Risikoneutrale Wahrscheinlichkeit

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1 Risikoneutrale Wahrscheinlichkeit M. Gruber Rev.3 Zusammenfassung Diskontierter Aktienpreisprozess, Risiko-Marktpreis, Risikoneutralität; Verschiebung des Erwartungswerts einer Zufallsvariablen, Verschiebung der Erwartungswerte eines Prozesses, Girsanov- Theorem. Wir folgen [1], 4.5., und

2 Diskontierter Aktienpreisprozess Sei ds(t) = α(t)s(t) dt + σ(t)s(t) db(t) ein Aktienpreisprozess auf [, T]. Lösungsprozess: (S(t)) t T mit S(t) = S()e t (α(s) (1/2)σ(s) 2 ) ds+ t σ(s) db(s). (S(t)) t T ist i.a. kein Martingal. Sei (R(t)) t T ein adaptierter Zinsratenprozess. Sei D(t) = e t R(s) ds der Diskontprozess. Es ist dd(t) = R(t)D(t) dt. (D(t)S(t)) t T ist der diskontierte Aktienpreisprozess. Es ist D(t)S(t) = S()e t (α(s) R(s) (1/2)σ(s) 2 ) ds+ t σ(s) db(s) und d(d(t)s(t)) = D(t)S(t)(α(t) R(t)) dt + D(t)S(t)σ(t) db(t). 1

3 Risiko-Marktpreis Mit ist Θ(t) = α(t) R(t) σ(t) d(d(t)s(t)) = D(t)S(t)σ(t)Θ(t) dt + D(t)S(t)σ(t) db(t)). Θ(t) = α(t) R(t) σ(t) nennt man den Risiko-Marktpreis (market price of risk). Ein positiver Risiko-Marktpreis muss nicht bedeuten, dass Arbitragemöglichkeit besteht. Vielmehr zeigt er an, wie der Markt das Schwankungsrisiko der Aktie im Vergleich zum Zinsratenprozess bewertet. 2

4 Risikoneutralität Man kann bezüglich (Θ(t)) t T zu einem Wahrscheinlichkeitsmaÿ P und einem Prozess ( B(t)) t T übergehen, sodass ( B(t)) t T eine Brownsche Bewegung bezüglich P ist und d(d(t)s(t)) = σ(t)d(t)s(t) d B(t) gilt ( Girsanov-Theorem). (D(t)S(t)) t T ist dann ein P-Martingal. P ist das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaÿ d B(t) = db(t) + Θ(t) dt. und ds(t) = R(t)S(t) dt + σ(t)s(t) d B(t). [1]: If α(t) > R(t), then the change of measure puts more probability on the paths with lower return so that the overall mean rate of return is reduced from α(t) to R(t). 3

5 Visualisierung der Risikoneutralität Abbildung 1: Links sieht man Pfade eines Itô-Prozesses mit negativer Tendenz. Rechts zeigt die Farbintensität das Wahrscheinlichkeitsgewicht derselben Pfade unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaÿ P. Das Nicht-Martingal wird zu einem Martingal. Quelle: 4

6 Verschiebung des Erwartungswerts einer ZVn Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Zufallsvariable Z auf (Ω, F, P), die P-fast sicher positive Werte hat und für die E Z = 1 gilt, vermittelt eine Transformation des Wahrscheinlichkeitsraums (Ω, F, P) in einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). Das neue Wahrscheinlichkeitsmaÿ P ist deniert durch P(A) = E 1 A Z für A F. (1) Zufallsvariablen Y auf (Ω, F, P) sind auch Zufallsvariablen auf (Ω, F, P), haben aber im neuen Wahrscheinlichkeitsraum i.a. einen anderen Erwartungswert EY, nämlich EY = E YZ. (2) 5

7 Beispiel 1. Sei X N(,1) bezüglich (Ω, F, P) und Z = e θx θ2 /2. Sei Y = X + θ. Es ist Y N(θ,1) auf (Ω, F, P), aber Y N(,1) auf (Ω, F, P). Beweis 1. Tatsächlich ist E Z = 1: E Z = 1 2π e θx θ2 /2 e x2 /2 dx = 1 2π e (x+θ)2 /2 dx = 1 2π e x2 /2 dx = Die momenterzeugende Funktion φ(u) von Y auf (Ω, F, P) ist φ(u) = Ee uy = E e u(x+θ) e θx θ2 /2 = e uθ θ2 /2 E e (u θ)x = e uθ θ2 /2 e (u θ)2 /2 = e u2 /2. 6

8 Verschiebung der Erwartungswerte eines Prozesses Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration (F(t)) t T beliebige Zufallsvariable mit P-fast sicher positiven Werten und E Z = 1. und Z eine Betrachte Z(t) = E(Z F(t)). (Z(t)) t T ist ein Martingal, denn für s t T ist E(Z(t) F(s)) = E(E(Z F(t)) F(s)) = E(Z F(s)) = Z(s). Für alle t [, T] ist somit E Z(t) = E E(Z F(t)) = E Z = 1. Sei im Folgenden P das mit Hilfe von Z erzeugte Wahrscheinlichkeitsmaÿ wie in (1). 7

9 Lemma 1. Für jede F(t)-messbare Zufallsvariable Y gilt EY = E YZ(t). Beweis EY = E YZ = E E(YZ F(t)) = E(Y E(Z F(t)) = E YZ(t). Lemma 2. Für jede F(t)-messbare Zufallsvariablen Y und s t T gilt E(Y F(s)) = 1 Z(s) E(YZ(t) F(s)). (3) Beweis Sei L die linke und R die rechte Seite von (3). L und R sind F(s)-messbar. Es ist zu zeigen, dass E1 A L = E1 A R für alle A F(s) gilt. Es ist E1A L = E1 AE(Y F(s)) = E E(1A Y F(s)) = E1 A Y = E 1 A YZ(t). und E1 A R = ( ) 1 E 1 A Z(s) E(YZ(t) F(s)) = E (1 A E(YZ(t) F(s))) = E (E(1 A YZ(t) F(s))) = E 1 A YZ(t). 8

10 Lemma 3. Gegeben sei (Ω, F, P) mit Filtration (F(t)) t T und Brownscher Bewegung (B(t)) t T. Sei (Θ(t)) t T ein an die Filtration adaptierter Prozess. Sei Z(t) = e t Θ(u) db(u) 1 2 t Θ(u) 2 du und sei die Integrabilitätsbedingung E T Θ(u)2 Z(u) 2 du < erfüllt. Dann ist (Z(t)) t T ein P-Martingal. Beweis Es ist Z(t) = e X(t) mit X(t) = t Θ(u) db(u) 1 2 t Θ(u)2 du. Mit Itô-Kalkül erhält man dz(t) = Z(t) dx(t)+ 1 2 Z(t) (dx(t))2 = Z(t)Θ(t) db(t) 1 2 Z(t)Θ(t)2 dt+ 1 2 Z(t)Θ(t)2 dt = Z(t)Θ(t) db(t). Es ist also Z(t) = t Z(s)Θ(s) db(s) und (Z(t)) t T ein P-Martingal. Bemerkung 1. Mit Z = Z(T) ist also Z(t) = E(Z F(t)) für alle t. 9

11 Lemma 4. Es seien die Voraussetzungen von Lemma 3 erfüllt. Für t T sei B(t) = B(t) + t Θ(u) du. Dann ist ( B(t)Z(t)) t T ein P-Martingal. Beweis Im Beweis von Lamma 3 haben wir gesehen, dass dz(t) = Z(t)Θ(t) db(t) ist. Auÿerdem ist d B(t) = db(t) + Θ(t) dt. Aus beidem folgt d B(t)dZ(t) = Z(t)Θ(t) dt. Nun kann man d( B(t)Z(t)) berechnen: d( B(t)Z(t)) = B(t) dz(t) + Z(t) d B(t) + d B(t)dZ(t) = B(t)Z(t)Θ(t) db(t) + Z(t) db(t) + Z(t)Θ(t) dt Θ(t)Z(t) dt = ( B(t)Θ(t) + 1)Z(t) db(t). Es ist also B(t)Z(t) = t ( B(s)Θ(s) + 1)Z(s) db(s). und ( B(t)Z(t)) t T ein P-Martingal. 1

12 Lemma 5. Es seien die Voraussetzungen von Lemma 4 erfüllt. Ferner sei Z = Z(T) und P das mittels Z transformierte P, d.h. P(A) = E 1 A Z für alle A F. Dann ist ( B(t)) t T ein P-Martingal. Beweis E( B(t) F(s)) = 1 Z(s) E( B(t)Z(t) F(s)) (mit Lemma 2) = 1 Z(s) B(s)Z(s) (mit Lemma 4) = B(s). 11

13 Satz 1. [Girsanov-Theorem] Gegeben sei (Ω, F, P) mit Filtration (F(t)) t T und Brownscher Bewegung (B(t)) t T, Sei (Θ(t)) t T ein an die Filtration adaptierter Prozess. Sei Z(t) = e t Θ(u) db(u) 1 2 t Θ(u) 2 du und sei die Integrabilitätsbedingung E T Θ(u)2 Z(u) 2 du < erfüllt. Sei Z = Z(T) und P das mittels Z transformierte P: P(A) = E 1 A Z für alle A F. Für t T sei B(t) = B(t) + t Θ(u) du. Dann ist ( B(t)) t T eine Brownsche Bewegung auf (Ω, F, P). 12

14 Beweis Nach Lévy ist ein Martingal mit stetigen Pfaden, Anfangswert und quadratischer Variation t zur Zeit t eine Brownsche Bewegung. Wir weisen diese Eigenschaften nach. 1. Die neuen Pfade sind die Summe der alten Pfade plus Pfade, die aus einer deterministischen Integration hervorgehen. Damit sind sie stetig. 2. Anfangswert: B()) = B() =. 3. Quadratische Variation: (db(t)) 2 = (db(t) + Θ(t) dt) 2 = dt. 4. ( B(t)) t T ist ein P-Martingal ( Lemma 5). 13

15 Literatur [1] Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II. Springer,