11 Stochastisches Integral und Itô-Formel
|
|
- Matthias Brandt
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 11 Stochastisches Integral und Itô-Formel Im diskreten Finanzmodell bei selbstfinanzierender Strategie ϑ = {ϑ n n=,...,n mit Anfangswert V gilt : Ṽ n ϑ = V + n ϑ T j S j. j=1 Dieser diskontierte Wertprozess des Assetprozesses {S n n=,...,n ist eine Martingaltransformation von { S n n=,...,n, wobei letzterer Prozess ein Martingal ist unter dem äquivalentem W-Maß P. Im stetigen Modell gibt es kein direktes Analogon, etwa Ṽ t ϑ = V + ϑ T s d S s, da die Prozesse { S t t T oft von unbeschränkter Variation sind, z.b. Funktionen eines d-dimensionalen Wiener-Prozesses. Konstruktion eines stochastischen Integrals Itô-Integral bezüglich des Standard- Wiener-Prozesses : Gegeben : {W t t 1-dimensionaler Standard - Wiener-Prozess bezüglich {A t t mit stetigen Pfaden auf einem W-Raum Ω, A, P. Definition {H t t T heißt Elementarprozess auf Ω, A,P : H t ω = k ϑ i ωi ti 1,t i ]t, wobei = t < t 1 <... < t k = T, k N, i=1 ϑ i beschränkt, A ti 1 -messbar i = 1,...,k. Stochastisches Integral von {H t bezüglich {W t : Sei t t l,t l+1 ] l =, 1,...,k 1 : IH t := l ϑ i Wti W ti 1 + ϑl+1 W t W tl. i=1 Äquivalente Darstellung : k IH t := ϑ i Wti t W ti 1 t, i=1 insbesondere t IH t stetig. Schreibweise : IH t =:. 48
2 Eigenschaften : Sei {H t t T Elementarprozess bezüglich {A t t T : { t T E = E E sup t T wohldefiniert, stetiges Martingal bezüglich{a t t T ; Hs ds ; 4E Hs ds. Bemerkung Wir definieren noch für t T : 11.4 t :=. Falls A A t, so definiert auch I A ωi t,t] sh s ω einen Elementarprozess. Man verifiziert leicht : 11.5 I A ωh s ωi t,t] sdw s ω = I A ω ω. t Fortsetzung des stochastischen Integrals auf die Klasse H = { {H t t T {Ht t T ist progressiv messbar, E Ht dt <. Satz Sei {W t t T Wiener-Prozess auf Ω, A,P bezüglich {A t t T mit stetigen Pfaden und M c = M c [,T] = { {M t t T {M t ist stetiges Martingal bezüglich {A t. Dann gilt : a eine lineare Abbildung I : H M c : a1 Falls {H t Elementarprozess ist P-f.s., so folgt : IH t = a E I H t = E Hs ds t T. ; I ist P-f.s. eindeutig im folgenden Sinn : Falls I und Ĩ die Eigenschaften a1, a besitzen, so folgt für P-fast alle ω : IH t ω = ĨH tω t T. Wir setzen : := IH t. 49
3 b Für {H t t T H und τ : Ω [,T] Stoppzeit bezüglich {A t t T : b1 E sup t T 4E Hs ds ; b τ = I [,τ] s P-f.s. Wir benötigen noch eine Erweiterung von IH t H = { {H s s T {Ht t T ist progressiv messbar, auf die größere Klasse Hs ds < P-f.s. H. Es gilt der folgende Satz : Satz 11.. Sei {W t t T Wiener-Prozess auf Ω, A,P bezüglich {A t t T mit stetigen Pfaden und X c = {{X t t T X t ist stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden = eine eindeutige lineare Abbildung Ĩ : H X c derart, dass gilt : i Falls {H t Elementarprozess ist, so folgt P-f.s. : ĨH t = t T ; ii Falls {H n H mit sup t T H n P s ds n, so folgt : ĨH n t P n. Schreibweise : := ĨH t, t T. Bemerkung 11.. { t T ist im Allgemeinen kein Martingal! 5
4 Zusammenfassung: Sei {W t t T Wiener-Prozess bezüglich {A t t T mit stetigen Pfaden. 1 Für progressiv messbare Prozesse {H t t T mit Satz 11. ein stochastisches Integral P-f.s. : Gilt sogar E Hs ds < +, so bildet Martingal bezüglich {A t t T. Bezeichnung: Itô-Integral. 3 Es lässt sich zeigen : E Hs ds < + E sup t T < +. t { H s ds < + P-f.s. liefert stetig in t ; t T ein stetiges Itô-Kalkül: Basierend auf dem obigen stochastischen Integral wird jetzt ein Differentialkalkül eingeführt, der es gestattet, Funktionen t fw t, f C, Weise zu differenzieren. Die üblichen Formeln wie f t = fsf sds = d f t = ftdft sind dabei nicht zu erwarten. Würde nämlich gelten, dass W t = so wäre {W t t T W s dw s, wegen E Ws ds = T mit W, folglich W t = P-f.s. Widerspruch. Es wird sich zeigen : fsdfs falls f = bzw. in geeigneter < ein nicht-negatives Martingal W t = In differentieller Form : W s dw s + t Itô-Formel für fw t = W t. d Wt = Wt dw t + dt, W =. 51
5 Allgemein : dfw t = f W t dw t + 1 f W t dt mit der Bedeutung : fw t = fw + f W s dw s + 1 f W s ds. Die Itô-Formel gilt für eine allgemeinere Klasse von stochastischen Prozessen und wird nützlich sein bei der konkreten Berechnung stochastischer Integrale. Definition 11.. Sei {W t t T ein Wiener-Prozess bezüglich {A t t T mit stetigen Pfaden. Ein Prozess {X t t T heißt Itô-Prozess in R, wenn er die Darstellung besitzt P-f.s. : 11.6 X t = X + K s ds +, t T, wobei X A -messbar ist, {K s t T, {H s t T progressiv messbar sind, T K s ds < P-f.s., H s ds < P-f.s.. Bemerkung Die Darstellung eines Itô-Prozesses ist im folgenden Sinne eindeutig : Falls X t = X + = X + K s ds + K s ds +, t T, so gilt : X = X P - f.s., K s = K s λ P - f.ü., H s = H s λ P - f.ü. Ist der Itô-Prozess ein Martingal bezüglich {A t t T, so folgt : K = λ P - f.ü. 5
6 Satz Sei {X t t T ein Itô-Prozess der Form X t = X + K s ds + und f : x fx zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt : 11.7 fx t = fx + f X s dx s + 1 f X s d X,X s, wobei X,X t := und f X s dx s := H s ds quadratische Variation f X s K s ds + In differentieller Form : f X s dx t = K t dt + H t dw t, d fx t = f X t dx t + 1 f X t d X,X t = f X t K t d t + f X t H t dw t + 1 f X t d X,X t. Beispiel X t = W t, also dx t = ds + 1 dw t ; fx = x, 1 ds = t. Dann gilt : dwt = W t dw t + 1 dt W t = W s dw s + t. bzw. Allgemeiner gilt : Satz Sei dx t = K s ds+ wie in Satz 11.3 und f : t,x ft,x zweimal stetig partiell differenzierbar bezüglich x mit Ableitungen f x t,x, f xx t,x und einmal stetig partiell differenzierbar bezüglich t mit Ableitung f t t,x = 11.1 dft,x t = f t t,x t dt + f x t,x t dx t + 1 f xxt,x t d X,X t, d.h. ft,x t = f,x + f s s,x s ds f x s,x s dx s f xx s,x s d X,X s. 53
7 Beispiel 11.. Lösung einer stochastischen Differentialgleichung Suche einen adaptierten progressiv messbaren Prozess {S t t, so dass P-f.s. gilt : ds t = S t µ dt + σ dwt, S = x, d.h S t = x + µ S s ds + σ S s dw s, t. Ansatz: Fasse formal ds t /S t als dlog S t auf, S t >, und benutze die Itô-Formel für fx = log x. Dies ergibt : log S t = log S + wegen somit log S t = log S + = log S + 1 S s ds s + 1 µ σ µ σ Daher macht man den folgenden Ansatz S t = x exp ds + 1 Ss t + σ W t. {µ t σ + σ W t σ dw s σ S s ds, geometrische Brown sche Bewegung und verifiziert mit Hilfe der Itô-Formel für ft,x = x exp { µ σ t + σ x : Beachtet man f t t,x = µ σ ft,x, fx t,x = σ ft,x, f xx t,x = σ ft,x, d W,W t = dt, so liefert die Itô-Formel Satz 11.4 : S t = ft,w t = x + also die Behauptung. S s µ σ ds + S s σ dw s + 1 S s σ ds, Um die Eindeutigkeit der Lösung S t = x exp {µ t σ + σ W t von bzw nachweisen zu können, benötigen wir noch die folgende Formel von der partiellen Integration stochastischer Integrale : 54
8 Satz Seien {X t t T und {Y t t T Itô-Prozesse mit X t = X + Y t = Y + Dann folgt : K s ds + K s ds +. und X t Y t = X Y + X s dy s + Y s dx s + X,Y t, wobei X,Y t = H s Hs ds Kreuz-Variation. In differentieller Form : dx t Y t = X t dy t + Y t dx t + d X,Y t. Beispiel 11.. Fortsetzung ds t = S t µdt + σ dw t, S = x. Zeige : S t = x exp { µ σ t + σ Wt ist eindeutige Lösung. Fazit: Für jeden Wiener-Prozess {W t t, µ,σ R, T >, existiert ein eindeutiger Itô-Prozess {S t t T mit ds t = S t µdt + σ dw t, S = x, nämlich S t = x exp {µ σ t + σ W t, t T. Bemerkung a Der obige Prozess {S t t T modelliert im kontinuierlichen Black-Scholes- Modell die Entwicklung des risikobehafteten Assets z.b. eines Aktienpreises. b Für µ = ist {S t t T ein Martingal, das exponentielle Martingal der Brown schen Bewegung. Bemerkung Falls {X t t T ein Itô-Prozess ist mit Werten in V, V R 1, offen z.b. V =,, so gilt die Itô-Formel auch in der folgenden verallgemeinerten Form : Sei f : V R zweimal stetig differenzierbar, so folgt : dfx t = f X t dx t + 1 f X t d X,X t. Mit diesen Vorüberlegungen sind wir nun in der Lage, ein kontinuierliches Analogon des Cox-Ross-Rubinstein-Modells zu untersuchen. 55
Schwache Lösungen von SDEs und das lokale Martingalproblem
Inhalt Schwache Lösungen von SDEs und das lokale Martingalproblem Christin Strampe February 16, 211 Christin Strampe () SDEs und das lokale Martingalproblem February 16, 211 1 / 24 Inhalt Motivation Schwache
MehrDas Black-Scholes Modell
Vathani Arumugathas Das Black-Scholes Modell 1 Das Black-Scholes Modell Vathani Arumugathas Seminar zu Finanzmarktmodellen in der Lebensversicherung, Universität zu Köln 10. Juni 016 Inhaltsverzeichnis
MehrDiffusionsprozesse und lineare stochastische DGL
Diffusionsprozesse und lineare stochastische DGL Michele Bieber TU Dortmund - Fakultät Statistik 15. Mai 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Diffusionsprozesse Stochastische DGL eines Diffusionsprozesses
MehrZufallsvariablen: Die allgemeine Definition
KAPITEL 8 Zufallsvariablen: Die allgemeine Definition 8.1. Zufallsvariablen Bis zu diesem Zeitpunkt haben wir ausschließlich Zufallsvariablen mit endlich oder abzählbar vielen Werten (also diskrete Zufallsvariablen)
MehrVorlesung im SoSe 2010 Stochastische Analysis & Zeitstetige Finanzmathematik
Univ. Leipzig Mathematisches Institut Vertretung Professur Stochastische Prozesse Max v. Renesse email: mrenesse@math.tu-berlin.de Vorlesung im SoSe 2010 Stochastische Analysis & Zeitstetige Finanzmathematik
MehrBrownsche Bewegung: Eine Einführung
Brownsche Bewegung: Eine Einführung Batu Güneysu Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Greifswald, 18.04.2018 Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 1 / 14 Wir fixieren m N und
MehrAnalysis II. Aufgaben zum Stoff der Analysis I und II Lösungsvorschlag
Prof Dr H Garcke, D Depner SS 9 NWF I - Mathematik 1979 Universität Regensburg Aufgabe 1 Analysis II Aufgaben zum Stoff der Analysis I und II Lösungsvorschlag i Erinnern Sie sich an die Konvergenzkriterien
MehrStochastische Integration Stochastische Differentialgleichungen Stochastische Partielle Differentialgleichungen. Dominic Breit
Dominic Breit 14.12.213 Outline 1 Stochastische Integration 2 3 Brwonsche Bewegung (1) Eine Brownsche Bewegung W = (W t ) t [,T ] über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) ist ein zeitstetiger stochastischer
MehrBemerkung Als Folge von Satz 6.2 kann man jede ganze Funktion schreiben als Potenzreihe. α m z m. f(z) = m=0. 2πi. re it t [0,2π] 2πi
Funktionentheorie, Woche 7 Eigenschaften holomorpher Funktionen 7.1 Ganze Funktionen Definition 7.1 Eine Funktion f : C C, die holomorph ist auf C, nennt man eine ganze Funktion. Bemerkung 7.1.1 Als Folge
MehrPartielle Differentialgleichungen Kapitel 7
Partielle Differentialgleichungen Kapitel 7 Intermezzo zu Distributionen Die Physik hat der Mathematik die Dirac-δ-Funktion gebracht. Diese δ-funktion soll folgende Eigenschaften haben: n δ (x ϕ (x dx
Mehr7. Die Brownsche Bewegung
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG 7 5 5 50 00 50 200 250 0 5 20 Abbildung 7.: Pfad einer Brownschen Bewegung 7. Die Brownsche Bewegung Definition 7.. Ein cadlag stochastischer Prozess {W t } mit W 0 = 0, unabhängigen
MehrMathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010
Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 18 8. Januar 2010 Kapitel 5. Funktionen mehrerer Veränderlicher, Stetigkeit und partielle Ableitungen 5.2. Partielle Ableitungen von Funktionen
MehrHöhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt 2
Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt Die zu optimierende Zielfunktion ist der Abstand zum Ursprung. Ein bekannter Trick (Vereinfachung der Rechnung) besteht darin, das Quadrat
MehrKlausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie (KIT Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning WS /3 4.3.3 Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Aufgabe ((4+3+3 Punkte a Welche
Mehr74 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008
74 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008 15 Flüsse Bisher wurde im wesentlichen die Abhängigkeit der Lösungen autonomer Systeme von der Zeit bei festem Anfangswert untersucht. Nun wird
Mehr7. Die Brownsche Bewegung
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG 2 5 5 50 00 50 200 250 0 5 20 Abbildung 7.: Pfad einer Brownschen Bewegung 7. Die Brownsche Bewegung Definition 7.. Ein cadlag stochastischer Prozess {W t } mit W 0 = 0, unabhängigen
Mehr3 Markov-Eigenschaft der Brownschen Bewegung
Man verifiziert 2.) für P n = Q n, und somit gilt: jede Teilfolge von (P n ) n N besitzt eine konvergente Teilfolge. Betrachte nun die endlich-dimensionalen Randverteilungen der Maße P n. Dazu sei π t1,...,t
MehrL 2 -Theorie und Plancherel-Theorem
L -Theorie und Plancherel-Theorem Seminar Grundideen der Harmonischen Analysis bei Porf Dr Michael Struwe HS 007 Vortrag von Manuela Dübendorfer 1 Wiederholung aus der L 1 -Theorie Um die Fourier-Transformation
Mehr2 Halbgruppen von Übergangswahrscheinlichkeiten. Markov-Prozesse
2 Halbgruppen von Übergangswahrscheinlichkeiten Markov-Prozesse Im Folgenden sei (X, B) ein (polnischer) Messraum und T = [0, ) oder T = N 0 Definition 21 Eine Familie (P t ) t T von (X, B) mit Übergangswahrscheinlichkeiten
MehrItô-Integation. M. Gruber Zusammenfassung
Itô-Integation M. Gruber 15. 5 215 Zusammenfassung Itô-Integral für elementare Integranden, Martingaleigenschaft des Itô-Integrals, Itô-Isometrie, Quadratische Variation des Itô-Integrals, Itô-Integration
Mehr1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap. 01 11. Oktober 2010 1 1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Messbare Räume Gegeben seien eine nichtleere Menge Ω und eine Menge A von Teilmengen
Mehr18.2 Implizit definierte Funktionen
18.2 Implizit definierte Funktionen Ziel: Untersuche Lösungsmengen von nichtlinearen Gleichungssystemen g(x) = 0 mit g : D R m, D R n, d.h. betrachte m Gleichungen für n Unbekannte mit m < n, d.h. wir
MehrLösung der Prüfung Sommer 2009
Prof. D. Salamon Analysis I/II D-MATH, D-PHYS, D-CHAB ETH Zürich. Juni 9 Lösung der Prüfung Sommer 9. Berechnen Sie folgende Grenzwerte: (a) (b) Hinweis: Regel von de l Hospital. ( ( )) lim n n cos n lim
Mehr6.3 Exakte Differentialgleichungen
6.3. EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 23 6.3 Exakte Differentialgleichungen Andere Bezeichnungen: Pfaffsche Dgl., Dgl. für Kurvenscharen, Nullinien Pfaffscher Formen. 1. Definitionen Pfaffsche Dgl, Dgl.
MehrVerallgemeinerte Funktionen
Verallgemeinerte Funktionen. Der Raum der Grundfunktionen Für den Vektorraum R n, n N, über R betrachten wir die Euklidische Norm kk W R n! R; v x 7! p ux x > x WD t n und bezeichnen eine Menge A R n als
Mehr8 Die quadratische Variation, und die Integration bzgl. stetiger Semimartingale
8 Die quadratische Variation, und die Integration bzgl. stetiger Semimartingale 8.1 Der quadratische Variationsprozess eines stetigen, lokalen Martingals 8.3 Die quadratische Variation einer reellen Brownschen
MehrSkalare Differenzialgleichungen
3 Skalare Differenzialgleichungen Differenzialgleichungen stellen eine Beziehung her zwischen einer oder mehreren Funktionen und ihren Ableitungen. Da Ableitungen Veränderungen beschreiben, modellieren
Mehr16. Differentialquotient, Mittelwertsatz
16. Differentialquotient, Mittelwertsatz Gegeben sei eine stetige Funktion f : R R. Wir suchen die Gleichung der Tangente t an die Kurve y = f(x) im Punkt (x, f(x ), x R. Das Problem dabei ist, dass vorderhand
MehrGewöhnliche Differentialgleichungen Woche 6. Existenz nach Picard-Lindelöf
d Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche 6 Existenz nach Picard-Lindelöf 6.1 Vorbereitung für den Existenzsatz 6.1.1 Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit Definition 6.1 Seien (V 1, 1 und (V 2, 2 zwei
MehrWirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V1.40)
Wirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V.40) Grundlagen n! = 2 3... n = 0! = n i für n N, n 0, i= pq-formel Lösung von x 2 + px + q = 0 x /2 = p p 2 ± 2 4 q abc-formel Lösung von ax 2 + bx + c = 0 Binomische
Mehr8 Verteilungsfunktionen und Dichten
8 Verteilungsfunktionen und Dichten 8.1 Satz und Definition (Dichten) Eine Funktion f : R R heißt Dichtefunktion, kurz Dichte, wenn sie (Riemann-) integrierbar ist mit f(t) 0 für alle t R und Setzt man
Mehr2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik. Lösungsvorschläge zum 11. Übungsblatt
Institut für Analysis SS17 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 7.7.17 Dipl.-Math. Leonid Chaichenets, Johanna Richter, M.Sc. Tobias Ried, M.Sc., Tobias Schmid, M.Sc. Höhere Mathematik II für die Fachrichtung
Mehr28. Der Satz von Stokes
74 28. Der Satz von Stokes 28.. Definition. Es sei! = fdx ^...^ dx n eine n-form auf der offenen Menge U in R n. Wir definieren sofern das Integral rechts existiert:! = f(x) dx. U U 28.2. Definition. Es
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie KIT SS 203 Institut für Analysis 504203 Prof Dr Tobias Lamm Dr Patrick Breuning Aufgabe Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Übungsblatt Bestimmen Sie die
MehrKapitel 6 Martingale
Kapitel 6 Martingale Martingale spielen eine große Rolle in der Finanzmathematik, und sind zudem ein wichtiges Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer Prozesse, insbesondere auch für Zählprozesse
Mehr23. DIFFERENTIALRECHNUNG VON FUNKTIONEN VON MEHREREN VARIABLEN
204 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch
MehrEinführung und Grundlagen
Kapitel 1 Einführung und Grundlagen Generelle Notation: Ω, A, P sei ein W-Raum im Hintergrund nie weiter spezifiziert Die betrachteten Zufallsvariablen seien auf Ω definiert, zb X : Ω, A M, A, wobei M,
MehrRandwertprobleme. Kapitel 7. Randwertprobleme für lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
Kapitel 7 Randwertprobleme Anwendungsbeispiel: Temperaturverteilung in einem dünnen Stab mit isolierter Oberfläche. u(x) : Temperatur im Stab an der Stelle x, x ; L. Im Gleichgewichtszustand genügt u der
Mehrx(t) := 1 k definierte Funktion. (a) Berechnen Sie ẋ(t) und ẍ(t). (b) Zeigen Sie, daß die Funktion x = x(t) eine Lösung der Differentialgleichung
Übungen (Aufg. u. Lösungen) zu Mathem. u. Lin. Algebra II SS 26 Blatt 7 3.5.26 Aufgabe 33: Die Funktion f : R R sei stetig. Betrachten Sie die durch x(t) : 1 k f(u) sin (k(t u)) du definierte Funktion.
MehrGewöhnliche Differentialgleichungen Woche 7. Globale Existenz einer Lösung
Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche 7 Globale Existenz einer Lösung 7.1 Von lokal zu global Wir betrachten wiederum das Anfangswertproblem { y (x = f (x, y(x, y( = y 0. (7.1 Eine erste Erweiterung
MehrKlausur Analysis II
WS 28/9 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis II 6.2.28 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung
Mehr6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen
6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,
MehrSerie 13: Online Test
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 13 Dr. Ana Cannas Serie 13: Online Test Einsendeschluss: 31. Januar 214 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.
MehrDiffusionsprozesse und lineare stochastische Differentialgleichungen
Diffusionsprozesse und lineare stochastische Differentialgleichungen Michele Bieber Projektbericht im Rahmen des Seminars Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen Sommersemester
MehrKapitel C. Integrale und Grenzwerte
Kapitel C Integrale und Grenzwerte Inhalt dieses Kapitels C000 1 Der Satz von Fubini 2 Der Transformationssatz 1 Vertauschen von Integral und eihe 2 Vertauschen von Integral und Limes 3 Vertauschen von
Mehr3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.
Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz
MehrIntegral- und Differentialrechnungen für USW Lösungen der Beispiele des 10. Übungsblatts
Integral- und Differentialrechnungen für USW Lösungen der Beispiele des. Übungsblatts. Flächeninhalt unter einer Kurve: (a) Das bestimmte Integral von y(x) x zwischen x und x ist x dx x + + x ( ) x / (b)
MehrHöhere Mathematik I: Klausur Prof Dr. Irene Bouw
Höhere Mathematik I: Klausur Prof Dr. Irene Bouw Es gibt 5 Punkte pro Teilaufgabe, also insgesamt 85 Punkte. Die Klausureinsicht findet am Montag, den 5..8 ab : Uhr im H3 statt. Aufgabe. (a) Lösen Sie
MehrNachklausur Analysis 2
Nachklausur Analysis 2. a) Wie ist der Grenzwert einer Folge in einem metrischen Raum definiert? Antwort: Se (a n ) n N eine Folge in dem metrischen Raum (M, d). Diese Folge besitzt den Grenzwert g M,
MehrVorlesung. Mathematik für Physiker III. Kapitel 3 Differentialformen. 10. Differentialformen 1. Ordnung
Vorlesung Mathematik für Physiker III Kapitel 3 Differentialformen 10. Differentialformen 1. Ordnung Sei V ein Vektorraum über R, V sein Dualraum. Zu einer k-dimensionalen Untermannigfaltigkeit M des R
MehrPD Dr. R. Schätzle 1.11.1999. Maßtheoretische Methoden WS 1999/00
ETH Zürich Departement für Mathematik PD Dr. R. Schätzle 1.11.1999 Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 1.Übung AUFGABE 1: Es sei µ ein borelreguläres Maß auf einem metrischen Raum X und X = j=1 V j, wobei
Mehr22 Charakteristische Funktionen und Verteilungskonvergenz
22 Charakteristische Funktionen und Verteilungskonvergenz Charakteristische Funktionen (Fourier-Transformierte liefern ein starkes analytisches Hilfsmittel zur Untersuchung von W-Verteilungen und deren
MehrDas heißt, Γ ist der Graph einer Funktion von d 1 Veränderlichen.
Kapitel 2 Der Gaußsche Satz Partielle Differentialgleichung sind typischerweise auf beschränkten Gebieten des R d, d 1, zu lösen. Dabei sind die Eigenschaften dieser Gebiete von Bedeutung, insbesondere
Mehr13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren
3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem
Mehr(n + 1)2. + n. ((n 1) + 1)2. = (n2 + 2n) A = 21 13
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. E. Teufel, Dr. N. Röhrl, J. Spreer MUSTERLÖSUNG FÜR KLAUSUR Mathematik inf / sotech / tpinf Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie, dass für alle n gilt
MehrDIFFERENTIATION PARAMETERABHÄNGIGER INTEGRALE
DIFFERENTIATION PARAMETERABHÄNGIGER INTEGRALE Zusammenfassung. Ergänzend zur Übung vom 06.06.203 soll hier die Leibnizregel für die Differentiation parameterabhängiger Integrale formuliert und bewiesen
Mehr4. ggt und kgv. Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9 4. ggt und kgv (4.1) DEF: Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: GGT 0 ) g 0 GGT 1 ) g a und g b GGT 2 )
MehrMusterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:
Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 10
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist
MehrProbeklausur zur Analysis II
Probeklausur zur Analysis II Prof. Dr. C. Löh/M. Blank 3. Februar 2012 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen Sie, ob Sie alle Seiten erhalten
MehrInstitut für Analysis WS 2014/15 PD Dr. Peer Christian Kunstmann Dipl.-Math. Leonid Chaichenets
Institut für Analysis WS 4/5 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 9..4 Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt Aufgabe : (a) Sei
MehrDie Stochastische Integralgleichung X(t) = a + t
Die Stochastische Integralgleichung X(t) = a + µ(s, X(s))ds + σ(s, X(s))dW (s) Simon Keller 4.12.26 1 Mathematische Grundlagen und Herleitung 1.1 Normalverteilung Eine normalverteilte Zufallsvariable X
MehrLösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen
Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Aufgabe 1: Es sei D die Menge aller rationalen Dedekind-Mengen, also D := { M 2 Q M is Dedekind-Menge }. Auf der Menge D definieren wir
Mehr5 Kontinuierliches Wachstum
5 Kontinuierliches Wachstum Kontinuierlich meßbare Größe Wir betrachten nun eine Größe a, die man kontinuierlich messen kann. Den Wert von a zum Zeitpunkt t schreiben wir nun als a(t). Wir können jedem
MehrAnalysis I. 1. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Das Bild einer Abbildung F: L M. (2) Eine Cauchy-Folge
MehrCaputo fraktionale Differentialgleichungen. 1 Riemann Liouville fraktionale Differentialgleichungen
Seminar Fraktionale Differentialgleichungen Prof. Dr. P.E. Kloeden, WS1000/2001 Caputo fraktionale Differentialgleichungen Lars Grüne, 25.1.2001 Basierend auf Fractional Differential Equations, Theory
MehrAnalysis II 14. Übungsblatt
Jun.-Prof. PD Dr. D. Mugnolo Wintersemester 01/13 F. Stoffers 04. Februar 013 Analysis II 14. Übungsblatt 1. Aufgabe (8 Punkte Man beweise: Die Gleichung z 3 + z + xy = 1 besitzt für jedes (x, y R genau
Mehr(a) Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren
Aufgabe Gegeben seien die Punkte A(,,, B(,,, C(,,. (a Geben Sie die Hesse-Normalform der Ebene E, welche die drei Punkte A, B und C enthält, an. (b Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (,, 5 zur Ebene
MehrÜbungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt. (z) i f. 2xe (x2 +y 2) i2ye (x2 +y 2 ) 2
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6. MATHEMATIK Prof. Dr. Roland Speicher M.Sc. Tobias Mai Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 0 Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt (3
MehrAnalysis I. 6. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 6. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Eine Relation zwischen den Mengen X und Y.
Mehr48 Symplektische Geometrie und Klassische Mechanik
48 Symplektische Geometrie und Klassische Mechanik Zusammenfassung Zum Schluss der Vorlesung gehen wir noch auf eine geometrische Struktur ein, die wie die euklidische oder die Minkowski-Struktur im Rahmen
MehrTechnische Universität Berlin
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS /5 G. Bärwol, A. Gündel-vom-Hofe..5 Februar Klausur Analysis II für Ingenieurswissenschaften Lösungsskizze. Aufgabe 6Punkte Bestimmen
MehrC7 Differentgleichungen (DG) C7.1 Definition, Existenz, Eindeutigkeit von Lösungen Motivation: z.b. Newton 2. Gesetz: Ort: Geschwindigkeit:
C7 Differentgleichungen (DG) C7.1 Definition, Existenz, Eindeutigkeit von Lösungen Motivation: z.b. Newton 2. Gesetz: (enthalten Ableitungen der gesuchten Funktionen) [Stoffgliederung im Skript für Kapitel
Mehr4.4 Die Potentialgleichung
Beispiel 29. f(z) = exp( 1 ) H(C {}) z 1 w : z n = log w + 2πin, n N lim z n = n f(z n ) = exp(log w + 2πin) = w + exp(2πin) }{{} =1 In jeder Umgebung von Null nimmt f jeden Wert w (unendlich oft) an wesentliche
Mehr4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM
4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 153 Es sei V der Lösungsraum und V N V ein endlich dimensionaler Unterraum. Weiters sei u V die exakte Lösung und
MehrÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS Aufgabe 1. a) Gegeben sei die Gleichung 2x 2 4xy +y 2 3x+4y = 0. Verifizieren Sie, dass diese Gleichung
MehrHöhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Ioannis Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz WS 5/6 6..5 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt
MehrKAPITEL 1. Martingale
KAPITEL 1 Martingale 1.1. Stochastische Prozesse Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Das heißt, Ω ist eine Menge, F ist eine σ-algebra auf Ω, und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, F ). Zuerst
MehrSeminar Gewöhnliche Differentialgleichungen
Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen Dynamische Systeme I 1 Einleitung 1.1 Nichtlineare Systeme In den vorigen Vorträgen haben wir uns mit linearen Differentialgleichungen beschäftigt. Nun werden
MehrDifferential- und Integralrechnung
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure 2
Höhere Mathematik für Ingenieure 2 Prof. Dr. Swanhild Bernstein Sommersemester 218 Institut für Angewandte Analysis Kurven- und Parameterintegrale Parameterintegrale Typische Beispiele für Parameterintegrale
MehrExponentialfunktion, Logarithmus
Exponentialfunktion, Logarithmus. Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0 Bei Exponentialfunktionen ist die Basis konstant und der Exponent variabel... Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0. Sei
MehrProf. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Analysis II. Vorlesung 50. Hinreichende Kriterien für lokale Extrema
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 205 Analysis II Vorlesung 50 Hinreichende Kriterien für lokale Extrema Wir kommen jetzt zu hinreichenden Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion
MehrInverse und implizite Funktionen
Kapitel 8 Inverse und implizite Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 1 / 21 Inverse Funktion Sei f : D f R n W f R m, x y = f(x). Eine Funktion f 1 :
MehrInverse und implizite Funktionen
Kapitel 8 Inverse und implizite Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 1 / 21 Inverse Funktion Sei f : D f R n W f R m, x y f(x). Eine Funktion f 1 : W
MehrKapitel VI - Lage- und Streuungsparameter
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie
MehrKapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele
Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a ν = a 0 + a 1 + a 2 +... eine Reihe; die einzelnen a ν sind die Glieder dieser Reihe. Um
MehrMusterlösung Klausur zu Analysis II. Verständnisteil
Technische Universität Berlin SS 2009 Institut für Mathematik 20.07.2009 Prof. Dr. R. Schneider Fritz Krüger Sebastian Holtz Musterlösung Klausur zu Analysis II Verständnisteil 1. (a) Sei D R n konvex
MehrInstitut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark Dr. Markus Lange. Analysis 1. Aufgabenzettel 14
Institut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark 03.02.2019 Dr. Markus Lange Analysis 1 Aufgabenzettel 14 Dieser Zettel wird in der letzten Übung des Semesters am 08.02.2019 besprochen Aufgabe
MehrItô s Lemma. Sandro Grunert. SS 09 Seminar Finanzmathematik Technische Universität Chemnitz. Kiyosi Itô
Itô s Lemma Sandro Grunert SS 9 Seminar Finanzmathematik Technische Universität Chemnitz Kiyosi Itô Quelle: www.math.ru/history/people/portrait/99.thumb.jpg. Kurzbiographie: Itô wurde am 7. September 1915
MehrStochastische Prozesse Stoffzusammenfassung
Stochastische Prozesse Stoffzusammenfassung Joachim Breitner 7. August 2018 Diese Zusammefassung ist natürlich alles andere als vollständig und zu knapp, um immer alle Aussagen mit Voraussetzungen korrekt
MehrHawkes Prozesse Grundlagen
Hawkes Prozesse Grundlagen Im Folgenden sei (Ω, F, F, P) eine stochastische Basis. Das heißt F = (F t ) t ist eine rechtsstetige Filtration mit F t F für alle t und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem
MehrMartingal-Maße. Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time (Hans Föllmer, Alexander Schied) Manuel Müller Mathematisches Institut
Martingal-Maße Manuel Müller 29.04.2016 Mathematisches Institut Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time (Hans Föllmer, Alexander Schied) Seite 2 Martingal-Maße 29.04.2016 Inhaltsverzeichnis
Mehr30 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel
3 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel 35 Charakterisierung der Gammafunktion 36 Darstellung der Gammafunktion 38 Beziehung zwischen der Gammafunktion und der Zetafunktion 3 Stirlingsche Formel
MehrDWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr
1.4.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen als Grenzwerte diskreter Zufallsvariablen Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable. Wir können aus X leicht eine diskrete Zufallsvariable konstruieren, indem wir
MehrKapitel 7. Differentialrechnung. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56
Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f x = f (x 0 + x) f (x 0 ) x = f (x)
MehrMathematik I HM I A. SoSe Variante A
Prof. Dr. E. Triesch Mathematik I SoSe 08 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten
MehrI.1.3 b. (I.7a) I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9
I. Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9 I..3 b Arbeit einer Kraft Wird die Wirkung einer Kraft über ein Zeitintervall oder genauer über die Strecke, welche das mechanische System in diesem Zeitintervall
MehrAbleitung einer Betragsfunktion Differenzierbarkeit
Ableitung einer Betragsfunktion Differenzierbarkeit 1-E Differenzierbarkeit einer Funktion Eine Funktion y = f (x) heißt an der Stelle x differenzierbar, wenn der Grenzwert f ' ( x) = lim Δ x 0 Δ y Δ x
Mehr