Karhunen-Loeve Entwicklung stochastischer Prozesse

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1 Karhunen-Loeve Entwicklung stochastischer Prozesse Wintersemester 2015/16 Erstellt von Manuel Summer

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Kompakte Operatoren Hilbert-Schmidt Operator Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren Satz von Mercer Stochastische Prozesse Autokorrelationsfunktion eines stochastischen Prozesses Karhunen-Loève Entwicklung 12 5 Karhunen-Loeve Entwicklung am Beispiel der Brown schen Bewegung 18 2

3 1 Einleitung ie Arbeit beschäftigt sich mit der Karhunen-Loeve Entwicklung stochastischer Prozesse. abei wird ein stochastischer Prozess als unendliche Linearkombination von orthogonalen Funktionen, analog zur Fourierreihendarstellung einer Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall, dargestellt. Im Gegensatz zur Fourierreihe, bei der die Koeffizienten fixe Zahlen sind und die Entwicklungsbasis aus trigonometrischen Funktionen besteht, handelt es sich bei den Koeffizienten der Karhunen-Loeve Entwicklung um Zufallsvariablen und die Entwicklungsbasis hängt vom jeweiligen Prozess ab. ie orthogonalen Funktionen, die man für die arstellung verwendet, werden durch die Autokorrelationsfunktion des stochastischen Prozesses bestimmt. Um zu diesem Ergebnis zu kommen, beginnt die Arbeit zuerst mit einigen wichtigen, zum Teil bekannten, Aussagen über lineare und kompakte Operatoren. Im Zuge dessen definiere ich den Hilbert-Schmidt Operator, mit dessen Hilfe man die Eigenfunktionen, die zur Entwicklung des Prozesses gebraucht werden, erhält. Um dann zum tatsächlichen Satz von Karhunen-Loeve zu gelangen, werden noch ein paar Begriffe und Lemmata zu stochastischen Prozessen wiederholt. Abschließend wende ich zur Veranschaulichung den Satz auf die Brown sche Bewegung an und berechne das Ergebnis nicht nur analytisch, sondern auch numerisch. 3

4 2 Kompakte Operatoren efinition 2.1. (linearer Operator) (a) Eine Abbildung T : X Y heißt linear, falls T (αx + βy) = αt (x) + βt (y), x, y X, α, β K (b) Ist T linear, so heißt ker T :={x X : T x = 0} der Kern von T T (X) :={y Y : x X, y = T x} das Bild von T (c) Lineare Abbildungen nennt man auch lineare Operatoren. Satz 2.2. Vor.: Sei T : X Y ein linearer Operator Beh.: ann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. T ist stetig. 2. T ist stetig in T ist beschränkt, d.h. M 0 mit T x M x x X. 4. T ist gleichmäßig stetig. Beweis. ie Aussagen (1) (2) und (4) (1) sind trivial. (2) (3): Stetigkeit heißt insbesondere, dass ein δ 0 existiert mit T B X (0, δ) B Y (0, 1), also gilt T x Y 1 für jedes x B X (0, δ). Aus der Homogenität folgt T x Y 1 δ x X für alle x X. (3) (4): Sei x X. Nach Voraussetzung gilt T x T y Y M x y X. Ist x y X ɛ, folgt T x T y M Y ɛ, also die gleichmäßige Stetigkeit. 4

5 2 Kompakte Operatoren Beispiel Sei A R n m. ann ist die Abbildung A : R m R n, x Ax ein linearer Operator. 2. (Ableitungsoperator). ie Abbildung : C 1 C, f f = f, die einer Funkiton ihre Ableitung zuordnet, ist ein linearer Operator. 3. (Integraloperator). Sei I := [a, b] und k : I I K stetig. Für f C(I) definiere (T f)(x) := b a k(x, y)f(y)dy, x I. b ann gilt T ist ein linearer und beschränkter Operator und T = sup x I k(x, y) dy. a Im Folgenden bezeichne B[X] die Menge aller beschränkten linearen Operatoren auf einem normierten Vektorraum X: B[X] := {T : X X T ist ein beschränkter Operator} efinition 2.4. (Operatornorm) Sei T : X Y beschränkt (also stetig). Setze T := inf{m > 0 : T x M x x X}. Bemerkung: ie folgenden Aussagen kann man aus der efinition nachweisen: 1. T x T x. 2. T = sup x 0 T x x = sup x 0 T x. 3. B[X, Y ] := {T : X Y, linear und stetig}, mit den Operatoren (S + T )(x) := Sx + T x und (αt )x := αt x, ist ein Vektorraum. B[X] ist ein normierter Vektorraum bezüglich der Operatornorm. efinition 2.5. (relativ kompakt) Sei (X, d) ein metrischer Raum, A X heißt relativ kompakt, wenn A kompakt ist. efinition 2.6. (totale Beschränktheit) Sei (X, d) ein metrischer Raum, A X heißt total beschränkt, wenn ɛ > 0 x 0,..., x N A, sodass N i=0 B(x i, ɛ) A. efinition 2.7. (kompakter Operator) Seien X und Y Banachräume und T : X Y eine lineare Abbildung. T heißt kompakter Operator, falls E Xbeschränkt : T (E) relativ kompakt. 5

6 2 Kompakte Operatoren Alternativ findet man ich der Literatur auch folgende efinition: efinition 2.8. Seien X und Y normierte Banachräume und T : X Y ein linearer Operator.ann sind folgende Aussagen äuquivalent: 1. T ist kompakt. 2. as Bild der offenen Einheitskugel ist kompakt in Y. 3. Für jede beschränkte Folge x n X existiert eine Teilfolge T x nk von T x n, die in Y konvergiert. a das Bild der offenen Einheitskugel kompakt und damit beschränkt ist, folgt, dass jeder kompakter Operator auch ein beschränkter Operator ist. er folgende Satz zeigt, dass die Menge der kompakten normierten Operatoren eine abgeschlossene Teilmenge in B[X] bilden: Lemma 2.9. Vor.: Sei X ein normierter Vektorraum und T, S B[X]. Beh.: Sei T kompakt, dann sind auch ST und TS kompakt. Beweis. Betrachte die Abbildung ST. Sei {x n } eine beschränkte Folge in X. Laut obiger efinition existiert eine Teilfolge {T x nk } von {T x n }, die in X konvergiert: T x nk y X a S stetig ist, folgt ST x nk S(y ) X. araus folgt {ST x nk } konvergiert auch in X. amit ist ST kompakt. Um zu zeigen, dass TS kompakt ist, nehmen wir eine beschränkte Folge {x n } in X. a S stetig ist, ist {Sx n } beschränkt. araus folgt Teilfolge {T Sx nk }, die in X konvergiert. amit ist TS kompakt. Bemerkung: Ein kompakter linearer Operator auf einem unendlich-dimensionalen Vektorraum ist nicht invertierbar in B[X]. afür nehmen wir an, T hat eine Inverse S in B[X]. Mit dem obigen Lemma sehen wir, dass I=TS=ST kompakt ist. araus folgt, dass eine abgeschlossene Einheitskugel kompakt in X ist. as ist aber nicht möglich, da X ein unendlicher Vektorraum ist. Widerspruch zur Tatsache, dass die abg. Einheitskugel genau dann kompakt ist, wenn X endlich-dimensional ist. 2.1 Hilbert-Schmidt Operator Sei R n eine beschränkte Menge. Wir nennen eine Funktion k : R einen Hilbert-Schmidt Kern, wenn: k(x, y) 2 dxdy <, 6

7 2 Kompakte Operatoren d.h. k L 2 ( ). Wir definieren nun den Integral-Operator K : u Ku für u L 2 () durch: [Ku](x) = k(x, y)u(y)dy. (2.1) efinition (Hilbert-Schmidt Operator) er Integral-Operator K aus (2.1) heißt Hilbert-Schmidt Operator. ie Linearität folgt aus der Linearität des Integrals: [K(u + λv)](x) = k(x, y)(u(y) + λv(y))dy = k(x, y)u(y)dy + λ k(x, y)v(y)dy =K[u] + λk[v] λ R, u, v L 2 Lemma Vor.: Sei R n beschränkt, k L 2 ( ) ein Hilbert-Schmidt Kern. Beh.: ann ist der Hilbert-Schmidt Operator ein kompakter Operator. Beweis. Für die Beschränktheit des Operators beachten wir u L 2 (): Ku 2 L 2 () = (Ku)(x) 2 dx = C.S. = ( ( k(x, y)u(y)dy 2 dx )( k(x, y) 2 dy ) ( k(x, y) 2 dy dx = k L 2 ( ) u L 2 () < ) u(y) 2 dy dx ) u(y) 2 dy 2.2 Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren Sei H ein reeller Hilbertraum mit einem inneren Produkt.,. : H H R. Ein linearer Operator T : H H heißt selbstadjungiert, wenn T x, y = x, T y, x, y H 7

8 2 Kompakte Operatoren Beispiel Betrachte den Hilbert-Schmidt Operator K auf L 2 ([a, b]). Man kann zeigen, dass K genau dann selbstadjungiert ist, wenn k(x, y) = k(y, x) auf [a, b] [a, b]. efinition T x, x 0, x H. Ein linearer Operator T : H H heißt positiv semi-definit, wenn efinition Ein Skalar λ R heißt Eigenwert von T, wenn x 0 H : T x = λx. ie Eigenwerte eines positiv semi-definiten Operators sind nicht negativ. Kompakte selbstadjungierte Operatoren auf unendlichdimensionalen Hilberträumen haben ähnliche Eigenschaften, wie symmetrische Matrizen. Von besonderem Interesse ist die Spektralzerlegung eines kompakten selbstadjungierten Operators: Satz (Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren): Vor.: Sei H ein Hilbertraum und T : H H ein kompakter selbstadjungierter Operator. Beh.: ann bilden die Eigenvektoren {e i } zu den Eigenwerten {λ i } eine Orthonormalbasis von H. Weiters gelten folgende Aussagen: 1. ie Eigenwerte λ i sind reell und haben 0 als einzigen Häufungspunkt. 2. ie Eigenräume zu unterschiedlichen Eigenwerten stehen orthogonal aufeinander. 3. ie Eigenräume zu λ i 0 sind endlichdimensional. Beweis. ohne Beweis a Eigenwerte zu positiven kompakten selbstadjungierten Operatoren nicht negativ sind, können wir sie ordnen: λ 1 λ Bemerkung: Für einen linearen Operator A auf einem endlichdimensionalen Vektorraum definieren wir dessen Spektrum σ(a) als die Menge der Eigenwerte. Für einen linearen Operator T auf einem unendlichdimensionalen normierten Vektorraum definieren wir das Spektrum als: σ(t ) = {λ R : T λi ist nicht invertierbar in B[X]} σ(t ) ist die disjunkte Vereinigung des Punktspektrums (Menge der Eigenwerte), des stetigen Spektrum, und des Residuenspektrums. Wir haben zuvor gesehen, dass ein kompakter Operator T auf einem unendlichdimensionalen Vektorraum keine Inverse in B[X] hat. araus folgt, dass 0 σ(t ). 8

9 2 Kompakte Operatoren 2.3 Satz von Mercer Sei = [a, b] R. Wir haben gesehen, dass man mit einem stetigen Kern k : R einen kompakten Hilbert-Schmidt Operator mit einer Menge von Eigenvektoren aus L 2 () definieren kann. er folgende Satz liefert eine Reihendarstellung von k basierend auf der Spektralzerlegung des zugehörigen H.-S. Operators. Satz (Satz von Mercer): Vor.: Sei k : R stetig, = [a, b] R. Weiters sei der zugehörige Hilbert- Schmidt Operator K : L 2 () L 2 () postiv mit den Eigenwerten {λ i } und den zugehörigen Eigenvektoren {e i }. Beh.: ann gilt für s, t k(s, t) = λ i e i (s)e i (t), wobei die Konvergenz gleichmäßig und absolut auf ist. i=0 Beweis. ohne Beweis 9

10 3 Stochastische Prozesse Im folgenden Kapitel sei nun (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Merkmalraum Ω, der Filtration F und P als Wahrscheinlichkeitsmaß. Eine reelle Zufallsvariable X auf (Ω, F, P ) ist eine F/B(R) - messbare Abbildung X : (Ω, F, P ) (R, B(R)). er Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariable X sind wie folgt definiert: E[X] := Ω X(ω)dP (ω), V ar[x] := E[(X E[X]) 2. L 2 (Ω, F, P ) beschreibt den Hilbertraum der reellen Zufallsgrößen von Ω: L 2 (Ω, F, P ) = {X : Ω R : X(ω) 2 dp (ω) < }. Sei R. Ein stochastischer Prozess ist eine Abbildung X : Ω R, so dass X(t, ) t messbar ist. Alternativ kann man einen stochastischen Prozess als eine Familie von Zufallsvariablen X t : Ω R mit t definieren. Aufgrund der Bedeutung beider Sichtweisen werden wir im Folgenden beide verwenden. Ω Ein stochastischer Prozess heißt zentriert, wenn E[X t ] = 0 t. Sei {Y t } t beliebiger stochastischer Prozess. a ein X t = Y t E[Y t ] ein zentrierter stochastischer Prozess ist, können wir später obda annehmen, dass der Prozess zentriert ist. efinition 3.1. Ein stochastischer Prozess heißt stetig im quadratischen Mittel, wenn lim E[(X t+ɛ X t ) 2 ] = 0. ɛ 0 efinition 3.2. (Pfad) Sei X : Ω R ein stochastischer Prozess. Für ein festes ω Ω definieren wir ˆX : R mit ˆX(t) = X t (ω). ˆX nennt man den Pfad eines stochastischen Prozesses. 10

11 3 Stochastische Prozesse 3.1 Autokorrelationsfunktion eines stochastischen Prozesses efinition 3.3. (Autokorrelationsfunktion) ie Autokorrelationsfunktion R X : R eines stochastischen Prozesses {X t } t ist gegeben durch: R X (s, t) = E[X s X t ], s, t. (3.1) as folgende Resultat zeigt, dass die Stetigkeit der Autokorrelationsfunktion eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Stetigkeit im quadratischen Mittel ist. Lemma 3.4. Vor.: Sei {X t } t ein stochastischer Prozess mit Autokorrelationsfunktion R X. Beh.: {X t } t ist stetig im quadratischen Mittel genau dann, wenn R X auf [a, b] [a, b] stetig ist. Beweis. Sei R X stetig, dann gilt a R X stetig ist gilt, E[(X t+ɛ X t ) 2 ] = E[X 2 t+ɛ] 2E[X t+ɛ X t ] + E[X 2 t ] = R X (t + ɛ, t + ɛ) 2R X (t + ɛ, t) + R X (t, t) lim E[(X t+ɛ X t ) 2 ] = lim R X (t + ɛ, t + ɛ) 2R X (t + ɛ, t) + R X (t, t) = 0 e 0 e 0 Sei andererseits X t stetig im quadratischen Mittel. Wir betrachten: R X (t + ɛ, s + ν) R X (t, s) = E[X t+ɛ X s+ν ] E[X t X s ] = E[(X t+ɛ X t )(X s+ν X s )] + E[(X t+ɛ X t )X s ] + E[(X s+ν X s )X t ] E[(X t+ɛ X t )(X s+ν X s )] + E[(X t+ɛ X t )X s ] + E[(X s+ν X s )X t ] E[(X t+ɛ X t ) 2 ] 1 2 E[(Xs+ν X s ) 2 ] E[(Xt+ɛ X t ) 2 ] 1 2 E[X 2 s ] E[(Xs+ν X s ) 2 ] 1 2 E[X 2 t ] 1 2 In der letzten Zeile wurde die C.S.-Ungleichung verwendet. a der stochastische Prozess stetig im quadratischen Mittel ist, folgt lim R X(t + ɛ, s + ν) R X (t, s) = 0 (ɛ,ν) (0,0) 11

12 4 Karhunen-Loève Entwicklung Sei R. In diesem Abschnitt nehmen wir nun an, dass X : Ω R ein zentrierter, im quadratischen Mittel stetiger Prozess, so dass X L 2 ( Ω), ist. Mit den bisher gezeigten Techniken können wir die KL-Entwicklung von X berechnen. Wir definieren K : L 2 () L 2 () [Ku](s) := k(s, t)u(t)dt, k(s, t) = R X (s, t) (4.1) as folgende Lemma fasst die Eigenschaften des Operators K nochmal zusammen. Lemma 4.1. Vor.: Sei K : L 2 () L 2 () so wie in (4.1). Beh.: ann gelten folgende Aussagen: 1. K ist kompakt. 2. K ist positiv semi-definit. 3. K ist selbstadjungiert. Beweis. 1. a der Prozess X stetig im quadratischen Mittel ist, gilt wegen Lemma 3.4., dass k(s, t) = R X (s, t) stetig ist. Und wegen Lemma ist K kompakt. 2. Wir müssen zeigen, dass Ku, u 0 u L 2 (). Ku, u = ( Ku(s)u(s)ds = ( = [ =E [( =E [( =E ) k(s, t)u(t)dt u(s)ds ) E[X s X t ]u(t)dt u(s)ds ] X s X t u(t)u(s)dtds )( )] X s u(s)ds X t u(t)dt ) 2 ] X t u(t)dt 0 12

13 4 Karhunen-Loève Entwicklung 3. Folgt leicht aus R X (s, t) = R X (t, s) und dem Satz von Fubini: Ku, v = Ku(s)v(s)ds = ( ) k(t, s)v(s)ds u(t)dt = u, Kv Sei nun K wie in (4.1) definiert. Aufgrund der Eigenschaften aus dem vorigen Lemma, können wir nun den Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren anwenden und daraus schließen, dass die Eigenvektoren {e i } zu den Eigenwerten {λ i } eine Basis von L 2 () bilden und es gilt: Ke i = λ i e i a K positiv semi-definit ist, sind die Eigenwerte nicht negativ. ie zu Beginn des Kapitels fixierte Zufallsvariable X ist quadratisch integrierbar auf ( Ω), somit können wir die Basis {e i } von L 2 () verwenden, um die Zufallsvariable X t wie folgt zu entwickeln: X t = x i e i (t), x i = i=0 X t e i (t)dt (4.2) ie Gleichheit gilt im quadratischen Mittel. Um genau zu sein, ist hier ein Pfad ˆX des Prozesses X t gemeint: ˆX = x i e i (t) mit Konvergenz in L 2 ( Ω). Wir werden später im Beweis sehen, dass sogar gilt, [ lim E (Xt N i=0 N x i e i (t) ) ] 2 = 0, gleichmäßig auf, somit folgt, dass (4.2) für alle t gilt. Bevor wir das zeigen, untersuchen wir die Koeffizienten x i aus (4.2). iese x i sind Zufallsvariable auf Ω mit folgenden Eigenschaften. 13

14 Lemma 4.2. Vor.: Seien x i die Koeffizienten aus (4.2) Beh.: ann gilt: 1. E[x i ] = 0 2. E[x i x j ] = δ ij λ j 3. V ar[x i ] = λ i 4 Karhunen-Loève Entwicklung Beweis. 1. Es gilt: [ E[x i ] =E = F ub = = Ω Ω ] X t e i (t)dt X t (ω)e i (t)dtdp (ω) X t (ω)e i (t)dp (ω)dt E[X t ]e i (t)dt = 0 ie letzte Gleichheit folgt aus der Zentriertheit des stoch. Prozesses. 2. Um das zu zeigen, gehen wir wie folgt vor: [( E[x i x j ] =E [ =E = = = ( )( X s e i (s)ds )] X t e j (t)dt ] X s e i (s)x t e j (t)dsdt E[X s X t ]e i (s)e j (t)dsdt ) k(s, t)e j (t)dt e i (s)ds [Ke j ](s)e i (s)ds = Ke j, e i = λ j e j, e i =λ j δ ij ies gilt wieder mit Fubini. ie letzte Gleichheit folgt aus der Orthogonalität der Eigenvektoren von K. 14

15 4 Karhunen-Loève Entwicklung 3. ie ritte Aussage folgt leicht aus 1. und 2.: V ar[x i ] = E[(x i E[x i ]) 2 ] = E[x 2 i ] = λ i Satz 4.3. (Karhunen-Loeve): Vor.: Sei X : Ω R ein zentrierter, im quadratischen Mittel stetiger stochastischer Prozess mit X L 2 (Ω ). Beh.: Basis {e i } von L 2 (), so dass t gilt, X t = x i e i (t), in L 2 (Ω) mit den Koeffizienten x i, die gegeben sind, durch x i (ω) = X te i (t)dt und folgende Eigenschaften erfüllen 1. E[x i ] = 0 2. E[x i x j ] = δ ij λ j 3. V ar[x i ] = λ i Beweis. Sei K ein Hilbert-Schmidt Operator wie in (4.2). Wir wissen, dass die Eigenwerte {λ i } von K nicht negativ sind und dass die zugehörigen Eigenfunktionen {e i } eine Basis von L 2 () bilden. Weiters wissen wir, dass die Koeffizienten x i (ω) = X t(ω)e i (t)dt die Eigenschaften aus dem vorigen Lemma erfüllen. Nun betrachten wir ɛ n (t) := E[ (Xt n x i e i (t) ) ] 2. Wir müssen zeigen, dass lim n ɛ n (t) = 0 gleichmäßig (und damit auch punktweise) in. ɛ n (t) =E[ (Xt n x i e i (t) ) ] 2 n =E[Xt 2 ] 2E [X t ] [ n x i e i (t) + E i,j=1 ] x i x j e i (t)e j (t) 15

16 4 Karhunen-Loève Entwicklung Es gilt: E[X 2 t ] = k(t, t) mit k aus (4.2). Weiters gilt n ] n ( E [X t x i e i (t) =E [X t X s e i (s)ds ) ] e i (t) n ( = E[X s X t ]e i (s)ds ) e i (t) = n ( k(t, s)e i (s)ds ) e i (t) = n n [Ke i ](t)e i (t) = λ i e i (t) 2. Außerdem gilt [ n E i,j=1 ] x i x j e i (t)e j (t) = = = n E[x i x j ]e i (t)e j (t) i,j=1 n λ i e i (t)e i (t) n λ i e i (t) 2. Insgesamt haben wir somit ɛ n (t) = k(t, t) n λ i e i (t)e i (t) und mit dem Satz von Mercer erhalten wir lim ɛ n(t) = 0 n Bemerkung: Angenommen λ k = 0. ann gilt nach dem oberen Satz, dass E[x k ] = 0 = V ar[x k ] = λ k und deshalb x k = 0. Somit sind die Koeffizienten zu den Eigenwerten λ k = 0 auch 0. eshalb enthält die KL-Entwicklung einer quadratisch integrierbaren, zentrierten Zufallsgröße nur Koeffizienten zu Eigenwerten λ i > 0. Man sagt auch die Entwicklung ist bi-orthogonal, da nach dem Spektralsatz sowohl die Eigenfunktionen {e i }, als auch die Koeffizienten {x i } orthogonal aufeinander stehen. Mit der obigen Überlegung können wir die Koeffizienten x i der KL-Entwicklung normieren. Wir definieren ξ i = 1 λi x i. as bringt uns auf die bekanntere Version des Satzes von Karhunen-Loeve. 16

17 4 Karhunen-Loève Entwicklung Korollar 4.4. Vor.: Sei X : Ω R ein zentrierter, im quadratischen Mittel stetiger stochastischer Prozess mit X L 2 (Ω ). Beh.: Basis {e i } von L 2 (), so dass t gilt, X(t, ω) = λi ξ i (ω)e i (t), in L 2 (Ω) wobei ξ i definiert durch ξ i (ω) = 1 λi X t (ω)e i (t)dt, (4.3) zentrierte, unkorrelierte Zufallsvariablen mit einer Einheitsvarianz sind. un- ie KL-Entwicklung eines Gauß schen Prozesses hat die Eigenschaft, dass die ξ i abhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind. 17

18 5 Karhunen-Loeve Entwicklung am Beispiel der Brown schen Bewegung Abschließend wende ich die oben gezeigten Ergebnisse am Beispiel der Brown schen Bewegung an. as heißt ich berechne mir mit Hilfe der Eigenvektoren und Eigenfunktionen, des durch die Autokorrelationsfunktion erzeugten Hilbert-Schmidt Operators, eine Reihendarstellung der Brown schen Bewegung. Beispiel 5.1. Sei (W t ) t T eine Brown sche Bewegung mit Autokorrelationsfunktion R X (t, s) = Cov(W t, W s ) = min(s, t). Somit lautet die zu lösende Integralgleichung: min(s, t)e(s)ds = λe(t) [a,b] OBdA wählen wir als Zeitintervall [a, b] = [0, 1]. ann folgt durch Einsetzen die Gleichung t 0 se(s)ds + t 1 t e(s)ds = λe(t). Aus der obigen Gleichung folgt die Randbedingung e(0) = 0. urch Ableiten der Gleichung erhalten wir 1 t se(s)ds =λe (t) (5.1) E(1) E(t) =λe (t) (5.2) Wenn man die Gleichung ein zweites Mal ableitet, erhält man schließlich e(t) = λe (t). araus folgt, dass die Eigenfunktionen die allgemeine Form e(t) = A sin( t λ ) + B cos( t λ ) 18

19 5 Karhunen-Loeve Entwicklung am Beispiel der Brown schen Bewegung haben. Aus der oben erwähnten Bedingung e(0) = 0 folgt, dass B = 0 ist. Aus der Gleichung 5.1 sieht man, dass e(1) = 0 gilt und somit amit haben wir die Eigenfunktionen e (1) = 0 =A cos( t λ ) 1 = k π λk 2 ( 1 ) 2. λ k = (k 1)π 2 e k (t) = A sin((k 1 2 )πt), k 1 ie Konstante A können wir mit Hilfe der Orthogonalitätsbedingung der Eigenfunktionen e i (t) bestimmen: 1 = e 2 i (t)dt = A 2 sin 2 t 1 ( )dt = A 2 λi 0 0 sin 2 [(k 1 A2 )πt]dt = 2 2 (a) Eigenfunktionen des Operators K (b) Eigenwerte des Operators K Abbildung 5.1: In der Abblidung (a) sieht man die Eigenfunktionen für Eigenfunktionen e k, k = 1,..., 7. Abbildung (b) zeigt die Eigenwerte λ k, k = 1,..., 7. Somit erhalten wir schließlich die Karhunen-Loeve arstellung der Brown schen Bewe- 19

20 5 Karhunen-Loeve Entwicklung am Beispiel der Brown schen Bewegung gung W (t) = 2 i=0 2 (2i 1 2 )π sin[(i 1 2 )πt]ξ i, wobei {ξ i } unabhängige standardnormalverteilte ZV. Abbildung 5.2: Karhunen-Loeve Entwicklung der Brown schen Bewegung für N=10. Man sieht deutlich die einzelnen Pfade der Brown schen Bewegung mit der Eigenschaft W (0) = 0 t. ie nächste Abbildung zeigt, wie sich die Oszillation mit größeren N verstärkt. Abbildung 5.3: Pfad einer Brown schen Bewegung für N=5,10,30,70,

21 5 Karhunen-Loeve Entwicklung am Beispiel der Brown schen Bewegung Mit den berechneten Eigenwerten und Eigenfunktionen kann man nun auch die Aussage des Satzes von Mercer veranschaulichen. (a) N=2 (b) N=4 (c) N=6 (d) N=8 Abbildung 5.4: Reihendatstellung aus dem Satz von Mercer für N=2,4,6,8. 21

22 5 Karhunen-Loeve Entwicklung am Beispiel der Brown schen Bewegung Abbildung 5.5: Autokorellationsfunktion der Brown schen Bewegung. R X (s, t) = min(s, t). Man kann gut erkennen, wie schnell die Reihe gegen die tatsächliche Autokorellationsfunktion konvergiert. 22

23 Literaturverzeichnis Alen Alexanderian: A brief note on the Karhunen-Loève expansion, unter North Carolina State University, Raleigh, NC, USA, last revised: September 24, 2015, Abfrage am Limin Wang: Karhunen-Loeve Expansions and their Applications unter London School of Economics and Political Science, last revised: March 16, 2008, Abfrage am Wikipedia Kompakte Operatoren Operator, Abfrage am Wikipedia Karhunen-Loève theorem Karhunen-Love_theorem, Abfrage am TU-armstadt: lineare Operatoren e/32.html?evsver=680&evsdir=435&evsfile=fa-skript02.pdf., Abfrage am