ist reelles lineares Funktional. x(t) ϕ(t) dt ist reelles lineares Funktional für alle ϕ L 2 (0, 1).

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1 Kapitel 4 Stetige lineare Funktionale 4.1 Der Satz von Hahn - Banach Definition 4.1. Sei X ein linearer normierter Raum über dem Körper K (R oder C). Ein linearer Operator f : X K heißt (reelles oder komplexes) lineares Funktional. K = R... reelles lineares Funktional K = C... komplexes lineares Funktional. Beispiel 4.2. (a) X = C[, 1], f(x) := x ( 1 2) ist reelles lineares Funktional. (b) X = C 1 [, 1], f(x) := x ( 1 2) ist reelles lineares Funktional. (c) X = L 2 (, 1) (Raum der quadratisch integrierbaren reellen Funktionen), f(x) := x(t) ϕ(t) dt ist reelles lineares Funktional für alle ϕ L 2 (, 1). (d) X = U reeller bzw. komplexer unitärer Raum mit Skalarprodukt (, ), Bemerkung. f(x) := (x, ϕ) ist reelles bzw. komplexes lineares Funktional für alle ϕ U. 1) Ein lineares Funktional ist ein spezieller linearer Operator. Es sind also alle für lineare Operatoren bekannte Begriffe wie Stetigkeit, Beschränktkeit, Norm usw. erklärt. Falls ein Funktional f stetig und damit beschränkt ist, also f L(X, K), so gilt f(x) f x x X. 2) Für lineare Unterräume L X interessiert die Fortsetzbarkeit auf L beschränkter linearer Funktionale f von L auf X ohne die Norm zu vergrößern. Satz 4.3. Sei X ein linearer normierter Raum, L X ein überall dichter Teilraum. Ist A : L Y ein linearer beschränkter Operator in einem Banachraum Y, so kann A zu einem beschränktem linearen Operator A L(X, Y ) ohne Vergrößerung der Norm fortgesetzt werden, d.h. A L(X, Y ) mit A x = A x x L und A = A. 6

2 Beweis. Wählen x X mit x L. L ist überall dicht = {x n } L mit x n x, {x n } ist Cauchyfolge, d.h. ε > n (ε) : x n x m < ε n, m > n. Wir betrachten {A x n } = {y n } und erhalten y n y m = A (x n x m ) A x n x m < ε = {y n } ist auch Cauchyfolge. Weil Y vollständig ist: y := lim n y n. Setzen A x := y. Hier ohne Beweis: y hängt nicht von der speziellen Folge {x n } ab, A ist linear (siehe Ljusternik/Sobolev S.87) Berschränktheit von A: A x n A x n n, Grenzübergang n = A x A x, also ist A beschränkt und A = A. Bemerkung: Der im Satz 4.3 konstruierte Operator A ist eine stetige Fortsetzung des auf dem überall dichten Unterrraum L des Banachraums X definierten stetigen linearen Operators A auf ganz X. Satz 4.4 (Fortsetzungssatz von Hahn - Banach). Es sei X (reeller oder komplexer) linearer normierter Raum und L X linearer Unterraum. Dann kann jedes auf L definierte lineare stetige Funktional f : L K zu einem stetigen linearen Funktional F gleicher Norm auf ganz X fortgesetzt werden, d.h. F L(X, K) : F = f und F (x) = f(x) x L. Beweis. Wir beweisen den Satz nur für den Fall, dass X ein reeller Hilbertraum ist. Für den allgemeinen Fall sei auf Werner (Abschnitt III.1) oder Heuser (Kapitel 36) verwiesen. Nach Satz 4.3 kann f auf L fortgesetzt werden ohne die Norm zu ändern. Die Fortsetzung wird wieder mit f bezeichnet und die Projektion auf L mit P. Es gilt: X = L L = x X : x = x 1 +x 2, x 1 = P (x) L, x 2 L (eindeutige Zerlegung von x). Definieren F (x) := f(x 1 ) = f(p (x)). F ist eine lineare Abbildung mit F (x) = f(x) x L. Zusätzlich gilt: F (x) = f(x 1 ) f x 1 f ( x x 2 2) 1 2 = f ( x (x 1, x 2 ) + x 2 2 ) 1 2 = f x1 + x 2 = f x = = F f = F = f = Behauptung. Bemerkung. X muss nicht vollständig sein, L muss nicht abgeschlossen und im Gegensatz zu Satz 4.3 muss L auch nicht überall dicht in X sein. Folgerung 4.5. Sei X ein linearer normierter Raum, x X, x. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional f auf X mit f = 1 und f(x ) = x. Beweis. Sei x und L := span {x }. Dann gilt: x L x = t x, t R. Definieren ϕ(x) := t x, ϕ ist lineares Funktional mit ϕ(x ) = x auf L. Wegen ist ϕ stetig mit ϕ = 1. Aus dem Satz von Hahn-Banach folgt und damit die Behauptung. ϕ(x) = t x = t x = t x = x f L(X, K) : f = ϕ = 1 und f(x) = ϕ(x) x L 61

3 Definition 4.6. Sei X ein linearer Raum über K, c K gegeben, f sei ein nichttriviales lineares Funktional auf X. Dann heißt die Menge H := {x X : f(x) = c} Hyperebene in X. Bemerkung. (i) Jede Hyperebene H ist lineare Mannigfaltigkeit (verschobener linearer Unterraum). (ii) Ist f zusätzlich stetig, dann ist H eine abgeschlossene Hyperebene. Folgerung 4.7. Sei X ein linearer normierter Raum, x 1, x 2 X und x 1 x 2. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional f mit f(x 1 ) f(x 2 ). Beweis. x := x 1 x 2. Folgerung 4.5: f mit f(x ) = x und f beschränkt, d.h. stetig = f(x 1 x 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ). Sei jetzt X ein reeller normierter Raum. Geometrische Interpretation: Sei f(x 1 ) < f(x 2 ), c := 1 2 (f(x 1) + f(x 2 )), H := {x : f(x) = c}. Dann folgt: f(x 1 ) < f(x) < f(x 2 ) x H, d.h. Hyperebene H trennt die Punkte x 1 und x Der duale Raum Definition 4.8. Es sei X ein reeller linearer normierter Raum. Den Raum L(X, R) aller stetigen reellen linearen Funktionale auf X bezeichnet man als den zu X dualen Raum X mit der Norm f X := sup f(x). x =1 Analog kann man den dualen Raum zu einem komplexen Raum X mittels der Beziehung X := L(X, C) einführen. Man definiert dann allerdings meist (λ f)(x) := λ f(x), um den Fall f(x) = (x, ϕ) im unitären Raum bequem behandeln zu können. Hilfreich ist die Einführung des bezüglich beider Komponenten linearen Dualitätsprodukts, in der Form f(x) = x, f, x X, f X. 62

4 Bemerkung. (i) X ist stets vollständig, da R bzw. C vollständig sind. (ii) Mit f(x) f L(X,R) x X gilt analog zur Cauchy-Schwarzschen Ungleichung x, f x X f X x X, f X. (iii) Die Konvergenz von Folgen von Funktionalen in X im Sinne der dort definierten Norm nennen wir auch starke Konvergenz. Es gibt vielfältige Darstellungen für Elemente des Dualraums. Beispiel 4.9. Für X = C[, 1] und das stetige Funktional f(x) := x ( 1 2), f X gibt es die alternative Schreibweise als Stieltjes Integral f(x) = g(t) = x(t) dg(t), {, t < , t 1. 2 Satz 4.1 (Satz von Riesz). Es sei H ein reeller oder komplexer Hilbertraum mit Skalarprodukt (, ) und f H ein gegebenes stetiges lineares Funktional auf H. Dann existiert genau ein u H mit f(x) = (x, u) x H und f H = u H. Umgekehrt definiert jedes u H auf diese Weise ein f H mit f H = u H. Beweis. Sei u H gegeben, f(x) := (x, u) ist lineares Funktional. Wegen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt f(x) x H u H. Damit ist f beschränkt mit f H u H. Für x = u erhält man Sei f H gegeben. f(u) = (u, u) = u 2 H = f H = u H. Fall 1: f, f(x) = (x, ), d.h. Darstellung gilt mit u =. Fall 2: f = x 1 H, f(x 1 ) = 1, f stetig = L := {x H : f(x) = } ist abgeschlossen. Nun ist H = L L, wobei o.b.d.a. x 1 L vorausgesetzt wird. Wir zeigen zunächst H = L span{x 1 }. Sei x H gegeben, f(x) = β = f(x) β f(x 1 ) =, d.h. y := x β x 1 L = x = y + β x 1 mit y L = jedes x H läßt sich zerlegen in y L und β x 1 L = L =span{x 1 }. 63

5 Setzen u := x 1 x 1. Sei x = y +β x 2 1 mit y L = f(x) = f(y)+β f(x 1 ) = β. Andererseits erhalten wir ( ) x 1 (x, u) = y + β x 1, x 1 2 = ( ) x 1 y, x 1 }{{ 2 } =, da y x 1 +β x 1 2 x 1 2 = β = f(x). Zum Beweis der Eindeutigkeit des Darstellungselements u nehmen wir an, dass f(x) = (x, u) = (x, v) x H gelte. Daraus folgt aber (x, u v) = x H und folglich u = v. Bemerkung. Nun ist klar, warum (λ f)(x) = λ f(x) gesetzt wurde, denn (λ f)(x) = (x, λ u) = λ(x, u) = λf(x). Folgerung (i) Die Abbildung u f =: J u von H in H heißt Riesz scher Isomorphismus. Sie ist stetig, normerhaltend und linear. (ii) Aus dem Satz von Riesz folgt, dass H und H zueinander isomorph und isometrisch sind. Sie werden deshalb miteinander identifiziert, d.h. H = H. (iii) Es gilt im Sinne dieser Idenifikation: (R n ) = R n. Sammlung von Dualräumen zu einigen üblichen Grundräumen Definition NBV[a, b] ist Raum der auf [a, b] definierten reellwertigen Funktionen g mit beschränkter Variation, welche linksseitig stetig sind und der Normalisierungsbedingung g(a) = genügen. Bemerkung. NBV[a, b] ist mit der Norm ein Banachraum. g NBV [a,b] := b g(t) := t=a sup a x... x n b n g(x i ) g(x i 1 ) Satz Es gilt (C[a, b]) = NBV [a, b]. Speziell existiert zu jedem f (C[a, b]) genau eine Funktion g NBV [a, b], sodass die Darstellung ( ) f(x) = b a i=1 x(t) d g(t) x C[a, b] gilt. Dabei folgt aus ( ), dass f (C[a,b]) = g NBV [a,b]. Umgekehrt definiert jedes g NBV [a, b] durch ( ) ein f (C[a, b]) mit gleicher Norm. Einen Beweis dieses auch auf F. Riesz zurückgehenden Satzes findet man z.b. in Ljusternik/Sobolev, S

6 Tabelle der Dualräume einiger reeller Banachräume: X X Form von f(x) Norm von f b b C[a, b] NBV [a, b] f(x) = x(t) dg(t) g(t) L 1 (a, b) L (a, b) f(x) = a b a x(t)y(t) dt b L p (a, b) L q (a, b) ( = 1) f(x) = x(t)y(t) dt p q a l 1 m = l f(x) = ξ i η i, x = {ξ i }, y = {η i } l p l q ( = 1) f(x) = ξ p q i η i, x = {ξ i }, y = {η i } i=1 i=1 t=a y L (a,b) y L q (a,b) y l y l q Bemerkung. (i) Einfach läßt sich zeigen: Elemente aus gegebenen Räumen gehören zu X. Jedoch ist es schwierig zu beweisen, dass jedes Element von X in dieser Form dargestellt werden kann. (ii) (L 1 (a, b)) = L (a, b) aber (L (a, b)) L 1 (a, b), es gilt jedoch L 1 (a, b) (L (a, b)). 1 (iii) Mit 1 < p <, p + 1 q = 1 = 1 < q < gilt (Lp (a, b)) = L q (a, b) und (L q (a, b)) = L p (a, b). Dies führt auf den Begriff des reflexiven Raumes. 4.3 Der biduale Raum Für jeden linear normierten Raum X ist der Dualraum X ein Banachraum. Der dazu duale Raum X = (X ) heißt bidualer Raum von X. Jedes x X definiert über ψ x ( f ) := f(x) = x, f X X ein lineares stetiges Funktional über f X und ist damit ein Element des bidualen Raums. Formal kann man auch schreiben f(x) = ψ x (f) = f, ψ x X X. Grundlage ist die Linearität des Dualitätsprodukts bezüglich beider Komponenten. Die Stetigkeit von ψ x ergibt sich aus ψ x (f) = f(x) x X f X f X = ψ x X x X = Stetigkeit von ψ x. Wir definieren die Zuordnung Π : X X mit Π(x) = ψ x, im Allgemeinen gilt nur Π(X) X. 65

7 Definition Gilt für den linearen normierten Raum X die Beziehung Π(X) = X, so heißt der Raum X reflexiv. Kurzschreibweise: X = X. Beispiel X = H Hilbertraum mit H = H = H = H = H ist reflexiv. 2. X = L p (a, b) (1 < p < ) ist reflexiv, nicht aber X = L 1 (a, b) und X = L (a, b). 3. X = l p, (1 < p < ) ist reflexiv, nicht aber X = l 1 und X = l. 4. X = C[a, b] ist ebenfalls nicht reflexiv. Bemerkung. Π ist eine isometrische Abbildung, denn für x X mit x (der Fall x = ist trivial) ergibt sich aus Folgerung 4.5 die Existenz eines f X mit f = 1, f (x) = x = ψ x (f ) = f (x) = x = x f = ψ x X x X. Da ψ x X x X bereits beim Nachweis der Stetigkeit gezeigt wurde, folgt nunmehr ψ x X = x X. 4.4 Adjungierte Operatoren Seien X, Y lineare normierte Räume, A L(X, Y ), f Y gegeben. Konstruieren neues Funktional g(x) := f(a x) = A x, f. Offenbar ist g linear und stetig, d.h. g X. Die Abbildung f g von Y in X nennen wir A, d.h. A : Y X, f g := A f. Definition Der oben eingeführte Operator A : Y X heißt der zu A adjungierte Operator. Er ist definiert durch A x, f = x, A f x X f Y. Satz Ist A L(X, Y ), so gilt A L(Y, X ) und A = A. Beweis. (i) A ist offensichtlich linear. (ii) A ist beschränkt, denn g(x) = (A f)(x) = f(a x) f A x x X f Y. x = 1 = A f A f f Y = A L(Y, X ) und A A. (iii) Sei x X mit A x (sonst A = = A = ). Folgerung 4.5 = f Y mit f = 1 und f (A x ) = A x. A x = f (A x ) = x, A f x A f x A f = A x =1 = A A = A = A. 66

8 Beispiel Wie sieht A aus? 1. Wir betrachten X = R n, Y = R m durch Einführung der Euklidischen Norm als Hilberträume und identifizieren nach dem Satz von Riesz X = R n, Y = R m. Der lineare Operator A L(X, Y ) besitzt eine Matrixdarstellung A R m n. Sei nun f Y gegeben, dann gilt Ax, f = (A x, y) = (x, A y) = x, A f. Dabei bezeichnen y R m den Riesz-Respräsentanten von f und A y R m den Riesz-Respräsentanten von A f. Im Sinne der Matrixdarstellungen entspricht das Bilden des adjungierten Operators dem Transponieren der Matrix. 2. Wir betrachten nun X = Y = L p (, 1) mit 1 < p <. [A x](s) := x(s) wobei k : [, 1] 2 R stetig sei. k(s, t) x(t) dt, s 1, Wie sieht A aus? Wir identifizieren X = Y = L q (, 1) mit = 1, denn die p q Elemente f aus Y können mit Funktionen y aus L q (, 1) identifiziert werden. A x, f = = (A x)(s) y(s) ds x(s) y(s) ds k(s, t) x(t) dt y(s) ds = = x(s) y(s) ds y(s) k(s, t) x(t) ds dt x(s) y(s) ds y(t)k(t, s) x(s) dt ds (Fubini) (Umbezeichnung) = x(s) y(s) L p k(t, s) y(t) dt ds = x, A f. } {{ } L q Bei Identifizierung kann man so auch schreiben: [A y](s) = y(s) k(t, s) y(t) dt, s 1. 67

9 4.5 Schwache Konvergenz von Elementen und Funktionalen X sei in diesem Abschnitt stets ein reeller Banachraum. Definition Eine Folge {x n } aus X heißt für n schwach konvergent gegen x X, falls f(x n ) = x n, f x, f = f( x) f X gilt. Schreibweise : x n x. Das folgende Beispiel zeigt, dass die schwache Konvergenz wirklich schwächer ist als die starke Konvergenz. Beispiel 4.2. X = L 2 sin nt (, 2π), x n (t) = π (n = 1, 2,..., t 2π), x n 2 L 2 (,2π) = 1. Diese Folge bildet ein ONS im Hilbertraum, X und konvergiert schwach gegen das Nullelement: Sei dazu f X gegeben. Weil X ein Hilbertraum ist, sichert der Satz von Riesz die Existenz eines u X mit Weiter ist c n := f(x n ) = 1 π f(x) = 2π 2π x(t) u(t) dt x X. sin(nt) u(t) dt der n-te Fourierkoeffizient von u und es gilt die Besselsche Ungleichung Es gilt für alle u X: c 2 n u 2 L 2 (,2π) = f 2 X < = c n für n. n=1 und damit f(x n ) = (x n, u) = c n für n x n, f, f = f X = x n. Aber {x n } ist keine Cauchyfolge, insbesondere konvergiert {x n } nicht stark, denn wie für jedes ONS haben wir x n x m 2 = x n 2 + x m 2 = 2. Hier speziell ist die Formel eine Grundlage dafür. Bemerkungen. 2π sin(mt) sin(nt) dt = für n m (i) x n x = x n x, weil x n x, f x n x f gilt. 68

10 (ii) Der schwache Grenzwert ist eindeutig. Beweis: x n x, x n y = f(x n ) f(x) = f(y) f X aber für x, y X mit x y f X mit f(x) f(y) (vgl. Folgerung 4.5). Definition Eine Folge {f n } aus X heißt schwach -kovergent gegen f X, wenn für alle x X gilt: f n (x) f(x) für n, d.h. x, f n x, f x X. Schreibweise: f n f. Aus dem Satz von Banach-Steinhaus folgt: Satz f n f genau dann, wenn (i) f n X K n N, (ii) f n (x) f(x) x aus einem linearen Teilraum L X mit L = X. Anwendung: Wir betrachten in X = C[, 1] die Konvergenz von Quadraturformeln x(t) dt k n k= c n k x(t n k). n-ter Ordnung, die exakt sind für Polynome n-ter Ordnung: f(x) := x(t) dt, f X, f n (x) := k n k= c n k x(t n k), f n X. Konvergenz heißt: f n (x) f(x) x X, also f f. Wir wenden den obigen Satz an mit L als Menge aller Polynome. Wegen f n (x) = f(x) n > n und x L ist (ii) erfüllt und es verbleibt die Überprüfung von (i): f n = sup f n (x) = sup x =1 max t 1 x(t) =1 k n k= kn c n k x(t n k) c n k K. Die Quadraturformel konvergiert, wenn ein endliches K existiert mit k n k= c n k K n. Es folgen einige weitere Aussagen zur schwachen Konvergenz: Bemerkung. (i) Im Raum R n stimmen schwache und starke Konvergenz überein. k= 69

11 (ii) Es seien x n x und A L(X, Y ). Dann gilt A x n A x. Wir sagen: Ein stetiger linearer Operator ist schwach stetig. Beweis. f Y A x n, f = x n, A f x, A f = A x, f. X (iii) Es sei X = H ein Hilbertraum. Schwache Konvergenz und Konvergenz der Norm ziehen die starke Konvergenz nach sich, d.h. es gilt die Kadec-Klee-Eigenschaft x n x und x n x = x n x. Beweis. x n x 2 = x n 2 (x n, x) (x, x n ) + x 2. x 2 x 2 Verallgemeinerung (M. I. Kadec): Ist X ein separabler normierter Raum, so kann eine äquivalente Norm zu in X gefunden werden, sodass x n x und x n x = x n x. (iv) Mit x n x gilt x n K, d.h. auch schwach konvergente Folgen sind beschränkt. Weiter gilt x lim inf x n. n 7