Funktionalanalysis II. Carsten Schütt SS 2012

Transkript

1 1. Jeder Filter ist in einem Ultrafilter enthalten. 2. Es sei X ein topologischer Hausdor Raum. X ist genau dann kompakt, wenn jeder Ultrafilter konvergiert. 3. (Skript) (i) {0, 1} [0,1] mit der Produkttopologie ist nicht folgenkompakt, aber kompakt. (ii) [0, 1] [0,1] mit der Produkttopologie ist kompakt und insbesondere abzählbar kompakt, aber nicht folgenkompakt. (iii) [0, 1] [0,1] und {0, 1} [0,1] sind nicht metrisierbar. Abgabe: Donnerstag,

2 4. (Skript) Es sei I eine überabzählbare Menge und T = [0, 1] I mit der Produkttopologie. Es sei S = {t 2 T { t() 6= 0} ist abzählbar} Die Menge S ist nicht kompakt, aber S ist folgenkompakt. 5.(Skript) (i) Es sei 1 < p < 1 und e i, i 2 N, seien die Einheitsvektoren in `p. Dann konvergiert die Folge e i, i 2 N, in der schwachen Topologie gegen 0. (ii) Die Folge e i, i 2 N, konvergiert in `1 nicht in der schwachen Topologie. 6.(Skript) Es sei e n, n 2 N, die Einheitsvektoren in `2 und A = {e m + me n 1 apple m < n < 1} Dann liegt 0 im schwachen Abschluss der Menge A, 0 2 A schw, aber es gibt keine Folge in A, die schwach gegen 0 konvergiert. Abgabe: Donnerstag,

3 7. Die Norm Topologie und die schwache Topologie stimmen genau dann auf einem Banachraum überein, wenn er endlich dimensional ist. 8. (Skript) Ein Banachraum ist genau dann in der schwachen Topologie vollständig, wenn er endlich-dimensional ist. 9. (i) (Skript) Die schwache Topologie eines Banachraumes ist genau dann metrisierbar, wenn der Raum endlich-dimensional ist. (ii) Es sei X ein separabler, normierter Raum. Dann ist die abgeschlossene Einheitskugel des Dualraumes in der schwachen* Topologie metrisierbar. Abgabe: Donnerstag,

4 11.(Skript) Es sei 1 < p < 1. Eine Folge von Vektoren x n, n 2 N, in `p konvergiert genau dann gegen einen Vektor x in der schwachen Topologie, wenn die Folge kx n k, n 2 N, beschränkt ist und wenn für alle k 2 N gilt. lim x n(k) = x(k) n!1 12.(Skript) Es sei 1 < p < 1 und L p [0, 1] sei mit dem Lebesgue Maß ausgestattet. Eine Folge f n, n 2 N, konvergiert genau dann in L p [0, 1] schwach gegen f, wenn es eine Konstante C gibt, so dass sup n2n kf n k apple C und wenn für alle x 2 [0, 1] Z x lim n!1 0 f n (t)dt = Z x 0 f(t)dt gilt. Die Folge f n (t) = sin(2 nt), n 2 N, konvergiert in der schwachen Topologie, aber nicht in der Norm-Topologie. 13. (Skript) Es sei K ein kompakter Hausdor Raum, f 2 C(K) und f n 2 C(K), n 2 N. Die Folge f n, n 2 N, konvergiert genau dann in der schwachen Topologie gegen f, wenn sup kf n k < 1 und 8x 2 K : lim f n (x) = f(x). n2n n!1 Abgabe: Donnerstag,

5 14. (Skript) Eine Folge in `1 konvergiert genau dann in der Norm Topologie, wenn sie in der schwachen Topologie konvergiert. 15. (Skript) Der Raum ` 1 ist schwach* separabel, aber der Teilraum c? 0 = (`1/c 0 ) von ` 1 ist nicht schwach* separabel. Abgabe: Donnerstag,

6 16. (Skript) (i) Falls X endlich-dimensional ist, dann ist (T ) gleich der Menge der Eigenwerte. (ii) Es sei S : `1! `1 durch S(x(1), x(2),... ) = (x(2), x(3),... ) definiert. S wird als Shiftoperator bezeichnet. Es gilt p(s) = ( 1, 1) c(s) = { 1, 1} r(s) = ; und der Spektralradius von S ist 1. Die adjungierte Abbildung S : `1! `1 ist durch S (y(1), y(2),... ) = (0, y(1), y(2),... ) gegeben. Es gilt p(s ) = ; c(s ) = ; r(s ) = [ 1, 1] (iii) Es sei T : C[0, 1]! C[0, 1] durch gegeben. Dann gilt T f(s) = Z s 0 f(t)dt p(t ) = ; c(t ) = ; r(t ) = {0} und der Spektralradius ist 0. (iv) Es sei X der Teilraum von C[0, 1] mit f(0) = 0 und T dieselbe Abbildung wie in (iii). Dann gilt p(t ) = ; c(t ) = {0} r(t ) = ; Der Spektralradius ist 0. (v) Es sei X der Raum aller beschränkten Funktionen f : [0, 1]! R, die in 0 und 1 stetig sind und f(0) = 0 erfüllen. X sei mit der Supremumsnorm ausgestattet. Es sei T : X! X durch (T f)(t) = tx(t) definiert. Dann gilt p(t ) = (0, 1) c(t ) = {0} r(t ) = {1} 17. (Skript) (i) Es sei T : C[0, 1]! C[0, 1] durch T f(s) = Z s 6 0 f(t)dt

7 gegeben. Dann ist T ein kompakter Operator und es gilt p(t ) = ; c(t ) = ; r(t ) = {0} (ii) Es sei k 2 L 2 [0, 1] 2 und T k : L 2 [0, 1]! L 2 [0, 1] sei durch T k f(s) = Z 1 0 k(s, t)f(t)dt gegeben. Dann gilt kt k k apple kkk und T k ist kompakt. (iii) (Volterra) Es sei k 2 C[0, 1] 2 und T k : C[0, 1]! C[0, 1] sei durch T k f(s) = Z s 0 k(s, t)f(t)dt gegeben. Dann ist T k ist kompakt. Der Spektralradius ist 0. Weiter gilt (T ) = {0}. Abgabe: Donnerstag,

8 18.(Skript) Es sei die Abbildung T : `2! `2 durch 1 x(k) T (x) = k gegeben. Dann ist T kompakt, die Eigenwerte sind gleich der Menge { 1 k 2 N}. k Außerdem ist 0 Element des Spektrums. k=1 19. (Skript) Es sei p 1 die Potenzreihenentwicklung von p 1 (i) c 0 = 1, c 1 = 1 und für n 2 2 X 1 z = c n z n z. Dann gelten c n = (2n 3) 2 n n! = 1 2 n n! ny (2k 3) k=2 (ii) 1X c n < 1 (iii) c 0 = 1, 2c 0 c 1 = 1 und für n 2 nx c i c n i = 0 i=0 (iv) 1X c n = Jede kompakte Teilmenge von C ist Spektrum eines Operators. Abgabe: Donnerstag,

9 21. Es sei H ein Hilbertraum. (i) Für alle A 2 L(H) ist e A = wohldefiniert, wobei wir A 0 = I setzen. 1X k=0 1 k! Ak (ii) Für alle A, B 2 L(H) mit AB = BA gilt e A e B = e A+B (iii) e 0 = I (iv) Die Abbildung e A ist invertierbar und die Inverse ist e A. (ii) (iii) 22. Berechne (i) 0 1 Insbesodere gilt = 1 1 6= Der Reihenproduktsatz von Cauchy gilt auch für Operatoren auf Hilberträumen. Abgabe: Donnerstag,

10 24. (Krein-Rutman) Es sei T : L 2 (µ)! L 2 (µ) ein selbstadjungierter, positiver Operator. Dann ist kt k Spektralwert. Falls T selbstadjungiert und strikt positiv ist und falls kt k Eigenwert von T ist, dann ist dieser Eigenwert einfach und es gibt einen zugehörigen Eigenvektor, der strikt positiv ist. Alle Eigenvektoren von T (zu irgendeinem Eigenwert), die strikt positiv sind, sind skalare Vielfache von dem Eigenvektor zum Eigenwert kt k. Wenn T strikt positiv ist, dann ist kt k kein Eigenwert von T. Falls f Eigenvektor ist, dann sind auch alle cf Eigenvektoren. Wenn c komplex ist, dann muss cf für reelles f nicht mehr reell sein. Beweis. f und g seien reellwertig und f = f + f und g = g + g. Dann gilt und < T f, g >=< T f +, g + > < T f +, g > < T f, g + > + < T f, g > < T f, g >=< T f +, g + > + < T f +, g > + < T f, g + > + < T f, g > Da T positiv ist, folgt hiermit < T f, g > apple< T f, g >. Für komplexwertige f = u + iv erhalten wir < T f, f >=< T (u+iv), u+iv >=< T u, u > +i < T v, u > i < T u, v > + < T v, v >. Da T selbstadjungiert ist, gilt < T u, v >=< u, T v >= < T v, u >. Da T aber reelle Funktionen auf reelle Funktionen abbildet, folgt weiter und Weiter gilt für g = u + i v Es folgt < T u, v >=< T v, u > < T f, f >=< T u, u > + < T v, v > < T g, g >=< T u, u > + < T v, v > < T f, f >=< T u, u > + < T v, v >apple< T u, u > + < T v, v >=< T g, g >. 10

11 Es gilt für alle n 2 N < T n f, f >apple< T n g, g >. Dies folgt genauso, weil T n ebenfalls positiv ist. Für alle mit > r(t ) gilt ( T ) 1 = 1 X 1 ( T ) n. Hiermit folgt < ( T ) 1 f, f >= 1 X 1 < ( T ) n f, f > < ( T ) 1 f, f > apple 1 1X < ( T ) n f, f > 1X apple n 1 < T n g, g >=< ( T ) 1 g, g > Nach Lemma?? ist kt k oder kt k Spektralwert. Wir nehmen an, dass kt k im Spektrum liegt und zeigen, dass dann auch kt k im Spektrum liegt. Wir betrachten eine Folge n, n 2 N, mit n < kt k und lim n!1 n = kt k Da n 2 (T ), n 2 N, folgt aus Lemma??, dass die Folge k( n T ) 1 k n 2 N unbeschränkt ist. Aus k( n T ) 1 k = sup < ( n T ) 1 f, f > apple sup < ( n T ) 1 g, g >= k( n T ) 1 k kfk=1 kfk=1 folgt, dass auch die Folge k( n T ) 1 k n 2 N unbeschränkt ist und lim n!1 n = kt k gehört nicht zur Resolventenmenge, also zum Spektrum. Wir nehmen nun an, dass T strikt positiv ist und dass kt k Eigenwert ist. Es sei f ein Eigenvektor zum Eigenwert kt k. Da T reellwertige Funktionen in reellwertige abbildet, sind <f und =f Eigenfunktionen. Deshalb gibt es einen Eigenvektor f, der reell ist. Es gilt fk 2 =< T f, f >apple< T f, f >apple kt kkfk 2 = kfk 2. Hieraus folgt < T f, f >=< T f, f >. 11

12 Deshalb < T f +, f + > < T f +, f > < T f, f + > + < T f, f > =< T f, f >=< T f, f > =< T f +, f + > + < T f +, f > + < T f, f + > + < T f, f > Also < T f +, f > + < T f, f + >= 0 Da T selbstadjungiert ist, folgt < T f +, f >= 0. Hieraus folgt, dass T f + ein skalares Vielfaches von f + ist und ebenso T f ein skalares Vielfaches von f. Wir zeigen dies. kt kkfk 2 =< T f + T f, f + f >=< T f +, f + > + < T f, f > Falls T f + kein skalares Vielfaches von f + ist, oder T f f, dann kein skalares Vielfaches vob kt kkfk 2 < kt f + kkf + k + kt f kkf k apple kt kkf + k 2 + kt kkf k 2 = kt kkfk 2 Damit erhalten wir einen Widerspruch. Deshalb sind f + und f und somit auch f + + f. Wir können also annehmen, dass f positiv ist, folgt 0 < T f = kt kf. Eigenfunktionen 0. Da T strikt Also ist f strikt positiv. Wir zeigen nun, dass der Eigenwert kt k einfach ist. Falls die Dimension des Eigenraumes strikt größer als 1 ist, dann gibt es einen Eigenvektor g, der orthogonal zu f ist. Wir schränken nun T auf den zu f orthogonalen Raum ein. Da f Eigenvektor ist, bildet T f? den Teilraum f? auf sich ab: Es sei h 2 f?. Dann Außerdem gilt < T h, f >=< h, T f >=< h, T kf >= 0. kt f?k = kt k, weil g Eigenvektor zum Eigenwert kt k ist. Mit denselben Überlegungen wie oben, stellen wir fest, dass wir g 0 annehmen können. Da aber f > 0 und Z fgdµ = 0 folgt, dass g = 0 und der Eigenraum ist 1-dimensional. Falls h ein strikt positiver Eigenvektor zu einem Eigenwert ist, der von kt k verschieden ist, dann ist h orthogonal zu f. Wegen f > 0 kann das aber nicht sein. Falls kt k und kt k Eigenwerte sind, dann wenden wir das Ergebnis auf T 2 an. Der Eigenraum von T 2 zum Eigenwert kt k 2 ist 2-dimensional oder größer. Die Norm von T 2 erfüllt kt 2 k apple kt k 2 12

13 und weil kt k 2 Eigenwert ist kt 2 k = kt k Es 3 der Rand der Euklidischen Einheitskugel im R 3 und 2 das normalisierte Oberflächenmaß 3 Die Abbildung T : L 2 (@B2, 3 2)! L 2 (@B2, 3 2) sei durch Z T f( ) = e <, > f( )d ( 3 2 gegeben. Ist T ein kompakter, selbstadjungierter Operator? Berechne die Norm von T. Abgabe: Donnerstag,