Zwei-Punkt Randwertprobleme. Fahed Bakar

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1 Zwei-Punkt Rndwertprobleme Fhed Bkr

2 Contents Inhltsverzeichnis II 1 Zwei-Punkt Rndwertprobleme (RWP) Zwei-Punkt Rndwertprobleme Vritionle Formulierung des RWP Glerkin-Approximtion Spektrl-Glerkin-Verfhren (SGV)

3 1 Zwei-Punkt Rndwertprobleme (RWP) 1.1 Zwei-Punkt Rndwertprobleme Sei D R, p, q und f : D R Abbildungen. u : D R mit: Gesucht ist eine Funktion Im Folgenden seien d dt du(x) (p(x) ) + q(x) u(x) dx = f(x) (1.1) u() = u(b) = 0 (1.2) p(x) C 1 ([, b]) und p(x) p 0 0 für lle x (, b) q(x) C([, b]) und q(x) 0 für lle x (, b) D := (, b) Definition (klssische Lösung). Sei f C(D) eine Funktion u C 2 (D) C([, b]), die (1.1) und (1.2) erfüllt, nennt mn eine klssiche Lösung. Beispiel 1. Sei D = (0, 1) p,q,f Konstnten mit p, q 0, Dnn ist u(x) = f q [ 1 ( exp( s x) + exp( s (1 x)) 1 + exp( s) eine Lösung von (1.1), (1.2) und u C 2 (D) C([, b]). )], s = q p Definition (schwche Ableitung). Mn sgt, dss eine messbre Funktion D k u : D R (k N) die k-te schwche Ableitung einer messbren Funktion u : D R ist, flls für lle ϕ(x) C c D k u(x)ϕ(x)dx = ( 1) k u(x)ϕ (k) (x)dx D D (D). 1

4 1.1 Zwei-Punkt Rndwertprobleme 2 Definition (Sobolev-Räume). Für p 1, r N ist der Sobolev-Rum W r,p (D) definiert durch: W r,p (D) = {u(x) L p (D) D k u(x) L p (D), 0 k r} Flls p = 2 schreiben wir H r (D) := W r,2 (D). Auf H r (D) ist die Norm r u H r := ( D k u L 2) 1 2 definiert. Auf der Menge H0(, 1 b) := {u H 1 u() = u(b) = 0} ist die Norm k=0 u H 1 0 := D 1 u L 2 definiert. Definition (strke Lösung). Sei f L 2 (D). Eine Funktion u H 2 (D) H 1 0(D), die (1.1) und (1.2) für fst lle x D erfüllt, nennt mn eine strke Lösung. Beispiel 2. Sei D = (0, 1), p = 1, q = 0 und Dnn ist eine Lösung gegeben durch: 1 flls 0 x 1 2 f(x) := 1 flls 1 x 1 2 x 2 u(x) := x flls 0 x x2 + 3x 1 flls 1 x u(x) / C 2 (D), d D 2 u(x) = f(x) und f uf dem Intervll D nicht stetig ist. u H 2 (D) H 1 0(D) ist ber eine strke Lösung.

5 1.2 Vritionle Formulierung des RWP Vritionle Formulierung des RWP Sei ϕ(x) Cc (D). Wenn mn ϕ(x) mit (1.1) multipliziert und über [, b] integriert, dnn erhält mn: ϕ(x)(p(x)u (x)) + ϕ(x)u(x)q(x)dx = durch prtielle Integrtion des ersten Terms erhält mn: [ϕ(x)(p(x)u (x))] b + p(x)ϕ (x)u (x) + ϕ(x)u(x)q(x)dx = f(x)ϕ(x)dx f(x)ϕ(x)dx der erste Term fällt weg, d lut Vorussetzung ϕ() = ϕ(b) = 0 ist. Es gilt lso: p(x)ϕ (x)u (x) + ϕ(x)u(x)q(x)dx = f(x)ϕ(x)dx für lle ϕ(x) Cc Wir schreiben (D). (u, ϕ) := p(x)ϕ (x)u (x) + ϕ(x)u(x)q(x)dx Dnn gilt: l(ϕ) := f(x)ϕ(x)dx (u, ϕ) = l(ϕ) für lle ϕ(x) C c (D). Definition (schwche Lösung). Eine schwche Lösung für ds RWP (1.1), (1.2) ist eine Funktion u H 1 0(D), die (u, v) = l(v) (1.3) für lle v H 1 0(D) erfüllt. Mn nennt ds Problem dnn uch vritionles Problem. Wir können nun unsere Forderungen n p und q lockern. Im Folgenden seien p(x) L (D) und p(x) p 0 0fst überll in D für ein p 0 q(x) L (D) und q(x) 0fst überll in D Wir bezeichnen mit V := H 1 0(D). Auf V knn mn die sogennnte Energienorm

6 1.2 Vritionle Formulierung des RWP 4 definieren. v E := (u, u) 1 2 = ( p(u ) 2 + qu 2 ) 1 2 Stz 1 (Poincré Ungleichung). Flls D beschränkt ist, dnn gibt es eine Konstnte K p 0 so dss u L 2 K p u H 1 0 (D). Bemerkung 1. (, ) ist eine symmetrische Bilinerform. E ist die durch (, ) induzierte Norm uf V. E ist äquivlent zu H 1 0 (D) mit D p u H 1 0 (D) u E ( p L + q L Kp) u H 1 0 (D) Stz 2 (Lx-Milgrm). Sei H ein Hilbertrum mit Norm und l ein beschränktes, lineres Funktionl uf H. Sei : HxH R eine beschränkte, koersive Bilinerform. Dnn gibt es ein eindeutig bestimmtes u l H so dss (u l, v) = l(v) für lle v H gilt. Stz 3 (Existenz und Eindeutigkeit). Sei f L 2 (D). Dnn ht (1.3) eine eindeutige Lösung u V. Beweis. V ist ein Hilbertrum, (, ) : V xv R ist eine Bilinerform. u H 1 0 (D) ist eine Norm uf V. Es gilt: l(v) = < f, v > L 2 (D) f L 2 (D) v L 2 (D) K p f L 2 (D) v H0 1 (D) für lle v V. D f lut Vorussetzung beschränkt ist, ist uch l beschränkt. (, ) ist koersiv, flls (v, v) β v H 1 0 für lle v V ist. (v, v) = v 2 E = D p(x)v (x) 2 + q(x)v(x) 2 dx p 0 D v (x) 2 dx = p 0 v 2 H0 1 lle v V Drus folgt, dss (, ) korsiv ist. für (v, w) v E w E ( p L + Kp 2 q L ) v 2 H w H für lle v, w V 0 1 Drus folgt, dss (, ) beschränkt ist. D nun l( ) beschränkt ist, (, ) koersiv und beschränkt, folgt us dem Lx- Milgrm-Stz, dss ein eindeutiges bestimmtes u V existiert, sodss (1.3) für lle v V erfüllt ist.

7 1.3 Glerkin-Approximtion 5 Bemerkung 2. Es gelten die Annhmen us A1. Sei f L 2 (D). Jede strke Lösung von (1.1), (1.2) ist uch eine schwche Lösung. Flls eine schwche Lösung u H0(D) 1 ebenflls in H 2 (D) liegt, dnn ist u uch eine strke Lösung. 1.3 Glerkin-Approximtion Definition Sei Funktion ũ Ṽ mit Ṽ V ein endlich dimensionler Unterrum von V. Eine (ũ, v) = l(v) (1.4) für lle v Ṽ nennt mn Glerkin-Approximtion. Stz 4. Es gelten die Annnhmen A2. Sei f L 2 (D). Dnn ht (1.4) eine eindeutige Lösung ũ Ṽ. Der Beweis verläuft genu so wie der Beweis von Stz 3. D Ṽ endlichdimensionl ist, gibt es liner unbhängige Vektoren φ 1,..., φ J Ṽ, die Ṽ ufspnnen. D.h. Ṽ = spn{φ 1,..., φ J }. Wir können lso ũ lso Linerkombintion dieser Vektoren drstellen. ũ = J u j φ j j=1 mit u 1,..., u J R. D ũ (1.4) erfüllt, gilt: J ( u j φ j, v) = j=1 J u j (φ j, v) = l(v) j=1 für lle v Ṽ. Wir hben lso J Unbeknnte in einer lineren Gleichung. Es ist nun nheliegend v = φ i für i = 1,..., J zu wählen. Ddurch erhält mn J Gleichungen für J Unbeknnte. Diesen Zusmmenhng knn mn uch folgendermßen drstellen. Wir definieren A R JxJ und b R J durch ij = (φ i, φ j ) und b i = l(φ i ) für i, j = 1,..., J. Dnn ist ds Gleichungssystem durch Au = b gegeben. Stz 5. Die Mtrix A ist positiv definit. D.h. die Gleichung Au = b ht eine eindeutige Lösung.

8 1.4 Spektrl-Glerkin-Verfhren (SGV) 6 Beweis. Sei v 0. v T Av = J J (φ i, φ j )v i v j = i=1 j=1 J J J ( v i φ i, φ j )v j = ( v i φ i, j=1 i=1 i=1 j=1 J v j φ j ) = (v, v). (v, v) = v 2 E > 0, d v 0. Drus folgt, dss die Mtrix A positiv definit ist und die Gleichung Au = b eindeutig lösbr. Stz 6 (Beste Approximtion). Flls u V (1.3) und ũ Ṽ (1.4) erfüllen, und Ṽ V ein Unterrum von V ist, dnn gilt: u ũ E u v E für lle v Ṽ. Beweis. D Ṽ V (u, v) = (ũ, v) für lle v Ṽ (u, v) (ũ, v) = (u ũ, v) = 0 für lle v Ṽ (u ũ, u ũ) = (u ũ, u) (u ũ, ũ) = (u ũ, u) (u ũ, v) = (u ũ, u v) für lle v Ṽ. u ũ 2 E = (u ũ, u ũ) = (u ũ, u v) u ũ E u v E u ũ E u v E für lle v Ṽ. Definition (Glerkin-Projektion). Die Glerkin-Projektion P G : V Ṽ ist eine orthogonle Projektion mit u P G u E = u ũ E bzw. (P G u, v) = (u, v) für lle v Ṽ 1.4 Spektrl-Glerkin-Verfhren (SGV) Es gibt nun zwei Methoden um den Unterrum Ṽ zu konstruieren. Einml die Finite-Elemente-Methode und eiml ds Spektrl-Glerkin-Verfhren. Wir schreiben Au := d du(x) (p(x) ) + q(x)u(x) mit dem Differenzilopertor A. dx dx Ds SGV verwendet die Eigenvektoren von A um den Untterrum Ṽ zu konstruieren. Sei G die Green s Funktion, die zusmmen mit A die Dirc-Delt-Funktion erzeugt. D.h. AG = δ(x y) mit < x < b, G(, y) = G(b, y) = 0. Dnn folgt

9 1.4 Spektrl-Glerkin-Verfhren (SGV) 7 drus, ds die Lösung durch gegeben ist, denn: Au = A u(x) = G(x, y)f(y)dy = G(x, y)f(y)dy := (Lf)(x) AG(x, y)f(y)dy = δ(x y)f(y)dy = f(x) Drus folgt, dss L 1 = A ist und deshlb A und L 1 die selben Einheitsvektoren hben. Der Hilber-Schmidt Spektrlstz begründet dnn die Behuptung, dss die Eigenvektoren von A den Unterrum Ṽ ufspnnen. Stz 7 (Hilbert-Schmidt Spektrlstz). Sei H ein bzählbr undendlichdimensionler Hilbertrum und L ein beschränkter linerer Opertor, der symmetrisch und kompkt ist. Seien λ j die Eigenwerte von L mit λ j λ j+1 und φ j die dzugehörigen Eigenvektoren. Dnn gilt: (i) lle Eigenwerte λ j sind reell und λ j 0 für j (ii) Die Eigenvektoren φ j können so gewählt werden, dss sie eine Orthonormlbsis für den Wertebereich von L bilden. (iii) für jedes u H gilt: Lu = j=1 λ j < u, φ j > φ j Hier noch einfügen wie Definition Der Rum D(A α ) H(α R)ist ein Hilbertrum mit Sklrprodukt < u, v > α =< A α u, A α v > und induzierter Norm u α = A α u. Bemerkung 3. < u, v > 1 =< A 1 2 u, A 1 2 v >=< Au, v >= (u, v) für lle u, v H. 2 Lemm 1. Sei α > 0 und λ J+1 der (J+1)-te Eigenwert, dnn gilt: (i) u P J u λ α J+1 u α (ii) A α (I P J ) L = λ α J+1 Lemm 2. Sei u die Lösung von (1.3) und u J die Lösung von (1.4). Für β+1 > α gilt: (i) u u J α λ (β+1 α) J+1 f β, insbesondere gilt (ii) u u J E λ 1 2 J+1 f L 2 Beweis. u u J α = A α (u u J ) L 2 = A α 1 A(u u J ) L 2 D (u u J ) = (I P J )u und Au = f gilt, folgt: u u J α = A α 1 (I P J )f L 2 A β+α 1 (I P J ) L A β f L 2

10 1.4 Spektrl-Glerkin-Verfhren (SGV) 8 mit Lemm 1 folgt: u u J α λ β+α 1 J+1 und wenn mn α = 1 und β = 0 setzt, folgt (ii) 2