8 Martingale und Stoppzeiten

Transkript

1 8 Martingale und Stozeiten Definition Sei I eine beliebige Indexmenge und (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. a) Eine Familie von Zufallsvariablen (X t ) t I auf (Ω, A, P ) heißt stochastischer Prozess (I R) b) Eine Familie von σ-algebren (F t ) t I, mit F t A und F s F t, für s t heißt Filtration. Ein stochastischer Prozess (X t ) t I heißt (F t ) t I -adatiert, falls X t F t -messbar t I. Bemerkung Oft wird F t : σ({x s, s t}) gewählt. Dann ist (F t ) t I eine Filtration und X t ist F t -messbar. Definition Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ), I R, eine Filtration (F t ) t I und ein dazu adatierter stochastischer Prozess (X t ) t I. Ist E X t < t I, so heißt (X t ) t I ein (F t ) t I -Martingal, falls E[X t F s ] X s s, t I, s t. Ist X s E[X t F s ] bzw. X s E[X t F s ], so nennt man (X t ) t I ein (F t ) t I -Submartingal bzw. (F t ) t I -Suermartigal. Bemerkung a) Beim Martingal gilt: EX s E [E [X t F s ]] EX t t I, d.h. der Erwartungswert ist konstant (wachsend beim Submartingal, fallend beim Suermartingal). b) Ist I N, so genügt z.z.: E[X t+1 F t ] X t t N c) Ist (F t ) t I die natürliche Filtration, so sagt man oft nur (X t ) t I ist ein Martingal. Beisiel 8.1 Sei I N, (X n ) n N eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ. Sei S n : n k1 X k n N und F n : σ(s 1,..., S n ). Dann gilt n N : E[S n+1 F n ] E[S n F n ] + E[X n+1 F n ] S n + µ. Also: µ 0 (S n ) ist Martingal µ 0 (S n ) ist Suermartingal µ 0 (S n ) ist Submartingal Beisiel 8.2 Sei (F t ) t I eine Filtration und X eine Zufallsvariable mit E X <. Sei X t : E[X F t ]. dann ist (X t ) t I (F t ) t I -adatiert und s, t I, s t : E[X t F s ] E [E [X F t ] F s ] S.7.3a) E[X F s ] X s (X t ) t I ist ein (F t ) t I -Martingal. 71

2 72 KAPITEL 8. MARTINGALE UND STOPPZEITEN Satz 8.1 Ist (X t ) t I ein (F t ) t I -Martingal und Φ : R R eine konvexe Funktion mit E Φ(X t ) < t I, so ist (Φ(X t )) t T ein (F t ) t I -Submartingal. Beweis Sei s, t I, s t : E[Φ(X t ) F s ] Jensen Φ(E[X t F s ] X s ) Im Folgenden: I {1, 2,..., n} und X : max 1 i n X i Satz 8.2 (Submartingal-Ungleichung von Doob) Ist (X i ) i1,...,n ein (F i ) i1,...,n -Submartingal, so gilt c > 0 : c P (X > c) X n dp EX n + {X >c} Beweis Sei A : {X > c}, A i : {X 1 c,..., X i 1 c, X i > c}, i 1,..., n A A A n, A i F i und X i > c auf A i, i 1,..., n. A i X n dp bed.ew A i E[X n F i ]dp Sub M. A i X i dp cp (A i ), i 1,..., n Summation über i 1,..., n 1. Ungleichung 2. Ungleichung: X n 1 A X n + Satz 8.3 (L -Ungleichung von Doob) Es sei > 1 und (X i ) i1,...,n ein nicht-negatives (F i ) i1,...,n -Submartingal mit der Eigenschaft su i1,...,n EX i <. Dann gilt: ( ) E(X ) EXn 1 Beweis X E(X ) E E Fubini S Fubini E Hölder y 1 dy y 1 1 [X y]dy y 1 P (X y)dy y 2 E [ X n 1 [X y]] dy ] X [X n 0 y 2 dy 1 E [ X n (X ) 1] ( E ((X ) 1) 1 q) q 1 (EX n) 1 1 (EX n) 1 (E (X ) ) 1 1

3 73 Teile Ungleichung durch (E (X ) ) 1 1 nehme -te Potenz Behautung. (falls E(X ) 0 ist Aussage richtig) und Bemerkung a) Ist q 1, so lässt sich Satz 8.3 schreiben als X q X n b) Ein stochastischer Prozess (X t ) t I mit su t I X t < heißt L -beschränkt. c) Ist (X i ) i1,...,n ein Martingal, so ist ( X i ) i1,...,n ein nicht negatives Submartingal (Satz 8.1) Beisiel 8.3 Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (X n ) n N0 ein stochastischer Prozess. Interretation von (X n ): X 0 Anfangskaital des Sielers X n X n 1 Gewinnn ro gesetzter Geldeinheit in der n-ten Runde Wird immer eine Geldeinheit ro Runde gesetzt, so ist also X n X 0 + n k1 (X k X k 1 ) das Kaital des Sielers nach n Runden. Es sei F n σ(x 0, X 1 X 0,..., X n X n 1 ) σ(x 0, X 1,..., X n ) Das entsricht der Information nach n Runden. E[X n+1 X n F n ] E[X n+1 F n ] X n Das entsricht dem erwarteten Gewinn ro gesetzter Geldeinheit bei Kenntnis des bisherigen Sielverlaufs. Offfenbar gilt: X Martingal Siel fair X Suermartingal Siel nachteilig X Submartingal Siel vorteilhaft Beisiel 8.4 X n X n 1 sei der Gewinn ro gesetzter Geldeinheit (GE) in der n-ten Runde. Jetzt: In Runde n werden c n GE gesetzt mit c n F n 1 -messbar. F n σ(x 0, X 1 X 0,..., X n X n 1 ), d.h. (c n ) n N ist vorhersagbar. Kaital nach n Sielen: n X 0 + c k (X k X k 1 ) k1 Satz 8.4 Es seien (c n ) n N ein vorhersagbarer Prozess und X (X n ) n N ein Prozess mit E c n (X n X n 1 ) < n N. Wir setzen Dann gilt: Y n : X 0 + n c k (X k X k 1 ), Y (Y n ) n N. k1 a) Ist X ein Martingal, so auch Y.

4 74 KAPITEL 8. MARTINGALE UND STOPPZEITEN b) Ist X ein Sub- bzw. Suermartingal und c n 0 n, so ist auch Y ein Subbzw. Suermartingal. Beweis E[Y n+1 Y n F n ] E[c n+1 (X n+1 X n ) F n ] c n+1f n m.b. c n+1 E[X n+1 X n F n ]. Definition Eine Abbildung τ : Ω N 0 { } heißt Stozeit bezüglich einer Filtration (F n ) n N, wenn {τ n} F n n N 0. Bemerkung a) Stozeiten kann man analog für τ : Ω R + { } definieren. b) τ : Ω N 0 { } ist Stozeit {τ n} F n n N 0. (Übung) Beisiel 8.5 a) τ n 0 ist Stozeit, { da Ω n n 0 {τ n} F n n < n 0 b) Sei (X n ) n N0 ein zu (F n ) n N0 adatierter rellwertiger Prozess und A B. Sei τ A : Ω N { } definiert durch τ A (ω) : inf {n N 0 X n (ω) A} (inf { } : ) τ A heißt Eintrittszeit in A. τ A ist Stozeit, da Lemma 8.1 {τ A n} n {X i A} F n. F i i1 a) Für eine Stozeit ist F τ : {A A A {τ n} F n n N 0 } eine σ-algebra, die σ-algebra der τ-vergangenheit. b) Sind τ 1, τ 2 Stozeiten mit τ 1 τ 2, so gilt F τ1 F τ2.

5 75 c) Ist τ eine Stozeit, so ist Xτ : Ω R mit { Xτ X (ω) : τ(ω) (ω) wenn τ(ω) < 0 sonst F τ -messbar Beweis a) Übung. b) Sei A F τ1 beliebig. n N gilt: {τ 2 n} {τ 1 n} A {τ 2 n} A {τ 1 n} {τ 2 n} F n. F n F n Beh. c) zu zeigen: {Xτ A} F τ A B zeige also: {Xτ A} {τ n} F n n N 0 Es gilt: n {Xτ A} {τ n} {X k A} {τ k} F k, k0 F k F k da {τ k} {τ k} {τ k 1} C F k. F k F k Beh. Bemerkung a) F τ Information, die bis zur zufälligen Zeit τ vorhanden ist. b) Falls τ P -f.s. endlich, schreibt man X τ statt X τ. c) Ist τ eine Stozeit und (X n ) n N0 ein stochastischer Prozess, so ist X τ (X τ n) n N0 mit X τ n : X τ n n N 0 der gestote Prozess. Da τ n eine Stozeit ist, ist wegen Lemma 8.1c) X τ n F τ n -messbar und (X τ n) ist (F τ n )-adatiert. Satz 8.5 Ist X ein (Sub-, Suer-) Martingal und ist τ eine Stozeit, so ist auch X τ (Sub-, Suer-) Martingal. ein Beweis Sei c n : 1 {τ n} {τ n} {τ n 1} C F n 1. (c n ) n N0 ist vorhersagbar. Da X 0 + n k1 c k(x k X k 1 ) X τ n, folgt die Behautung mit Satz 8.4.

6 76 KAPITEL 8. MARTINGALE UND STOPPZEITEN Bemerkung Ist X ein Martingal, so auch X τ und damit gilt EX τ n EX 0. Betrachte Bs 8.4 mit τ : inf{k N 0 X k X 0 + c} und c n : 1 {τ n} : Solange c nicht erreicht ist, wird eine Geldeinheit gesetzt, danach aufgehört. Sielt man maximal n-mal, so ist X τ n das Kaital am Ende. Im Mittel kann man das Kaital bei einem fairen Siel nicht erhöhen. Beisiel 8.6 (Kartensiel) Sei S 0 die Anzahl der schwarzen Karten und R 0 die Anzahl der roten Karten und N : S 0 + R 0 die Gesamtzahl an Karten. (R n, S n ) die Anzahl der roten / schwarzen Karten im Stael, nachdem n Karten aufgedeckt wurden. Z n die Farbe der n-ten aufgedeckten Karte. F n σ(z 1,..., Z n ) und X n : Sn Rn S n+r n. Behautung: (X n ) ist (F n )-Martingal! [ ] Sn+1 R n+1 E [X n+1 F n ] E Z 1,..., Z n S n+1 + R n+1 [ S n Sn 1 R n S n + R n S n 1 + R n (R n + S n 1)(S n R n ) (S n + R n )(S n + R n 1) S n R n S n + R n ] + R n S n + R n Sei τ eine Stozeit ( N). Erwarteter Gewinn: E [ ] 1 [Zτ+1 schwarz] 1 [Zτ+1 rot] [ N ] ( ) E 1[Zk+1 schwarz] 1 [Zk+1 rot] 1[τk] k1 k1 [ ] Sn R n + 1 S n + R n 1 E [ E [( ) ]] 1 [Zk+1 schwarz] 1 [Zk+1 rot] 1[τk] F k E 1 [τk] E [ ] 1 [Zk+1 schwarz] 1 [Zk+1 rot] F k k1 S k R k S k +R k X k

7 77 E [X τ ] EX 0 S 0 R 0 S 0 + R 0 EX τ EX 0 gilt nur unter einer Bedingung, wie dieses Beisiel zeigt. Beisiel 8.7 Sei (Y n ) n N eine Folge von u.i.v. ZVen mit P (Y n 1) P (Y n 1) 1 2, X 0 0 Y n Ergebnis Münzwurf in Runde n. Der Sieler setzt 2 n 1 GE in der n-ten Runde, bei Gewinn erhält er 2 n GE, d.h. Y n 2 n 1 ist der Geldzu-/abgang in der n-ten Runde. Kaital nach n Runden: n X n : 2 i 1 Y i i1 Sei F n : σ(x 0,..., X n ) und τ : inf{n N Y n 1} d.h. gestot wird, wenn erstmals Y n 1 ( Martingalstrategie). (X n ) n N ist ein (F n ) n N -Martingal (s. Bs. 8.1). Es gilt: und X τ P (τ > k) X k 1 τk k1 ( ) 1 k k N P (τ < ) 1 2 ( ) k 1 2 i k 1 1 τk 1 k1 i1 Also ist hier EX τ 1 EX 0 0. Vorsicht bei der Nachahmung! Das benötigte Kaital beträgt X τ 1 GE und E( X τ 1 ) E } {{ } 1 ( τ 1 ) 2 k 1 k1 ( ) E 2 k 1 1 [τ>k] k1 k1 2 k 1 P (τ > k) 2 k Satz 8.6 (Otional Stoing Theorem OST) Es sei X (X n ) n N ein Suermartingal und τ eine Stozeit. Jede der folgenden Bedingungen imliziert, dass E X τ < und EX τ EX 1 gilt: 1. τ ist f.s. beschränkt, also P (τ < c) 1 für ein c R.

8 78 KAPITEL 8. MARTINGALE UND STOPPZEITEN 2. τ ist f.s. endlich und X ist f.s. beschränkt, d.h. P (τ < ) 1 und es gibt ein c R mit P ( X n c) 1 n N Eτ < und X hat f.s. beschränkte Zuwächse, d.h. c R mit P ( X n X n 1 c) 1 n N. 4. P (τ < ) 1, E X τ < und {τ>n} X n dp 0 für n. Ist eine dieser Bedingungen erfüllt und X ein Martingal, so gilt: EX τ EX 1. Beweis 1. Ist klar, da hier X τ X τ n für ein n N groß (n > c). Die Behautung folgt aus Satz Satz 8.5 und majorisierte Konvergenz. 3. Verwende X 1 + c(τ 1) als integrierbare Majorante. 4. Wir zeigen die Aussage für X ist Martingal: EX τ EX τ n X τ dp {τ>n} {τ>n} {τ n} X τ dp + X τ dp } {{ } 0(n ) + X τ dp {τ>n} {τ>n} {τ>n} X n dp X n dp } {{ } 0(n ) X n dp 0 (n ) Beisiel 8.8 (Ruinsiel, vgl. Stochastik I, Bs 10.4) Sieler I besitze n GE (n N), Sieler II N n GE (N n N). Pro Runde gewinnt Sieler I von Sieler II 1 GE mit W keit und verliert eine GE an Sieler II mit W keit 1. Sielrunden sind unabhängig. Seien (Y n ) n N u.i.v. ZV mit P (Y n 1), P (Y n 1) 1. X n : n Y k ist dann der Gewinn (Verlust) von Sieler I nach n Runden. Sei k1 τ : inf{n N X n N n oder X n n} P (X τ n) Ruinwahrscheinlichkeit von Sieler I. Sei µ EY Nach Beisiel 8.1 µ 0 (X n ) Martingal. µ 0 (X n ) Suermartingal. µ 0 (X n ) Submartingal. Behautung: a > 0, 0 < γ < 1, sodass P (τ > j) aγ j j N. Beweis: Sei k N. P (τ > Nk) P ((Y 1,..., Y n ) (1,..., 1), (Y N+1,..., Y 2N ) (1,..., 1),..., (Y (k 1)N+1,..., Y kn ) (1,..., 1) ) (Y n) unabh. k 1 v0 (1 N ) k P ( (Y vn+1,..., Y (v+1)n ) (1,..., 1) )

9 79 Für j > N gilt: P (τ > j) P (τ > j ( ) N N) (1 N ) j N (1 N ) 1 j N (1 N ) 1 :γ j :a Also folgt: P (τ < ) 1, Eτ P (τ j) < und 1 P (τ < ) P (X τ j1 N n) + P (X τ n). Sei nun M n : n (Y k EY k ), n N k1 0, M 0 0 und F n : σ(y 1,..., Y n ). µ Dann ist (M n ) n N0 ein (F n )-Martingal. Das OST ist anwendbar, da (iii) erfüllt ist. 0 EM τ P (X τ N n)(n n Eτµ) + P (X τ n)( n Eτµ) P (X τ N n)(n n) P (X τ n)n Eτµ. Fall 1: µ 0 (d.h. 1 2, faires Siel) 0 (1 P (X τ n))(n n) P (X τ n)n P (X τ n) N n N Fall 2: 1 2 Sei Θ : log( 1 ) 0 und L 0 : 1, L n : n k1 eθy k e ΘXn. (L n ) n N ist ein (F n ) n N -Martingal, da E [L n+1 F n ] n k1 e ΘYk E [ e ΘY ] n+1 L n e Θ +(1 )e Θ 1 Das Otional Stoing Theorem 8.6 ist anwendbar, da (iv) erfüllt E L τ Ee ΘXτ e Θ N < und L n dp e Θ N P (τ > n) {τ>n} 0 (n ) 1 EL 0 EL τ P (X τ N n)e Θ(N n) + P (X τ n)e Θn 1 (1 P (X τ n)) ( 1 )N n + P (X τ n)( 1 )n P (X τ n) φn φ n φ N 1, φ 1 Otimales Stoen Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X (X n ) n1,...,n ein stochastischer Prozess adatiert an eine Filtration (F n ) n1,...,n. Es sei E X k < k 1,..., N. Betrachte das Otimierungsroblem v : su {EX τ } EX τ0 τ ist Stozeit N

10 80 KAPITEL 8. MARTINGALE UND STOPPZEITEN v maximaler Wert, τ 0 otimale Stozeit (falls existent). Wegen E X τ E ( ) N X n 1 {τn} E X n < n1 nach Voraussetzung ist v <. Ist (X n ) n1,...,n ein (F n ) n1,...,n Suermartingal, so folgt mit Satz 8.6: EX 1 EX τ Stozeiten τ N. Also: τ 0 1 ist otimal (sofort aufhören). Definition Der Prozess Z (Z n ) n1,...,n mit n1 Z N : X N, Z n : max {X n, E [Z n+1 F n ]}, n N 1,..., 1 heißt Snell-Einhüllende von X. Satz 8.7 Mit den obigen Bezeichnungen gilt: a) Z ist ein (F n ) n1,...,n -Suermartingal mit Z n X n für n 1,..., N. b) Z ist das kleinste (F n )-Suermartingal, welches X dominiert, d.h. ist (Y n ) n1,...,n ein weiteres (F n )-Suermartingal mit Y n X n, n 1,..., N so gilt: Y n Z n für n 1,..., N. Beweis a) Aus der Definition: Z n X n n, Z n E[Z n+1 F n ], also (Z n ) Suermartingal. b) Rückwärtsinduktion: (n N): Y N X N Z N Y Suermartingal (n n 1): Y n 1 E [Y n F n 1 ] I.H. E [Z n F n 1 ] und Y n 1 X n 1 Y n 1 max{x n 1, E[Z n F n 1 ]} Z n 1 Satz 8.8 Mit den obigen Bezeichnungen und τ 0 min{n {1,..., N} X n Z n } gilt: a) τ 0 ist eine Stozeit. b) (Z τ 0 n ) n1,...,n ist ein (F n ) n1,...,n -Martingal. c) EX τ0 su τ Stozeit {EX τ } Beweis

11 81 a) Wegen Z N X N ist τ 0 N. Es gilt: {τ 0 n} n {Z i X i } F n F i i1 b) Es gilt: da Z τ 0 n+1 Z Z (n+1) τ0 τ 0 n 1 {τ0 n+1} (Z n+1 E [Z n+1 F n ]) ( ) Z n τ0 Fall 1: τ 0 n + 1 linke Seite Z n+1 Z n, rechte Seite Z n+1 E[Z n+1 F n ] Z n, da X n < Z n auf {τ 0 n+1}. (stimmt) Fall 2: τ 0 n 0 0 (stimmt) Wende nun E[ F n ] auf (*) an: Da {τ 0 n + 1} {τ 0 n} C F n folgt E [ Z τ 0 n+1 Zτ 0 n F n ] 1{τ0 n+1}e [Z n+1 E [Z n+1 F n ] F n ] 0 (Z τ 0 n ) ist (F n )-Martingal. c) Wegen b) und Satz 8.6: EZ 1 EZ τ 0 1 EZτ 0 N EZ τ 0 EX τ0 Für eine beliebige Stozeit τ gilt: EZ 1 EZ τ, da Z Suermartingal. Und weiterhin: EX τ0 EZ 1 EZ 1 EZ τ EX τ Beh. Beisiel 8.9 (Das Sekretärinnenroblem) N Bewerber(innen) um eine Stelle stellen sich nacheinander vor. Nach jedem Interview muss entschieden werden, ob die Person die Stelle bekommt. Annahme: Die Bewerber lassen sie linear anordnen und erscheinen in beliebiger Reihenfolge. (N! mögliche Reihenfolgen) Welche Strategie maximiert die Wahrscheinlichkeit, dass die beste Person die Stelle bekommt? A n absoluter Rang des n-ten Kandianten unter allen N. R n dessen relativer Rang unter den ersten N. R n {1 m n A m A n }.

12 82 KAPITEL 8. MARTINGALE UND STOPPZEITEN Es gibt eine Bijektion zwischen den A-Werten und den R-Werten. Somit gilt r 1,..., r N, 1 r i i, 1 i N: Bestimme Randverteilungen: P (R 1 r 1,..., R N r N ) 1 N! P (R n l) 1 n für l 1,..., n n {1,..., N} und R 1,..., R N unabhängig. Sei nun { 1, A n 1 X n :, F n σ(r 1,..., R n ) 0, sonst und X n E[X n F n ]. (X n ) ist (F n )-adatiert. P (X τ 1) max. P (X τ 1) P (X n 1, τ n) n1 n1 EX τ Also maximiere EX τ mit Satz 8.8. {τn} X n dp n1 n1 {τn} E1 [τn, Xn1] E[X n F n ] X n dp P (R 1 r 1,..., R n 1 r n 1, A n 1) P (R 1 r 1,..., R n 1 r n 1, R n 1, R n+1 > 1,..., R N > 1) 1 N! 1 1 n (n + 1) (N 1) n N 1 n! P (A n 1 R 1 r 1,..., R n 1 r n 1, R n 1) P (R 1 r 1,..., R n 1 r n 1, R n 1, A n 1) P (R 1 r 1,..., R n 1 r n 1, R n 1) n N 1 n! 1 n! n N X n E[1 {1} (A n ) F n ] { n N, falls R n 1 0, sonst ( ) Behautung: (c n ) n1,...,n R, c n, c N 1 N und E[Z n F n 1 ] c n für n 1,..., N, wobei Z die Snell-Einhüllende von X ist. Beweis: Rüchwärtsinduktion: n N: E[Z N F N 1 ] E[X N F N 1 ] A N R N E[1{1} (R N ) F N 1 ] R N,F N unabh. P (R N 1) 1 N c N.

13 83 n + 1 n: E[Z n F n 1 ] E[max{X n E[Z n+1 F n ]} F n 1 ] ( ) E[max{ n N 1 {1}(R n ), c n+1 } F n 1 ] E[1 {1} (R n ) max{ n N, c n+1} + (1 1 {1} (R n ))c n+1 F n 1 ] R n,f n 1 unabh. P (R n 1) max{ n N, c n+1} + (1 P (R n 1)) c n+1 1 n max{ n N, c n+1} + (1 1 n )c n+1 c n c n+1 + max{ 1 N, c n+1 n } c n+1 c n c n+1 }{{ n } 0 τ : inf{n Z n X n } Storegel nach Satz 8.8: τ min{n X n Z n }. gestot wird vor N nur, wenn R n 1. die Werte X n 0 sind wachsend. die Werte E[Z n+1 F n ] c n+1 fallend. τ min{1 n N 1 R n 1, min{n k n R n 1} N. Wir bestimmen jetzt noch k N. Sei τ k : inf{n k R n 1} N. Bestimme EX τk. k N ist dann der k-wert, bei dem EX τk maximal ist. Es gilt Φ(k) : k 1 N EX τk Telesko. Prod. E[X l 1 {l} (τ k )] lk lk lk k 1 N n N c n+1} N l N P (R m > 1 für m k,..., l 1, R l 1) ( l 1 ) l m 1 N m mk P (R m>1) lk 1 l 1 P (τ k l) 1 l P (R l 1) N lk 1 l 1 wird maximal in k N : inf{k 1 k + 1 k N 1 1}. Beachte: lim N k N 1 e. Bei einem großen Bewerberkreis wird man etwa 37 Prozent der Bewerber assieren lassen und dann den ersten nehmen, der besser als alle vorangegangenen ist.

14