1 Integrale von Funktionen in mehreren Variablen

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1 $Id: integrl.tex,v.5 5//4 3:4:46 hk Exp $ Integrle von Funktionen in mehreren Vriblen.4 Flächen und Volumin Angenommen wir hben einen örper R 3 gegeben. Soll die Menge dbei einen relen örper beschreiben, so knn mn ntürlich nnehmen ds beschränkt und Jordn-meßbr ist. Weiter sei ϱ : R die ichte von. Meist knn mn zur Beschreibung der ichte dbei eine stetige Funktion verwenden, schlimmstenflls ist der örper us mehreren Stücken verschiedener ichte zusmmengesetzt, und dnn hben wir eine ichtefunktion die bis uf Sprünge längs der Flächen n denen die Teile zusmmenstossen stetig ist. Auf jeden Fll ist ϱ nch Stz eine Riemn-integrierbre Funktion. s Integrl ϱ(x) dx ist dnn die Msse von. enken wir uns nämlich in kleine Teile,..., n zerlegt so, dss die ichte ϱ im Stück i nnäherend konstnt ϱ i ist und i den Mittelpunkt p i und ds Volumen V i ht, so ht ds Stück i näherungsweise die Msse ϱ i V i = ϱ(p i )V i. Eine Näherung n die Gesmtmsse ist dnn die Riemnsumme n i= ϱ(p i)v i. iese Summe liegt immer zwischen Unter- und Obersumme und beim Grenzübergng n wird sie zum Integrl ϱ(x) dx ds wir uns dmit ttsächlich ls Msse denken können. Wirklich pysiklisch sinnvoll ist dies nur für n = 3 imensionen, mn übernimmt ber für beliebiges n einfch die Sprechweise und denkt sich ds Integrl weiter ls eine Msse. Ein besonders wichtiger Spezilfll tritt uf wenn die ichte ϱ(x) = konstnt gleich Eins ist. nn ist die Msse gleich dem Volumen und wir hben vol() = dx. Im zweidimensionlen Fll n = sgt mn ntürlich weiterhin Fläche sttt Volumen. Wir hben uns immer uf den Stndpunkt gestellt, den Volumenbegriff ls einen vordefinierten Grundbegriff nzusehen, und dnn wird die obige Formel ein Stz. Bei einem etws systemtischeren Aufbu der Theorie verwendet mn die obige Formel überhupt zur efinition des Volumens einer Jordn-meßbren Menge. Wir wollen nun ein pr Beispiele von Flächen und Volumin durchrechnen. Zur besseren ontrolle beginnen wir dbei mit einer Menge, deren Volumen wir bereits us der Schule kennen. s einfchste solche Beispiel ist der reis mit Rdius r >. der Mittelpunkt des reises uf die Fläche keinen Einfluss ht, hben wir lso die 4-

2 Fläche der Menge := {x R : x r} = {(x, y) R x + y r } zu bestimmen. Hierzu gehen wir wieder nch dem Schem des letzten Abschnitts vor, die Menge ist j ein Normlbereich: vol() = d(x, y) = r r x r x dy dx = r r x dx, und mit der üblichen Substitution x = r sin t, dx = r cos t = dx = r cos(t) dt dt folgt π/ π/ vol() = r r r sin t cos t dt = r cos t dt = πr, π/ wobei wir die Formel cos x dx = x + sin x cos x us II..3 des letzten Semesters verwenden. Wir erhlten lso ttsächlich die wohlbeknnte Formel für die Fläche eines reises. Als ein zweites Beispiel sei die von den urven y =, y = 4x und y = x im R begrenzte Fläche, wie im nebenstehenden Bild gezeigt. ie Fläche ist ein Normlbereich bezüglich der y-achse. er größtmögliche y Wert ist im Schnittpunkt der urven y = 4x und y = /x, lso 4x = /x beziehungsweise x = /4 und somit x = /, y = d j x > ist. ie linke und rechte Begrenzung von ist für y durch ϕ(y) = 4 y und ψ(y) = y π/ gegeben, lso = und somit wird vol() = d(x, y) = { (x, y) R y, /y y/4 dx dy = = ln y y 8 4 y x } y ( y y ) dy 4 = log + 8 = ln 3 8,

3 Bechte ds die Rechnung in beiden Beispielen im ersten Schritt sehr ähnlich bgelufen ist, ds innere Integrl ht die Form dx oder dy und ergibt sich dmit einfch ls ifferenz der oberen und unteren Grenze, lso ls die Länge des Integrtionsintervlls. Interpretieren wir die Länge ls ds eindimensionle Volumen, so wird die Fläche, lso ds zweidimensionle Volumen, zum Integrl über die eindimensionlen Volumin der Schnittmengen y = const (oder x = const). iese Überlegung können wir uch llgemein durchführen. Angenommen R n ist eine beschränkte, Jordn-meßbre Menge. nn sind uch die x n -oordinten von beschränkt, und.5 wir nehmen n ds sie zwischen den beiden reellen Zhlen, b liegen, lso x n b. Für x n = t [, b] betrchten wir den horizontlen Schnitt t := {x R n (x, t) }, und setzen vorus ds uch diese Schnittmengen lle Jordn-meßbr sind. Sei schließlich f : Q [, b] R die Funktion {, (x, t) x t, f : Q [, b] R; (x, t), (x, t) / x / t. bei ist Q R n ein usreichend großes Intervll, lso mit Q [, b]. Mit dem Stz von Fubini hben wir dnn vol() = dx = Q [,b] f(x, t) d(x, t) = b Q f(x, t) dx dt = y b = x t dx dt b vol( t ) dt. s n-dimensionle Volumen knn lso durch Integrtion (n )-dimensionler Volumin berechnet werden. Wir wollen dies noch ls einen Stz formulieren: Stz.6 (Cvlieri Prinzip) Seien n und R n [, b] R n eine beschränkte, Jordn-meßbre Menge so, dss uch t := {x R n (x, t) } für jedes t b Jordn-meßbr ist. nn gilt vol() = b 4-3 vol( t ) dt.

4 Nehmen wir ls ein Beispiel für diesen Stz einml die ugel mit Rdius r >, lso Für z R mit z r ist = {(x, y, z) R 3 x + y + z r }. z := {(x, y) R (x, y, z) } = {(x, y) R x + y r z } der reis mit Rdius r z, und mit Stz 6 folgt r r ) vol() = vol( z ) dz = π(r z ) dz = π (r z z3 r 3 = π (r 3 3 ) r3 = 4 3 πr3. ies ist ntürlich ds Ergebnis ds sie bereits us der Schule kennen. Jetzt wollen wir ein weiteres dreidimensionles Beispiel rechnen, dessen Ergebnis wir noch nicht kennen. Wir betrchten die beiden Zylinder Z := {(x, y, z) R 3 x + y } und Z := {(x, y, z) R 3 x + z } im R 3. ie Achse des ersten Zylinders ist die z-achse und die des zweiten ist die y-achse. Schließlich sei := Z Z = {(x, y, z) R 3 x + y x + z } der urchschnitt dieser beiden Zylinder. = {(x, y, z) R 3 x, y, z x } 3 y 3 z x 3 3 z x ie beiden Zylinder er urchschnitt 4-4

5 Wir wollen ds Volumen von berechnen. Für jedes x ist x := {(y, z) R (x, y, z) } = [ x, x ] [ x, x ] ein Qudrt der Seitenlänge x, ht lso die Fläche vol( x ) = ( x ) = 4( x ). Wir hben ds Cvlieri-Prinzip in Stz 6 zwr nur mit Integrtion bezüglich der z- Achse formuliert, ber es gilt genusogut für jede ndere Achse uch. er llgemeine Fll ist nur etws unngenehmer hinzuschreiben. In diesem Beispiel wenden wir ds Cvlieri-Prinzip bezüglich der x-achse n, und erhlten vol() = vol( x ) dx = 4 ( x ) dx = 4x 4 3 x3 = = 6 3. Wir kommen zu einem letzten Beispiel. Es bezeichne den von den fünf Flächen x =, y =, z =, x + y = R und z = xy im ersten Oktnden begrenzten örper. bei ist R > eine vorgegebene onstnte z y y x ie Flächen x.8 er örper Erneut wollen wir ds Volumen von berechnen. Hier gehen wir direkt vor, d es keine besonders gut zu rechnende Achse gibt, bringt die Anwendung des Cvlieri-Prinzips hier keine Vereinfchung der Rechnung. Zunächst sehen wir m Bild ds die seitliche Rndfläche ein Teil des Zylinders x + y = R ist, und der eckel ist ein Teil der Fläche z = xy, lso ls Formel = {(x, y, z) R 3 x + y R, z xy}. 4-5

6 Wie gesgt bringt es hier nichts über Stz 6 vorzugehen, nstelle dessen fssen wir ls einen Normlbereich bezüglich der (x, y)-ebene mit der Bsis B := {(x, y) R x + y R } uf, d.h. B ist der im ersten Qudrnten liegende Teil des reises mit Rdius R und Mittelpunkt in (, ). Für fixiertes (x, y) B liegen die z-werte im Intervll [, xy] und somit wird vol() = B xy d(x, y) = R R y R y(r y ) xy dx dy = dy ( = R y ) R 4 y4 = ( R 4 R4 4 ) = R4 8. mit wollen wir die Beispiele von Volumenberechnungen beenden, und nur noch eine theoretische onsequenz unseres Stz 6 festhlten. Unter dem Cvlieri-Prinzip wird meist nicht der oben ngegebene Stz verstnden, sondern eine Folgerung us diesem, dss nämlich zwei dreidimensionle örper die in einer Richtung gleiche Querschnittsflächen hben bereits gleiches Volumen hben. Stz.7 (Prinzip von Cvlieri, geometrische Version) Seien, R n zwei beschränkte, Jordn-meßbre Mengen und sei E R n eine Hyperebene. Für jede zu E prllele Hyperebene F seien die Querschnitte F und F Jordn-meßbr in F = R n und von gleichen Volumen. nn ist uch vol( ) = vol( ). iese Ttsche hben Sie im Fll n = 3 in der Schule bei der Berechnung des ugelvolumens kennengelernt. Zum Abschluß dieses Abschnitts wollen wir noch zwei kleine Anmerkungen festhlten. ie erste Bemerkung ist eine eher theoretische Ttsche, die mnchml ls der Mittelwertstz der Integrlrechnung bezeichnet wird. in diesem Stz ds Volumen eine wesentliche Rolle spielt ist er diesem Abschnitt gut ufgehoben. Stz.8 (Monotonieeigenschften des Integrls) Seien R n eine beschränkte, Jordn-meßbre Menge und f : R eine Riemnintegrierbre Funktion. () Ist g : R eine weitere Riemn-integrierbre Funktion mit f(x) g(x) für lle x, so gilt uch f(x) dx g(x) dx. (b) ie Funktion f : R ist wieder Riemn-integrierbr und es gilt f(x) dx f(x) dx sup f(x) vol(). x 4-6

7 (c) Es gilt inf x f(x) vol(q) f(x) dx sup f(x) vol(). x Q All diese Ttschen ergeben sich ziemlich direkt us Stz.(d), ber dies wollen wir hier nicht näher usführen. ie zweite Anmerkung betrifft eine besonders häufig vorkommende lsse räumlicher örper, die sogennnten Rottionskörper. iese entstehen durch Rottion einer urve um eine fixierte Achse. Um die Nottion ein-.5 fch zu hlten, betrchten wir hier nur Rottionen um die z-achse, und uch nur Rottionskörper, die die z-achse im Inneren enthlten, wie beispielsweise ds nebenstehend gezeigte Rottionsprboloid x + y = z. ie zu rotierende urve beschreiben wir durch eine Funktion f : [, b] R, diese steht für die urve bestehend us den Punkten (f(z),, z) in der (x, z)-ebene. Als Rottionskörper ergibt sich R f := {(x, y, z) R 3 z b, x + y f(z) }. In Höhe z ist der Querschschnitt R f,z ein reis mit Rdius f(z), und ht dmit die Fläche vol(r f,z ) = πf(z). Für ds Volumen des Rottionskörpers folgt vol(r f ) = π b f(z) dz. iese Formel gilt entsprechend uch für Rottionskörper bezüglich beliebiger nderer Achsen im R 3. Als Beispiel wollen wir einml ds Volumen ds Volumen des Rottionsprboloids bis zur Höhe h > berechnen, lso z h. ie berndende urve ist durch z = x lso x = f(z) = z gegeben. Also hben wir die definierende Funktion f : [, h] R ; z z. Als Volumen des Rottionsprbolids der Höhe h ergibt sich.5 Schwerpunkte vol(r f ) = π h z dz = πh. Bisher hben wir reellwertige Funktionen über Jordn-meßbre Mengen integriert. ie Ausdehnung dieses Integrtionsbegriffs uf vektorwertige Funktionen geschieht dnn einfch durch Betrchtung der einzelnen omponenten einer solchen Funktion, lso 4-7

8 efinition.8 (Integrtion vektorwertiger Funktionen) Seien M R n beschränkt und Jordn-meßbr und f : M R m eine Funktion. nn heißt die Funktion f integrierbr über M wenn lle omponentenfunktionen f,..., f m : M R integrierbr sind, und in diesem Fll definieren wir M f(x) dx := M f (x) dx. M f m(x) dx Mit diesem Integrlbegriff usgestttet können wir jetzt zur Berechnung von Schwerpunkten kommen. Gegeben sei ein räumlicher örper R 3, den wir wie immer ls beschränkt und Jordn-meßbr nnehmen. Auf hben wir eine ichtefunktion ϱ : R gegeben, und wie wollen uns überlegen wie mn den Schwerpunkt des örpers berechnen knn. Überlegen wir uns zunächst einml die entsprechende Aufgbe für Mssepunkte p,..., p r mit Mssen m,..., m r. ie Gesmtmsse dieses Systems ist dnn m := m + + m n und der Schwerpunkt des Systems wird zum gewichteten Mittel. m m p + + m r m p r = m (m p + + m r p r ) = m r m i p i. Wir denken uns nun unseren örper in Stücke,..., r zerlegt, und die ichte jedes Stücks i sei nnähernd konstnt gleich ϱ i. Wähle ußerdem irgendeinen Punkt p i i und bezeichne V i ds Volumen von i. nn können wir i näherungsweise ls einen Mssepunkt in p i der Msse m i = ϱ i V i uffssen. er Schwerpunkt von wird dnn durch den Schwerpunkt des Systems der Mssepunkte p,..., p r pproximiert, und letzterer ist gleich r ϱ i p i V i (m = Gesmtmsse). m i= Jetzt führen wir den Grenzübergng r durch. ie genäherten Gesmtmssen m konvergieren gegen die Msse von, und letztere htten wir im letzten Abschnitt ls ds Integrl ϱ(x) dx bestimmt. Weiter konvergieren die Terme ϱ ip i gegen ϱ(p)p wenn die Stücke gegen den Punkt p konvergieren. er Schwerpunkt des örpers wird dmit zu pϱ(p) dp S :=. ϱ(p) dp Ist die ichte ϱ(p) = konstnt gleich Eins, so wird dies zum geometrischen Schwerpunkt, oder uch Mittelpunkt, S = p dp. vol() 4-8 i=

9 Zunächst ist uch dies lles nur für den dreidimensionlen Fll n = 3 sinnvoll, ber die Sprechweisen werden wieder für beliebige imensionen übernommen. onkret ist die i-te omponente des Schwerpunkts eines örpers der Msse M gegeben ls S i = x i ϱ(x) dx. M Als ein Beispiel wollen wir den Schwerpunkt des Hlbkreises := {(x, y) R y, x + y r } von Rdius r > rechnen. ies wollen wir für die ichte konstnt gleich durchführen. ie Fläche ist vol() = πr, und wir rechnen nun die y- und x-oordinte des Schwerpunkts us. Es sind y d(x, y) = r r x y dy dx = r (r x ) dx = r 3 r3 3 = 3 r3 und x d(x, y) = r r x x dy dx = r x r x dx = 3 (r x ) 3/ r =, wobei letzteres us Symmetriegründen von vornherein zu erwrten wr. mit ist ( ) p dp =. 3 r3 Also ist der Schwerpunkt in S = p dp = 4 πr 3π r ( ) = 4 3π r e. Als unser nächstes Beispiel wollen wir uns eine Formel für den Schwerpunkt eines Rottionskörpers überlegen. Wir betrchten wieder eine Rottionskörper dessen Achse die z-achse ist, ber entsprechende Aussgen gelten dnn uch llgemein. Sei f : [, b] R eine stetige Funktion und betrchte den Rottionskörper R f = {(x, y, z) R 3 z b, x + y f(z) }. s Volumen von R f htten wir bereits ls vol(r f ) = π 4-9 b f(z) dz

10 berechnet. Beginnen wir mit der x-oordinte R f x d(x, y, z) = b f(z) f(z) f(z) y x dx dy dz = f(z) y b f(z) f(z) z f(z) y dy dz = f(z) y d der Integrnd Null ist, und nlog folgt R f y d(x, y, z) =. er Schwerpunkt von R f liegt lso uf der z-achse, ws uch geometrisch von vornherein zu erwrten wr. Zur Bestimmung der z-oordinte rechnen wir R f z d(x, y, z) = b B f(z) () z d(x, y) dz = Insgesmt ist der Schwerpunkt von R f dmit in S Rf = b b zf(z) dz / b f(z) dz πzf(z) dz = π = b b zf(z) dz b f(z) dz e 3. zf(z) dz. Als ein konkretes Beispiel berechnen wir jetzt den Schwerpunkt eines Rottionsprboloids x + y = z der Höhe h >, lso = {(x, y, z) R 3 z h, x + y z}. Wir htten bereits eingesehen ds der Rottionskörper = R f bezüglich f : [, h] R ; z z ist, und ds Volumen von htte sich zu vol() = πh ergeben. Zur Berechnung des Schwerpunkt bestimmen wir h zf(z) dz = und der Schwerpunkt von wird zu S = h z dz = 3 h3, 3 h3 h e 3 = 3 he 3. 4-