Übungsblatt 5. D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis II FS 2018 Prof. Manfred Einsiedler. 1. Berechnen Sie die Ableitung v f(x, y) der Funktion

Transkript

1 D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis II FS 2018 Prof. Manfred Einsiedler Übungsblatt 5 1. Berechnen Sie die Ableitung v f(x, y) der Funktion ( ) ( ) x f : R 2 R 2 x y, 2 y (1 + e x ) 1. entlang des Vektors v = (1, 2) R Seien m, n N und op die Operatornorm auf Mat m,n (R) (siehe Vorlesung oder Abschnitt im Skript). Zeigen Sie, dass op tatsächlich eine (wohldefinierte) Norm auf Mat m,n (R) ist. 3. Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften für eine Teilmenge Y X äquivalent sind: (i) Y ist kompakt. (ii) Y ist vollständig. (iii) Y ist abgeschlossen in X. 4. Betrachten Sie die Funktionen f, g : R 2 R definiert durch f(x, y) = xy x2 + y 2, g(x, y) = (x2 + y 2 ) sin ( 1 x 2 +y 2 ) für (x, y) (0, 0) und f(0, 0) = g(0, 0) = 0. Beweisen Sie: a) Die partiellen Ableitungen von f existieren auf ganz R 2, aber f ist in (0, 0) nicht (total) differenzierbar. b) g ist auf ganz R 2 (total) differenzierbar, aber die partiellen Ableitungen von g sind in (0, 0) nicht stetig. Bitte wenden!

2 5. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Für zwei nichtleere Teilmengen A, B X definieren wir den Abstand von A und B als d(a, B) := inf d(a, b). Zeigen Sie: Sind A, B X nichtleer, disjunkt und kompakt, so gilt d(a, B) > 0. Gilt dies auch, wenn man Kompaktheit durch Abgeschlossenheit ersetzt? Geben Sie entweder einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an. a A b B 6. Für n N bezeichnen wir mit GL n (R) die Menge der invertierbaren n n-matrizen mit reellen Einträgen, betrachtet als Teilmenge von Mat n,n (R) = R n2. a) Zeigen Sie, dass GL n (R) eine offene Teilmenge von Mat n,n (R) ist. b) Zeigen Sie, dass die Abbildung stetig ist. inv: GL n (R) GL n (R), A A 1 c) Zeigen Sie, dass inv differenzierbar ist und bestimmen Sie für A GL n (R) das Differential D A inv, indem Sie für jedes B Mat n,n (R) die Ableitung entlang B angeben. B inv(a) = D A inv(b) Siehe nächstes Blatt!

3 7. Multiple-Choice-Fragen (Mehrere Antworten können richtig sein!) 1. Ist die Teilmenge abgeschlossen in R 3? X = {(x, y, z) R 3 0 x y z 1} Ja. Nein. 2. Ist die Teilmenge Y = {(xy, yz, e xyz ) 0 x y z 1} von R 3 kompakt? Ja. Nein. 3. Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum über K = R oder K = C, so kann es sein, dass zwei Normen und auf V unterschiedliche Topologien induzieren. Richtig. Falsch. 4. Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Welche der folgenden Aussagen gelten im Allgemeinen? Jede Abbildung f : X R ist stetig. Jede stetige Abbildung f : X R ist gleichmässig stetig. Jede gleichmässig stetige Abbildung f : X R ist Lipschitz-stetig. Bitte wenden!

4 5. Es sei A = Was ist der Wert der Operatornorm A op? 0 1 ( ) 1 1 Mat 1 1 2,2 (R) Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Welche der folgenden Aussagen gelten im Allgemeinen? (e) (f) Endliche Vereinigungen von kompakten Teilmengen von X sind kompakt. Abzählbare Vereinigungen von kompakten Teilmengen von X sind kompakt. Beliebige Vereinigungen von kompakten Teilmengen von X sind kompakt. Endliche Durchschnitte kompakter Teilmengen von X sind kompakt. Abzählbare Durchschnitte kompakter Teilmengen von X sind kompakt. Beliebige Durchschnitte kompakter Teilmengen von X sind kompakt. Siehe nächstes Blatt!

5 7. Es sei A Mat m,n (R) und f : R n R m, x Ax. Die Ableitung D x0 f von f in einem Punkt x 0 R n ist... Ax 0 A x 0 id (e) 0 8. Sei U R n eine nichtleere, offene Teilmenge und f : U R m eine Funktion. Welche der folgenden Aussagen gelten im Allgemeinen? (e) (f) Ist f in einem Punkt x 0 U differenzierbar, so ist f in x 0 stetig. Existieren alle partiellen Ableitungen von f in einem Punkt x 0 U, so ist f in x 0 stetig. Existieren alle partiellen Ableitungen von f auf ganz U, so ist f auf U differenzierbar. Existieren alle partiellen Ableitungen von f auf ganz U und sind diese stetig, so ist f auf U differenzierbar. Ist f in einem Punkt x 0 U differenzierbar, so existieren alle partiellen Ableitungen von f in x 0. Ist f auf ganz U differenzierbar, so existieren alle partiellen Ableitungen von f auf U und diese sind stetig. Elektronische Erklärung der Bereitschaft eine oder mehrere Aufgaben vorzulösen: bis Freitag, 16. März 2018, 10:00, unter Abgabe der schriftlichen Lösungen zu denjenigen Aufgaben, für welche Sie ausgewählt wurden: bis Freitag, 16. März 2018, 14:00, im Fach Ihres Übungsleiters im HG F 27 oder per an Ihren Übungsleiter. Online-Abgabe der Multiple-Choice-Fragen: bis Montag, 19. März 2018, 13:00, unter