([0, 1]) und int K = p 1

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1 126 III. Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen wie man durch Einsetzen unmittelbar erkennt. Zeigen wir noch die Halbstetigkeit von f: Sei(x n ) eine Folge in L p (R) mitx n x in L p (R) und f(x n ) c. NachÜbergang zu einer Teilfolge dürfen wir annehmen, daß (x n )auchfastüberall gegen x konvergiert 1. Wegen der Stetigkeit von F folgt F (t, x n (t)) F (t, x(t)) fast überall und weiter nach dem Lemma von Fatou 2 f(x) lim inf f(x n ) c. Nach Lemma III.5.9 und Satz III.5.8 besitzt f eine Minimalstelle in L p (R). III.6 Aufgaben Aufgabe III.6.1 Gib die Details des Beweises von Satz III.1.1. Aufgabe III.6.2 Sei X ein normierter Raum und U ein abgeschlossener Unterraum. Sei x X \ U. Dann existiert ein Funktional x U mit x 1 und x (x) =d(x, U). (Hinweis: Benutze Satz III.1.1!) Aufgabe III.6.3 Sei X ein normierter Raum und K X konvex. (a) Die Mengen K und int K sind ebenfalls konvex. (b) Ist int K, so gilt K = int K. Aufgabe III.6.4 Seien K und L konvexe absorbierende Teilmengen des normierten Raums X, und seien p K und p L die zugehörigen Minkowski-Funktionale. (a) Zeige p K p L, falls K L. (b) p K ist genau dann stetig, wenn int K gilt. (c) Wenn p K stetig ist, gelten K = p 1 K ([, 1]) und int K = p 1 K ([, 1)). (d) Gilt zusätzlich λk K, falls λ 1 (d.h. ist K kreisförmig ), so ist p K eine Halbnorm, und p K ist eine Norm dann und nur dann, wenn K keinen nichttrivialen Unterraum von X enthält. (e) Gilt für eine konvexe Menge K K absorbierend int K? Aufgabe III.6.5 (Banachlimiten) Wir betrachten K = R. Eine lineare Abbildung l: l R heißt Banachlimes, falls ( l(tx) = l(x) für alle ) x l, wo T der Shiftoperator ist, der x = x(1),x(2),x(3),... l auf ( x(2),x(3),x(4),... ) abbildet. Falls x(n) für alle n N, so gilt l(x). l(1) =1,wo1 =(1, 1, 1,...). (a) Sei l ein Banachlimes. Dann gelten: l (l ) und l =1, lim inf x(n) l(x) lim sup x(n) für x = ( x(n) ) l,speziell l(x) = lim n x(n) für x c, 1 Siehe z.b. Theorem 3.12 in Rudin [1986]. 2 Siehe z.b. Lemma 1.28 in Rudin [1986].

2 III.6 Aufgaben 127 l ist nicht multiplikativ, d.h., es gilt nicht l(x y) = l(x) l(y) für alle x, y l. (b) Es existiert ein Banachlimes l. (Hinweis: Variante I: Betrachte p(x) =sup n x(n), zeige dann p U,wo U = {Tx x: x l }, und setze mit Hahn-Banach fort. Variante II: Betrachte p(x) = lim sup 1 n x(j). Zeige die Sublinearität von p und n j=1 beachte (Analysis I!) p c = lim. Setze mit Hahn-Banach fort.) Aufgabe III.6.6 Sei l (l ). Zeige, daß l eindeutig ( als Summe zweier Funktionale l 1 und l 2 geschrieben werden kann, wo l ) 1 (sn) = n=1 sntn und l2 c = ist. Zeige ferner, daß l = l 1 + l 2 gilt. Schließe, daß jedes Funktional auf c eindeutig zu einem normgleichen Funktional auf l fortgesetzt werden kann. (Hinweise: (1) Betrachte l(e n). (2) Wähle x, y l mit x = y =1,so daß l 1(x) l 1 und l 2(y) l 2. Seiz die Folge mit z(n) =x(n) für n N und z(n) =y(n) für n>n.für passendes N versuche l(z) l 1 + l 2 zu zeigen.) Aufgabe III.6.7 Sei X strikt konvex (Aufgabe I.4.13). Dann gilt Eindeutigkeit im Fortsetzungssatz von Hahn-Banach. Aufgabe III.6.8 (Rieszscher Darstellungssatz für (C[, 1]) ) Sei l (C[, 1]) und L eine Hahn-Banach-Fortsetzung zu einem Funktional L (l [, 1]).Setzey t = χ [,t] l [, 1]. Zeige C[, 1] lin{y t: t [, 1]}. Setze g(t) =L(y t) und zeige, daß g von beschränkter Variation ist. Beweise schließlich die Darstellung des Funktionals l als Stieltjes-Integral l(x) = 1 x(t) dg(t) x C[, 1]. (Zum Begriff des Stieltjes-Integrals siehe z.b. Rudin [1976], S. 122.) Dieser Beweis stammt von Banach. Aufgabe III.6.9 Seien V 1 und V 2 konvexe Teilmengen des normierten Raums X, und es gelte int V 1, intv 1 V 2 =. Dannexistiertx X, x,mit Re x (v 1) Re x (v 2) v 1 V 1, v 2 V 2. Aufgabe III.6.1 Seien K und L disjunkte abgeschlossene konvexe Teilmengen eines normierten Raums X, zusätzlich sei eine von beiden kompakt. Zeige, daß ein stetiges Funktional x X existiert, für das gilt sup Re x (x) < inf Re x (x). x K x L (Es gibt Beispiele, die zeigen, daß diese Aussage ohne die vorausgesetzte Kompaktheit falsch ist, selbst, wenn man nur fordert.) Aufgabe III.6.11 Seien U und V disjunkte abgeschlossene beschränkte konvexe Teilmengen eines reflexiven Banachraums X. Dann können U und V strikt getrennt werden. (Tip: Zeige zuerst inf{ u v : u U, v V } > ; dazu beachte Theorem III.3.7 und Satz III.3.8.)

3 128 III. Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen Aufgabe III.6.12 Sei K eine konvexe Menge. Eine Funktion f: K R heißt konvex (bzw. affin bzw. konkav), wenn f(λx +(1 λ)y) λf(x) +(1 λ)f(y) für alle x, y K, λ 1(bzw.=bzw. ). Sei nun f: R n R eine konkave stetige Funktion sowie g: R n R eine konvexe stetige Funktion mit f g. Dann existiert eine affine stetige Funktion h: R n R mit f h g. (Hinweis: Betrachte die Teilmengen {(x, r): x R n, r < f(x)} und {(x, r): x R n, r > g(x)} von R n+1.) Aufgabe III.6.13 Sei P[, 1] (bzw. P n[, 1]) der Vektorraum aller Polynomfunktionen (höchstens n-ten Grades) auf [,1]. Existiert ein Borelmaß µ auf [,1] mit (a) p () = 1 pdµ für alle p P[, 1]? (b) p () = 1 pdµ für alle p Pn[, 1]? Aufgabe III.6.14 Ist X ein Banachraum und A X kompakt, so auch co A. (Hinweis: Satz B.1.7.) Aufgabe III.6.15 Keiner der Räume l, C[, 1], L 1 [, 1], L [, 1] ist reflexiv. Aufgabe III.6.16 Seien X und Y Banachräume. (a) x n x, T L(X, Y ) Txn Tx. (b) x n x, T K(X, Y ) Txn Tx. (Hinweis: Benutze hier im Vorgriff die in Kapitel IV bewiesene Tatsache, daß (x n)beschränkt ist.) (c) X sei reflexiv, und T L(X, Y )erfülle Dann ist T kompakt. x n x Txn Tx. Aufgabe III.6.17 Zeige, daß eine beschränkte Folge (x n) in einem normierten Raum X genau dann gegen x X schwach konvergiert, wenn es eine Teilmenge D X mit lin D = X und lim n x (x n)=x (x) für alle x D gibt. Aufgabe III.6.18 Sei X ein separabler normierter Raum und (x n) eine beschränkte Folge in X. Dann existieren eine Teilfolge (x n k ) und ein Funktional x X mit lim k x n k (x) =x (x) für alle x X. Kann man auf die Separabilität verzichten? (Tip: Imitiere den Beweis von Theorem III.3.7.) Aufgabe III.6.19 Sei X ein reflexiver Banachraum, und sei K X abgeschlossen, konvex und nicht leer. Dann gibt es zu jedem x X eine beste Approximation in K, d.h.einy K mit x y = d(x, K) := inf x z. z K Aufgabe III.6.2 Sei 1 <p< und e n der n-te Einheitsvektor in l p. (a) Es gilt e n.

4 III.6 Aufgaben 129 (b) Aus Korollar III.3.9 folgt die Existenz einer Folge (y n)vonkonvexkombinationen der e n mit y n. Gib solche Konvexkombinationen explizit an! Aufgabe III.6.21 (a) Ist T : X Y ein [isometrischer] Isomorphismus zwischen normierten Räumen, so ist T : Y X ebenfalls ein [isometrischer] Isomorphismus. Sind X und Y Banachräume, so gilt auch die Umkehrung. (b) Ist ein normierter Raum Y isomorph zu einem reflexiven Banachraum X, so ist Y ebenfalls ein reflexiver Banachraum. Aufgabe III.6.22 Seien X und Y Banachräume, und sei U X ein abgeschlossener Unterraum. Sei S L(U, Y ). (a) Im Fall Y = l gestattet S eine normerhaltende Fortsetzung zu einem Operator auf X, d.h., es existiert T L(X, Y )mitt U = S und S = T. (Hinweis: Wende den Satz von Hahn-Banach auf die Funktionale l n: u (Su)(n) an!) (b) Falls U = Y = c, X = c und S =Id c, so hat jede Fortsetzung T von S auf X eine Norm 2. Um das zu beweisen, zeige zuerst für M = {x c : x(n) 1 1 n N}, daß der Radius jeder abgeschlossenen Kugel in c,diem enthält, mindestens 2 ist. (c) Falls U = Y = {(x, y, z) R 3 : x + y + z =}, X = l (3) und S =Id U, dann hat jede Fortsetzung T von S auf X eine Norm 4/3. (Hinweis: Die Matrix von T muß die Gestalt ( ) a a 1 a 1 b b+1 b a b a b a b +1 haben. Nun benutze Aufgabe II.5.8.) Aufgabe III.6.23 Sei X ein separabler Banachraum. Dann existiert ein isometrischer linearer Operator von X nach l. Jeder separable Banachraum ist also isometrisch isomorph zu einem abgeschlossenen Teilraum von l. (Tip: Sei {x n: n N} dicht in X. Definiere den gesuchten Operator durch x ( x n(x) ) für passend zu wählende Funktionale x n X. Übrigens ist jeder separable Banachraum sogar zu einem abgeschlossenen Teilraum von C[, 1] isometrisch isomorph. Dieser Satz von Banach und Mazur ist aber weit schwieriger zu zeigen.) Aufgabe III.6.24 Gib die Details des Beispiels III.4(c). Aufgabe III.6.25 (Momentenoperator) Zu f L 1 [, 1] betrachte die Folge der Momente (f n # ) n,wo f # n = 1 f(t)t n dt. Zeige, daß die Abbildung T : f (f # n ) ein stetiger linearer Operator von L 1 [, 1] nach c ist. Gib die Darstellung des adjungierten Operators T : l 1 L [, 1].

5 13 III. Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen Aufgabe III.6.26 Untersuche die Abbildung F : L 2 [, 1] L 2 [, 1], (F (x))(t) = sin x(t), auf Gâteaux- bzw. Fréchet-Differenzierbarkeit an der Stelle x =. Aufgabe III.6.27 Sei U = {x C[, 1]: x(t) t}. Untersuche die Abbildung f: U C[, 1], f(x) =1/x, auf Differenzierbarkeit. Aufgabe III.6.28 An welchen Stellen ist die Supremumsnorm auf C[, 1] bzw. c Gâteaux- oder Fréchet-differenzierbar? Aufgabe III.6.29 Seien f,g: U Y Gâteaux-differenzierbar und φ: Y Y Z bilinear und beschränkt. Bestimme die Ableitung von x φ(f(x),g(x)). Aufgabe III.6.3 Finde Beispiele für (a) eine Abbildung f: X Y, die an einer Stelle Gâteaux-differenzierbar, aber nicht stetig ist; (b) eine Abbildung f: X Y, die an einer Stelle x Gâteaux-differenzierbar ist, und eine Abbildung g: Y Z, diebeif(x )Gâteaux-differenzierbar ist, so daß g f: X Z bei x nicht Gâteaux-differenzierbar ist; (c) eine Funktion f: R 2 R, für die an einer Stelle sämtliche Richtungsableitungen existieren, die dort aber nicht Gâteaux-differenzierbar ist. Aufgabe III.6.31 Eine Norm heißt lokal gleichmäßig konvex, wenn es zu jedem x mit x = 1 und jedem ε>einδ = δ(x, ε) > gibt,sodaß y 1, x + y > 1 δ x y <ε. 2 (a) Ist die Norm von X lokal gleichmäßig konvex, so ist die Norm von X an jeder Stelle x Fréchet-differenzierbar. (b) Ist die Norm von X strikt konvex (siehe Aufgabe I.4.13), so ist die Norm von X an jeder Stelle x Gâteaux-differenzierbar. (c) Ist die Norm von X an jeder Stelle x Gâteaux-differenzierbar, so ist die Norm von X strikt konvex. [Bemerkung: Die entsprechende Umkehrung von (a) gilt nicht.] Aufgabe III.6.32 Zeige, daß die kanonische Norm von L p (µ) an jeder Stelle x Fréchet-differenzierbar ist, (a) mit Hilfe von Beispiel III.5(e), (b) im Fall p 2 mittels der Aufgaben III.6.31 und I Aufgabe III.6.33 Wenn die Norm eines normierten Raums X auf X \{} Fréchet-differenzierbar ist, ist die Ableitung dort stetig. Aufgabe III.6.34 Sei f: X R ein Funktional auf einem normierten Raum. Der Epigraph von f ist die Teilmenge epi(f) :={(x, t): f(x) t} von X R. (a) f ist genau dann konvex, wenn epi(f) konvexist. (b) f ist genau dann halbstetig von unten, wenn epi(f) abgeschlossen ist. Aufgabe III.6.35 Sei f: X R ein Gâteaux-differenzierbares konvexes Funktional und x X mit Df(x )=.Dannbesitztf bei x ein globales Minimum. Aufgabe III.6.36 Bestimme das Minimum des Funktionals f(x) = 1( x(t) 4 + e t x(t) ) dt auf C[, 1].