Kriterien für starke und schwache Konvergenz in L 1

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1 Technische Universität Berlin Institut für Mthemtik Bchelorrbeit Im Studiengng Mthemtik Kriterien für strke und schwche Konvergenz in L 1 vorgelegt von Thoms Jnkuhn betreut durch Dr. Hns-Christin Kreusler 11. November 2013

2 Hiermit erkläre ich n Eides sttt, dss ich die vorliegende rbeit selbstständig und eigenhändig sowie usschließlich unter Verwendung der ufgeführten Quellen und Hilfsmittel ngefertigt hbe. Berlin, den

3 Inhltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Grundlgen Die L p -Räume Die Konvergenzrten in L 1 (, b) Die grundlegenden Konvergenzsätze Die schwche Konvergenz Die schwche Konvergenz in Bnchräumen Die schwche Konvergenz in L 1 (, b) Strke Konvergenz in L 1 (, b) Die Sätze von Vitli Weitere Kriterien für strke Konvergenz in L 1 (, b) Der Stz von de l Vllée-Poussin Die Konvergenz im Steklov-Mittel Schwche Konvergenz in L 1 (, b) Vergleich strker und schwcher Konvergenz in L 1 (, b) Der Stz von Dunford-Pettis Zusmmenfssung 48 6 nhng zur Mß- und Integrtionstheorie 50 Literturverzeichnis 53

4 1 Einleitung Im Jhr 1902 veröffentlichte Henri Lebesgue seine Disserttion Thèse: Intégrl, longueur, ire und legte dmit den Grundstein für die heutige Integrtionstheorie. In seiner rbeit führte er, mithilfe der Vorrbeiten von Émile Borel zur Mßtheorie und René Bire über reelle Funktionen, einen neuen Integrtionsbegriff ein. Zu Ehren von Henri Lebesgue bennnte Frigyes Riesz die Funktionenräume der Äquivlenzklssen fst überll gleicher messbrer Funktionen f : I C, so dss f p, p 1, integrierbr ist, mit Lebesgue-Rum. Er untersuchte erstmls die strke Konvergenz und die schwche Konvergenz in L p (I). In dieser rbeit werden wir Kriterien für strke und schwche Konvergenz in L 1 (, b) vorstellen. Wir beschränken uns dbei uf reellwertige Funktionen mit dem Definitionsbereich [, b]. Wie in den einzelnen für die ussgen zitierten Quellen nchzulesen ist, gelten die vorgestellten Resultte ebenflls für Folgen us L 1 (Ω), wobei Ω R d eine beschränkte Teilmenge ist. Zunächst stellen wir in Kpitel 2 einige mthemtische Grundlgen zusmmen, die für diese rbeit benötigt werden. nschließend werden wir uns in Kpitel 3 der strken Konvergenz in L 1 (, b) zuwenden. Grundlge dieser rbeit ist der von Lebesgue bewiesene Stz über die mjorisierte Konvergenz. Er besgt, dss bei punktweise konvergenten Folgen us L 1 (, b) die Existenz einer punktweisen Mjornte hinreichend ist für die strke Konvergenz in L 1 (, b). In bschnitt 3.1 werden die Sätze von Vitli vorgestellt. Diese beinhlten ein nicht nur hinreichendes, sondern uch notwendiges Kriterium für die strke Konvergenz von punktweise konvergenten Folgen us L 1 (, b). In bschnitt 3.2 werden wir weitere Kriterien für strke Konvergenz in L 1 (, b) drlegen. Neben Folgerungen us dem Stz von Vitli werden wir ein weiteres hinreichendes Kriterium für die strke Konvergenz in L 1 (, b) vorstellen. bschnitt 3.3 beinhltet eine Chrkterisierung von Funktionenfolgen, die gleichgrdig bsolut stetige Integrle besitzen, deren Vorstellung nur der Vollständigkeit dient. Zum bschluss des dritten Kpitels werden wir uns mit der Existenz konvergenter Teilfolgen in L 1 (, b) beschäftigen. D insbesondere die Kompktheit einer Folge hinreichend für die Existenz einer konvergenten Teilfolge ist, werden wir n dieser Stelle die Kompktheitsbedingungen von Kolmogoroff vorstellen. In Kpitel 4 werden wir uns der schwchen Konvergenz in L 1 (, b) widmen. Zuerst werden wir uns mit der Frge beschäftigen, unter welchen Vorussetzungen eine schwch konvergente Folge in L 1 (, b) uch strk konvergiert. Bei der Frge nch der Existenz 1

5 einer schwch konvergenten Teilfolge können wir nicht den beknnten Stz von Eberlein- Šmulin verwenden, d der Rum L 1 (, b) nicht reflexiv ist. Jedoch gibt uns der in bschnitt 4.2 vorgestellte Stz von Dunford-Pettis ein Kriterium für die Existenz einer schwch konvergenten Teilfolge in L 1 (, b). 2

6 2 Grundlgen 2.1 Die L p -Räume In diesem bschnitt werden wir den Rum der zur p-ten Potenz integrierbren Funktionen und den Rum der wesentlich beschränkten Funktionen einführen. nschließend nennen wir einige Eigenschften dieser Räume. Es bsiert uf [3]. Einige Definitionen sind [13] entnommen. Definition 2.1 Sei (Ω,, µ) ein Mßrum, 1 p <. Dnn bezeichnen wir mit L p (Ω,, µ), oder kurz L p (Ω), den Rum ller Äquivlenzklssen fst überll gleicher messbrer Funktionen f : Ω R mit der Eigenschft ( ) 1 f p := f(x) p p dµ <. Ω Flls ds Mß ds Lebesguemß, ds wir im Folgenden mit λ bezeichnen, ist, dnn schreiben wir dx nsttt dλ. Bemerkung. Zusmmen mit p bildet der Rum L p (Ω) einen normierten Rum. Einen Beweis dzu finden wir in [3, Theorem 4.7]. Definition 2.2 Sei (Ω,, µ) ein Mßrum. Dnn bezeichnen wir mit L (Ω,, µ), oder kurz L (Ω), den Rum ller Äquivlenzklssen fst überll gleicher messbrer und fst überll beschränkter Funktionen f : Ω R, d.h. solche Funktionen, für die es ein C > 0 gibt, so dss f(x) C für fst lle x Ω gilt. Die dzugehörige Norm lutet f = ess sup f(x). x Ω Bemerkung. Einen Beweis, dss eine Norm ist, finden wir in [3, S.91]. Definition 2.3 Sei [, b] ein Intervll. Wir bezeichnen mit Cc ([, b]) den Rum ller unendlich oft differenzierbren Funktionen f : [, b] R mit kompktem Träger. Der Träger ist definiert ls {x [, b] f(x) 0}. Einige wichtige Eigenschften dieser Räume werden in dem folgenden Stz zusmmengetrgen. Stz 2.4 Sei (Ω,, µ) ein Mßrum. Dnn gelten die folgenden ussgen: (i) Für 1 p ist der Rum L p (Ω) ein Bnchrum. 3

7 (ii) Flls Ω seprbel ist und 1 p < gilt, dnn ist der Rum L p (Ω) seprbel. (iii) Für 1 < p < ist der Rum L p (Ω) reflexiv. (iv) Flls Ω nicht endlich ist, dnn sind die Räume L 1 (Ω) und L (Ω) niemls reflexiv. (v) Der Rum C c ([, b]) liegt dicht in L p (, b). Beweise für die ussgen (i) (iv) findet mn in [3, S.93 ff.], für die ussge (v) in [6, Stz 4.23]. 2.2 Die Konvergenzrten in L 1 (, b) Wir rufen uns die grundlegenden Konvergenzrten, die für diese rbeit benötigt werden, in Erinnerung. Eine messbre Funktionenfolge (f n ) n N konvergiert dem Mße nch gegen eine messbre Funktion f, flls für lle ε > 0 gilt, lim λ({x [, b] f n(x) f(x) ε}) = 0 fst überll punktweise uf [, b] gegen eine messbre Funktion f, flls für fst lle x [, b] gilt, lim f n(x) = f(x) in L 1 (, b) gegen eine Funktion f, flls (f n ) n N L 1 (, b), f L 1 (, b) und gilt. lim f n f 1 = 0 Bemerkung. Um die Konvergenz in L 1 (, b) deutlich von der schwchen Konvergenz, die in bschnitt 2.4 eingeführt wird, bzuheben, nennen wir sie im Folgenden uch strke Konvergenz in L 1 (, b). 2.3 Die grundlegenden Konvergenzsätze ls erstes betrchten wir nichtnegtive Funktionen. In diesem Fll gibt uns der Stz von Beppo Levi, der uch Stz über die monotone Konvergenz gennnt wird, eine ussge über die Vertuschung von Grenzwertbildung und Integrtion. 4

8 Stz 2.5 (Beppo Levi) Sei (f n ) n N L 1 (, b) eine Folge von nichtnegtiven Funktionen mit folgenden Eigenschften: (i) (f n ) n N ist fst überll in [, b] monoton wchsend. (ii) Es gilt Dnn konvergiert (f n ) n N L 1 (, b) und es gilt b sup n N f n (x) dx <. fst überll punktweise in [, b] gegen eine Funktion f lim f n f 1 = 0. Einen Beweis findet mn beispielsweise in [2, S. 276]. Für beliebige Folgen von nichtnegtiven Funktionen bietet uns ds Lemm von Ftou eine wichtige ussge. Stz 2.6 (Lemm von Ftou) Sei (f n ) n N eine Folge nichtnegtiver messbrer Funktionen mit Dnn gilt b lim inf f n(x) = f(x) lim inf f n(x) dx = b Für einen Beweis sei uf [9, S.155] verwiesen. für fst lle x [, b]. f(x) dx lim inf b f n (x) dx. Jetzt betrchten wir Funktionen mit beliebigen Vorzeichen. Ds bringt uns zu dem wichtigsten Konvergenzstz us diesem bschnitt, dem Stz über die mjorisierte Konvergenz. Stz 2.7 (Stz von Lebesgue) Sei (f n ) n N ein Folge messbrer Funktionen, die fst überll punktweise gegen eine Funktion f konvergiert. Zusätzlich gebe es eine integrierbre Funktion g mit f n (x) g(x) für lle n N und für fst lle x [, b]. Dnn gilt b lim f n (x) dx = b f(x) dx. 5

9 Einen Beweis findet mn in [2, S. 274]. Bemerkung. Der Stz von Lebesgue liefert uns nicht nur die Vertuschung von Grenzübergng und Integrtion, sondern uch die Konvergenz von (f n ) n N gegen f in L 1 (, b). Dzu wendet mn den Stz von Lebesgue uf (f n f) n N n. Der folgende Stz wird uch umgekehrter Stz von Lebesgue gennnt. Jedoch ist dies keine echte Umkehrung. Denn für eine in L 1 (, b) konvergente Funktionenfolge erhlten wir die Vorussetzungen des Stzes von Lebesgue nur für eine Teilfolge. Stz 2.8 Sei (f n ) n N L 1 (, b) eine Funktionenfolge und f L 1 (, b) mit der Eigenschft lim f n f 1 = 0. Dnn gibt es eine Teilfolge (f nk ) n N und eine Funktion g L 1 (, b), so dss folgendes gilt: (i) (f nk ) n N konvergiert fst überll punktweise gegen f. (ii) f nk (x) g(x) für fst lle x [, b] Für den Beweis verweisen wir uf [3, S. 94]. 2.4 Die schwche Konvergenz Die schwche Konvergenz in Bnchräumen Einige Folgen konvergieren nicht strk, sondern nur in einem schwächeren Sinne. Um diese schwche Konvergenz definieren zu können, benötigen wir zunächst die Definition des Rumes der stetigen lineren Funktionle. Definition 2.9 Sei (U, ) ein Bnchrum. Dnn heißt U := {f : U R f ist liner und stetig} Dulrum von U. Die Norm uf U ist definiert durch f = sup f, x, x 1 wobei, die dule Prung uf U U bezeichnet. Mithilfe der stetigen lineren Funktionle definieren wir nun die schwche Konvergenz. Denn schwche Konvergenz ist Konvergenz bezüglich ller stetigen lineren Funktionle. 6

10 Definition 2.10 Sei (U, ) ein Bnchrum. Eine Folge (u n ) n N us U konvergiert schwch gegen u U, flls für lle f U gilt. lim f, u n = f, u Bevor wir im nächsten bschnitt zu der für uns interessnten schwchen Konvergenz in L 1 (, b) kommen, werden wir einige Eigenschften von schwch konvergenten Folgen in beliebigen Bnchräumen ngeben. Stz 2.11 Sei (U, ) ein Bnchrum und (u n ) n N eine Folge in U. Dnn gilt: (i) Konvergiert (u n ) n N gegen u in der Norm, dnn konvergiert (u n ) n N gegen u schwch. (ii) Konvergiert (u n ) n N gegen u schwch, dnn ist (u n ) n N beschränkt und es gilt u lim inf u n. Der Beweis lässt sich in [3, S. 58] nchlesen Die schwche Konvergenz in L 1 (, b) Zunächst interessiert es uns, wie die stetigen lineren Funktionle in L 1 (, b) ussehen. Dzu betrchten wir den folgenden Stz. Stz 2.12 Sei Φ (L 1 (, b)). Dnn gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion g L (, b) mit Φ, f = für lle f L 1 (, b). Zusätzlich gilt b f(x)g(x) dx g = Φ (L 1 (,b)). uf den Beweis wird n dieser Stelle verzichtet. Mn findet ihn in [3, S. 99]. Wir folgern us dem Stz, dss jedes stetige linere Funktionl us L 1 (, b) eindeutig ls Integrl drgestellt werden knn. Des Weiteren knn mn zeigen, dss die bbildung T : (L 1 (, b)) L (, b), Φ g 7

11 surjektiv und dmit ein isometrischer Isomorphismus ist [7, Stz 3.2]. Somit können wir den Dulrum von L 1 (, b) mit L (, b) identifizieren. Drus lässt sich die schwche Konvergenz einer Folge (f n ) n N L 1 (, b) gegen ein f L 1 (, b) bleiten. Stz 2.13 Eine Funktionenfolge (f n ) n N Funktion f L 1 (, b) genu dnn, wenn L 1 (, b) konvergiert schwch gegen eine für lle g L (, b) gilt. b lim f n (x)g(x) dx = b f(x)g(x) dx n dieser Stelle belssen wir es mit der Einführung in die schwche Konvergenz. Sollte der Leser eine usführlichere Einführung in dieses Them wünschen, so sei uf [3, Kpitel 3] verwiesen. 8

12 3 Strke Konvergenz in L 1 (, b) 3.1 Die Sätze von Vitli In diesem bschnitt werden wir die Sätze von Vitli vorstellen. Die finle Fssung des Stzes liefert uns eine Chrkterisierung der in L 1 (, b) konvergenten Funktionfolgen unter der Vorussetzung der punktweisen Konvergenz. Die etws längere Herngehensweise des Beweises ist [9] entnommen. Sie liefert uns jedoch Zwischenresultte, die für sich interessnt und für spätere Beweise nützlich sind. lterntive Beweise findet mn zum Bespiel in [7, Stz 5.6]. Zuerst zeigen wir einige Eigenschften von integrierbren Funktionen. Stz 3.1 Sei f L 1 (, b). Dnn gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dss für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ f(x) dx < ε gilt. Diese Eigenschft des Integrls bezeichnet mn ls bsolute Stetigkeit. Bemerkung. Betrchtet mn die Funktion der oberen Integrlgrenze Φ(x) = x f(t) dt mit x [, b], so ist die bsolute Stetigkeit von der Funktion Φ äquivlent zu der bsoluten Stetigkeit des Integrls. Eine Funktion Φ: [, b] R heißt bsolut stetig, flls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für jede beliebige Menge von prweisen disjunkten Intervllen ( k, b k ) [, b], k = 1,..., n, mit der Gesmtlänge n (b k k ) < δ die folgende Ungleichung gilt k=1 n f(b k ) f( k ) < ε. k=1 Beweis von Stz 3.1. Der Beweis richtet sich nch [9, S. 165]. Wir betrchten für N N die bschneidefunktion x für x N [ ] N : [0, ) [0, ), [x] N = N für x > N. Offensichtlich konvergiert [ f(x) ] N gegen f(x) fst überll in [, b] für N gegen unendlich. Mit f ist uch f integrierbr. D [ f(x) ] N f(x) fst überll in [, b] gilt, besitzt [ f( ) ] N eine integrierbre Mjornte und dmit gilt mit dem Stz von Lebesgue 9

13 b lim N [ f(x) ] N dx = b Sei nun ε > 0. Dnn finden wir ein N 0 N, so dss b f(x) [ f(x) ] N0 f(x) dx. dx < ε 2 gilt. D [ f(x) ] N f(x) für lle N N ist, gilt somit uch [ f(x) ] N0 f(x) und dmit ist f(x) [ f(x) ] N0 fst überll in [, b] nichtnegtiv. Sei nun [, b] eine beliebige messbre Teilmenge. Dnn gilt mit der obigen Ungleichung f(x) [ f(x) ] N0 dx b f(x) [ f(x) ] N0 dx < ε 2. Weil ber [ f(x) ] N0 N 0 für fst lle x ist, folgt dmit ε f(x) dx < ε 2 + [ f(x) ] N dx ε 2 + N 0λ(). Wir setzen δ = 2N 0. Ist nun λ() < ε 2N 0, so gilt f(x) dx < ε 2 + N 0λ() < ε 2 + N ε 0 = ε. 2N 0 Demzufolge gilt dnn uch f(x) dx f(x) dx < ε. Betrchten wir eine Folge von integrierbren Funktionen (f n ) n N, so ist für jedes n N ds Integrl von f n bsolut stetig. Die Zhl δ in der Definition der bsoluten Stetigkeit hängt ber hier nicht nur von ε b, sondern uch von n. Im Folgenden interessieren uns huptsächlich Folgen integrierbrer Funktionen, bei denen δ nicht von n bhängt. Dies führt uns zur folgenden Definition: Definition 3.2 Eine Funktionenfolge (f n ) n N L 1 (, b) besitzt gleichgrdig bsolut stetige Integrle, flls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ und für jedes n N folgendes gilt f n (x) dx < ε. 10

14 Zur Vernschulichung dieses Begriffs betrchen wir zwei Beispiele. Die Idee zur Konstruktion dieser Beispiele ist [1] entnommen. Beispiel 3.3 Zuerst betrchten wir eine Funktionenfolge, die gleichgrdig bsolut stetige Integrle besitzt. Im zweiten Beispiel werden wir diese Funktionenfolge nur leicht bändern, so dss sie nicht mehr gleichgrdig bsolut stetige Integrle besitzt. (i) Wir definieren f n : [ 1 2, 1 ] R, f n (x) = 2 n für 1 x 1 2n 2 0 sonst. 2n 2 Dnn besitzt (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Sei dzu ε > 0 beliebig und wähle δ = ε2 4. nschließend betrchten wir eine beliebige messbre Teilmenge B [ 1 2, 2] 1 mit λ(b) < δ. Diese Menge zerteilen wir in den Teil, der in der δ 2-Umgebung der Null liegt, und den Teil, der ußerhlb dieser Umgebung liegt. Dnn gilt B f n (x) dx = B\[ δ 2, 2] f n(x) dx + δ B [ δ 2, 2] f n(x) dx. (3.1) δ Zunächst betrchten wir den linken Summnden. Wir wählen n 0 N so groß, dss f n (x) = 0 fst überll in B \ [ δ 2, 2] δ und für lle n n0 gilt. Dzu setzen wir. Dmit erhlten wir für lle n n 0 n 0 := 1 δ B\[ δ 2, δ 2] f n(x) dx = 0. Es gibt lso nur endlich viele n N, für die dies nicht der Fll ist. Jede dieser Funktionen f 1,..., f n0 1 besitzt jedoch bsolut stetige Integrle. lso gibt es δ 1,..., δ n0 1 > 0, so dss für 1 k n 0 1 ist. [ ] f k (x) dx < ε B\ δ k 2, δ k 2 2 Wir betrchten nun den rechten Summnden der Gleichung (3.1). Zunächst untersuchen wir den Fll n 2 ε. Dnn gilt 11

15 B [ δ 2, δ 2] f n(x) dx δ 2 δ 2 f n (x) dx < δ n = ε2 4 n ε2 4 2 ε = ε 2. Für den Fll, dss n > 2 ε ist, erhlten wir B [ δ 2, δ 2] f n(x) dx δ 2 δ 2 ( 1 f n (x) dx n 2n ) 2n 2 = 1 n < ε 2. Wir setzen nun ˆδ = min {δ, δ 1,..., δ n0 1}. Dnn gilt für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < ˆδ nch Konstruktion f n (x) dx < ε. Somit besitzt (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. (ii) Nun betrchten wir die zweite Funktionenfolge. Hier definieren wir g n : [ 1 2, 1 ] R, g n (x) = 2 n für 1 2n x 1 0 sonst. 2n Dnn besitzt (g n ) n N keine gleichgrdig bsolut stetigen Integrle. Um ds zu zeigen, müssen wir ein ε > 0 finden, so dss für jedes δ > 0 eine messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ und ein n N existiert mit g n (x) dx ε. Sei lso ε = 1 2 und 0 < δ 1 beliebig. Wir wählen = [ δ 2, δ 2 ] und n = 1 δ. Dnn gilt δ 2 δ 2 ( 1 g n (x) dx n 2n + 1 ) = 1 > ε. 2n Somit besitzt (g n ) n N keine gleichgrdig bsolut stetigen Integrle. 12

16 Diese beiden Beispiele vernschulichen sehr gut den Unterschied zwischen der Existenz und der Nichtexistenz gleichgrdig bsolut stetiger Integrle. Die Funktionenfolge (f n ) n N besitzt gleichgrdig bsolut stetige Integrle, weil sich die Träger der einzelnen Funktionen f n qudrtisch verkleinern, während der Wert der Funktionen nur liner nsteigt. Betrchten wir jedoch ds Integrl von (f n ) n N, stellen wir fest, dss es den Wert 1 n ht. Somit ist für jede beliebige Teilmenge von [ 1 2, 1 2 ] ds Integrl von (f n) n N eine Nullfolge. Wie wir später in Stz 3.9 feststellen werden, ist dies ein hinreichendes, jedoch nicht notwendiges Kriterium für die Existenz gleichgrdig bsolut stetiger Integrle. Im Gegenstz zu f n verkleinert sich der Träger der einzelnen Funktionen g n nur liner. D ber der Funktionswert von g n ebenflls liner nsteigt, führt ds dzu, dss für jedes n N ds Integrl von g n gleich eins ist. D wir ber, wie in dem Beweis gezeigt, in jeder Umgebung der Null ein n N finden können, so dss ds Integrl von g n größer gleich eins ist, bleibt ds Integrl von g n von der Null weg beschränkt. Bevor wir zum ersten Stz von Vitli kommen, benötigen wir ds folgende Lemm, welches, wie uch der erste Stz von Vitli, us [9, S. 169] entnommen wurde. Lemm 3.4 Sei (f n ) n N L 1 (, b) eine Funktionenfolge, die gleichgrdig bsolut stetige Integrle besitzt. Dnn besitzt uch ( f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Beweis. Sei ε > 0. D nch Vorussetzung (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle besitzt, gibt es ein δ > 0, so dss für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ f n (x) dx < ε 2 ist. Sei eine solche Teilmenge mit λ() < δ. Setze + := {x f n (x) 0 n N} und := {x f n (x) < 0 n N}. Dnn sind uch λ( + ) < δ sowie λ( ) < δ und dmit gilt für die Integrle f n (x) dx = f n (x) dx < ε + + 2, f n (x) dx = f n (x) dx < ε 2. Zusmmen ergibt ds f n (x) dx = f n (x) dx + + f n (x) dx < ε. 13

17 Somit besitzt uch ( f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Mit diesem Lemm können wir jetzt den ersten Stz von Vitli beweisen. Stz 3.5 (Vitli) Sei (f n ) n N L 1 (, b) eine Funktionenfolge, die fst überll punktweise gegen eine messbre Funktion f konvergiert. Flls die Folge (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle besitzt, so ist f L 1 (, b) und es gilt b lim f n (x) dx = b f(x) dx. Beweis. ls erstes wollen wir zeigen, dss f L 1 (, b) ist. Dzu sei ein ε > 0 vorgegeben. Nch Lemm 3.4 besitzt mit (f n ) n N uch ( f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Deswegen gibt es ein δ > 0, so dss für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ f n (x) dx < ε gilt. Mit dem Lemm von Ftou bekommen wir dnn die Ungleichung f(x) dx lim inf f n (x) dx < ε. Dmit ist die Grenzfunktion f uf jeder messbren Teilmenge [, b] mit λ() < δ integrierbr. D ber ds Intervll [, b] kompkt und somit uch totlbeschränkt ist, knn es in endlich viele Intervlle vom Mß kleiner δ zerlegt werden. Seien I k, k = 1,..., m, diese Intervlle, dnn gilt für die Norm von f folgendes f 1 = b f(x) dx m k=1 I k f(x) dx < mε. Folglich ist f L 1 (, b). Nun muss noch die zweite ussge des Stzes bewiesen werden. Dzu definieren wir für ein beliebiges η > 0 die folgenden zwei Mengen: X n (η) := {x [, b] f n (x) f(x) η n N}. Y n (η) := {x [, b] f n (x) f(x) < η n N}. Dnn ist ds Intervll [, b] die disjunkte Vereinigung von X n (η) und Y n (η). Deswegen 14

18 gilt für die Integrle b b b f n (x) dx f(x) dx f n (x) f(x) dx = f n (x) f(x) dx + X n(η) Y n(η) f n (x) f(x) dx. (3.2) uf der Menge Y n (η) ist ber f n (x) f(x) < η. Dmit erhlten wir für den zweiten Summnden Y n(η) f n (x) f(x) dx ηλ(y n (η)) η(b ). Infolgedessen ergibt sich dnn für die Ungleichung (3.2) b b f n (x) dx f(x) dx f n (x) f(x) dx + η(b ) X n(η) f n (x) dx + f(x) dx + η(b ). X n(η) X n(η) (3.3) Sei nun ε > 0 beliebig. Wir wählen η < ε 3(b ). Dnn gilt η(b ) < ε 3. ußerdem gibt es ein δ > 0, so dss für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ ebenflls f n (x) dx < ε für lle n N und f(x) dx < ε (3.4) 3 3 ist. Die erste Ungleichung folgt us der Existenz gleichgrdig bsolut stetiger Integrle von ( f n ) n N. Die zweite Ungleichung folgt us der im Stz 3.1 gezeigten bsoluten Stetigkeit des Integrls. D (f n ) n N fst überll punktweise gegen f konvergiert, gibt es ein n 0 N, so dss für lle n n 0 λ(x n (η)) < δ ist. Somit gelten die Ungleichungen (3.4) ebenflls für = X n (η). Insgesmt knn in der Ungleichung (3.3) für lle n n 0 folgendermßen bgeschätzt werden b b f n (x) dx f(x) dx f n (x) dx + f(x) dx + η (b ) < ε. X n(η) D ε beliebig gewählt ist, folgt dnn die Behuptung. X n(η) Der Stz von Vitli liefert uns nur die Konvergenz des Integrls von (f n ) n N gegen ds Integrl von f. Jedoch können wir mit wenig ufwnd eine stärkere Konvergenz erhlten. 15

19 Korollr 3.6 Sei (f n ) n N L 1 (, b) eine Funktionenfolge, die fst überll punktweise gegen eine messbre Funktion f konvergiert. Flls die Folge (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle besitzt, dnn konvergiert (f n ) n N gegen f in L 1 (, b). Beweis. ls erstes wollen wir zeigen, dss unter den Vorussetzungen des Korollrs uch ( f n f ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle besitzt. Dzu sei ε > 0. Mit (f n ) n N besitzt nch Lemm 3.4 uch ( f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Deswegen gibt es ein δ > 0, so dss für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ f n (x) dx < ε für lle n N und f(x) dx < ε 2 2 gilt. Sei eine solche Teilmenge mit λ() < δ. Dnn ergibt sich für ds Integrl die folgende bschätzung: f n (x) f(x) dx f n (x) dx + f(x) dx < ε. Somit besitzt ( f n f ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. D diese Folge fst überll punktweise in [, b] gegen Null konvergiert, können wir den Stz von Vitli nwenden und erhlten b lim f n (x) f(x) dx = 0. lso konvergiert die Folge (f n ) n N gegen f in L 1 (, b). D der Stz von Vitli, wie uch der Stz von Lebesgue, ls Resultt die Vertuschung von Integrtion und Grenzwertbildung liefert, stellt sich die Frge, welcher der beiden Sätze stärkere Vorussetzungen besitzt. Mit dem folgenden Stz erhlten wir, dss die Vorussetzungen des Stzes von Lebesgue die Vorussetzungen des Stzes von Vitli implizieren und somit der Stz von Vitli eine stärkere ussge liefert. Stz 3.7 Sei (f n ) n N L 1 (, b) und g L 1 (, b) mit f n (x) g(x) fst überll in [, b], für lle n N. Dnn besitzt (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Beweis. Sei ε > 0. D g L 1 (, b) gibt es nch Stz 3.1 ein δ > 0, so dss für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ g(x) dx < ε 16

20 ist. Sei lso [, b] mit λ() < δ eine solche Teilmenge. Dnn gilt für ds Integrl von (f n ) n N f n (x) dx f n (x) dx Somit besitzt (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. g(x) dx < ε. Die Umkehrung gilt jedoch nicht. Dies zeigt uns ds folgende Beispiel, ds [11] entnommen ist. Beispiel 3.8 Wir definieren die Funktion f : (0, 1] R, f(x) = 1 x. Sei nun n := [2 (n+1), 2 n ] mit n N. Für ein festes n N unterteilen wir n äquidistnt in n Teilintervlle und erhlten somit k n = [ k 1+n n 2 (n+1), n+k n 2 (n+1) ] für jedes feste n N und k N mit 1 k n. Nun definieren wir für n N und k N mit 1 k n f k n : (0, 1] R, f k n(x) = f(x)χ k n (x). Wir bilden eine Folge, indem wir für jedes n N den Index k von 1 bis n durchlufen, nschließend n uf n + 1 setzen und dnn den Vorgng wiederholen. Dnn besitzt (f k n) gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Sei dzu ε > 0 und δ = ε2 ( 1 ε +1). Zuerst betrchten wir den Fll, dss n 1 ε ist. D λ(k n) = 1 n 2 (n+1) ist, gilt für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ und 1 k n fn(x) k dx λ( k n) mx f(x) 1 x k n n2 n+1 2n+1 = 1 n ε. Nun betrchten wir den Fll, dss n < 1 ε ist. Sei [, b] wieder eine messbre Teilmenge mit λ() < δ und 1 k n. Dnn gilt fn(x) k dx λ() mx f(x) δ2 n+1 = ε2 ( 1 +1) ε 2 n+1 < ε. x k n Somit besitzt (f k n) gleichgrdig bsolut stetige Integrle. us der Definition von (f k n) folgt, dss eine integrierbre Mjornte von (f k n) uch eine integrierbre Mjornte von f sein müsste. D jedoch f bereits nicht integrierbr ist und ds Integrl monoton ist, knn es keine integrierbre Mjornte für (f k n) geben. 17

21 Nun kommen wir zu dem in Beispiel 3.3 ngesprochenen hinreichenden Kriterium für die Existenz gleichgrdig bsolut stetiger Integrle. Stz 3.9 Sei (f n ) n N L 1 (, b). Flls für jede messbre Teilmenge [, b] f n (x) dx = 0 (3.5) lim gilt, dnn besitzt (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Beweis. Der Beweis ist [9, S. 171] entnommen. Wir nehmen n, dss (f n ) n N keine gleichgrdig bsolut stetigen Integrle besitzt. Dnn gibt es ein ε 0 > 0, so dss zu jedem δ > 0 eine messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ und ein n N existiert mit f n (x) dx ε 0. (3.6) Seien δ > 0 und N N fest vorgegeben. Wir betrchten die ersten N Funktionen der Folge (f n ) n N. ufgrund der bsoluten Stetigkeit der Integrle der einzelnen Funktionen f 1,..., f N finden wir zu jedem k N mit 1 k N ein δ k > 0, so dss für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ k folgendes gilt f k (x) dx < ε 0. (3.7) Sei nun ˆδ = min {δ 1,..., δ N }. Dnn folgt us Ungleichung (3.6), dss es eine messbre Teilmenge [, b] mit λ() < ˆδ und ein n N gibt, so dss f n (x) dx ε 0 ist. Jedoch gilt für diese Teilmenge λ() < δ k und somit ist für k N mit 1 k N die Ungleichung (3.7) erfüllt. Drus folgt, dss n > N ist. Wir hben lso gezeigt, dss es ein ε 0 > 0 gibt, so dss zu jedem δ > 0 und jedem N N eine messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ und ein n N mit n > N existieren, für die folgendes gilt f n (x) dx ε 0. (3.8) Im Folgenden konstruieren wir eine Folge messbrer Mengen ( k ) k N [, b], eine Teilfolge (f nk ) k N und eine Folge reeller Zhlen (δ k ) k N mit den folgenden Eigenschften: (i) f nk k dx ε 0, 18

22 (ii) λ( k+1 ) < δ k 2, (iii) für lle [, b] mit λ() < δ k gilt f nk dx < ε 0 4. Dzu sei 1 [, b] eine beliebige messbre Teilmenge. Wegen der Ungleichung (3.6) gibt es einen Index n 1 N, so dss gilt. D ds Integrl von f n1 f n1 (x) dx ε 0 1 messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ 1 f n1 (x) dx < ε 0 4 bsolut stetig ist, existiert ein δ 1 > 0, so dss für jede ist. ufgrund der Ungleichung (3.8) finden wir nun eine messbre Teilmenge 2 [, b] mit λ( 2 ) < δ 1 2 und einen Index n 2 N mit n 2 > n 1, für die f n2 (x) dx ε 0 (3.9) 2 gilt. Erneut gibt es ein δ 2 > 0, so dss für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ 2 folgendes gilt f n2 (x) dx < ε 0 4. (3.10) Dnn erhlten wir die Eigenschft, dss δ 2 < δ 1 2 ist. Um dies zu zeigen nehmen wir n, dss δ 2 δ 1 2 ist. Dies führt dzu, dss ds Mß λ( 2 ) < δ 2 ist und somit für die Teilmenge 2 die Ungleichung (3.10) erfüllt ist. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Ungleichung (3.9). Infolgedessen muss δ 2 < δ 1 2 sein. Ein weiteres Ml finden wir wegen der Unlgeichung (3.8) eine messbre Teilmenge 3 [, b] mit λ( 3 ) < δ 2 2 Eigenschft gilt und einen Index n 3 N mit n 3 > n 2, für die folgende f n3 (x) dx ε 0. 3 D ds Integrl von f n3 ebenflls bsolut stetig ist, existiert ein δ 3 > 0, so dss für jede Teilmenge [, b] mit λ() < δ 3 ds Integrl 19

23 f n3 (x) dx < ε 0 4 ist. Gleichermßen ist die Eigenschft δ 3 < δ 2 2 erfüllt. Führen wir dieses Verfhren itertiv fort, erhlten wir eine Folge messbrer Mengen ( k ) k N, eine Teilfolge (f nk ) k N und eine Folge reeller Zhlen (δ k ) k N, die nch Konstruktion die Eigenschften (i)-(iii) erfüllen. us diesen Eigenschften folgt dnn wiederum, dss δ k+1 < δ k 2 λ ( m=1 k+m ) m=1 λ ( k+m ) (ii) < m=0 δ k+m 2 ist. Infolgedessen erhlten wir ufgrund der Eigenschft (iii) ( Wir setzen D k = k \ ( k m=1 ) f nk (x) dx k+m < ε 0 4 ( k+m ). D k \ m=1 ist, gilt wegen Eigenschft (i) folgende Ungleichung f nk (x) dx = f nk (x) dx D k k f nk (x) dx k = f nk (x) dx k ε 0 ε 0 4 = 3 4 ε 0. ist und dher 1 < δ k 2 m = δ 1 k( 1 1 1) = δ k m=1 2 (3.11) ) k+m = k \ m=1 ( k m=1 ( k m=1 ( k m=1 ) f nk (x) dx k+m ) f nk (x) dx k+m ) f nk (x) dx k+m ( ( )) k k+m m=1 (3.12) Schließlich konstruieren wir uns eine Folge von Indizes (k i ) i N, so dss für lle i N folgendes gilt m=1 f nki (x) dx D km ε 0 4. Dzu sei k 1 = 1. Dnn gibt es ufgrund der Vorussetzung (3.5) einen Index k 2 N mit k 2 > k 1, für den folgende Eigenschft gilt 20

24 f nk2 (x) dx D k1 < ε 0 4. nlog finden wir einen Index k 3 N mit k 3 > k 2, der der Bedingung f nk3 (x) dx D k1 D k2 < ε 0 4 genügt. Setzen wir dieses Verfhren fort, erhlten wir eine streng monoton wchsende Folge von Indizes (k i ) i N, für die i 1 m=1 f nki (x) dx D km < ε 0 4 (3.13) gilt. Des Weiteren erhlten wir die Ungleichung f nki (x) dx D ki 3 4 ε 0, (3.14) welche us der Ungleichung (3.12) folgt. D D k k für lle k N ist, ergibt sich mit der Ungleichung (3.11) die folgende bschätzung Hiermit folgern wir λ λ ( m=1 ( m=1 D k+m ) λ D ki+m ) λ ( m=1 ( m=1 k+m ) < δ k. D ki +m ) < δ ki und erhlten mit Eigenschft (iii) f nki (x) dx D ki+m < ε 0 4. (3.15) m=1 Mithilfe der Ungleichungen (3.13), (3.14) und (3.15) erhlten wir schlussendlich folgende bschätzung 21

25 m=1 f nki (x) dx D km = i 1 m=1 ( ) f nki (x) dx D ki f nki (x) dx D km m=i+1 f nki (x) dx + f nki (x) dx + D km D ki 3 4 ε 0 ε 0 4 ε 0 4 = ε 0 4. i 1 m=1 f nki (x) dx D km m=i+1 f nki (x) dx D km Dies steht jedoch im Widerspruch zur Vorussetzung (3.5). Die bschätzung ( ) erhlten wir, d für jedes, b, c R b = b + + c c + b + c + + c gilt und somit b c + b + c ist. Korollr 3.10 Seien (f n ) n N L 1 (, b) und f L 1 (, b). Flls für jede messbre Teilmenge [, b] lim f n (x) dx = f(x) dx gilt, so besitzt (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Beweis. Sei ε > 0. Wir wenden den Stz 3.9 uf die Differenz f n f n und erhlten die Existenz gleichgrdig bsolut stetiger Integrle. Somit gibt es ein δ 1 > 0, so dss für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ 1 folgendes gilt f n (x) f(x) dx < ε 2. ndererseits ist ds Integrl von f bsolut stetig. Deshlb gibt es ein δ 2 > 0, so dss für jede messbre Teilmenge [, b] mit λ() < δ 2 f(x) dx < ε 2 22

26 ist. Setze δ := min {δ 1, δ 2 }. Dnn erhlten wir für jede messbre Teilmenge [, b] die folgende bschätzung f n (x) dx f n (x) f(x) dx + Somit besitzt (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. f(x) dx < ε 2 + ε 2 = ε. Mit dem Korollr 3.10 beweisen wir nun, dss strk konvergente Folgen in L 1 (, b) gleichgrdig bsolut stetige Integrle besitzen und erhlten somit den zweiten Stz von Vitli, Stz Stz 3.11 Seien (f n ) n N L 1 (, b) und f L 1 (, b). Konvergiert die Folge (f n ) n N gegen f in L 1 (, b), so besitzt (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Beweis. Sei [, b] eine beliebige messbre Teilmenge. Dnn erhlten wir folgende bschätzung f n (x) dx D nch Vorussetzung f(x) dx b lim f n (x) f(x) dx f n (x) f(x) dx = 0 b f n (x) f(x) dx. ist, erhlten wir mit dem Korollr 3.10 die Existenz gleichgrdig bsolut stetiger Integrle von (f n ) n N. Stz 3.12 (Vitli) Sei (f n ) n N L 1 (, b) eine Funktionenfolge, die fst überll punktweise gegen eine Funktion f L 1 (, b) konvergiert. Dnn sind folgende ussgen äquivlent: (i) (f n ) n N besitzt gleichgrdig bsolut stetige Integrle. (ii) (f n ) n N konvergiert gegen f in L 1 (, b). Beweis. Mit dem Korollr 3.6 erhlten wir direkt, dss us der Bedingung (i) die Bedingung (ii) folgt. Die ndere Richtung hben wir bereits in Stz 3.11 gezeigt. 23

27 Bemerkung. Die Vorussetzung der punktweisen Konvergenz von (f n ) n N gegen f knn bgeschwächt werden. Es genügt, dss die Folge (f n ) n N dem Mße nch gegen f konvergiert. [9, S. 169] 3.2 Weitere Kriterien für strke Konvergenz in L 1 (, b) In diesem bschnitt werden weitere notwendige und hinreichende Kriterien für die Konvergenz in L 1 (, b) vorgestellt. Zunächst benötigen wir ds folgende Lemm. Es ist [9, S. 175] entnommen. Lemm 3.13 Sei (f n ) n N L 1 (, b) eine nichtnegtive Funktionenfolge, die fst überll punktweise gegen eine Funktion f L 1 (, b) konvergiert. Zusätzlich gelte Dnn gilt b lim für jede messbre Teilmenge [, b]. f n (x) dx = b lim f n (x) dx = f(x) dx f(x) dx. (3.16) Beweis. ngenommen, die ussge gelte nicht. Dnn gibt es eine messbre Teilmenge [, b] mit lim f n (x) dx f(x) dx. (3.17) lso existiert ein ε > 0, so dss unendlich viele Folgenglieder der Folge ( f n(x) dx) n N ußerhlb des Intervlls ( f(x) dx 2ε, ) f(x) dx + 2ε liegen. Wir nehmen zunächst n, es gäbe unendlich viele Folgenglieder, die kleiner oder gleich f(x) dx 2ε sind. Dnn gibt es eine Teilfolge (f n k ) k N von (f n ) n N, so dss f nk (x) dx f(x) dx 2ε (3.18) für lle k N gilt. D (f n ) n N fst überll punktweise gegen f konvergiert, erhlten wir mit dem Lemm von Ftou lim inf f nk (x) dx f(x) dx. 24

28 Somit gibt es eine Teilfolge von (f nk ) k N, die wir wieder mit (f nk ) k N bezeichnen, und ein k 0 N, so dss f nk (x) dx f(x) dx ε für lle k k 0 gilt. Zusmmen mit Ungleichung (3.18) liefert uns ds f nk (x) dx f(x) dx 2ε < f(x) dx ε f nk (x) dx. für lle k k 0. Dies ist jedoch ein Widerspruch. lso gibt es unendlich viele Folgenglieder der Folge ( f n(x) dx) n N mit f n (x) dx f(x) dx + 2ε. (3.19) Gehen wir wieder zu einer Teilfolge (f nk ) k N von (f n ) n N über, erhlten wir die ussge für lle k N. Durch die Vorussetzung (3.16) erhlten wir, dss es ein k 0 N gibt mit b f nk (x) dx b f(x) dx < ε für lle k k 0. Somit gibt es eine weitere Teilfolge von (f nk ) k N, die wir wieder mit (f nk ) k N bezeichnen, mit b f nk (x) dx < b f(x) dx + ε für lle k N. Subtrhieren wir dzu nun die Ungleichung (3.19), ergibt sich f nk (x) dx < f(x) dx ε (3.20) [,b]\ [,b]\ für lle k N. Mit dem Lemm von Ftou gelngen wir zur Ungleichung lim inf f nk (x) dx f(x) dx. k [,b]\ [,b]\ Somit gibt es eine Teilfolge von (f nk ) k N, die wir wieder mit (f nk ) k N bezeichnen, und ein k 0 N mit [,b]\ f nk (x) dx [,b]\ f(x) dx ε für lle k k 0. Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Ungleichung (3.20). Dmit wr die nnhme (3.17) flsch. 25

29 Der folgende Stz liefert uns zwei Äquivlenzen zur Konvergenz in L 1 (, b) unter der Vorussetzung der punktweisen Konvergenz. Stz 3.14 Sei (f n ) n N L 1 (, b) eine Funktionenfolge, die fst überll punktweise gegen eine Funktion f L 1 (, b) konvergiert. Dnn sind folgende ussgen äquivlent: (i) Es gilt lim f n 1 = f 1. (ii) Für jede messbre Teilmenge [, b] gilt f n (x) dx = lim (iii) (f n ) n N konvergiert gegen f in L 1 (, b). f(x) dx. Beweis. Wir werden die ussge per Ringschluss beweisen. Es sei die Bedingung (i) vorusgesetzt. Dnn erhlten wir mit Lemm 3.13 die Gleichung f n (x) dx = f(x) dx lim für jede messbre Teilmenge [, b]. Ds Korollr 3.10 liefert uns die Existenz gleichgrdig bsolut stetiger Integrle von ( f n ) n N. Dmit besitzt uch (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Mit dem Stz von Vitli, Stz 3.12, folgern wir nun, dss (f n ) n N gegen f in L 1 (, b) konvergiert. Des Weiteren gilt für jede beliebige messbre Teilmenge [, b] die bschätzung b f n (x) dx f(x) dx f n (x) f(x) dx. (3.21) Wegen der Konvergenz von (f n ) n N gegen f in L 1 (, b) gilt b lim f n (x) f(x) dx = 0. Die Ungleichung (3.21) liefert uns dnn die Bedingung (ii). Nun sei die Bedingung (ii) vorusgesetzt. Dnn liefert uns ds Korollr 3.10 die Existenz gleichgrdig bsolut stetiger Integrle von (f n ) n N und mit dem Stz von Vitli, Stz 3.12, erhlten wir die Bedingung (iii). Jetzt sei die Bedingung (iii) vorusgesetzt. Dnn erhlten wir die bschätzung b b b f n (x) dx f(x) dx f n (x) f(x) dx. (3.22) 26

30 D nch Vorussetzung (iii) b lim f n (x) f(x) dx = 0 gilt, erhlten wir mithilfe der Ungleichung (3.22) die Bedingung (i). Im Stz von Lebesgue benötigen wir zusätzlich zur punktweisen Konvergenz von (f n ) n N gegen f eine punktweise Mjornte für (f n ) n N, um die Konvergenz in L 1 (, b) zu erhlten. Der folgende Stz liefert uns die Konvergenz in L 1 (, b), flls wir eine spezielle Mjornte für die Norm von (f n ) n N vorussetzen. Stz 3.15 Sei (f n ) n N L 1 (, b) eine Funktionenfolge, die fst überll punktweise gegen eine Funktion f L 1 (, b) konvergiert. Zusätzlich gelte f n 1 f 1 (3.23) für lle n N. Dnn konvergiert (f n ) n N gegen f in L 1 (, b). Beweis. Zuerst definieren wir uns die Folge von Hilfsfunktionen (g n ) n N L 1 (, b) mit g n (x) := f n (x) f n (x) f(x). Dnn gilt g n (x) f n (x) f n (x) f(x) = f(x) für fst lle x [, b]. D zusätzlich noch lim g n(x) = f(x) für fst lle x [, b] gilt, erhlten wir mithilfe des Stzes von Lebesgue b lim g n (x) dx = b f(x) dx. (3.24) Insgesmt ergibt sich mit der Ungleichung (3.23) für die Norm der Differenz von (f n ) n N und f die bschätzung f n f 1 = b f n (x) f(x) dx = b b f n (x) g n (x) dx f(x) dx b g n (x) dx. 27

31 Die rechte Seite dieser Ungleichung konvergiert nch Gleichung (3.24) gegen Null. Somit gilt lim f n f 1 = 0. Flls die Konstnte vor der Norm von f in der Ungleichung (3.23) größer ls eins ist, gilt die ussge jedoch nicht. Dzu betrchten wir ds folgende Beispiel. Beispiel 3.16 Wir definieren für ein c > 0 1 für 1 x 1 2 und 1 2 x 1, f n : [ 1, 1] R, f n (x) = cn für 1 2n x 1 2n, 0 sonst. Dnn konvergiert (f n ) n N offensichtlich fst überll punktweise gegen f mit 1 für 1 x 1 f(x) = 2 und 1 2 x 1, 0 sonst. Für die Normen von (f n ) n N und f erhlten wir folgendes f n 1 = dx + Zusmmen ergibt dies n 1 dx + cn dx = ( cn 2n + 1 ) 2n 2n f 1 = dx f n 1 = (1 + c) f 1. 1 dx = 1. Dmit ist die Konstnte vor der Norm von f in Gleichung (3.23) größer eins. = 1 + c, Jedoch konvergiert (f n ) n N nicht gegen f in L 1 (, b). Um dies zu zeigen, betrchten wir die Differenz n für 1 f n (x) f(x) = 2n x 1 2n, 0 sonst. nlog zu Beispiel 3.3 (ii) erhlten wir, dss (f n f) n N keine gleichgrdig bsolut stetigen Integrle besitzt. D (f n f) n N fst überll punktweise gegen Null konvergiert, liefert uns der Stz von Vitli, Stz 3.12, dss (f n ) n N nicht gegen f in L 1 (, b) konvergiert. 28

32 3.3 Der Stz von de l Vllée-Poussin In diesem bschnitt stellen wir den Stz von de l Vlleée-Poussin vor. Er liefert uns eine Chrkterisierung von Funktionenfolgen, die gleichgrdig bsolut stetige Integrle besitzen. Zunächst benötigen wir ds folgende Lemm. ϕ(s) Lemm 3.17 Sei ϕ: [0, ) [0, ) eine Funktion mit lim s s es zu jedem M > 0 ein C(M) > 0, so dss =. Dnn gibt s 1 ϕ(s) + C(M) M für lle s 0 gilt. ϕ(s) Beweis. Sei M > 0 beliebig. D lim s s = ist, gibt es ein C(M) > 0, so dss für lle s C(M) folgendes gilt 1 1 ϕ(s) M s. Hierus erhlten wir für lle s 0 s 1 ϕ(s) + C(M). M Nun kommen wir zum Stz von de l Vlleé-Poussin. Der vorgestellte Beweis ist [1, Theorem 2.4.4] entnommen. Stz 3.18 (de l Vlleé-Poussin) Sei (f n ) n N L 1 (, b). Dnn sind folgende ussgen äquivlent: (i) (f n ) n N besitzt gleichgrdig bsolut stetige Integrle. (ii) Es existiert eine Funktion ϕ: [0, ) [0, ) mit lim s ϕ(s) s = und sup n N b ϕ( f n (x) ) dx < Beweis. Es gelte (ii). Sei ε > 0 und n N beliebig. Für eine Teilmenge [, b] und ein M > 0 erhlten wir mit Lemm 3.17 die folgende Ungleichung f n (x) dx 1 ϕ( f n (x) ) dx + C(M)λ() M 1 M sup n N b ϕ( f n (x) ) dx + C(M)λ(). 29

33 Wir wählen M = 2 ε sup b n N ϕ( f n(x) ) dx und δ = ε f n (x) dx < ε 2 + ε 2 = ε. 2C(M) Somit besitzt (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Für die Umkehrung sei uf [4, Theorem 22] verwiesen.. Flls λ() < δ ist, gilt us diesem Stz erhlten wir beispielweise, dss eine Folge (f n ) n N L 1 (, b) mit der Eigenschft b sup n N (f n (x)) 2 dx < gleichgrdig bsolut stetige Integrle besitzt. n dieser Stelle beenden wir diesen bschnitt, d der Fokus dieser rbeit n nderen Stellen liegt. 3.4 Die Konvergenz im Steklov-Mittel In diesem bschnitt beschäftigen wir uns mit der Existenz konvergenter Teilfolgen in L 1 (, b). Hinreichend dfür ist die Kompktheit der Folge (f n ) n N L 1 (, b). Deswegen werden wir die Kompktheitsbedingungen von Kolmogoroff für L 1 (, b) vorstellen. Im Jhr 1931 bewies. Kolmogoroff die Bedingung für Mengen von Funktionen us L p mit p > 1, die uf beschränkten Teilmengen des R d definiert sind [8]. J. Tmrkin bewies die Bedingung für den unbeschränkten Fll im Jhr 1932 [12]. Im Jhr 1933 lieferte dnn. Tuljkov in [14] den Beweis für die Bedingungen im Rum L 1 (R d ). Zunächst definieren wir die Steklov-Funktion. Definition 3.19 Sei f L 1 (, b). ußerhlb von [, b] setzen wir f mit null fort. Dnn heißt für h > 0 Steklov-Funktion von f. f h : [, b] R, f h (x) = 1 2h x+h x h f(t) dt Bemerkung. D f h (x) = 1 2h (F (x + h) F (x h)) mit F (x) = x h f(t) dt gilt und F nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung stetig ist, erhlten wir somit uch die Stetigkeit von f h. Dmit ist f h insbesondere uch integrierbr. Zunächst benötigen wir die folgenden Lemmt. Lemm 3.20 Sei f L 1 (, b) und f h die Steklov-Funktion von f. Dnn gilt f h 1 f 1. 30

34 Beweis. Zuerst betrchten wir den Fll f 0. Mit dem Stz von Fubini und der Substitutionsregel erhlten wir 2h b f h (t) dt = = b t+h t h h b h f(x) dx dt = f(z + t) dt dz = b h h h b+z h +z f(z + t) dz dt f(x) dx dz. (3.25) D f 0 ist und ußerhlb von [, b] mit null fortgesetzt ist, gilt b+z +z f(x) dx b f(x) dx. Für die rechte Seite der Gleichung (3.25) ergibt sich somit h b+z h +z Insgesmt erhlten wir f(x) dx dz b h b h f h (t) dt f(x) dx dz = 2h b b f(x) dx f(x) dx. (3.26) Wir betrchten nun beliebige integrierbre Funktionen. Sei lso f L 1 (, b) beliebig. Wir bezeichnen mit f h die Steklov-Funktion von f. Dnn gilt f h (x) = 1 x+h f(t) dt 2h 1 x+h f(t) dt = f h. 2h und somit uch b x h us der Ungleichung (3.26) folgt b f h (x) dx f h (x) dx b b x h f h (x) dx. f(x) dx. Mithilfe unserer bisherigen Ergebnisse gelngen wir zur Ungleichung b f h (x) dx b f(x) dx. Lemm 3.21 Sei f L 1 (, b) und f h die Steklov-Funktion von f. Dnn gilt lim f h f 1 = 0. h 0 31

35 Beweis. Zunächst betrchten wir eine uf [, b] stetige Funktion f L 1 (, b). Sei x (, b) und h > 0 so klein, dss [x h, x + h] [, b] ist. Mit dem Mittelwertstz der Integrlrechnung erhlten wir f h (x) = 1 2h x+h x h f(t) dt = f(ξ), wobei ξ [x h, x + h] ist. Für jedes x (, b) gilt somit lim f h(x) = f(x). h 0 D f ls stetige Funktion uf einem kompkten Intervll beschränkt ist, gibt es ein M > 0, so dss f(x) M für jedes x [, b] ist. Dmit gilt uch f h (x) f(x) = 1 x+h f(t) dt f(x) 2h 2M x h für jedes x [, b]. Der Stz von Lebesgue liefert uns somit b lim h 0 f h (x) f(x) dx = 0. (3.27) Es sei nun f L 1 (, b) beliebig. ufgrund der Dichtheit von C([, b]) in L 1 (, b) gibt es zu jedem ε > 0 ein ϕ C([, b]) mit f ϕ 1 < ε. D (f ϕ) h = f h ϕ h ist, erhlten wir mit Lemm 3.20 die Ungleichung Somit ergibt sich f h ϕ h 1 = (f ϕ) h 1 f ϕ 1 < ε. f h f 1 f h ϕ h 1 + ϕ h ϕ 1 + ϕ f 1 < 2ε + ϕ h ϕ 1. D ϕ ls stetige Funktion die Ungleichung (3.27) erfüllt, gibt es ein h 0 > 0, so dss für lle 0 h h 0 ϕ h ϕ 1 < ε gilt. Insgesmt ergibt sich dmit für lle h h 0 die Ungleichung f h f 1 < 3ε. D ε > 0 beliebig ist, folgt die Behuptung. 32

36 Nun kommen wir zum Stz von Kolmogoroff. Der Beweis ist [9, S. 551] sowie [14] entnommen. Stz 3.22 (Kolmogoroff) Sei K L 1 (, b) eine beliebige Teilmenge. Dnn ist K genu dnn reltiv kompkt, wenn folgendes gilt: (i) K ist beschränkt in L 1 (, b). (ii) f h f 1 strebt für h 0 gleichmäßig in K gegen Null, d. h. für jedes ε > 0 gibt es ein h 0 > 0, so dss f h f 1 < ε für lle h < h 0 und lle f K ist. Beweis. Sei K reltiv kompkt. Dnn ist die Bedingung (i) offensichtlich erfüllt. Um die Bedingung (ii) zu zeigen, führen wir eine Widerspruchsbeweis durch. Wir nehmen n, sie sei nicht erfüllt. Dnn gibt es ein ε 0 > 0, eine Folge positiver reeller Zhlen (h n ) n N und eine Folge (f (n) ) n N K mit lim h n = 0 und f (n) h n f (n) 1 ε 0 für lle n N. D in einem metrischen Rum Folgenkompktheit äquivlent zur Überdeckungskompktheit ist, genügt es zu zeigen, dss (f (n) ) n N keine konvergente Teilfolge besitzt, um eine Widerspruch zur reltiven Kompktheit von K zu erhlten. ngenommen (f (n) ) n N besitzt eine konvergente Teilfolge. Diese bezeichnen wir wieder mit (f (n) ) n N. Dnn gibt es ein g L 1 (, b) mit lim f (n) g 1 = 0 und es gilt die Ungleichung ε 0 f (n) h n f (n) 1 f (n) h n g hn 1 + g hn g 1 + g f (n) 1 für lle n N. Durch nwendung des Lemms 3.20 uf den ersten Summnden erhlten wir ε 0 2 g f (n) 1 + g hn g 1 für lle n N. Nch Lemm 3.21 gibt es ein n 0 N, so dss für lle n n 0 gilt. Somit erhlten wir g hn g 1 < ε 0 2 g f (n) 1 > ε 0 4 für lle n n 0. Dies steht jedoch im Widerspruch dzu, dss (f (n) ) n N gegen g konvergiert. Dmit besitzt (f (n) ) n N keine konvergente Teilfolge. Dies impliziert wiederum, 33

37 dss K nicht reltiv kompkt ist. Wir setzen nun die Bedingungen (i) und (ii) vorus. Dnn gibt es ein M > 0, so dss f 1 M für lle f K ist. Für ein festes h > 0 gilt dnn für f K f h (x) 1 2h x+h x h f(t) dt 1 2h b f(t) dt M 2h, (3.28) d f ußerhlb von [, b] nch Definiton des Steklov-Mittels mit null fortgesetzt wird. Für f K setzen wir f hh (x) = 1 2h x+h x h f h (t) dt und bezeichnen für ein festes h > 0 die Menge ller f hh mit K hh. Es sei nun h > 0 fest. Dnn erhlten wir für f hh K hh mit der Ungleichung (3.28) f hh (x) = 1 2h x+h x h f h (t) dt 1 2h b f h (t) dt M (b ). (2h) 2 Somit sind die Funktionen us K hh gleichmäßig beschränkt. Im Weiteren sei B h (x) := [x h, x + h]. Für x, x [, b] erhlten wir dnn f hh (x ) f hh (x 1 ) = f h (t) dt 1 f h (t) dt 2h B h (x ) 2h B h (x ) ( 1 = f h (t) dt f h (t) dt 2h B h (x ) B h (x )\B h (x ) ( 1 = f h (t) dt f h (t) dt) 2h B h (x )\B h (x ) B h (x )\B h (x ) 1 f h (t) dt. 2h (B h (x )\B h (x )) (B h (x )\B h (x )) Mit der Ungleichung (3.28) ergibt sich somit B h (x ) B h (x ) f h (t) dt) f hh (x ) f hh (x ) M (2h) 2 λ((b h(x ) \ B h (x )) (B h (x ) \ B h (x ))) Konvergiert nun x gegen x, so erhlten wir lim λ((b h(x ) \ B h (x )) (B h (x ) \ B h (x ))) = 0. x x lso konvergiert f hh (x ) f hh (x ) gleichmäßig in f gegen Null. Dies wiederum impliziert, dss die Funktionen us K hh gleichgrdig stetig sind. Nch dem Stz von rzel- scoli [3, Theorem 4.25] ist dmit die Menge K hh reltiv kompkt im Rum der stetigen 34

38 Funktionen C([, b]) und dher uch reltiv kompkt in L 1 (, b). Sei nun ε > 0 beliebig. Dnn gibt es nch Lemm 3.20 ein h 0 > 0, so dss für lle h h 0 und für f K f hh f 1 f hh f h 1 + f h f 1 < 2ε gilt. Die Menge K lässt sich demnch beliebig genu durch die Menge K hh pproximieren. Dmit ist uch K reltiv kompkt in L 1 (, b) [9, S. 534, Stz 4]. n dieser Stelle belssen wir es mit den Kompktheitskriterien in L 1 (, b) und kommen zum nächsten Kpitel, indem wir uns der schwchen Konvergenz in L 1 (, b) widmen. 35

39 4 Schwche Konvergenz in L 1 (, b) 4.1 Vergleich strker und schwcher Konvergenz in L 1 (, b) In diesem bschnitt beschäftigen wir uns mit dem Vergleich von schwcher und strker Konvergenz in L 1 (, b). us der strken Konvergenz in L 1 (, b) folgt die schwche Konvergenz in L 1 (, b), d dies nch Stz 2.11 in beliebigen Bnchräumen gilt. Nun stellt sich die Frge, unter welchen Vorussetzungen wir us der schwchen Konvergenz in L 1 (, b) die strke Konvergenz in L 1 (, b) folgern können. Für punktweise konvergente Folgen in L 1 (, b) erhlten wir mit dem folgenden Stz die Äquivlenz von strker und schwcher Konvergenz in L 1 (, b). Stz 4.1 Sei (f n ) n N L 1 (, b) eine Funktionenfolge, die fst überll punktweise gegen eine Funktion f L 1 (, b) konvergiert. Dnn sind folgende ussgen äquivlent: (i) (f n ) n N konvergiert strk gegen f in L 1 (, b). (ii) (f n ) n N konvergiert schwch gegen f in L 1 (, b). Bevor wir zu dem Beweis des Stzes kommen, benötigen wir den folgenden Stz. Die ussge stmmt us [9, S. 174]. Stz 4.2 Sei (f n ) n N L 1 (, b) eine Funktionenfolge, die schwch gegen ein f L 1 (, b) konvergiert. Dnn besitzt (f n ) n N gleichgrdig bsolut stetige Integrle. Beweis. D (f n ) n N schwch gegen f konvergiert, gilt b lim f n (x)g(x) dx = b f(x)g(x) dx für lle g L (, b) und somit insbesondere uch für die chrkteristischen Funktionen χ für jede messbre Teilmenge [, b]. Hierus folgt lim f n (x) dx = lim b f n (x)χ (x) dx = b f(x)χ (x) dx = f(x) dx für lle messbren Teilmengen [, b]. Ds Korollr 3.10 liefert uns dmit die Existenz gleichgrdig bsolut stetiger Integrle von (f n ) n N. Nun kommen wir zu dem Beweis des Stzes

40 Beweis von Stz 4.1. Dss us der strken Konvergenz von (f n ) n N gegen f in L 1 (, b) die schwche Konvergenz folgt, erhlten wir mit Stz Nun setzen wir die Bedingung (ii) vorus. Dnn erhlten wir mithilfe des Stzes 4.2 die Existenz gleichgrdig bsolut stetiger Integrle von (f n ) n N. Mithilfe des Stzes von Vitli, Stz 3.12, folgern wir, dss (f n ) n N gegen f in L 1 (, b) konvergiert. Wir können die Vorussetzung der punktweisen Konvergenz im Stz 4.1, wie beim Stz von Vitli, durch die Konvergenz dem Mße nch ersetzen. Nun stellt sich die Frge, welche ussgen wir treffen können, flls wir keine punktweise Konvergenz vorussetzen. Ds folgende Beispiel zeigt uns, dss es nicht genügt, zusätzlich zur schwchen Konvergenz in L 1 (, b) die Konvergenz der Normen zu fordern, um die strke Konvergenz in L 1 (, b) zu erhlten. Ds Beispiel ist [1, S. 49, S. 54] entnommen. Beispiel 4.3 Für n N definieren wir f n : (0, π) R, x sin(nx) + 1. Dnn ist (f n ) n N L 1 (0, π). Um die schwche Konvergenz von (f n ) n N zu zeigen, betrchten wir zunächst die Funktion g n : (0, π) R, x sin(nx). Wir wollen zeigen, dss (g n ) n N schwch gegen null in L 1 (0, π) konvergiert. D L (0, π) L 1 (0, π) ist, genügt es zu zeigen, dss π lim 0 sin(nx)z(x) dx = 0 (4.1) für jedes z L 1 (0, π) gilt. D der Rum Cc (0, π) dicht liegt in L 1 (0, π), zeigen wir die ussge (4.1) zunächst für lle z Cc (0, π). Sei z Cc (0, π) beliebig. Dnn gilt mit der Regel der prtiellen Integrtion Dmit erhlten wir π 0 sin(nx)z(x) dx = π 0 π sin(nx)z(x) dx 1 n 0 cos(nx) z (x) dx. n π 0 z (x) dx. Betrchten wir nun den Grenzwert für n gegen unendlich, ergibt sich π lim 0 sin(nx)z(x) dx = 0 (4.2) 37

41 für lle z Cc (0, π). Mit einem Dichtheitsrgument erhlten wir nun die ussge für lle z L 1 (0, π). Dzu sei z L 1 (0, π) und ε > 0 beliebig vorgegeben. D der Rum Cc (0, π) dicht in L 1 (0, π) liegt, gibt es ein z ε Cc (0, π) mit z z ε 1 < ε. Es gilt π 0 sin(nx)z(x) dx = π 0 sin(nx)z ε (x) dx + π 0 sin(nx)(z(x) z ε (x)) dx. Dmit erhlten wir π π sin(nx)z(x) dx π sin(nx)z ε (x) dx + z(x) z ε (x) dx π (4.3) sin(nx)z ε (x) dx + ε. 0 D z ε C c (0, π) ist, existiert wegen der Gleichung (4.2) ein n 0 N, so dss π sin(nx)z ε (x) dx < ε 0 für lle n n 0 ist. Insgesmt erhlten wir hiermit für die Ungleichung (4.3) die bschätzung π sin(nx)z(x) dx < 2ε. 0 Dies impliziert die schwche Konvergenz von (g n ) n N gegen Null in L 1 (0, π). Drus erhlten wir leicht die schwche Konvergenz von (f n ) n N gegen f in L 1 (0, π), wobei f 1 ist. Denn es gilt π lim 0 (sin(nx) + 1)g(x) dx = lim = π 0 π 0 π sin(nx)g(x) dx + g(x) dx 0 f(x)g(x) dx für jedes g L (0, π). Des Weiteren gilt π lim f n 1 = lim sin(nx) + 1 dx = lim ((π + 1n ) (1 cos(nπ)) = π = f 1. 0 Jedoch konvergiert (f n ) n N nicht strk in L 1 (0, π). Denn ngenommen (f n ) n N konvergiert strk in L 1 (0, π). Dnn konvergiert (f n ) n N schwch in L 1 (0, π) gegen den selben Grenzwert. Somit ist f der einzige mögliche strke Grenzwert. ber es gilt f n f 1 = π Somit konvergiert (f n ) n N nicht strk in L 1 (0, π). 0 π n sin(nx) dx = n sin(nx) dx =