Vorlesung im SoSe 2010 Stochastische Analysis & Zeitstetige Finanzmathematik

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1 Univ. Leipzig Mathematisches Institut Vertretung Professur Stochastische Prozesse Max v. Renesse Vorlesung im SoSe 2010 Stochastische Analysis & Zeitstetige Finanzmathematik Inhalt Die stochastische Analysis ist die Theorie von zufälligen Prozesse in stetiger Zeit. Hierbei steht besonders die Brownsche Bewegung als Standardmodell der Physik (Ausbreitung von Wärme/Diffusion) oder der Finanzmathematik (Aktienkurse) im Mittelpunkt. In der Vorlesung werden die Grundlagen des Ito-Kalküls sorgfältig erarbeitet und Anwendungen hiervon im Handel und der Bewertung von derivativen Finanzinstrumenten (Optionen) besprochen. Diese Vorlesung setzt die sowohl die Vorlesung Finanzmathematik I von Herrn Prof. Dr. Frey sowie meine Vorlesung Stochastische Prozesse aus dem vergangenen Wintersemester fort. Umfang: 4 SWS Vorlesung + freiwillige Präsenz-Übung (2 SWS). Erforderliche Vorkenntnisse: Wahrscheinlichkeitstheorie I oder Maßtheorie oder Stoch. Prozesse oder Finanzmathematik I. Literatur: Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. Brownian motion and stochastic calculus. Springer-Verlag, New York, Shreve, Steven E. Stochastic calculus for finance. II. Continuous-time models. Springer Finance. New York, Revuz, Daniel; Yor, Marc Continuous martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, Berlin, Ort und Zeit: Vorlesung: Montag Felix-Klein-Hoersaal, Dienstag SE 114. Übung: Dienstag , SE 114

2 Liste der Präsenz-Übungsaufgaben für die VL Stochastische Analysis & Zeitstetige Finanzmathematik (Stand ) 1. Gegeben sie der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) := ([0, 1], B([0, 1]), dx). Geben Sie jeweils ein Beispiel einer Folge von reellen Zufallsvariablen (X n ) n auf (Ω, F, P) an, welche P-stochastisch, aber nicht P-fast sicher gegen X = 0, bzw. P-fast sicher, aber nicht in L 1 (Ω, P) gegen X = 0, bzw. in L 1 (Ω, P), aber nicht P-fast sicher gegen 0, bzw. in L 1 (Ω, P), aber nicht in L 2 (Ω, P) gegen 0 konvergiert. 2. Zeigen Sie, dass jede einelementige Menge Φ = {X} mit X L 1 (Ω, F, P) auf einem W-Raum (Ω, F, P) gleichgradig integrierbar ist. 3. Es sei Ω := {ω : {0,,, N} Z ω(0) = 0, ω(i) ω(i + 1) = 1} die Menge aller zulässigen Pfade einer Irrfahrt auf Z, versehen mit der Potenzmenge 2 Ω =: F als σ-algebra. Für i {0,, N} sei X i : Ω Z mit X i (ω) = ω(i). Bestimmen Sie explizit F 0, F 1 und F 2 für F i := σ(x j, j i). Bestimmen Sie explizit σ(x 2 ). 4. Zeigen Sie: Falls ein Prozess (X t ) auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, (F t ) t 0, F, P ) ein (F t )-Martingal ist und eine weitere Filtrierung gegeben (G t ) t 0 mit Ft X G t F t für alle t und = σ(x s, s t), so ist (X t ) auch ein (G t )-Martingal. F X t 5. Zeigen Sie: Falls (X t ) ein (F t )-Martingal ist, die Filtrierung (F t ) vollständig und (Y t ) eine Modifikation von (X t ), dann ist (Y t ) ebenfalls ein (F t )-Martingal. 6. Es sei (X t ) t 0 ein nichtnegatives Supermartingal auf einem filtriertem W-Raum (Ω, (F t ) t 0, P), so dass ein X existiert, so dass (X t ) t [0, ] ein (F t ) t [0, ] -Submartingal ist. Zeigen Sie, dass die Menge (X t ) t 0 gleichgradig integrierbar ist. 7. Benutzen Sie den Konvergenzsatz von Vitali für den Beweis der folgenden Aussage: Für ein nichtnegatives Martingal der Form X t = E(X F t ) mit X L 1 (Ω, P ) gilt X t X in L 1 (Ω, P). 8. Zeigen Sie: Eine nichtnegative Zufallsvariable T auf einem filtrierten W-Raum (Ω, (F t ) t 0, P) ist genau dann eine schwache (F t ) t 0 -Stoppzeit wenn T eine (F t ) t 0 -Stoppzeit ist. 9. Zeigen Sie: Eine nichtnegative Zufallsvariable T auf einem filtrierten W-Raum (Ω, (F t ) t 0, P) ist genau dann eine (F t ) t 0 -Stoppzeit wenn {T < t} F t für alle t Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch (Begründung)? Falls X ein Martingal, so sind auch X und X 2 Submartingale. Falls X ein Submartingal ist, so ist auch X 2 ein Submartingal. Falls X ein nichtnegatives Submartingal, so ist auch X 2 ein Submartingal. Falls X ein nichtnegatives Submartingal, so sind auch X 0 und (X 0) Submartingale.

3 11. Zeigen Sie: Falls eine Folge (X n t ) t 0, n N, von pfadweise stetigen Prozessen auf einem W-Raum (Ω, F, P) gegen einen Prozess (X t ) lokal gleichmäßig P-stochastisch konvergiert, dann sind auch P-fast alle Pfade von (X t ) stetig. 12. Zeigen Sie durch Polarisation: Der Kovariationsprozess ( M, N t ) t 0 zweier auf einem filtrierten W-Raum definierter Martingale ist eindeutig bestimmt als der H t -adaptierte, in 0-startende Prozess (A t ) t von beschränkter Variation, so dass (M t N t A t ) t 0 ein (lokales) (H t )-Martingal ist mit H t := σ(m s, N s, s t). 13. Zeigen Sie,dass das Produkt ( M, N t ) t 0 zweier auf einem filtrierten W-Raum definierter stochastisch unabhängiger Martingale wieder ein (H t )-Martingal ist, wobei H t = σ(m s, N s, s t). Folgern sie hieraus, dass M, N 0 fast-sicher für zwei stochastisch unabhängige Semimartingale. 14. Folgern sie aus dem Gesetz der großen Zahlen (GGZ), dass für eine Standard-Brownsche Bewegung (B t ) n lim (B) = lim (B t n n (i+1) B t n i ) 2 = t fast sicher. T t n n i=0 15. Zeigen Sie durch Approximation und Anwendung von Cauchy-Schwarz, dass A, M 0 falls A stetig von beschränkter Variation und M stetig von endlicher quadratischer Variation ist. 16. Zeigen Sie, dass der Wert einer Option in einem Einperioden-Binomialmodell (Cox-Ross-Rubinstein- Modell) für einen Finanzmarkt mit einem festverzinslichen Wertpapier B und einem risikobehafteten Wertpapier S nicht von den Sprungwahrscheinlichkeiten p ]0, 1[ und q = 1 p abhängt. 17. Geben Sie ein Beispiel für eine Option in einem 1-Perioden Baummodell für einen Finanzmarkt mit einem festverzinslichen Wertpapier B und einem risikobehafteten Wertpapier S mit drei Sprunghöhen, die nicht durch ein selbstfinanzierendes Portfolio repliziert werden kann. 18. Es seit ds = αsdt + σsdw ein Black-Scholes Modell fuer eine Aktienkursentwicklung, mit W einer Standard-Brownschen Bewegung. Stellen Sie die formale stochastische Differentialgleichung fuer U = ln S auf. Lösen Sie mit diesem Ansatz die Differentialgleichung für S und überprüfen Sie Ihre Lösung durch eine Rechnung. 19. Zeigen Sie im Black-Scholes Modell: Eine Portfoliostrategie Π t = (η t, β t ) ist selbstfinanzierend genau dann, wenn d X = ηd S, wobei Xt = e rt X t und S t = e rt S t. 20. Lösen Sie die stochastische Differentialgleichung dz = (αz + α )dt + (σz + σ )dw schrittweise wie folgt: Bestimmen Sie die formale Differentialgleichung für X = S 1 mit ds = αsdt + σsdw Bestimmen Sie die formale Differentialgleichung für H = ZX. 21. Zeigen Sie analog zur Vorlesung die folgende zweidimensionale Version der Lévy-Charakterisierung der Brownschen Bewegung. Zwei Prozesse X 1, X 2 mit Start in Null sind genau dann zwei unabhängige Brownschen Bewegungen, wenn sie stetige Martingale sind mit Kovarianz d X i, X j = δ ij dt. 22. Berechnen Sie die Semimartingal-Zerlegung der Prozesse X, X 2, X 3, wobei X t := t 0 f(σ)dw σ mit einer stetigen beschränkten reellen Funktion f und einer Brownschen Bewegung W. Berechnen Sie den qaudratischen Variationsprozess X 3 von X 3.

4 23. Es sei p(t, x) := 1 1 t exp( x2 ) für t [0, 1[ und p(t, x) := 0, falls t = 1, x R. Zeigen Sie, 2(1 t) dass M t := p(t, B t ), mit einer Brownschen Bewegung (B t ), ein Martingal ist. 24. Zeigen Sie: Für zwei Standard-Brownsche Bewegungen B 1, B 2 und eine reelle Funktion ρ mit ρ(t) ] 1, 1[ gilt d B 1, B 2 t = ρ(t)dt genau dann, wenn W 1 und W 2, definiert durch W 1 (t) = B t und B 2 (t) = t ρ 0 sdw 1 (s)+ t 0 1 ρ2 (s)dw 2 (s), zwei unabhängige Brownsche Bewegungen sind. 25. Bestimmen Sie durch Vewendung der Risikoneutralen Methode explizit den Preis in t = 0 der Option f((s. )) = (S 2 T S T ) + im Black-Scholes Modell. 26. Die gemeinsame Verteilung der Brownschen Bewegung und ihrem pfadweisen Maximum (W t, M t ) mit M t := max s [0,t] W s hat die Dichte f(w, m) = 2(2m w) t e (2m w)2 2t auf der Menge {(w, m) 2πt R 2 m > 0, w m}. Zu ρ R, berechnen Sie die Dichte von ( W t, M t ) mit W t = W t + ρ t und M t := max s [0,t] Ws mithilfe einer geeigneten Girsanov-Transformation. 27. Bestimmen Sie durch Vewendung der Risikoneutralen Methode explizit den Preis in t = 0 der Option f((s. )) = (S 2 T S T ) + im Black-Scholes Modell, wobei S t := max s [0,t] S s. 28. Zeigen Sie mit dem Lemma von Fatou: Ein nichtnegatives, stetiges lokales Martingal ist ein Supermartingal. (Allgemeiner: Jedes nach unten beschränkte, stetige lokale Martingal ist ein Supermartingal.) 29. Zeigen Sie im Multidimensionalen BS Modell, dass im vollständigen Fall die Hedging-Strategie für die Replikation einer (hinreichend integrierbaren) Option eindeutig ist. Gilt dieselbe Aussage auch im unvollständigen Fall? 30. Zeigen Sie im Multidimensionalen BS Modell, dass die Menge der erreichbaren Optionen T A = {F L 2 (Ω, F T, P) (η t ) = ((η (1) t,, η (m) t ) t ) vorhersagb., s.d. F = c+ 0 abgeschlossen in L 2 (Ω, F T, P) ist. m i=1 η (i) s S s (i) P-f.s.} 31. Zeigen Sie im Multidimensionalen BS Modell, dass im vollständigen Fall die Hedging-Strategie für die Replikation einer (hinreichend integrierbaren) Option eindeutig ist. Gilt dieselbe Aussage auch im unvollständigen Fall? 32. Zeigen Sie im multidmensionalen Black-Scholes Modell, dass im Arbitrage-freien Fall der Preis einer erreichbaren, d.h. replizierbaren Option in t = 0 gegeben ist durch v(0) = E Q [e rt F (S. )], wobei Q irgend ein äquivalentes Martingalmaß ist. 33. Beweisen Sie den Ito-schen Darstellungssatz für eine d-dimensionale Brown sche Bewegung. 34. Leiten eine parabolische Differentialgleichung ab für h C 2 ([0, T ] R m ; R) ab, so dass in der Situation des mehrdimensionalen Black-Scholes-Modelles gilt d(e rt h(t, S t )) = m i=1 ξ(i) (i) t d S t für geeignetes ξ t = (ξ (1) t,, ξ (m) t ). 35. Zeigen Sie: Ein stetiger Prozess (X t ) auf einem filtrierten W-Raum (Ω, (F t ), P) mit E( X t ) < ist ein (F t )-Martingal genau dann wenn für alle beschränkten (F t )-Stoppzeiten τ gilt E[X τ ] = E[X 0 ]. 36. Es sei (X t ) eine Standard-Brownsche Bewegung und (F t ) = (F X t ) die zugehörige (vervollständigte) Filtrierung. Ferner sei M t := W ln( 1 ), für t [0, 1[. 1 t

5 Zeigen Sie, dass M t ein lokales (G t )-Martingal ist mit G t = F ln( 1 1 t ). Es sei τ := inf{t 0 M t 1}. Zeigen Sie, dass τ < 1 fast sicher. Es sei N t := Mt τ = M τ t, t [0, 1]. Zeigen Sie, dass (N t ) lediglich ein lokales (H t )-Martingal ist mit H t = F τ t, t [0, 1] (Hinweis: Benutzen Sie die vorausgehende Aufgabe.)