Kompakte Operatoren in Hilberträumen

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1 Kompakte Operatoren in Hilberträumen 1 Vorbemerkungen Im Folgenden bezeichne H immer einen seperablen Hilbertraum über C Mit B(H 1, H 2 ) bezeichnen wir die Menge aller beschränkten linearen Operatoren von H 1 nach H 2 Weiters setzen wir B(H) = B(H, H) Wir verwenden im Weiteren folgende Bezeichnungen und Symbole: I : H H, x x bezeichnet den Identitätsoperator T bezeichnet die Hilbertraumadjungierte eines Operators T B(H) ρ(t ) bezeichnet die Resolventenmenge eines Operators T B(H), dh ρ(t ) = {λ C : (T λi) ist invertierbar} Das Spektrum σ(t ) eines Operators T B(H) wird definiert als σ(t ) = C\ρ(T ) Der Spektralradius r(t ) eines Operators T B(H) bezeichnet die Zahl r(t ) = sup{ λ : λ σ(t )} Als nächstes benötigen wir den Begriff eines kompakten Operators Definition 11 Ein Operator T aus B(H 1, H 2 ) heißt kompakt, wenn T (U) kompakt ist, wobei U die Einheitskugel in H 1 bezeichnet Die Menge aller kompakten Operatoren wird mit K(H 1, H 2 ) bezeichnet, und K(H, H) mit K(H) Wir setzen folgende Tatsachen über kompakte Operatoren und Spektren als bekannt voraus: Ist T B(H 1, H 2 ), und ist dim ran T <, so ist T kompakt K(H 1, H 2 ) ist ein bezüglich der Operatornorm abgeschlossener linearer Teilraum von B(H 1, H 2 ) Ist T B(H 1, H 2 ) und S B(H 2, H 3 ), und ist einer der beiden Operatoren kompakt, so sind ST und T S kompakt T B(H 1, H 2 ) ist genau dann kompakt, wenn seine adjungierte T B(H 2, H 1 ) kompakt ist σ(t ) ist für alle T B(H) eine kompakte nichtleere Teilmenge von C σ(t ) R für alle selbstadjungierten T B(H), dh für alle T B(H) mit T = T r(t ) = T für alle normalen T B(H), dh für alle T B(H) mit T T = T T Im folgenden bezeichnen wir mit c 0 die Menge aller reellen Nullfolgen Der bekannte Spektralsatz für selbstadjungierte kompakte Operatoren lässt sich dann wie folgt formulieren 1

2 Satz 12 (Spektralsatz für selbstadjungierte kompakte Operatoren) Sei T K(H) selbstadjungiert, dann existiert eine Orthonormalbasis (e n ) n N von H und Folge (λ k ) k N c 0, so dass T x = λ k (x, e k )e k, x H Dabei sind die λ k die entsprchend ihrer Vielfachheit gezählten Eigenwerte von T, e k ist ein Eigenvektor zu λ k und die Reihe konvergiert punktweise absolut Eine äquivalente Darstellung ist T = λ k E k Hierbei bezeichnen die λ k wieder die Eigenwerte von T, E k die Projektion auf den Eigenraum von λ k und die Reihe konvergiert in der Operatornorm 2 Singulärwertezerlegung Kompakte Operatoren sind jene Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Räumen, die sich am leichtesten mit Matrizen (also linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen) vergleichen lassen, da sich einige Ergebnisse über Matrizen auf kompakte Operatoren erweitern lassen Ersetze man in diesem Abschnitt unendlichdimensionale Hilberträume durch endlichdimensionale Vektorräume, erhält man also bekannte Ergebnisse aus der linearen Algebra Zunächst benötigen wir für unsere Überlegungen den Begriff eines positiven Operators Definition 21 Ein selbstadjungierter Operator T K(H) heißt Positiv, wenn für alle x H gilt (T x, x) 0 Wir schreiben dann T 0 Lemma 22 Ein selbstadjungierter Operator K(H) ist positiv σ(t ) [0, + ) = folgt aus dem Spektralsatz (siehe Rechnung im Beweis des nächsten Satzes) und = ist klar, denn für Eigenwerte ist (T x, x) = λ x 2 Damit erhalten wir als erstes Ergebnis den folgenden Satz Satz 23 (Quadratwurzelsatz) Sei T K(H) selbstadjungiert und positiv Dann existiert genau ein positiver selbstadjungierter Operator S K(H) mit S 2 = T Wir schreiben S = T 1/2 Sei T x = λ k (x, e k )e k Da T 0, sind alle λ k 0 Definiere S durch Sx = λk (x, e k )e k Es gilt klarerweise S 2 = T Weiters gilt (Sx, x) = ( λk (x, e k )e k, x) = = λk (x, e k )(e k, x) = λk (x, e k )(x, e k ) = (x, λk (x, e k )e k ) = (x, Sx), 2

3 also ist S selbstadjungiert Außerdem sieht man mit Hilfe von (Sx, x) = λk (x, e k ) 0, dass S 0 Berücksichtigen wir, dass die Norm eines selbstadjungierten Operators gleich dem größten Eigenwert ist, so folgt die Kompaktheit aus N S λk (, e k )e k = λk (, e k )e k = sup λk 0 für N k>n k=n+1 und der Tatsache, dass K(H) abgeschlossen ist Sei nun R K(H) ein weiterer Operator mit R 0, R 2 = T und R = R Schreibt man laut Spektralsatz Rx = ν k(x, f k )f k, so folgt, dass T x = ν2 k (x, f k)f k Daraus folgt sofort, dass die ν 2 k die Eigenwerte von T sind und die f k die zugehörigen Eigenvektoren Da R 0, folgt daraus, dass ν k für alle k positiv ist Das heißt, die Reihendarstellungen von S und R sind bis auf Umordnung identisch, und da die Reihen punktweise absolut konvergieren, muss S = R gelten Das folgende Lemma zeigt nun, wie man jedem beliebigen kompakten Operator einen Operator zuweisen kann, der die Voraussetzungen des obigen Satzes erfüllt Lemma 24 Sei T K(H 1, H 2 ) Dann ist T T : H 1 H 1 positiv, selbstadjungiert und kompakt Daher ist T = (T T ) 1/2 wohldefiniert Betrachte für beliebiges x H 1 (T T x, x) = (T x, T x) = (x, T T x) Daraus folgt, dass T T selbstadjungiert ist Da der mittlere Term gerade T x ist, folgt T T 0 Dass der Operator kompakt ist, ist klar Wir können nun die aus der linaren Algebra bekannte Polarzerlegung von Matrizen auch für kompakte Operatoren zeigen Satz 25 (Polarzerlegung) Zu T K(H 1, H 2 ) existiert ein U B(H 1, H 2 ) mit T = U T U ist unitär, also isometrisch, zwischen (ker U) und ran U U ist durch die Forderung ker U = ker T eindeutig bestimmt Aus der Selbstadjungiertheit von T erhalten wir T x 2 = ( T x, T x) = (x, T 2 x) = (x, T T x) = (T x, T x) = T x 2 Daraus folgt für x, y H 1 mit x y T x T y = T (x y) = T (x y) = T x T y, also bildet T zwei Elemente auf ein einziges ab, genau dann, wenn T diese zwei Elemente auf ein einziges abbildet Daher ist die Abbildung U mit U( T x) = T x wohldefiniert und unitär von ran T nach ran T Wir setzen U isometrisch auf ran T ran T fort Setzen wir weiters U = 0 auf (ran T ) = ker T, so ist die Existenz von U gezeigt Aus obiger Gleichung folgt, dass 3

4 ker T = ker T ; daraus folgt die Eindeutigkeit Der nächste Satz, der der bekannten Singulärwertezerlegung entspricht, verallgemeinert nun den Spektralsatz für selbstadjungierte kompakte Operatoren auf einem Hilbertraum auf beliebige kompakte Operatoren zwischen nicht mehr notwendigerweise identischen Hilberträumen Satz 26 (Singulärwertezerlegung) Zu T K(H 1, H 2 ) existiert eine Orthonormalbasis (e n ) n N in H 1, ein Orthonormalsystem (f n ) n N in H 2 sowie eine Folge (s n ) n N c 0, so dass für alle x H 1 gilt: T x = s k (x, e k )f k Die Zahlen s 2 k sind die in ihrer Vielfachheit gezählten Eigenwerte von T T Die s k nennt man singuläre Zahlen oder Singulärwerte von T Die zu T gehörige Folge wird mit s n (T ) bezeichnet sei Sei T = U T die Polarzerlegung von T und die Darstellung von T laut Spektralsatz T x = s k (x, e k )e k, und weiters setzen wir f n = U(e n ) Dann haben die s k die gewünschten Eigenschaften und da U unitär ist, ist (f n ) n N ein Orthonormalsystem Wir erhalten aus diesem Satz nun einige Korollare: Korollar 27 Jeder Operator der Form T x = a n(x, e n )f n, mit (a n ) n N c 0 und (e n ) n N, (f n ) n N Orthonormalsysteme in in H 1 bzw in H 2, ist kompakt Weiter gilt ( a n ) n N = s n (T ) Die erste Aussage ist klar, da die Folge der Partialsummen gleichmäßig gegen T konvergiert Einfaches Nachrechnen zeigt, dass T = a n (, e n )e n gilt, woraus die zweite Aussage folgt Korollar 28 Die Operatoren mit endlichdimensionalem Bild liegen dicht in K(H 1, H 2 ) Folgt aus Korollar (27) und Satz (26) Korollar 29 Für T K(H 1, H 2 ) gilt T = s n (T ) Mit Hilfe von Satz (25) und der Tatsache, dass T selbstadjungiert ist und die s n (T ) die Eigenwerte von T sind, erhalten wir T = sup T x = sup U T x = sup T x = T = sup s n (T ) = s n (T ) x =1 x =1 x =1 n N 4

5 3 Nukleare Operatoren Laut Satz (26) definiert jeder Operator K(H) eine Nullfolge s n (T ) Man kann sich daher fragen, für welche Operatoren die zugehörige Folge im l 1 liegt Definition 31 Die Menge aller nuklearen Operatoren wird definiert als N (H) = { T K(H) : s n (T ) l 1} Ein Operator T N (H) heißt nuklearer Operator Bemerkung: Natürlich kann man sich für jedes p mit 1 p < fragen, ob s n (T ) l p Dies führt zur Theorie der sogenannten Schattenklassen, die viele Gemeinsamkeiten mit der Theorie der l p -Räume hat Satz 32 Für T K(H) sind äquivalent: (i) T N (H) (ii) Es gibt Folgen (y n ) n N und (z n ) n N in H mit y n = z n = 1 und eine Folge (a n ) n N l 1, so dass für alle x H T x = a n (x, z n )y n (iii) Es gibt Folgen (y n ) n N und (z n ) n N in H mit y n z n <, so dass für alle x H T x = (x, z n )y n Weiters gilt s n (T ) l 1 = inf a n l 1 = inf y n z n wobei das Infimum über alle (a n ) genommen wird, mit denen laut (ii) der Operator T dargestellt werden kann, bzw über alle Folgen (y n ), (z n ) mit denen laut (iii) T dargestellt werden kann (i) (ii): Folgt aus der Singulärwertezerlegung (ii) (i): Sei T x = a n(x, z n )y n eine solche Darstellung und sei T x = s k(x, e k )f k die Singulärwertedarstellung Dann gilt sowohl T e k = s k f k als auch T e k = a n(e k, z n )y n Also folgt mit der Cauchy-Schwarzschen und Besselschen Ungleichung: a n (e k, z n ) (y n, f k ) = ( a n 1/2 (e k, z n ) )( a n 1/2 (y n, f k ) ) s k = k, a n (e k, z n ) 2 1/2 k, k, a n (y n, f k ) 2 ( ) 1/2 ( ) 1/2 a n (e k, z n ) 2 a n (y n, f k ) 2 ( ) 1/2 ( ) 1/2 a n z n 2 a n y n 2 ( ) 1/2 ( 1/2 a n a n ) = 5 a n 1/2

6 Also ist s n (T ) l 1 (ii) (iii): trivial Der Zusatz folgt direkt aus obiger Rechnung Wir wollen nun zeigen, dass N (H) ein Banachraum ist Zuvor benötigen wir noch ein Lemma, dass es uns ermöglicht, die Vollständigkeit eines normierten Raumes zu zeigen Lemma 33 Sei (X, ) ein normierter Raum, dann sind äquivalent: (i) X ist vollständig (ii) Jede absolut konvergente Reihe konvergiert gegen ein x X (i) (ii): ist klar, denn ( N x n) N N ist Cauchyfolge (ii) (i): Sei (x n ) n N eine Cauchyfolge Wähle zu ɛ k = 2 k ein N k N mit x n x m 2 k für n, m N k Dann existiert eine Teilfolge mit x nk+1 x nk 2 k für alle k N Setzen wir y k = x nk+1 x nk, so gilt y k < Laut Voraussetzung existiert also ein y X mit K y y k = y (x nk+1 x n1 ) 0 für K Daher konvergiert eine Teilfolge von (x n ) n N Da (x n ) n N selbst eine Cauchyfolge ist, folgt, dass die Folge selbst konvergiert Satz 34 N (H) versehen mit der Norm T NUK = s n (T ) l 1 für T N (H) ist ein Banachraum Weiters gilt T T NUK Wir zeigen zuerst die Normabschätzung Sei dazu T x = s k(x, e k )f k Dann gilt T x = s k (x, e k )f k = s k (x, e k ) x s k l 1 = x T NUK Daraus folgt sofort T T NUK Hieraus erhalten wir auch sogleich T NUK = 0 T = 0 T = 0 Dass λt NUK = λ T NUK gilt, sieht man aus der Definition Seien nun T 1, T 2 N (H) Es gelte T i x = k s i,k(x, e i,k )f i,k Dann ist (T 1 + T 2 )(x) = s 1,1 (x, e 1,1 )f 1,1 + s 2,1 (x, e 2,1 )f 2,1 + s 1,2 (x, e1, 2)f 1,2 + s 2,2 (x, e 2,2 )f 2,2 +, und dies ist eine Darstellung von T 1 + T 2 laut Satz (32) (ii) mit a 2n = s 2,n und a 2n 1 = s 1,n Ebenfalls aus Satz (32) und der Dreiecksungleichung im l 1 folgt: T 1 + T 2 NUK a n l 1 s n (T 1 ) l 1 + s n (T 2 ) l 1 = T 1 NUK + T 2 NUK Für die Vollständigkeit wähle (T m ) m N N (H) mit m=1 T m NUK < Dann gilt T m m=1 T m NUK < m=1 6

7 Da K(H) ein Banachraum ist, existiert T = m=1 T m Laut Satz (32) gilt auch tatsächlich M T T m NUK s m,n T m NUK 0 m=1 m>m m>m Der nächste Satz besagt, dass die nuklearen Operatoren ein Ideal bilden Satz 35 Seien R, T B(H) und S N (H) Dann ist RST N (H) mit RST NUK R S NUK T Sei S = s n(, e n )f n Man sieht leicht, dass in diesem Falle RST = s n (, T e n )Rf n Es folgt laut Satz (32) RST NUK s n T e n Rf n R T s n Da N (H) ein Banachraum ist, können wir natürlich auch seinen Dualraum betrachten Im folgenden wird ein spezielles Funktional auf N (H) von interesse sein Um es zu definieren, benötigen wir zunächst folgendes Lemma Lemma 36 Sei T N (H), (e n ) n N sei eine beliebige Orthonormalbasis von H, und sei T x = a n(, x n )y n eine Darstellung von T mit (a n ) l 1 und x n = y n = 1 Dann gilt a n (y n, x n ) = wobei beide Reihen absolut konvergieren (T e n, e n ), Da (a n ) l 1 und (y n, x n ) 1 ist, konviergt die linke Reihe absolut Mit der Parsevalschen Gleichung gilt a n (y n, x n ) = a n (y n, e k )(e k, x n ) = a n (y n, e k )(e k, x n ) = (T e k, e k ) Daher konvergieren beide Reihen unbedingt zum selben Limes, also konvergiert auch letztere absolut Definition 37 Sei T N (H) und (e n ) n N eine Orthonormalbasis von H Die Spur von T wird definiert als tr(t ) = (T e n, e n ) 7

8 Es gilt tr(t ) = s n(f n, e n ) für die singuläre Darstellung und allgemein tr(t ) = a n(x n, y n ) für jede zulässige Darstellung Wir wollen nun einige Eigenschaften des Spurfunktionals festhalten Satz 38 Es gilt: (i) tr ist ein stetiges lineares Funktional auf N (H) mit tr = 1 (ii) Ein Operator T ist genau dann nuklear, wenn T nuklear ist und in diesem Fall gilt tr(t ) = tr(t ) (iii) Ist T N (H) und S B(H), so gilt tr(st ) = tr(t S) (i): Die linearität folgt sofort aus der Definition, die Beschränktheit folgt aus: tr(t ) s n (f n, e n ) s n = T NUK Der Operator T = (, e)e zeigt sogar T = 1 (ii): Ist T = s n(, e n )f n so ist T = s n(, f n )e n Beschreibt eine der Darstellungen einen nuklearen Operator, so tut dies die andere klarerweise auch Weiters gilt tr(t ) = s n (f n, e n ) = s n (e n, f n ) = tr(t ) (iii): Ist T = a n(, x n )y n, so ist ST = a n (, x n )Sy n, T S = und folglich tr(st ) = a n (Sy n, x n ) = a n (, S x n )y n, a n (y n, S x n ) = tr(t S) Für selbstadjungierte Operatoren ist die Spur besonders leicht auszurechnen Außerdem kann man bei selbstadjungierten Operatoren leicht überprüfuen, ob sie nuklear sind: Korollar 39 Sei T K(H) selbstadjungiert und (λ n ) n N die zugehörige Folge von Eigenwerten entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt Dann ist T genau dann nuklear, wenn λ n < In diesem Fall ist T NUK = λ n und tr(t ) = λ n Laut Spektralsatz sind die λ n genau die singulären Zahlen von T Die Darstellung der Spur von T erhält man, indem man in der Definition die zugehörige Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von T einsetzt Zum Abschluss wollen wir mit Hilfe der nuklearen Operatoren den Dualraum der Kompakten Operatoren beschreiben Dazu benötigen wir zunächst folgendes Lemma, das uns eine hinreichende Bedingung für die Kompaktheit eines Operators gibt 8

9 Lemma 310 Sei S B(H) Für je zwei Orthonormalsysteme (g n ) n N und (h n ) n N gelte (Sg n, h n ) 0 Dann ist S kompakt Wenn S nicht kompakt ist, existiert ein ɛ > 0, so dass S T > ɛ für alle T K(H) gilt Wir konstruieren mit Hilfe dieser Tatsache Orthonormalsysteme (g n ) n N und (h n ) n N, so dass (Sg n, h n ) > ɛ für alle n N Ist n = 1, so setze T = 0 und finde g 1 und h 1 mit g 1 = h 1 = 1 und (Sg 1, h 1 ) > ɛ Seien nun g 1,, g n und h 1,, h n bereits wie gewünscht konstruiert Sei E (bzw F ) die Orthogonalprojektion auf lin{g 1,, g n } (bzw lin{h 1,, h n }) Setze nun T = SE + F S F SE Dann erhalten wir aus S T > ɛ für gewisse x, y H\{0} ((I F )S(I E)x, y) = ((S T )x, y) > ɛ x y Insbesondere ist Ex x, F y y Setzen wir nun g n+1 = x Ex x Ex, h n+1 = y F y y F y, so folgt g n+1 g i und h n+1 h i für i n sowie (Sg n+1, h n+1 ) > ɛ Wir benötigen für den Beweis auch das Ergebnis aus der l p -Theorie, dass l 1 isometrisch Isomorph zum Dualraum von c 0 ist Genauer: (c 0 ) = l 1 vermöge T : l 1 c 0, (T x)(y) = s nt n (x = (s n ) n N l 1, y = (t n ) n N c 0 ) Satz 311 Die Abbildung Φ : N (H) K(H), S Φ S mit Φ S (T ) = tr(st ) ist ein isometrischer Isomorphismus; es gilt also K(H) = N (H) Die Abbildung Φ ist wohldefiniert und linear Durch Φ S (T ) = tr(st ) ST NUK S NUK T sieht man, dass Φ S S NUK Es gelte Φ S (T ) = 0 für alle T K(H) Setze T = (, x)y, dann gilt für alle x, y H 0 = Φ S (T ) = tr(st ) = tr((, x)sy) = (Sy, x) Also ist S = 0 und daher Φ injektiv Betrachte nun zu f K(H) die Abbildung (x, y) f((, y)x) Dabei handelt es sich um eine stetige Sesquilinearform Daher existiert ein S B(H) mit (Sx, y) = f((, y)x) für alle x, y H Seien nun (g n ) n N und (h n ) n N Orthonormalsysteme und (a n ) n N c 0 Der Operator T = a n(, g n )h n ist dann kompakt mit T = sup n a n Es folgt f(t ) = a n f((, g n )h n ) = a n (Sg n, h n ) f T = f (a n) Daher ist (a n ) a n(sg n, h n ) ein stetiges Funktional auf c 0 mit norm f Laut Konstruktion wird es von der Folge ((Sg n, h n )) n N dargestellt Daher gilt (Sg n, h n ) f und insbesondere (Sg n, h n ) 0 und S ist kompakt Schreibe nun S = s n(, e n )f n Einfaches Nachrechnen zeigt (s n ) n N = (Se n, f n ) n N l 1 Daher ist S nuklear und es gilt S NUK = s n f Daher stimmen f und Φ S auf allen Operatoren der Form (, x)y überein, also auch auf deren linearen Hülle und aufgrund der Stetigkeit von f und Φ S auch auf deren Abschluss Dieser ist aber bereits K(H), da die Operatoren mit endlichdimensionalem Bild dort ja dicht liegen Es folgt also Φ S = f 9