Wir betrachten zunächst Funktionen f in einer Variablen x. Falls f k-mal differenzierbar ist, bezeichnet man die k-te Ableitung mit

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1 76 Tylorpolynome Wir betrchten zunächst Funtionen f in einer Vriblen x Flls f -ml differenzierbr ist, bezeichnet mn die -te Ableitung mit D f, x f oder f() Dbei steht f () für f, f () für f, f () für f, f (3) für f usw Gibt es zu einer p-ml im Punt differenzierbren Funtion f (in einer Vriblen) ein Polynom p-ten Grdes, ds den gleichen Funtionswert und die gleichen Ableitungen (bis zur p-ten) im Punt wie f ht? Ein solches Polynom existiert stets und ist eindeutig bestimmt Es ist ds sogennnte Tylorpolynom T p, f( x ) p D f( ) ( x ) f( ) + f ( ) ( x ) + Durch iteriertes Ableiten beommt mn nämlich D m T p, f( x ) und dmit ttsächlich p m D f( ) ( x ) ( m) D m T p, f( ) D m f( ) für m,, p (mit D f( ) f( ) und ( x ) ) f ( ) ( x ) + f ( ) ( x ) 3 6 m i Beispiel : Tylorpolynome für Sinus und Cosinus ( i ) Durch vollständige Indution findet mn leicht lle Ableitungen der Sinusfuntion: D ( 4 + ) sin( x ) sin( x ), D ( 4 + ) sin( ), D ( 4 + ) sin( x ) cos( x ), D ( 4 + ) sin( ), D ( 4 + ) sin( x ) sin( x ), D ( 4 + ) sin( ), D ( ) sin( x ) cos( x ), D ( ) sin( ) Drus ergeben sich sofort die Tylorpolynome lso m ( ) T m +, sin( x ) T m +, sin( x ) x ( ) ( + )! x 3 x 5 sin x x + 3! 5! T p, x 7 7! Wir zeichnen die Sinusfuntion und ihre ersten 4 Tylorpolynome im Nullpunt: +

2 Anlog findet mn für den Cosinus: lso m ( ) T m, cos( x ) T m +, cos( x ) x ( ) ( )! x x 4 T p, cos( x ) +! 4! x 6 6! Weil sich die Tylorpolynome offenbr immer besser n die Kurve nschmiegen, nennt mn sie uch Schmiegprbeln oder Schmiegpolynome Um diese wichtige Approximtionseigenschft zu beweisen, notieren wir zunächst: Flls f sogr (p+)-ml differenzierbr ist, gilt für t zwischen und x: lso t p D f( t ) ( x ) t ( T p, t f ( x ) ) t D ( p + ) p D f( t ) + f t ( x ) p! t p D ( + ) f t ( x ) (*) t D f( t ) ( x t ) ( ),

3 d sich lle nderen Summnden gegeneinnder ufheben Nun läßt sich sowohl die linere Approximtion ls uch der Mittelwertstz uf höhere Ableitungen erweitern: Stz von Tylor (eindimensionl) Ist die Funtion f p-ml uf dem bgeschlossenen Intervll [, x ] und (p+)-ml uf dem offenen Intervll ], x [ differenzierbr, so gibt es ein u zwischen und x mit f( x ) T p, f( x ) + D ( p + ) f u ( x ) ( p + ) ( p + )! Mit Hilfe geeigneter Hilfsfuntionen läßt sich dieser wichtige Stz uf den Mittelwertstz zurücführen Der Spezilfll p liefert übrigens nichts nderes ls den Mittelwertstz und die linere Approximtion! Allgemeiner hben wir die Approximtionen höherer Ordnung Flls im Stz von Tylor die Funtion f sogr (p+)-ml stetig differenzierbr ist, onvergiert ds Restglied p + ) o( h p ) D( f( u ) ( x ) ( p + ) ( p + )! nch Division durch h p ( x ) p noch immer gegen, wenn x (und dmit u) gegen strebt Ds Tylorpolynom vom Grd p liefert lso eine Approximtion p-ter Ordnung Die Abschätzung des Restgliedes ist für die Prxis mindestens so wichtig wie die Aufstellung des Tylorpolynoms - denn ws nützt ds schönste Polynom, wenn mn nicht weiß, wie nhe es ttsächlich bei der gegebenen Funtion liegt? Beispiel : Tylorpolynome für den Logrithmus Wir wissen schon, dß die Ableitung von ln( x ) die Funtion /x ergibt D der Logrithmus ebenso wie /x für x ber gr nicht definiert ist, nn mn dort sicher eine Tylorpolynome bilden Deshlb nimmt mn eine Verschiebung vor und betrchtet die Ableitungen von ln ( + x ) Zunächst ist D ln ( + x) + x, und eine einfche Indution ergibt D ln ( + x ) Jetzt drf mn x ( ) ( )! ( + x ) setzen und beommt die Tylorpolynome p ln ( + x ) T, p ( x )

4 Wie der schwnzwedelnde Wldi zu erennen gibt, ist die Tylor-Approximtion nur im Bereich zwischen - und gut, rechts dvon wird sie bei steigendem Polynomgrd immer schlechter sttt besser, und lins dvon ist der Logrithmus gr nicht definiert Und nun zur mehrdimensionlen Sitution Iterierte Richtungsbleitungen Die Ableitung lieferte uns eine linere Approximtion der gegebenen Funtion Geometrisch ergb ds eine Tngente, eine Tngentilebene oder einen Tngentilrum in jedem Punt Durch iterierte Ableitungen gewinnt mn immer bessere Approximtionen der gegebenen Funtion Indem wir, bei festem Richtungsvetor v, jedem Punt x die Richtungsbleitung f v D v f( x) v f( x ) ( f ( x ) v, flls f ( x ) existiert) zuordnen, erhlten wir eine neue Funtion D v f Oft nn mn nun in der gleichen oder in einer neuen Richtung w nochmls die Richtungsbleitung bilden: f vw D w D v f usw Flls diese mehrfchen Ableitungen noch stetig sind, nn mn sie mit Hilfe der totlen Ableitungen f, f, f usw (die sich ihrerseits ls Vetoren, Mtrizen oder "Hypermtrizen" us den entsprechenden prtiellen Ableitungen zusmmensetzen) bequem drstellen: D v f( ) f v, D w D v f w T f ( ) v usw Hierbei drf mn die Reihenfolge der Differentition vertuschen: D w D v f D v D w f( ) usw Der -fch iterierte Differentilopertor ( ) wird mit D v oder (bei MAPLE) mit ( Dv ) bezeichnet: ( ) ( ) ( ) ( D v ) f f, ( Dv ) f Dv f, ( D v ) f Dv D v f usw

5 Die -te prtielle Ableitung nch x j ist nichts nderes ls die -fch iterierte Richtungsbleitung nch dem Einheitsvetor e j, bezeichnet mit f xj () Entsprechend beommt mn die "gemischten" zweifchen bzw dreifchen prtiellen Ableitungen f xi x D xj D xi f, f xi x x D x D xj D xi f usw j j Beispiel 3: Shrdünen y ) sin( x y ) cos x y y, D x f sin( x y) y, D x f D y f cos x y x, D y f sin( x y) x, 3 D x f cos( x y ) y 3 3 D y f cos( x y ) x 3 Mn vermutet und beweist dnn durch Indution: Die iterierten prtiellen Ableitungen von sin( xy ) nch x bzw y sind ( ) D x ( ) D y sin( xy ) (-) sin( xy ) y, sin( xy ) (-) sin( xy ) x, D x sin xy (- ) cos( xy ) y ( + ) D y sin xy (- ) cos( xy ) x ( + ) Wir zeichnen Bilder der Funtion sin( x y ) und ihrer prtiellen Ableitungen nch x: y ) sin( x y ) ( ) ( D x ) f (, ) x y cos( x y ) y

6 ( ) ( D x ) f (, ) x y sin( x y) y Aufwendiger ist die Berechnung der iterierten Richtungsbleitungen in nderen Richtungen ls denen der Koordintenchsen Wir versuchen es mit dem (nicht normierten!) Richtungsvetor v (,): f v ( x ) f ( x) v Die ersten drei Richtungsbleitungen von sin( x y ) in Richtung (,): D v y ) cos( y x ) ( x + y ) D v y ) cos( y x ) sin( y x ) ( x + y)

7 Ds mehrdimensionle p-te Tylorpolynom zu einer Funtion f im Punt ist definiert durch p T p, f( x ) D v f wobei v der Differenzvetor x p : Funtionswert T, f( x ) f( ), ist Konret luten die ersten drei Tylorpolynome: p : Tngente (eindimensionl), Tngentilebene (zweidimensionl), Tngentilrum T, f x f( ) + f v f( ) + f ( x ) p : Schmiegprbel (eindimensionl), Schmiegqudri (zwei- und mehrdimensionl) T, f( x ) f( ) + f v + vt f ( ) v f( ) + f ( ) ( x ) + ( x ) T f ( ) ( x ) Dbei ist f () für eine Funtion von einer Teilmenge des R n nch R die Hessemtrix der zweiten prtiellen Ableitungen lso f xi, x j f( ) x j x i n v T f v i n j (i, j,, n), xi x ( ) v i v j j Mn schreibt hierfür urz, ber etws unpräzise f () v und entsprechend f () v 3 f, für den ziemlich mühseligen Ausdruc n i n j n xi x x ( ) v i v j v j f,, der bereits für n us 8 und für n 3 us 7 Summnden besteht Von diesen nn mn ber, flls die dritten Ableitungen noch stetig sind, diejenigen zusmmenfssen, die durch Vertuschung der "Indizes" useinnder hervorgehen Schließlich ersetzt mn noch v j durch x j j Indem mn wieder die Bezeichnungen x sttt x, y sttt x, x sttt, y sttt usw benutzt, gelngt mn zu den Formeln

8 und f ( x, y ) ( x x, y y ) f x x ( x, y ) ( x x ) + fx y ( x, y ) ( x x ) ( y y ) + f y y ( x, y ) ( y y ) 3 f ( x, y ) ( x x, y y ) 3 f x x x ( x, y ) ( x x ) + 3 fx x y ( x, y ) ( x x ) ( y y ) f x y y ( x, y ) ( x x ) ( y y ) + fy y y ( x, y ) ( y y ) Entsprechend verfährt mn bei höheren Ableitungen und beommt ds p-te Tylorpolynom T p, [, ] x y y ) p f () ( x, y ) ( x x, y ) y Dbei lssen sich die einzelnen Summnden nch folgendem Schem berechnen: In der Binomilformel ( x x + y y ) j C (, ) ( y j ) y j j ( x x ) ( ) mit den Binomiloeffizienten C (, j) (gesprochen: über j) j! ( j )! fügt mn beim j-ten Summnden jeweils die j-ml nch x und ( j)-ml nch y gebildete prtielle Ableitung der Funtion f n der Stelle (, y ) ein Ds Ergebnis ist f () ( x, y ) ( x x, y ) y j x j ( j D j ) x Dy C (, ) f (, ) ( y j ) y j x y ( x x ) ( ) Der Grd eines Polynoms in mehreren Vriblen ist definiert ls die größte in einem Summnden vorommende Exponentensumme Dies ist der Grd desjenigen Polynoms, ds bei Ersetzen ller Vriblen durch ein und dieselbe Vrible entsteht Zum Beispiel ht ds Polynom y ) 3 x y + x 3 + x y wie ds Polynom x ) 3 x + x 3 + x 4 den Grd 4 + Ds p-te Tylorpolynom ht generell höchstens den Grd p Durch iteriertes Ableiten findet mn wie im eindimensionlen Fll, dß ein Polynom p-ten Grdes in jedem Punt stets mit seinem p -ten Tylorpolynom (und llen weiteren Tylorpolynomen) übereinstimmt

9 Beispiel 4: Sein eigenes Tylorpolynom Ds obige Polynom y ) 3 x y + x 3 + x y ht die prtiellen Ableitungen y ) 3 y x + x 3 + x y f x y + 3 x + x y f y x + x y Alle nderen prtiellen Ableitungen sind f xx 6 x + y, f xy + 4 y x, f yy x f xxx 6, f xxy 4 y, f xyy 4 x, f yyy f xxyy 4

10 Dmit sieht ds 4 Tylorpolynom (und jedes weitere) n der Stelle (,) folgendermßen us: f (, ) ( x, y ) f (, ) ( x, y ) 3 f (, ) + f (, ) ( x, y) + + +! 3! ( ) x y ! und dies ist ttsächlich ds Ausgngspolynom f (, ) 6 x 3 3! ( x, y ) 4 4! + 4! 4 x y 4!!! y ) 3 x y + x 3 + x y Aber mn nn uch n einer beliebigen nderen Stelle ein Tylorpolynom bestimmen, zb n der Stelle (,): f (, ) ( x, y ) f (, ) + f (, ) ( x, y ) + +! 8 ( x ) + ( ) ( x ) ( y ) + ( y ) ( x ) +! und nch einer längeren Rechnung ommt uch hier wieder ds ursprüngliche Polynom herus Wichtiger für die Prxis ist die mehrdimensionle Tylorpproximtion Liegt die gnze Strece zwischen zwei Punten und x im Inneren des Definitionsbereichs der ( p + )-ml stetig differenzierbren Funtion f, so gilt: f( x ) T p, f( x ) + D x ( p + ) ( p + )! f( u) mit einem u uf der Strece zwischen und x Ist f( x ) selbst ein Polynom höchstens p-ten Grdes, so gilt ntürlich f( x) T p, f( x ) Wir nehmen dieses Anlogon zum eindimensionlen Stz von Tylor hier ohne Beweis hin und begnügen uns mit dem Hinweis, dß wie beim Mittelwertstz geeignete Substitutionen die Redution uf den eindimensionlen Fll ermöglichen Beispiel 5: Tylorpproximtion in der Shr y ) sin( x ) sin( y ) +

11 Tngentilebene Schmiegqudri x y 4 y ) x y 6 x y3 6 x3 y T, 6 y ) x y x y3 6 x3 y x y5 x5 y 36 x3 y 3 T, 8 y ) x y 6 x y3 6 x3 y x y5 x5 y 36 x3 y 3 54 x y7 54 x7 y T, 7 x3 y 5 7 x5 y 3 Produte eindimensionler Funtionen Zur Vermeidung unnötigen Rechenufwndes sei betont, dß mn bei mehrdimensionlen Funtionen, die Summen oder Produte eindimensionler Funtionen sind, nur deren einzelne Tylorpolynome (in je einer Vriblen) bestimmen und ddieren bzw multiplizieren muß

12 Beispiel 6: Nochmls die Shr Zur Gewinnung der zweidimensionlen Tylorpolynome für y ) sin( x ) sin( y ) multipliziert mn einfch die eindimensionlen Tylorpolynome T m +, sin( x ) m ( ) x ( + ) ( + )! und T m +, sin( y) m y ( + ) ( + )! miteinnder und schneidet nch der entsprechenden Gesmtpotenz b Zum Beispiel mit m : x 3 x + 3! x 5! 5 y 3 y + 3! y 5! 5 x y x y3 x y5 6 x3 y 36 x3 y 3 7 x3 y 5 x5 y 7 x5 y 3 44 x5 y 5 Weglssen der Summnden von höherem Grd ls 6 ergibt ds sechste Tylorpolynom von sin( x ) sin( y ): x y 3 x 3 y x y 5 x 5 y x 3 y 3 6 y ) x y T,, Beispiel 7: Ein Rest von Düne Im Flle von g ( x, y ) sin( x y ) (siehe Beispiel 3) geht es noch einfcher: Hier setzt mn einfch xy für z in sin( z ) ein: T m +, sin( x y ) m ( ) ( x y ) ( ) ( + )! + T 4 m +,, g ( x, y ) T,, T,, g ( x, y) x y 6 g ( x, y ) x y 6 x3 y 3 g ( x, y ) x y + 6 x3 y 3 x5 y 5 T,, Ds Restglied läßt sich folgendermßen bschätzen: Alle Ableitungen der eindimensionlen Sinusfuntion sind stets dem Betrge nch durch beschränt, denn es ommt j immer nur sin( z ) oder cos( z ) herus Deshlb gilt t z ( p + ) sin( z ) T p, sin( z ) + mit ( p + )! x 3 y 3 x 5 y 5 sin( x y ) x y + + R mit 6 t, insbesondere für xy R 7! <