sei nun B = {v k } n k=1 eine Bsis von V und C = {w j} m j=1 eine Bsis von W, und seien v = n k=1 kv k und w = m j=1 b jw j Elemente us V bzw W, so gilt offensichtlich ( n m ) n m φ(v, w) = φ k v k, b j w j = k b j φ(v k, w j ) (1) k=1 j=1 k=1 j=1 Diese Doppelsumme wird häufig ls k,j kb j φ(v k, w j ) geschrieben, flls die Grenzen klr sind Mn knn nun jeder Bilinerform φ Bil ( V, W ) die n m Mtrix [ φ ] = B C φ(v 1, w 1 ) φ(v 1, w m ) φ(v n, w 1 ) φ(v n, w m ) zuordnen (bechte dss ds keine Stndrdnottion ist) Für v V und w W mit Koeffizientenvektoren = [ 1,, n ] T K n bezüglich B und b = [b 1,, b m ] T K m bezüglich C bekommt mn dnn m T [ φ ] j=1 b = T b jφ(v 1, w j ) n B C = m j=1 b k=1 jφ(v m, w j ) = φ(v, w) 3 k m j=1 b j φ(v k, w j )

4 Genuer gesgt ist diese Zuordnung sogr bijektiv, wie der folgende Stz zeigt Stz 1 Es gilt: Bil ( V, W ) = Mn,m {K}, wobei M n,m {K} die n m Mtrizen mit Einträgen us K bezeichnet Beweis Angenommen, zwei Bilinerformen φ, ψ Bil ( V, W ) hätten die selbe zugehörige Mtrix [ φ ] = [ ψ ] Dnn gilt φ(v B C B C k, w j ) = ψ(v k, w j ) für lle k, j nch Definition Sind nun v = n k=1 kv k und w = m j=1 b jw j Elemente us V bzw W, so gilt nch (1) φ(v, w) = ψ(v, w), lso φ = ψ Demnch ist die Zuweisung injektiv Sei lso nun eine belibige Mtrix M M n,m {K} mit Einträgen m k,j gegeben Dnn definiert mn eine Abbildung φ : V W K durch φ(v, w) = n m k=1 j=1 kb j m k,j, wobei k bzw wieder die Koeffizienten von v bzw w bezüglich der Bsen B bzw C b j bezeichnen Mn überzeugt sich leicht dss diese Abbildung biliner ist, und dss die Mtrix [ φ ] von φ gerde M ist B C Betrchten wir nun für ein festes v V die Abbildung T φ v : T φ v(w) := φ(v, w) für eine Blinerform φ Bil ( V, W ) für w W Dnn ist T φ v offensichtlich liner (d φ in der zweiten Komponente liner ist), und T φ v : W K, lso T φ v W Andererseits ist die Zuordnung T φ : v T φ v ebenflls liner, d für v, v V, α, β K ufgrund der Linerität von φ in der ersten Komponente T φ (αv + βv )(w) = φ(αv + βv, w) = αφ(v, w) + βφ(v, w) = αt φ v(w) + βt φ v (w) gilt D T φ : V W, hben wir T φ Lin ( V, W ) (ws den Rum der lineren Abbildungen von V nch W bezeichnet) Es zeigt sich nun, dss die Zuordnung φ T φ von Bil ( V, W ) nch Lin ( V, W ) ein Isomorphismus ist Stz 2 Für zwei endlich-dimensionle K-Vektorräume V, W ist Bil ( V, W ) = Lin ( V, W ) vi der Zuordnung φ T φ Beweis D T φ Lin ( V, W ), gibt es zu T φ eine eindeutig bestimmte M- 4

5 trix, nämlich jene deren Splten gerde die Koeffizienten der Bilder der Bsis von V in der Bsis von W sind Sei lso B = {v k } n k=1 eine Bsis von V, C = {w j } m j=1 eine Bsis von W, und C = {wj} m j=1 die dule Bsis zu C von W Gesucht sind nun lso die Koeffizienten von T φ v k bezüglich C Diese hben wir ber gerde in Lemm 1 bestimmt Es ist lso [T φ v k ] C = [T φ v k (w 1 ),, T φ v k (w m )] T Die zugehörige Mtrix bekommt mn durch spltenweises Aneinnderreihen dieser Koeffizientenvektoren, lso [ Tφ ] C B = = T φ v 1 (w 1 ) T φ v n (w 1 ) T φ v 1 (w m ) T φ v n (w m ) φ(v 1, w 1 ) φ(v n, w 1 ) φ(v 1, w m ) φ(v n, w m )) = ( [φ ] D beknntlich die Mtrix einer lineren Abbildung eindeutig ist, und nch Stz 1 uch die Mtrix zu einer Bilinerform eindeutig ist, ist die Zuordnung φ T φ ein Isomorphismus Der Beweis des Stzes beruht lso druf, dss einerseits beknntlich Lin ( V, W ) = Mm,n {K}, und ndererseits nch Stz 1 Bil ( V, W ) = M n,m {K}, welche wiederum per Trnsposition isomorph sind Interessnt ist nun ber, dss wir uns hier nicht uf ein bstrktes Zusmmensetzen dreier Isomorphismen verlssen müssen, sondern dss ein sehr einfcher Isomorphismus explizit hingeschrieben werden knn B C ) T Der Begriff der Bilinerform lässt sich sehr einfch uf den Fll llgemeiner Zielräume verllgemeinern Definition 2 Es seien V, W und U endlich-dimensionle Vektorräume über dem selben Körper K Eine Abbildung φ : V W U heißt biliner, 5

6 flls für jedes festgehltene v V bzw w W die Abbildungen φ v : W U, φ v (w) = φ(v, w) φ w : V U, φ w (v) = φ(v, w) liner sind Wir bezeichnen die Menge ller solchen bilineren Abbildungen mit Bil ( V, W ; U ) := {φ : V W U, φ biliner} Mn bechte, dss die Definition äquivlent zu Definition 1 ist, die beiden Bedingungen sind nur nders formuliert Beispiel 4 Wähle V = P n (R), W = P m (R), U = P n+m (R) Für p P n (R) und q P m (R) ist dnn φ(p, q) = p q biliner Denn für festes q P n (R) gilt für φ q (p) := φ(p, q) offensichtlich φ q (αp + βp )(x) = (αp + βq)(x)q(x) = αp(x)q(x) + βp (x)q(x) = αφ q (p)(x) + βφ q (p )(x) Genuso zeigt mn dss φ p liner ist Bemerkung 4: Nch Stz 1 knn mn Mtrizen mit Bilinerformen identifizieren Dieses Prinzip lässt sich uch sehr einfch uf den Fll llgemeiner bilinere Abbildungen verllgemeinern Seien dzu B = {v k } n k=1 bzw C = {w j } m j=1 Bsen von V bzw W Schreibt mn nun u k,j ; = φ(v k, w j ), so knn mn φ die Fmilie u k,j in U zuordnen, welche einer Art Mtrix M φ mit Einträge u k,j us dem Vektorrums U ist Anlog zum Beweis von Stz 1 folgt dnn, dss diese Zuordnung bijektiv ist, lso umgekehrt uch, dss mn einer beliebigen Fmilie {u k,j } k,j von Elementen us U uf eindeutige Weise eine bilinere Abbildung φ : V W U mittels φ(v, w) = n k=1 m j=1 kb j u k,j zuordnen knn, wobei k bzw b j wieder die Koeffizienten von v bzw w bezüglich der Bsen B von V bzw C von W bezeichnen Beispiel 5: Mn betrchte eine bilinere Abbildung ψ : R n R m R k Dnn knn mn ψ eine 3-dimensionle Mtrix zuordnen, deren Einträge Vektoren im R k sind Aus MATLAB ist dieses Konzept von 3-dimensionlen 6

7 Mtrizen gut beknnt, mn knn sich solche Mtrizen lterntiv ls Stcks von normlen Mtrizen vorstellen Einfches Beispiel: Frbbilder Einfcher MATLAB Code: >> A=imred( picjpg ); >> size(a) ns = Dieses beknnte RGB Schem ordnet jedem Pixel je einen Rot, Grün und Blu-Wert zu (lso einen 3-dimensionlen Vektor), us denen dnn die ttsächliche Frbe des Pixels gemischt wird (Vorsicht: Ds ist keine bilinere Abbildung, sondern nur ls Vernschulichung des Prinzips einer Mtrix mit Einträgen us einem beliebigen Vektorrum (hier dem R 3 ) gedcht) 7