Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis II. Blatt 1

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1 Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum SS Blatt Aufgabe : (2+2+ Punkte) Gegeben sei die Funktion f : ]0; ] R mit f(x) = 2 xx. (a) Bestimmen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten von f. (b) Geben Sie alle lokalen und globalen Extrema von f an. (c) Skizzieren Sie den Graphen von f. Aufgabe 2: (+++) Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die folgenden Grenzwerte existieren, und berechnen Sie im Fall der Existenz den Grenzwert. ln x (a) lim x cos( πx) 2 sin x (b) lim x 0 sin( ) x (c) lim x 0 cosh x cos x (d) lim x + x 2x + cos x Aufgabe 3 : (5 Punkte) Beweisen Sie die Teilaussage (d) des Satzes VIII.2. der Vorlesung. Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr.

2 Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum SS Blatt 2 Aufgabe 4: (4 Punkte) Es bezeichne T die Menge aller Trapeze, die mindestens drei Seiten der Länge 2 cm besitzen. Bestimmen Sie alle Trapeze aus T, die einen in T maximalen bzw. minimalen Flächeninhalt besitzen. Aufgabe 5 : (4 Punkte) Berechnen Sie den Wert der Reihe k= k 2 2 k. Hinweis: Bestimmen Sie zunächst eine Formel für VIII.2.4). k 2 x k für alle x ] ; [ (vgl. k= Aufgabe 6: (3 Punkte) Geben Sie eine stetige Funktion f : [ ; ] R und eine Regelfunktion p : [ ; ] R an, so dass kein ξ [ ; ] existiert mit f(x)p(x) dx = f(ξ) p(x) dx. Aufgabe 7 : (3 Punkte) Beweisen Sie, dass für jede stetige Funktion f : [0; ] R mit f(x) 0 für alle x [0; ] und 0 f(x) dx = 0 schon gilt, dass f(x) = 0 für alle x [0; ]. Aufgabe 8 : (3 Punkte) Geben Sie eine Folge (f n ) n N stetiger Funktionen f n : [0; ] R an mit lim f n(x) = 0 für alle x [0; ] und n 0 f n (x) dx = für alle n N. Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr. Auf der Rückseite finden Sie eine Liste der Übungsgruppen und Zentralübungen.

3 Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum SS Übungsgruppen Gruppe ÜbungsgruppenleiterIn Ort Zeit Herr Reimann NA 4/64 Do Frau Hofman-Credner NA 4/24 Do Frau Hofman-Credner NA 4/24 Do Herr Miebach NA 4/24 Fr Frau Kurtdere NA 3/24 Fr Frau Kurtdere NA 3/64 Fr Frau Scheder NA 4/24 Fr 2-4 Teilnehmer der Gruppen 3 können diese Woche wegen des Feiertags auf eine der Freitagsgruppen ausweichen. Zudem bietet Frau Hofman-Credner einen Übungstermin am Mittwoch den 30.4., 2-4 Uhr, in NA 4/64 an. Zentralübungen Herr Dr. Holtkamp NA 0/99 Mo 4-6 Herr Reimann NA 4/24 Mo 6/8

4 Fakultät für Mathematik SS 2003 Ruhr-Universität Bochum Blatt 3 Aufgabe 9 : (++++ Punkte) Bestimmen Sie (mit Herleitung) Stammfunktionen der folgenden Funktionen f (a) f(x) = x 2 sin x (b) f(x) = arctan x (c) f(x) = ln(x 2 + ) (d) f(x) = x 3 + 7x (x 2 )(x ) 2 (e) f(x) = (2 x) x Aufgabe 0: (2+2 Punkte) (a) Geben Sie eine Formel für A(x) = x t2 dt an. Interpretieren Sie A(x) und A(x) + 2 x x 2 als Flächeninhalt von Teilbereichen des Einheitskreises. (b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das durch die Graphen der folgenden vier Funktionen begrenzt wird, wobei a > 0 ein Parameter ist f : [0; cosh a] R; f (x) = sinh a cosh a x f 2 : [0; cosh a] R; f 2 (x) = sinh a cosh a x f 3 : [, cosh a] R; f 3 (x) = x 2 f 4 : [; cosh a] R; f 4 (x) = x 2 Ihr Ergebnis sollte begründen, warum die Umkehrfunktionen von sinh und cosh mit Arsinh und Arcosh bezeichnet werden (vgl. Bemerkung VI.4.3). Aufgabe : (+ Punkte) Sei f : R R stetig und sei a > 0. Beweisen Sie (a) Ist f(x) = f( x) für alle x R, so gilt (b) Ist f(x) = f( x) für alle x R, so gilt a a a f(x)dx = 2 a a 0 f(x)dx = 0. f(x)dx.

5 Aufgabe 2 : (3 Punkte) Seien a, b, A, B R mit A 2 < 4B. Leiten Sie die in der Vorlesung angegebene Formel ax + b für dx her. Gehen Sie dabei schrittweise wie folgt vor x 2 + Ax + B (a) Berechnen Sie für c > 0 durch Substitution u = t c t 2 + c dt. 2 eine Stammfunktion von: (b) Führen Sie mit Hilfe quadratischer Ergänzung die Berechnung der Stammfunktion von dt auf den Fall (a) zurück. t 2 + At + B (c) Bestimmen Sie reelle Zahlen D, E mit ax + b x 2 + Ax + B = D (x2 + Ax + B) x 2 + Ax + B + E x 2 + Ax + B. Aufgabe 3: (2+2 Punkte) (a) Überprüfen Sie die Richtigkeit der folgenden Formel ( ) dx 2 x 2 2x ( 2 x) x = 2 arctan 2 2 x (b) Leiten Sie mit Hilfe der in Beispiel VIII.3.4 (c) beschriebenen Methode eine Stammfunktion der Funktion f : ] ; [ R mit f(x) = ( 2 x) x 2 her. Hinweis: Für x [, ]\{0} gilt tan ( ) arcsin x 2 = x 2 x (Nachweis!). Aufgabe 4: Berechnen Sie (4 Punkte) k(k + )2. k k= Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr. 2

6 Fakultät für Mathematik SS 2003 Ruhr-Universität Bochum Blatt 4 Aufgabe 5: (4 Punkte) Bestimmen Sie eine explizite Formel für x 2 + x 5 + 2x 4 + 2x 3 + x dx. 2 Aufgabe 6 : (++2 Punkte) Berechnen Sie, falls möglich, folgende Integrale. (a) (b) (c) π π 2 2 2π 2π x 5 cos x dx x + 2 x 6 + x 4 x 2 dx cos x dx Aufgabe 7 : (2 Punkte) Für welche Werte von α ]0; + [ konvergiert die Reihe n=2 n (ln n) α? (Begründung!) Aufgabe 8 : (2++ Punkte) (a) Für welche x R existiert das unbestimmte Integral Γ(x) := + 0 t x e t dt? Begründen Sie Ihre Antwort. (b) Beweisen Sie die Relation Γ(x + ) = x Γ(x), für alle x R, für die Γ(x) und Γ(x + ) existieren. (c) Beweisen Sie Γ(n + ) = n! für alle n N.

7 Aufgabe 9 (2+2+2 Punkte) Ziel dieser Aufgabe ist der Beweis der Wallisschen Produktdarstellung von π: ( π ( ) 2 = n ) = lim 4k 2 n 4k 2 k= Zu diesem Zweck definieren wir c k := Zeigen Sie (a) c k = k k (b) lim k c 2k+ c 2k =. (c) Aussage ( ). π/2 0 (cos x) k dx. c k 2 für alle k 2 ; sowie c 0 = π 2, c =. Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr. 2

8 Fakultät für Mathematik SS 2003 Ruhr-Universität Bochum Blatt 5 Aufgabe 20 : (2 Punkte) Beweisen Sie folgende Formel für a ]; + [ (a x) x dx = π 2 a2 Hinweis: Verwenden Sie die in Bemerkung VIII.3.4 (c) beschriebenen Substitutionen. Beachten Sie, dass für y > 0 die Relation arctan y + arctan = π gilt (Nachweis!). y 2 Aufgabe 2: Zeigen Sie (2+2 Punkte) (a) Das uneigentliche Integral (b) Das uneigentliche Integral + + sin x dx existiert. x sin x x dx existiert nicht. Aufgabe 22 : (+3 Punkte) Sei I R Intervall, das mindestens 2 Punkte enthält und seien a I, n N 0. Beweisen Sie (a) Es gibt höchstens ein Polynom p vom Grad n mit f(x) = p(x) + o((x a) n ) (b) Existiert ein Polynom p vom Grad n mit f(x) = p(x) + o((x a) n ), so gibt es für jedes weitere Polynom q p vom Grad n ein δ > 0 mit für alle x I mit a x < δ. f(x) p(x) < f(x) q(x) Hinweis: Beweisen Sie zunächst (b), indem Sie für Polynome q vom Grad n mit q p zeigen, dass ein k {0,,..., n} und ein c 0 existiert mit f(x) q(x) lim = c. x a (x a) k

9 Überlegen Sie sich hierbei zuerst den Fall a = 0. Aufgabe 23 : (2 Punkte) Bestimmen Sie die ersten sechs Ableitungen der Funktion f : ] 2; 2[ R, f(x) = 4 x 2 an der Stelle x = 0. Aufgabe 24 : (2 Punkte) Entscheiden Sie, ob die Folge (a n ) n N mit ( 3 a n := n n3 + 3n 2 2 ) n 2 + 2n konvergiert. Falls ja, bestimmen Sie den Grenzwert. Aufgabe 25: (Binomische Reihe; Punkte) Ziel dieser Aufgabe ist es, für alle α R und x ] ; [ zu beweisen, dass ( ) α ( + x) α = x k, k wobei k=0 ( ) α := k k j= α j + j = k=0 α (α )... (α k + ) k! Zeigen Sie hierzu: ( ) α (a) x k ist die Taylorreihe der Funktion x ( + x) k α an der Stelle a = 0. (b) Die Reihe k=0 ( ) α x k konvergiert für alle x ] ; [; α R. k (c) Für 0 x < und n N mit n > α gilt n ( ) ( ) α ( + x)α x k α k x n+ n + (d) Für < x < 0 und n N gilt n ( ) ( ) α ( + x)α x k C(x) α k x n n mit C(x) = ( x ) α. k=0 k=0 (e) Zeigen Sie, dass für alle x ] ; [, α R gilt ( ) α ( + x) α = x k. k Hinweis zu (d): Benutzen Sie, dass x s s Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr. k=0 x für alle s [0; x ] (mit Nachweis!). 2

10 Fakultät für Mathematik SS 2003 Ruhr-Universität Bochum Blatt 6 Aufgabe 26 : (3 Punkte) Seien a < b reelle Zahlen und bezeichne C([a; b]) := {f : [a; b] R f stetig} den reellen Vektorraum der stetigen Funktionen auf [a; b]. Zeigen Sie, dass < f, g >:= ein Skalarprodukt auf C([a; b]) definiert. Hinweis: Beachten Sie Aufgabe 7, Blatt 2. b a f(x)g(x)dx Aufgabe 27 : Es bezeichne (3 Punkte) c k (x) := { 2π, falls k = 0 π cos(kx), falls k N; s k (x) := π sin(kx) für k N Zeigen Sie, dass für jedes n N gilt: (c 0, s, c, s 2, c 2, s 3, c 3,..., s n, c n ) bildet ein Orthonormalsystem in C([ π; π]) bzgl. des in Aufgabe 26 definierten Skalarprodukts. Aufgabe 28: (3+3+3 Punkte) Es gelten die in Aufgabe 27 eingeführten Bezeichnungen. Für f C([ π; π]) und n N 0 seien definiert Zeigen Sie, dass gilt (a) (S n f)(x) = (b) (σ n f)(x) = π π π π S n f := f, c 0 c 0 + n ( f, c k c k + f, s k s k ) k= σ n f := n S k f, für n > 0 n k=0 D n (x y)f(y)dy F n (x y)f(y)dy

11 wobei D n (t) := F n (t) := { sin[(n+ 2 )t] 2π 2n+ 2π 2πn n, 2π sin( t 2 ), falls t R\2πZ, falls t 2πZ ( ) sin( nt 2 ) 2 sin(, t 2 ) falls t R\2πZ falls t 2πZ Hinweis: Aufgabe 65, Blatt 3 der Vorlesung Analysis I. (c) Zeigen Sie, dass gilt (i) F n (t) 0 und F n (t) = F n (t + 2π) für alle n N und t R. (ii) π π F n (t)dt = (iii) Zu jedem ε > 0 und δ ]0; π[ gibt es ein N R mit δ π F n (t)dt + π δ F n (t)dt < ε für alle n N. Aufgabe 29 : (4 Punkte) Sie dürfen die Aussagen aus Aufgabe 28 verwenden! Sei f : R R stetig und periodisch mit Periode 2π. Zeigen Sie, dass σ n f auf [ π, π] gleichmäßig gegen f konvergiert. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass (σ n f)(x) = π π F n (t)f(x t)dt (vgl. Aufgabe 28 b). Verwenden Sie dann die Aussagen aus Aufgabe 28 c) um (σ n f)(x) f(x) abzuschätzen. Beachten Sie hierbei, dass gilt (σ n f)(x) f(x) = Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr. π π F n (t)(f(x t) f(x))dt.

12 Fakultät für Mathematik SS 2003 Ruhr-Universität Bochum Blatt 7 Aufgabe 30 : (+ Punkte) Sei (X, d) metrischer Raum und sei A X. Zeigen Sie (a) A offen A = A (b) A abgeschlossen A = Ā Aufgabe 3 : (2+2 Punkte) Sei (X, d) metrischerraum. Sei A X und a X. Zeigen Sie, dass gilt (a) a Berührpunkt von A es gibt eine Folge in A, die gegen a konvergiert. (b) Ā = {a A a Berührpunkt von A}. Aufgabe 32 : (4 Punkte) Beweisen Sie Satz X.2.3 der Vorlesung. Aufgabe 33: (2 Punkte) Geben Sie einen metrischen Raum (X, d) an, sowie eine Folge (U n ) n N offener Teilmengen von X, so dass der Schnitt U n keine offene Menge in X darstellt. n N Aufgabe 34: (2+2 Punkte) Sei I := [0; [ Intervall. Entscheiden Sie (mit Begründung), ob I eine in (X, d) offene Menge ist, wenn (a) X = R, d(x, y) := x y (b) X = [0; ], d(x, y) := x y Aufgabe 35: (4 Punkte) Sei M beliebige nichtleere Menge. Es bezeichne B(M) := {f : M R sup f(x) < } x M f := sup f(x) für f B(M). x M Zeigen Sie, dass (B(M), ) ein normierter Vektorraum ist. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass B(M) ein reeller Vektorraum ist. Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr.

13 Fakultät für Mathematik SS 2003 Ruhr-Universität Bochum Blatt 8 Aufgabe 36 : (+2 Punkte) (a) Skizzieren Sie die Menge H := {(x, y) R 2 x 2 y 2 } und stellen Sie eine Vermutung auf, wie der Rand H von H aussieht. (b) Beweisen Sie Ihre Vermutung, wobei Sie H als Teilmenge des metrischen Raumes (R 2, d) auffassen mit d(x, y) := x y 2. Aufgabe 37: (3 Punkte) Wir betrachten den metrischen Raum (R, d) mit d(x, y) = x y. Bestimmen Sie (mit Beweis) den Rand Q der Menge der rationalen Zahlen in (R, d). Aufgabe 38 : (2 Punkte) Zeigen Sie, dass die Menge ]0; ] keine kompakte Teilmenge des metrischen Raumes (R, d) mit d(x, y) = x y ist, indem Sie eine offene Überdeckung von ]0; ] angeben (mit Nachweis), die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Aufgabe 39 : (4 Punkte) Entscheiden Sie (mit Beweis), ob für alle metrischen Räume (X, d X ), (Y, d Y ), alle stetigen Abbildungen f : X Y und alle A X gilt: (a) f(ā) f(a) (b) f(a) f(ā)

14 Aufgabe 40 (2 Punkte) Sei (X, d) metrischer Raum und D X. Zeigen Sie, dass für alle Teilmengen A D gilt A abgeschlossen in D Es gibt eine in X abgeschlossene Menge B mit A = B D. (vgl. Definition X.2.2). Hinweis: Zeigen Sie zunächst für beliebige Teilmengen C X, dass gilt (X\C) D = D\(C D). Aufgabe 4 (4 Punkte) Beweisen Sie den Satz X.4. der Vorlesung. Aufgabe 42 : ( Punkt) Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die Menge aller Polynome dicht liegt in (C([0; ]; R), ). Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass { } f := sup f(x) x [0; ] eine Norm auf dem Vektorraum C([0; ], R) der stetigen Funktionen von [0; ] nach R bildet, wobei R mit der Standardmetrik versehen sei. Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr. 2

15 Fakultät für Mathematik SS 2003 Ruhr-Universität Bochum Blatt 9 Vorbemerkung: In den Aufgaben 43 und 45 sei R n (n {, 2}) jeweils versehen mit der euklidischen Norm. Aufgabe 43 : (5 Punkte) Geben Sie eine Abbildung f : R R 2 an, die folgende Eigenschaften besitzt (mit Nachweis): f ist stetig und injektiv und die Umkehrfunktion f : f(r) R ist unstetig. Aufgabe 44 : (5 Punkte) Sei (X, ) Banachraum und K X kompakt. Zeigen Sie, dass zu jeder offenen Überdeckung (U i ) i I eine reelle Zahl λ > 0 existiert mit folgender Eigenschaft: Zu jeder Teilmenge A K mit diam (A) λ existiert ein i I mit A U i. Hinweis: Zu jedem y K existiert ein i y I und ein δ y > 0 mit U δy (y) U iy (warum?). Setze V y := U δy (y). Dann ist (V y ) y K offene Überdeckung von K. Wenden Sie nun die 2 Kompaktheit von K an und holen Sie sich weitere Anregungen aus dem Beweis von Satz X.5.6. Aufgabe 45: (4+++4 Punkte) (a) Sei (X, d) metrischer Raum und A X. Zeigen Sie, dass gilt: A zusammenhängend Ā zusammenhängend. (b) Sei f : ]0; [ R stetig. Zeigen Sie, dass der Graph G f = {(x, f(x)) x ]0; [} von δ eine zusammenhängende Teilmenge des R 2 darstellt. Hinweis: Verwenden Sie Satz X.5.9. (c) Sei A := {(x, sin x ) x ]0; [} R2. Bestimmen Sie die Menge Ā. (d) Zeigen Sie, dass die in (c) definierte Menge Ā R2 zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist. Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr.

16 Fakultät für Mathematik SS 2003 Ruhr-Universität Bochum Blatt 0 Aufgabe 46 : (4 Punkte) Sei V Vektorraum und (X, X ) ein Banachraum. Weiter sei Φ: V X ein Vektorraumisomorphismus (d.h. Φ linear und bijektiv). Zeigen Sie, dass V : V R; v Φ(v) X eine Norm auf V definiert und (V, V ) einen Banachraum bildet. Aufgabe 47 : (3 Punkte) Für α R sei f α : R 2 R gegeben durch { x y, falls (x, y) (0, 0) (x f α (x, y) := 2 +y 2 ) α 0, falls (x, y) = (0, 0) Entscheiden Sie (mit Beweis) für welche Werte von α die Funktion f α stetig ist. Aufgabe 48: (3 Punkte) Seien m, n N. Es bezeichne M(m n; K) den Vektorraum aller m n Matrizen mit Einträgen in K. Beweisen Sie, dass (M(m n; K), Op ) ein normierter Raum ist, wobei die Operatornorm Op ) wie in Satz X.7.2 definiert sei. Aufgabe 49 : (2+ Punkte) Sei n N und a beliebige Norm auf K n. Es bezeichne die Operatornorm auf M(n n; K) bezüglich (K n ; a ). (a) Es bezeichne E n die n n Einheitsmatrix und es sei C M(n n; K) mit C <. Zeigen Sie, dass gilt: (E n C) ist invertierbar und ( ) (E n C) = E n + C + C 2 + C = C k. (b) Seien A, B M(n n; K). Weiter sei A invertierbar und es gelte A B < A. Zeigen Sie, dass B invertierbar ist und B = A + A (A B)A + A (A B)A (A B)A +... ( = k=0 A [(A B)A ] k). k=0 Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr.

17 Fakultät für Mathematik SS 2003 Ruhr-Universität Bochum Aufgabe 50 : ( Punkt) Blatt Skizzieren Sie das Bild der Abbildung f : ] ; [ R 2 mit f(t) = ). Entscheiden t 2 Sie (mit Begründung), ob f differenzierbar ist und berechnen Sie gegebenenfalls die Ableitung. Aufgabe 5: (2 Punkte) Skizzieren Sie den Graphen der Abbildung f : {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < } R mit f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 3 4. Entscheiden Sie (mit Begründung), ob f differenzierbar ist und berechnen Sie gegebenenfalls die Ableitung. Aufgabe 52 : (2 Punkte) Sei C = (c jk ) j,k M(n n; R). Berechnen Sie die partielle Ableitung f (x) für alle x n n x R n, wobei f : R n R gegeben ist durch f(x) = c jk x j x k. j= k= Aufgabe 53: (4 Punkte) Fassen Sie die Determinante als Abbildung det: R n2 R auf. Zeigen Sie, dass für invertierbare Matrizen A = (a jk ) j,k gilt det a jk (A) = (A ) kj det(a). ( t 3 Aufgabe 54 : (2+2 Punkte) Entscheiden Sie für welche α R die Funktionen { xy f α : R 2, falls (x, y) (0, 0) (x R mit f α (x, y) = 2 +y 2 ) α 0, falls (x, y) = (0, 0) (a) partiell differenzierbar sind. (b) differenzierbar sind. Aufgabe 55: (4 Punkte) Seien n, m N und sei U R n offen und a U. Weiter seien f : U R m und g : U R an der Stelle a differenzierbar. Beweisen Sie, dass dann auch die Abbildung f g : U R m, x f(x)g(x) an der Stelle a differenzierbar ist mit D(f g)(a) = f(a)dg(a) + g(a)df(a).

18 Aufgabe 56 : (3 Punkte) Seien m, n N und sei U R n offen. Zeigen Sie, dass jede stetig differenzierbare Funktion f : U R m lokal Lipschitzstetig ist, d.h. zu jedem x U existiert ein ε > 0 und ein L > 0 mit f(b) f(a) L b a für alle a, b K ε (x). Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr. 2

19 Fakultät für Mathematik SS 2003 Ruhr-Universität Bochum Blatt 2 Aufgabe 57 : (3 Punkte) Sei n N\{} und sei g n : R n \{0} R definiert durch { ln( x 2 ), falls n = 2 g n (x) = x 2 n 2, falls n 3 wobei x 2 = x x 2 n die euklidische Norm bezeichnet. Berechnen Sie ( g n )(x) := n j= 2 g n (x) x 2 j für alle x R n \{0}. Aufgabe 58: (+2+ Punkte) Sei K := {(x, y) R 2 x und y } und f : K R mit f(x, y) = x 2 + 2xy. (a) Warum besitzt f Maximum und Minimum? (b) Bestimmen Sie (mit Beweis) das Maximum und Minimum von f und die Stellen, an denen Maximum und Minimum angenommen werden. (c) Berechnen Sie den Gradienten von f an den Maximum- und Minimumstellen. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Aufgabe 59 : (+2+ Punkte) Sei K := {(x, y) R 2 x 2 + y 2 } und f : K R mit f(x, y) = x 2 + 2xy. (a) Warum besitzt f Maximum und Minimum? (b) Bestimmen Sie (mit Beweis) das Maximum und Minimum von f und die Stellen an denen Maximum und Minimum angenommen werden. (c) Berechnen Sie den Gradienten von f an den Maximum- und Minimumstellen. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis geometrisch.

20 Aufgabe 60: (3 Punkte) Bestimmen Sie (mit Beweis) unter allen Quadern mit Gesamtkantenlänge 4 m diejenigen mit maximalen Volumen. Aufgabe 6: (2 Punkte) Sei f : R n R stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass für jede Wahl von a, b R n ein ζ R n existiert mit f(b) f(a) = Df(ζ)(b a). Abgabetermin: Montag, , 0:0 Uhr. 2