7 Orthogonale und unitäre Matrizen

Transkript

1 $Id: orthogonl.tex,v.5 27/7/5 2::22 hk Exp $ $Id: mdiffb.tex,v.22 27/7/7 :32:48 hk Exp $ 7 Orthogonle und unitäre Mtrizen 7.2 Drehungen In der letzten Sitzung hben wir Drehungen und Spiegelungen im R 2 und im R 3 behndelt und wir wollen diese Ergebnisse nun in zwei Sätzen zusmmenfssen. Stz 7.3 (Orthogonle 2 2 Mtrizen Ist A eine orthogonle 2 2 Mtrix, so ist A im Fll det A = eine Drehung und im Fll det A = eine Spiegelung. Beweis: Auf den folgenden Beweis htten wir in der Vorlesung verzichtet. Sei ( b A = O c d 2 R. Zunächst nehmen wir d bc = det A = n. Dnn ist A invertierbr mit ( ( c d b = A t = A = b d c es müssen lso = d und c = b gelten. Dmit wird = d bc = 2 + b 2, es gibt lso einen Winkel φ mit = cos( φ = cos φ und b = sin( φ = sin φ. Folglich sind uch d = = cos φ und c = b = sin φ und wir hben A = D(φ. Dmit ist der Fll det A = vollständig behndelt. Nun nehme d bc = det A = n. In diesem Fll hben wir ( ( c d b = A t = A = b d c lso d = und c = b sowie = d bc = 2 b 2, lso ist wieder c 2 +d 2 = 2 +b 2 =. Somit gibt es einen Winkel φ mit c = sin(2φ und d = cos(2φ, lso uch = cos(2φ und b = sin(2φ. Ist nun u = ( cos φ sin φ ( cos, so ist S u = 2uu t = 2 2 φ sin φ cos φ sin φ cos φ sin 2 φ ( cos(2φ sin(2φ = sin(2φ cos(2φ = A 23-

2 lso ist A die Spiegelung n R u. In zwei Dimensionen sind Drehungen und Spiegelungen die einzigen orthogonlen Mtrizen. In drei Dimensionen ist es uch noch möglich lle uftretenden Typen orthogonler Mtrizen ufzulisten, und wie im zweidimensionlen Fll sind die Drehungen genu die orthogonlen Mtrizen mit Determinnte. Stz 7.4 (Orthogonle 3 3 Mtrizen Sei A eine orthogonle 3 3 Mtrix. ( Ist det A =, so ist A eine Drehung um den Winkel ( tr(a φ = rccos 2 mit der Drehchse Bild(A + A t tr(a +. (b Ist det A =, so ist A ein Spiegelung oder ds Produkt einer Spiegelung und einer Drehung wobei die Drehchse senkrecht uf der Spiegelungsebene steht. Beweis: ( Nch Stz.(d ist ein Eigenwert von A, es gibt lso ein u R 3 mit u = und Au = u. Weiter betrchten wir die Ebene E := {x R 3 u x = } zum Normlenvektor u. Für jedes x E gilt uch u (Ax = (Au (Ax = u x =, lso Ax E. Dmit ist A E eine linere Abbildung, und es bezeichne B die Mtrix dieser Abbildung bezüglich einer Orthonormlbsis von E. Dnn ist B SO 2 R, lso ist A E eine Drehung in E um einen Winkel φ. Dmit ist A = D u (φ. Die Formeln für Drehwinkel und Drehchse folgen us unseren obigen Überlegungen. (b Wir hben ( A = A = A t = ( A t, d.h. uch A ist orthogonl mit det( A = det A =. Also ist A SO 3 R nch ( eine Drehung. Insbesondere existiert ein Vektor u R 3 mit u = und Au = u, lso Au = u und u ist ein Eigenvektor zum Eigenwert von A. Für jeden zu u senkrechten Vektor x folgt dmit uch u (Ax = (Au (Ax = u x =, d.h. A erhält die zu u senkrechte Ebene E. Dmit ist A E orthogonl mit Determinnte, lso eine Drehung. Es können jetzt zwei Fälle uftreten, entweder ist A E die identische Abbildung, und dnn ist A die Spiegelung S u n der Ebene E oder A E ist die Drehung um einen Winkel φ und dnn ist A ds Produkt A = D u (φs u der Drehung D u (φ mit der Spiegelung S u. Produkte von Spiegelungen und Drehungen nennt mn gelegentlich uch Drehspiegelungen. Diese spielen für uns keine Rolle, und dher wollen wir sie uch nicht untersuchen. Der Stz besgt insbesondere ds SO 3 R = {D u (φ u R 3, φ R, u = } 23-2

3 die Menge ller Drehungen um Achsen durch den Nullpunkt ist, dher nennt mn SO 3 R uch die Drehgruppe. Ab Dimension 4 werden die Verhältnisse komplizierter, es gibt dnn uch orthogonle Mtrizen mit Determinnte die keine Drehungen sind. D uch dies für uns keine Rolle spielt, wollen wir dies hier nicht näher usführen. Zusmmen mit Stz 2 besgt der eben bewiesen Stz, dss Drehungen im R 3 genu die Produkte von zwei Spiegelungen sind. Dies knn mn uch leicht explizit sehen. Seien u, v R 3 mit u = v =. Wir können u, v R 3 ls liner unbhängig nnehmen, denn sonst ist S u = S v und somit S u S v =. Wegen S u S v SO 3 R muss S u S v eine Drehung mit S u S v sein. Die Ebenen n denen gespiegelt wird sind E u := {x R 3 u x = } und E v := {x R 3 u v = } mit E u E v und ihr Schnitt g := E u E v ist eine Gerde die von S u S v punktweise fixiert wird, dies meint S u S v x = x für lle x g. Insbesondere muss g die Drehchse sein. Explizit ist g = {x R 3 x u und x v} = u v. Zur Bestimmung des Drehwinkels φ wollen wir die Formel us Stz 4 verwenden. Bechte hierzu ds für je zwei Vektoren x, y R n stets n tr(xy t = x i y i = x y gilt, lso ergibt sich wegen der Drehwinkel φ ls i= S u S v = ( 2uu t ( 2vv t = 2(uu t + vv t + 4(u vuv t cos φ = 2 (tr(s us v = 2 (3 2 u 2 2 v 2 + 4(u v 2 = 2(u v 2. Bezeichnet ψ den Winkel zwischen u und v, so ist u v = u v cos ψ = cos ψ, lso cos φ = 2 cos 2 ψ = cos(2ψ. Als Drehchse von S u S v hben wir lso u v und der Drehwinkel ist ds Doppelte des Winkels zwischen u und v. Zum Abschluß wollen wir noch eine eine weitere Beschreibung von Drehungen besprechen, die sogennnten Eulerwinkel. Wir htten bereits mehrfch die Drehungen um die x-achse verwendet, und entsprechend hben uch die Drehungen um y- und z-achse eine sehr einfche Form, nämlich D (φ := cos φ sin φ sin φ cos φ, D 2 (φ := cos φ sin φ sin φ cos φ D 3 (φ :=, cos φ sin φ sin φ cos φ. 23-3

4 Aus diesen drei speziellen Drehungen knn mn lle nderen Drehungen zusmmensetzen, d.h. zu einer beliebigen Drehmtrix A gibt es immer drei Winkel α, β, γ, die sogennnten Euler Winkel von A, so, dss A = D (αd 2 (βd 3 (γ = cos β cos γ cos β sin γ sin β sin α sin β cos γ + cos α sin γ sin α sin β sin γ + cos α cos γ sin α cos β cos α sin β cos γ + sin α sin γ cos α sin β sin γ + sin α cos γ cos α cos β gilt. Aus dieser Formel lssen sich die Euler Winkel bei gegebener Mtrix A berechnen. Aus dem Eintrg 3 ergibt sich β durch sin β = 3 und wegen 3 knn β uf β π/2 lso β = rcsin( 3 normiert werden. Dnn wird = lso = 2 3 = sin 2 β = cos 2 β lso uch ( 2 ( = cos β cos β und somit erhlten wir einen bis uf Vielfche von 2π eindeutigen Winkel γ mit = cos β cos γ und 2 = cos β sin γ. Anlog ist uch α bis uf Vielfche von 2π eindeutig festgelegt. Wir wollen dies einml m Beispiel der Drehmtrix D = vorführen. Es ist sin β = 2/3, lso insbesondere sin β <. Dmit ist π/2 < β <. Außerdem ist cos 2 β = sin 2 β = 5/9, lso cos β = 5/3. Explizit ist β = rcsin(2/3. Wegen /3 = cos β sin γ = ( 5/3 sin γ ist sin γ = / 5 und weiter 2/3 = cos β cos γ = ( 5/3 cos γ, d.h. cos γ = 2/ 5. Also ist < γ < π/2 und γ = rcsin(/ 5. Anlog folgt α = γ = rcsin(/ 5. 8 Differentilrechnung im R n In diesem Kpitel wollen wir die Differentilrechung für Funktionen mehrerer Vriblen behndeln. Begriffe wie Konvergenz und Stetigkeit hben wir dbei bereits in 4.5 für llgemeine normierte Räume behndelt und ll dies knn insbesondere im Fll des R n ngewndt werden. Auf dem R n verwenden wir dbei etw die euklidische Norm x 2 = x x 2 n um konvergente Folgen, stetige Funktionen und so weiter zu definieren. Insbesondere htten wir gesehen ds jede durch Formeln in den Grundfunktionen gegebene Funktion stetig ist. Welche Norm wir uf dem R n verwenden ist dbei nicht wichtig, schon in 4.Stz 27 htten wir gezeigt ds lle Normen uf dem R n äquivlent sind, lso dieselben topologischen Begriffe definieren. 23-4

5 8. Kurven und Richtungsbleitungen Als Vorbereitung uf Ableitungen in mehreren Vriblen wollen wir erst einml Kurven im R n behndeln wobei n N mit n ist. Eine Kurve im R n ist dbei einfch eine Abbildung f : I R n wobei I R ein Intervll ist. Grphisch werden Kurven üblicherweise durch Angbe der Bildmenge {f(t t I} und nicht durch ihren Grphen drgestellt, wie etw in den folgenden Beispielen f(t = ( sin(2t sin(3t f(t = sin(t sin(2t sin(3t Eine solche Kurve ht die Form f(t = f (t. f n (t wobei die Komponentenfunktionen f,..., f n : I R gewöhnliche reellwertige Funktionen von R nch R sind. Wir nennen eine uf einem Intervll I R definierte Kurve f : I R n differenzierbr, wenn lle ihre Komponentenfunktionen f i : I R für i =,..., n differenzierbr sind und stetig differenzierbr wenn ll ihre Komponentenfunktionen stetig differenzierbr sind. Die Ableitung von f in einem Punkt t I wird dnn ls der Vektor f (t := f (t. f n(t 23-5 R n

6 definiert. Mn nennt den Vektor f (t dnn uch den Tngentilvektor n die Kurve f zum Zeitpunkt t beziehungsweise n den Punkt f(t. Um zu sehen, dss dieser Vektor ttsächlich tngentil n die Kurve ist, schreiben wir lle Ableitungen der Komponentenfunktionen ls Grenzwerte f i(t f i (t + h f i (t = lim, i =,..., n. h h D der Funktionsgrenzwert von Vektoren wie schon in 4.5 gesehen einfch der Vektor bestehend us den Grenzwerten der Komponentenfunktionen ist, können wir dnn uch f (t + h f (t f (t = lim h h.. = lim (f(t + h f(t h h f n (t + h f n (t schreiben. Diesem Grenzwert entnehmen wir zwei Folgerungen. Zum einen ist die Ableitung f (t einer Kurve wieder eine Änderungsrte, ist beispielsweise f(t die Bhnkurve eines Msseteilchens, so ist f (t die Änderungsrte dieser Bhnkurve, lso die Geschwindigkeit des Teilchens ls Vektor. Außerdem ist f (t der Grenzwert von Seknten n die Kurve, lso wirklich tngentil n die Kurve. Nehmen wir beispielsweise einml die Kurve ( sin(2t f : R R 2 ; t sin(3t us dem obigen Beispiel. Die beiden Komponentenfunktionen sind hier mit den Ableitungen und der Tngentenvektor wird zu f (t = sin(2t und f 2 (t = sin(3t f (t = 2 cos(2t, f 2(t = 3 cos(3t, f (t = ( 2 cos(2t 3 cos(3t Rechnerisch stellt uns dies lso vor keine neuen Probleme. Auch die Integrtion von Kurven läßt sich durch Zurückgehen uf die Komponentenfunktionen definieren. Definition 8.: Seien n N mit n und, b R mit < b. Eine Kurve f : [, b] R n heißt Riemn-integrierbr wenn jede Komponentenfunktion f i : [, b] R für i n Riemn-integrierbr ist. In diesem Fll definieren wir ( f(t dt := f i (t dt R n.. i n 23-6

7 Ist f : [, b] R n eine Riemn-integrierbre Kurve, so knn mn ds Integrl uch wieder ls einen Grenzwert von Riemnsummen beschreiben. Für eine Zerteilung ζ = (t,..., t m ; s,..., s m von [, b] definieren wir die Riemnsumme R(f; ζ := m (t i t i f(s i = (R(f i ; ζ i n R n. i= Ist (ζ k k N eine Folge von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ k k N, so gilt nch 2.Lemm 3 für jedes i n und dmit folgt uch lim R(f i; ζ k = k lim R(f; ζ k = lim (R(f i ; ζ k i n = k k ( f i (t dt f i (t dt = i n f(t dt. Auch für dieses Integrl hben wir eine Dreiecksungleichung, die wir der Einfchheit hlber nur für stetige Kurven formulieren und beweisen. Lemm 8. (Dreiecksungleichung für Integrle von Kurven Seien n N mit n,, b R mit < b und f : [, b] R n stetig. Dnn gilt für jede Norm uf dem R n die Dreiecksungleichung f(t dt f(t dt. Beweis: Nch 2.Stz 8 sind f und f Riemn-integrierbr. Sei (ζ k k N eine Folge von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ k k N. Für jedes k N gilt dnn mit ζ k = (t,..., t m ; s,..., s m R(f; ζ k = m m (t i t i f(s i f(s i (t i t i = R( f ; ζ k. i= Es folgt f(t dt = lim R(f; ζ k k = lim R(f; ζ k lim R( f ; ζ k = k k Dmit ist uch diese Form der Dreiecksungleichung bewiesen. i= f(t dt. Im nächsten Schritt wollen wir eine Version des Mittelwertstzes für Kurven beweisen. Der eindimensionle Mittelwertstz läßt sich nicht direkt übertrgen, dort htten wir 23-7

8 eine stetige Funktion f : [, b] R die im offenen Intervll (, b differenzierbr ist und dnn gb es eine Zwischenstelle ξ (, b mit f (ξ = f(b f( b beziehungsweise f(b f( = f (ξ (b. Für Kurven f : [, b] R n ist dies im Allgemeinen flsch, betrchten wir beispielsweise den Kreis f : [, 2π] R 2 ; t (cos t, sin t so ist für jedes t (, 2π stets f (t = ( sin t, cos t es knn lso kein ξ (, 2π mit 2πf (ξ = f(2π f( = geben. Trotzdem läßt sich ds Wesentliche des Mittelwertstzes uf Kurven übertrgen. Wir htten den Mittelwertstz meist zur Herleitung von Abschätzungen verwendet, wir wollten f(b f( nch oben bschätzen, überlegten uns dnn ds die Ableitungen beschränkt sind, lso f (x M für lle x (, b mit einer Konstnten M, und schlossen dnn mit dem Mittelwertstz uf f(b f( M(b. Diese Mittelwertungleichung gilt nun uch für Kurven im Rn. Lemm 8.2 (Mittelwertstz für Kurven Seien n N mit n,, b R mit < b und f : [, b] R n eine stetige und in (, b differenzierbre Funktion. Weiter seien eine Norm uf dem R n und M eine Konstnte mit f (t M für jedes t (, b. Dnn gilt uch f(b f( M (b. Beweis: Sei ɛ > und wir behupten ds dnn f(t f( (M + ɛ(t + ɛ für jedes t [, b] gilt. Andernflls wäre die Menge M := {t [, b] : f(t f( > (M + ɛ (t + ɛ} [, b] nicht leer, und wir können ds Infimum c := inf M betrchten. Wegen = M [, b] ist uch c b. D f in stetig ist existiert ein < δ < b mit f(t f( < ɛ für jedes t [, +δ, lso ist [, +δ M = und wir hben c +δ >. Für jedes t [, c gilt nun t < c = inf M lso t / M und somit f(t f( (M +ɛ (t +ɛ, und d wir bereits < c eingesehen hben ist somit f(c f( = lim t c f(t f( lim t c ((M + ɛ (t + ɛ = (M + ɛ (c + ɛ. Insbesondere ist dmit c < b, lso c (, b. Nch unserer Annhme ist f in c differenzierbr, lso existiert f(t f(c lim = f (c t c t c 23-8

9 und es gibt ein δ > mit f(t f(c t c f (c < ɛ für lle t [, b] mit < t c < δ. Dmit hben wir für jedes t [, b] mit t c < δ uch f(t f(c (t cf (c ɛ t c und somit ist f(t f(c f(t f(c (t cf (c + t c f (c (M + ɛ t c. Für lle t [, b] mit c t < c + δ ist dmit f(t f( f(t f(c + f(c f( (M + ɛ (t c + (M + ɛ (c + ɛ = (M + ɛ (t + ɛ und dies bedeutet t / M. Dmit hben wir einen Widerspruch zu c = inf M und unsere Hilfsbehuptung ist bewiesen. Insbesondere ist dmit f(b f( (M + ɛ (b + ɛ für jedes ɛ > und dies liefert f(b f( M (b. Der Beweis dieses Lemms wird einfcher wenn wir vorussetzen ds f sogr uf gnz [, b] stetig differenzierbr ist. Durch komponentenweise Anwendung von 2.Stz 9 erhlten wir dnn nämlich lso ergibt Lemm f(b f( = f(b f( = f (t dt, f (t dt f (t dt M dt = M (b. Wie schon erwähnt ist Lemm 2 ein Erstz für den indimensionlen Mittelwertstz, mn ht eben nur noch eine Mittelwertungleichung wie im Lemm. Wir wollen jetzt zu den sogennnten Richtungsbleitungen kommen, und erinnern zunächst n die in.2 eingeführten prtiellen Ableitungen. Wir htten wieder n N mit n, eine Menge U R n und eine reellwertige Funktion f : U R. Um die i-te prtielle Ableitung von f in einem Punkt U zu definieren, htten wir lle Argumente x j für j i konstnt uf x j = j gesetzt, und die ddurch entstehende eindimensionle Funktion von x i = x wurde in x = i bgeleitet x i = d dx f(,..., i, x, i+,..., n. x=i Diese Definition wr dbei nur für diejenigen Punkte U sinnvoll bei denen ds obige Argument für x nhe bei i überhupt im Definitionsbereich U liegt. Um diese 23-9

10 Problemtik zu vermeiden, betrchten wir im folgenden nur uf offenen Mengen U R n definierte Funktionen, denn dnn gibt es für U ein ɛ > so, dss für jeden Punkt x R n mit x < ɛ stets uch x U ist, d.h. für x R mit x i < ɛ ist (,..., i, x, i+,..., n U. Bechte ds wir diesen Punkt unter Verwendung der Stndrdbsis e,..., e n des R n uch ls (,..., i, x, i+,..., n = + te i schreiben können wobei t = x i ist. Die prtielle Ableitung wird in dieser Nottion zu x i = d dt f( + te i. t= Die prtiellen Ableitungen einer Funktion f entstehen durch Ableiten nch einer der Koordintenchsen, und die nun einzuführenden Richtungsbleitungen verllgemeinern dies indem längs einer beliebigen Richtung bgeleitet wird. Bei dieser Gelegenheit knn mn dnn uch gleich vektorwertige Funktionen f zulssen. Definition 8.2 (Richtungsbleitungen Seien n, m N mit n, m, U R n offen, x U und f : U R m eine Funktion. Weiter sei v R n ein Vektor. Die Richtungsbleitung von f in Richtung v im Punkt x ist dnn der Vektor v f(x := d dt f(x + tv, t= d.h. wir bilden die Kurve h(t := f(x + tv und leiten diese in t = b. Existiert diese Ableitung, so nennt mn f im Punkt x in Richtung v differenzierbr. Leider gibt es keine llgemein übliche Schreibweise für die Richtungsbleitung, sttt v f(x können Ihnen beispielsweise uch die Schreibweisen und diverse ndere Vrinten begegnen. v f(x = v (x = D vf(x, Die prtiellen Ableitungen sind dnn die Richtungsbleitungen in Richtung der knonischen Bsisvektoren e,..., e n des R n. Insbesondere sind dmit die prtiellen Ableitungen uf vektorwertige Funktionen f : U R m verllgemeinert, konkret ist für f(x = (f (x,..., f m (x dbei ( j x i = x i, j m ws wir meist ls Spltenvektor uffssen werden. Wir wollen zwei Beispiele rechnen. Zunächst sei ( f(x, y = x 2 + y 2 + sin x und v =. 23-

11 Es ist f (( x y ( + t = f(x + t, y + t = (x + t 2 + (y + t 2 + sin(x + t, und leiten wir dies nch t b, so ergibt sich für die Richtungsbleitung in Richtung v im Punkt (x, y v f(x, y = 2(x + t + 2(y + t + cos(x + t = 2x + 2y + cos x, t= wobei wir die in diesem Zusmmenhng übliche Schreibweise h(t := h(t t=t verwenden. Als ein zweites Beispiel nehmen wir die Funktion ( ( ( x xy f : U := {(x, y R 2 y > } R 2 ; x und die Richtung v := y y 2 Diesml rechnen wir ( 2t 2 + (2x + yt + xy f(x + t, y + 2t = lso v f(x, y = ( 4t + 2x + y y 2x (y+2t 2 x+t y+2t ( 2x + y = y 2x y 2 t= Als ein etws komplizierteres Beispiel denken wir uns R n n = R n2 und wollen die Richtungsbleitungen der Determinnte det : R n n R berechnen. Als Punkt in dem bgeleitet wird, wollen wir die n n-einheitsmtrix E n verwenden. Sei A R n n die betrchtete Richtung. Für jedes t R\{} gilt dnn nch 5.Stz 2 ( ( det(e n + ta = t n det t + A = t n χ A = + tr(at + + det(at n, t und die Ableitung in t = wird zu A det(e n = tr(a. Auch die Richtunsbleitungen sind dmit rechnerisch unproblemtisch. An dieser Stelle wollen wir uch noch kurz die Interprettion der prtiellen Ableitungen ls Tngentenvektoren erwähnen. Angenommen wir hben n N mit n und eine Funktion f : U R uf einer offenen Menge U R n. Weiter sei x U ein Punkt, in dem lle prtiellen Ableitungen (x,..., (x x x n 23-,..

12 existieren. Für jedes i n hben wir dnn die Kurve g i : I R n+ ; t (x + te i, f(x + te i = x. x i + t. x n f(x,..., x i + t,..., x n die den Grphen von f in Richtung der i-ten Koordintenchse durchläuft. Dbei ist I = ( ɛ, ɛ ein usreichend kleines, offenes Intervll um den Punkt. D diese Kurve gnz im Grphen von f verläuft sind die Tngentenvektoren der Kurve g i uch tngentil m Grphen von f. Der Tngentilvektor in t = berechnet sich zu. g i( =,. x i (x und wir erhlten n Vektoren. x (x,...,. x (x im R n+. Diese Vektoren sind offenbr liner unbhängig, und erzeugen eine Hyperebene im R n+. Diese Hyperebene ist die sogennnte Tngentilebene n die Funktion f im Punkt x U. Dbei unterscheidet mn üblicherweise nicht zwischen diesem Teilrum des R n+ und dem durch (x, f(x gehenden, verschobenen, ffinen Teilrum des R n+. Besonders nschulich ist dies im Fll n = 2 zweier Vriblen. Dnn ist der Grph von f eine Fläche im R 3 und die Tngentilebene ist eine wirkliche Ebene, nämlich, beziehungsweise x y f(x, y x (x, y + x y (x, y, (x, y 23-2 y. (x, y,

13 Nehmen wir ls ein Beispiel einml die Funktion f : R 2 R; (x, y sin(xy+x 2 y 2. Die prtiellen Ableitungen sind dnn / x(x, y = y cos(xy + 2x und / y(x, y = x cos(xy 2y und die Tngentilebene wird zu x y sin(xy + x 2 y 2 + y cos(xy + 2x, Beispielsweise ist die Tngentilebene bei (x, y = (/3, π gleich,. π + 2 2π x cos(xy 2y s t 2 4 (x, y = ( 3, π (x, y = (, 4 2 s t Die totle Ableitung Wir kommen jetzt zur Ableitung von Funktionen f : R n R m. Bei der Einführung der eindimensionlen Ableitung in I. 2 htten wir die drei Interprettionen des eindimensionlen Ableitungsbegriffs erwähnt:. Die Ableitung ls Änderungsrte, wie zum Beispiel die Beschleunigung ls Änderungsrte der Geschwindigkeit. 2. Die geometrische Interprettion der Ableitung ls Tngentensteigung. 23-3

14 3. Schließlich konnten wir die Ableitung uch noch ls eine linere Approximtion der Funktion uffssen. Die ersten beiden dieser Interprettion sind uns uch in diesem Kpitel bereits wiederbegegnet, die Ableitung einer Kurve konnten wir sowohl ls vektorielle Änderungsrte deuten, ls uch geometrisch ls einen Tngentenvektor uffssen. Für Funktionen f : R n R hben wir im vorigen Abschnitt die eindimensionle Tngente zu einer Tngentilebene verllgemeinert. Als der wichtigste Stndpunkt wird sich nun unsere dritte Interprettion herusstellen, diese führt direkt zum llgemeinen Ableitungsbegriff. Definition 8.3 (Die totle Ableitung Seien n, m N mit n, m, U R n offen und f : U R m eine Funktion. Wir nennen f in einem Punkt x U differenzierbr, wenn es eine linere Abbildung T : R n R m gibt so, dss für jeden Vektor h R n mit x + h U stets f(x + h = f(x + T h + τ(h gilt, wobei der Approximtionsfehler τ : U x R m die Bedingung erfüllt. τ(h lim h h D lle Normen im R n beziehungsweise R m äquivlent sind, kommt es uf die hier konkret verwendeten Normen nicht n. Wir wollen lso genu wie im eindimensionlen Fll die Funktion f lokl ls = f(x + h = Linerer Teil + Fehler schreiben, wobei der Fehler τ(h zu h proportionl ist und wir die Proportionlitätskonstnte beliebig klein mchen können. Wollen wir die Fehlerfunktion τ nicht explizit benennen, so knn mn in der Definition äquivlent uch f(x + h f(x T h lim h h schreiben. Bechte ds dieser Grenzwert immer sinnvoll ist, d die Menge U offen ist gibt es nämlich einen Rdius ɛ > mit B ɛ (x U, d.h. τ(h ist für jedes h R n mit h < ɛ definiert. Verwenden wir im R m die Norm so sehen wir sofort ds die Funktion f genu dnn in einem Punkt x U differenzierbr ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen f,..., f m : U R im Punkt x differenzierbr sind. In Aussgen über Differenzierbrkeit knn mn sich dher meist uf den Fll m = reellwertiger Funktionen beschränken. Insbesondere ist dmit eine Kurve f : I R n definiert uf einem offenen Intervll I R genu dnn in t I im Sinne der obigen Definition differenzierbr wenn sie es im Sinne des vorigen Abschnitts ist. Bld werden wir sehen ds uch die Ableitungen in einem geeigneten Sinn übereinstimmen. Wir wollen uns ein pr einfche einleitende Beispiele nschuen =

15 . Konstnte Funktionen sind trivilerweise in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs differenzierbr, wobei für die linere Abbildung T stets T = verwendet werden knn. 2. Sei f : R 2 R; (x, y xy. Schreibe x = (, b und h = (u, v. Dnn ist f(x + h = f( + u, b + v = ( + u (b + v = b + v + bu + uv = f(, b + T (u, v + τ(u, v mit der lineren Abbildung T (u, v := v + bu und dem Fehler τ(u, v = uv. Für (u, v (, hben wir dbei und somit gilt τ(u, v (u, v = u v mx{ u, v } = min{ u, v } (u, v, τ(h lim =. h h Dmit ist f differenzierbr, bezüglich der lineren Abbildung T (u, v = v + bu. 3. Ist n, m N mit n, m, f : R n R m liner und x R n, so gilt für jedes h R n uch f(x + h = f(x + f(h, lso ist f in x differenzierbr mit T = f. 4. Seien jetzt p, q, r N mit p, q, r und betrchte die Mtrixmultipliktion µ : R p q R q r R p r ; (A, B A B. Dbei denken wir uns R p q R q r = R pq+qr und R p r = R pr, indem die Mtrixeinträge in irgendeiner festen Reihenfolge in einen entsprechend grossen Vektor geschrieben werden. Wir wollen die Differenzierbrkeit von µ in einem Punkt (A, B R p q R q r untersuchen. Als Vektor h nehme h = (X, Y R p q R q r. Es ist µ((a, B+(X, Y = µ(a+x, B+Y = (A+X (B+Y = AB+AY +XB+XY = µ(a, B + T (X, Y + τ(x, Y mit T (X, Y = AY + XB und dem Fehler τ(x, Y = XY. Für (X, Y (, gelten offenbr (X, Y = mx{ X, Y } und XY q X Y, lso folgt nlog zum ersten Beispiel τ(x, Y (X, Y q min{ X, Y }, lso lim h τ(h / h =. Dmit ist µ bezüglich des obigen T in (A, B differenzierbr. 23-5

16 5. Zwei Spezilfälle des eben gerechneten Beispiels werden wichtig sein. Sei wieder n N mit n gegeben. Zum einen ist die Abbildung f : R R n R n ; (λ, u λu in jedem Punkt (λ, x R R n differenzierbr mit zugehöriger linerer Abbildung T (θ, u = λu + θx. Zum nderen ist ds Sklrprodukt : R n R n R in jedem Punkt (x, y R n R n differenzierbr mit zugehöriger linerer Abbildung T (u, v = x v + u y. Wir kommen jetzt zu einigen theoretischen Ttschen, die uns letztlich uch die Behndlung interessnterer Beispiele erluben werden. Bechte ds wir bisher nur von der Differenzierbrkeit der Funktion f im Punkt x sprechen, nicht ber von der entsprechenden Ableitung. Diese soll die linere Abbildung T in der Definition der Differenzierbrkeit sein, wir wissen ber bisher noch nicht ob diese eindeutig festgelegt ist. All dies wird im folgenden Lemm geklärt. Lemm 8.3: Seien n N mit n, U R n offen und f : U R m eine in einem Punkt x U differenzierbre Funktion. Dnn gelten: ( Die Funktion f ist in x uch stetig. (b Es gibt genu eine linere Abbildung T =: f (x : R n R m mit f(x + h f(x T h lim h h (c Für jeden Vektor v R n existiert die Richtungsbleitung von f in Richtung v im Punkt x und es ist v f(x = f (xv. =. Beweis: Es gibt eine linere Abbildung T : R n R m so, dss für lle h R n mit x + h U stets ( Wegen f(x + h = f(x + T h + τ(h mit lim h τ(h h = gilt. τ(h lim τ(h = lim h = ist lim τ(h =. h h h h D die linere Abbildung T : R n R m stetig ist (jede Komponente von T ist j eine linere Formel in x,..., x n, folgt somit uch lim h f(x + h = lim(f(x + T h + τ(h = f(x, h 23-6

17 d.h. f ist in x stetig. (c Sei v R n. Dnn gibt es ein ɛ > mit x + tv U für lle t ( ɛ, ɛ und für jedes t ( ɛ, ɛ ist f(x+tv =f(x+t (tv+τ(tv =f(x+tt v+τ(tv, und Dbei gilt und somit ist (b Klr nch (c. lim τ(tv t t = lim t τ(tv tv v f(x = lim t f(x + tv f(x t f(x + tv f(x t τ(h v = lim v =, h h ( = lim T v + τ(tv = T v. t t = T v+ τ(tv. t Die in Teil ( des Beweises verwendete Stetigkeit linerer Abbildungen T : R n R m knn mn ntürlich uch direkter einsehen, ttsächlich ist sogr jede linere Abbildung T : R n E in einen beliebigen normierten Rum E stetig. Setzen wir nämlich so gilt für jedes x R n stets n T x = x i T e i i= C := T e + + T e n, ( n n x i T e i T e i x = C x, i= und nch 4.Lemm 5 ist T stetig. Wir werden die Ableitung f (x einer Funktion f in einem Punkt x jetzt ls eine linere Abbildung f (x : R n R m definieren. Dss die Ableitung von f in x dmit selbst eine Funktion ist, führt zu einigen Schreibweisen die zunächst ungewohnt usschuen. Beispielsweise wird ein Ausdruck f (x(u bedeuten Wende die linere Abbildung f (x : R n R m uf den Vektor u R n n. D bei der Anwendung linerer Abbildungen die Klmmern um ds Argument meistens weggelssen werden, werden wir dies oft uch in der kürzeren Form f (xu = f (x(u schreiben. Unsere oben behndelten Beispiele können wir in dieser Nottion uch in der folgenden Form schreiben:. Ist f : U R m konstnt, so ist f (x = für jedes x U. 2. Ist f : R 2 R; (x, y xy die Multipliktion, so gilt für lle x, y, u, v R. i= f (x, y(u, v = xv + yu 23-7

18 3. Ist f : R n R m liner, so gilt f (x = f für jedes x R n. 4. Ist µ : R p q R q r R p r ; (A, B AB die Mtrixmultipliktion, so gilt µ (A, B(X, Y = AY + XB für lle A, X R p q, B, Y R q r. 23-8