Analysis I. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Transkript

1 Analysis I 7. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching April 26, 207

2 Erinnerung Satz. (Zwischenwertsatz) Sei f : [a, b] R stetig mit f(a) f(b). Dann gibt es zu jedem y [f(a), f(b)] ein x [a, b] mit f(x) y. 2 Grenzwerte Variablenwechsel in Grenzwerte (Substitution) Mit den Eigenschaften stetiger Funktionen ist es möglich, viele Grenzwerte durch einen Variablenwechsel zu berechnen. Beispiel : Berechne den Grenzwert von lim sin(x 2 ) x 2. sin(y) Bekanntlich ist lim, also ist die Funktion f(y) sin(y) in 0 stetig ergänzbar mit y 0 y y { sin(y) den Wert f(0). Daraus definieren wir eine stetige Funktion f(x) x 0 y. 0, x 0 Andererseits gilt lim x 2 0, also aus der Stetigkeit von f schliessen wir, dass sin(x 2 ) lim x 2 lim f(x 2 ) f(lim x 2 ) f(0). Man sagt, dass ein Variablenwechsel y x 2 ausgeführt wird. Logarithmus Von jetzt an verwenden wir elementare Eigenschaften des reellen Logarithmus. Insbesondere hat man folgende wichtige Grenzwerte fr jedes α > 0: (i) lim xα log(x) 0 + (ii) lim x log(x) x α 0 (iii) lim log(+x) x Der dritte Grenzwert wird auch in der Zukunft bewiesen. Beispiel 2: ( ) Berechne den Grenzwert von lim log x x2 ( + x) x. + ( ) ( lim log x x2 ( + x) x lim log x x2) ( ) + log ( + x) x + + lim x2 log(x) + + }{{} ZF log( + x) x } {{ } ZF 2

3 Beispiel : Berechne den Grenzwert von lim ( ) lim x cos2 ( x) x Stetigkeit (II) ( cos2 ( x) x x ). Substitution: y: ( ) x lim y 0 y cos2 (y) 2 y 2 lim y 0 cos 2 (y) y 2 lim y 0 ( cos(y))( + cos(y)) y 2 lim ( + cos(y)) y 0 }{{} ( cos(y)) y 2 } {{ } ZF 2 Definition K R n heisst kompakt, falls jede Folge (x n ) n N K einen Häufungspunkt in K besitzt, d.h. falls eine Teilfolge Λ N und ein x 0 K existieren mit x n n, n Λ x 0. Eine Menge K R n heisst kompakt, falls sie beschränkt und abgeschlossen ist. Beispiel 4.2.2: (i) Das abgeschlossene Intervall [0, ] ist kompakt. (ii) Das offene Intervall (0, ) ist nicht kompakt. Die Beweise sind im Struwe Skript.. Stetigkeit Definition 4.. Sei Ω R d, f : Ω R n. (i) f heisst stetig an der Stelle x 0 Ω, falls lim x x0 f(x) f(x 0 ) : a existiert. (ii) f heisst an der Stellex 0 Ω \ Ω stetig ergänzbar, falls lim x x0 f(x) : a existert. (In diesem Fall ist die duch f(x 0 ) a ergänzte Funktion f stegig an der Stelle x 0.) Defintion 4.2. Sei f : Ω R d R n. f heisst stetig auf Ω, falls f in jedem Punkt x 0 Ω stetig ist.

4 .2 Gleichmässige Stetigkeit Definition f : Ω R n heisst gleichmässig stetig, falls gilt ε > 0, δ(ε) δ > 0, x, y Ω : x y < δ f(x) f(y) < ε Satz 4.7. Sei Ω R d beschränkt, f : Ω R n stetig und auf Ω stetig ergänzbar. gleichmässig stetig. Satz. Sei f : Ω R stetig und Ω kompakt. Dann ist f gleichmässig stetig. Diesen Satz kann man sich mit der folgenden Merkregel merken: Dann ist f Stetigkeit auf einer kompakten Menge gleichmässige Stetigkeit. Beispiel 4: Ist die Funktion f(x) x2 x+ gleichmässig stetig? Wir fixieren ein ε > 0. Wir suche δ > 0, sodass für alle x, y Ω mit x y < δ folgendes gilt: f(x) f(y) < ε. Für x, y [0, ) gilt: x 2 x + y2 y + x 2 (y + ) y 2 (x + ) (x + )(y + ) x 2 y + x 2 y 2 x y 2 (x + )(y + ) xy(x y) + x 2 y 2 (x + )(y + ) xy(x y) + (x y)(x + y) (x + )(y + ) ( ) xy + x + y x y (x + )(y + ) ( ) xy x y (x + )(y + ) + x (x + )(y + ) + y (x + )(y + ) Weil x+ und y y+, gilt xy (x+)(y+). Deshalb können wir die folgende Ab- 4

5 schätzung machen: x 2 x + y2 xy y + x y + (x + )(y + ) }{{} Somit folgt: x y ( + + ) x y x (x + )(y + ) } {{ } x 2 x + y2 y + x y! < ε x y < ε : δ. Da δ von x, y unabhängig ist, folgt damit, dass f gleichmässig stetig ist. y + (x + )(y + ) }{{}. Lipschitz-Stetigkeit Definition 4..4 Eine Funktion f : Ω R d R n heisst Lipschitz stetig mit Lipschitzkonstante L, falls gilt f(x) f(y) L x y, x, y Ω. Satz. Eine differenzierbare Funktion f : Ω R ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung auf Ω beschränkt ist. Die verschiedenen Stetigkeiten hängen wie folgt von einander ab, wobei die Pfeile Implikationen darstellen: Beispiel 5: Ist die folgende Funktion Lipschit-stetig? Falls ja, bestimme die Lipschitz-Konstante. f : (, 2) R x f(x) x 2 + 4x. 5

6 Seien x, y (, 2) beliebig. Es gilt f(x) f(y) x 2 + 4x (y 2 + 4y ) x 2 + 4x y 2 4y + x 2 + 4x y 2 4y x 2 y 2 + 4(x y) (x y)(x + y) + 4(x y) x + y + 4 x y Für alle x, y (, 2) gilt nach der Dreiecksungleichung x + y + 4 x + y Es ergitbt sich somit: f(x) f(y) x + y + 4 x y 0 x y. Die Funktion ist demzufolge Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L 0. 4 Punktweise und Gleichmässige Konvergenz Definition 4.8. Sei Ω R d und seien f, f k : Ω R n, n N. (i) Die Folge (f k ) k N konvergiert punktweise gegen f, falls gilt f k (x) k f(x), x Ω. (ii) Die Folge (f k ) k N konvergiert gleichmässig gegen f, f k glm., k f, falls Satz 4.8. (erste Variante) sup f k (x) f(x) k 0. x Ω Seien f k : Ω R d R n stetig, k N. Weiter gelte f k Dann ist f stetig. glm. k f für ein f : Ω R n. Satz. (zweite Variante) Sei f n : Ω R R eine Folge stetiger Funktionen. Falls f n gegen f gleichmässig konvergiert, ist f stetig. Meist wird die Negation vom obigen Satz benutzt: Ist der punktweise Limes f von f n unstetig, so konvergiert f n nicht gleichmässig gegen f. Satz.(Dini) Sei f n : Ω R k R m eine Folge stetiger Funktionen mit punktweisem Limes f und 6

7 sei Ω kompakt. Ist f stetig und f n monoton wachsend, so konvergiert g n gegen g gleichmässig. Unter einer monoton wachsenden Folge stetiger Funktionen versteht man einen Folge f n (x), für welche f n (x) f n+ (x) für alle x Ω gilt. In anderen Worten: Für ein beliebiges aber fixes x Ω gilt f n (x) f n+ (x). Kochrezept für gleichmässige Konvergenz Gegeben: Folge stetiger Funktionen f n : Ω R R Gefragt: Konvergiert f n auf Ω gleichmässig? (i) Berechne den punktweisen Limes von f n auf Ω (Def (i)), d.h. f(x) lim n f n (x) für ein fixes aber beliebiges x Ω. (ii) Prüfe f n auf gleichmässige Konvergenz. Direkte Methode : (A) Berechne sup f n (x) f(x). x Ω Zu diesem Zweck ist es oft nütlich, die Ableitung nach x von f n (x) f(x) zu berechnen und diese gleich Null zu setzen. Ausser, man sieht den max direkt, aber das geht nur bei einfachen Aufgaben. (B) Berechne den Limes für n Gilt lim sup n x Ω Indirekte Methoden : lim sup f n (x) f(x). n x Ω f n (x) f(x) 0, so ist f n auf Ω gleichmässig konvergent. f unstetig keine gleichmässige Konvergenz. f stetig, f n (x) f n+ (x) x Ω und Ω kompakt gleichmässige Konvergenz. Beispiel 6: Betrachte die Folge stetiger Funktionen definiert durch f n : R R, f n (x) 7 x + n.

8 Konvergiert f n gleichmässig auf R? (i) Punktweise Konvergenz: Wir fixieren x R und bilden den Limes für n : lim f n(x) lim n n x + n x : f(x) Die Funktionenfolge konvergiert somit punktweise gegen den punktweisen Grenzwert f(x) x. (ii) Gleichmässige Konvergenz: Wir müssen zeigen, dass lim sup n x R gilt. Wir berechnen zuerst den Ausdruck sup f n (x) f(x) : x R f n (x) f(x) 0 sup f n (x) f(x) sup x + x R x R n x ( sup x + x R n ) ( x + + ) x n x ( x + + ) x n sup n x R x + + x. n Da x positiv ist, wird das Supremum von n bei x 0 angenommen. Es gilt somit: sup x R x + n + x f n (x) f(x) sup n x R x + + x n n n n n 2 n n 2 n 2 n 2 Wir bilden nun den Limes für n und finden: lim sup x R f n(x) f(x) lim n n n 2 0. Somit konvergiert die Funktionenfolge f n auf R glecihmässig gegen f. 8