Seminar: Finanzmathematik. Bewertung von Barriere Optionen im Black-Scholes Modell sowie die Symmetrie von P. Carr

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1 Seminar: Finanzmathematik Bewertung von Barriere Optionen im Black-Scholes Modell sowie die Symmetrie von P. Carr Deniz Atug 4. April 2010 Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit gibt eine Einführung in die hematik der Barriere Optionen Down and Out Calls und Down and In Calls. Dazu werden zum einen Preisparitäten hergestellt, zum anderen findet eine Bewertung des Down and In Calls statt. Zuletzt wird die Symmetrie von P. Carr erläutert und in Beziehung zum Down and In Call gesetzt. i

2 Inhaltsverzeichnis 1 Barriere Optionen Einführung Down and Out Optionen Down and In Optionen Preisparität Bewertung des Down and In Calls Maßwechsel Berechnung des DIC Die Symmetrie von P. Carr Beispiel Satz Beziehung zum DIC ii

3 1 Barriere Optionen 1.1 Einführung Barriere Optionen sind Optionen, bei denen die Auszahlung nicht wie üblich vom Endkurs, sondern vom gesamten Aktienpfad abhängen. Für diesen yp von Optionen wird neben dem Strike eine Barrierenschranke L festgelegt. In der vorliegenden Arbeit werden Call Optionen betrachtet, die jedoch verfallen, wenn die Barrierenschranke L erreicht bzw. nicht erreicht wird. Vorausgesetzt wird, dass der aktuelle urs S 0 > L ist. 1.2 Down and Out Optionen Der äufer einer Down and Out Option verliert sein Ausübungsrecht, falls der Preis des Basisgutes S t ) 0 t unterhalb der Barrierenschranke L vor Laufzeitende fällt. Andernfalls entsteht eine Auszahlung in Höhe von φs ), d.h. im Falle eines Calls gilt φx) = x ) +. Sei L die Stopzeit, an dem der Aktienkurs zum ersten Mal die Barriere bricht, definiert durch L := inf{t S t L} = inf{t S t = L), dann lässt sich der Preis eines Down and Out Calls DOC) mittels dem diskontierten Erwartungswert bestimmen: DOCS 0,, L) := E Q e r S ) + 1 {L > }), wobei Q das risikolose Wahrscheinlichkeitsmaß darstellt. 1.3 Down and In Optionen Der äufer eines Down and In Calls DIC) erhält die Auszahlung S ) +, sofern der Aktienkurs die Schranke L vor Laufzeitende mindestens einmal durch- 1

4 laufen hat. Der Preis dieser Option ist: DICS 0,, L) := E Q e r S ) + 1 {L < }). 1.4 Preisparität Geht man die Positionen Long im DOC und Long im DIC mit identischem Strike, Schranke L und Laufzeitende ein, entsteht eine Auszahlung von S ) +, welche einer Auszahlung eines Calls mit Strike und Laufzeitende entspricht. Aus dem Replikationsprinzip folgt DICS,, L) + DOCS,, L) = CS, ), wobei CS, ) dem Preis einer Call Option mit Strike und Anfangskurs S entspricht. Aufgrund dieser Parität genügt die Beschränkung auf eine Bewertung des DIC. 2 Bewertung des Down and In Calls Ziel ist, den Preis DICS 0,, L) := E Q e r S ) + 1 {L < }) zu bestimmen. Diese Bewertung findet im Black-Scholes Modell statt und wird in einige Schritte unterteilt. Zu Beginn wird ein entsprechender Maßwechsel durchgeführt, der im Folgenden beschrieben wird. 2.1 Maßwechsel Sei B t ) 0 t ein Q-Wiener Prozess, wobei Q das risikolose Wahrscheinlichkeitsmaß im Black-Scholes Modell ist. Für den Aktienpreisprozess S t ) t 0 gilt: S t := S 0 e rt exp σb t 1 ) 2 σ2 t = S 0 expσw t ) 2

5 mit W t := B t + mt für t und m := 1 σ umgeformt werden zu einer Funktion von W: r σ2 2 ). Die Stopzeit L kann L = inf {t S t L} = inf {t S 0 expσw t ) L} = inf {t W t 1σ } ln LS0 = inf{t W t l} =: l, wobei l := 1 ln L σ S 0 ). Um den Preis des DIC zu bestimmen, wird mittels Girsanov ransformation W t ) 0 t in einen Wiener Prozess transfomiert. Dazu wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß R definiert: dr dq = exp mb 1 ) 2 m2 und dq dr = exp mb + 1 ) 2 m2 = exp mw 1 ) 2 m2. Somit ist nach Girsanov W t = B t + mt ein R-Wiener Prozess. 2.2 Berechnung des DIC Der Preis des DIC lässt sich durch den Maßwechsel umformen zu: ) DICS 0,, L) = e r E Q S ) + 1 {L < } = e r E R expmw m2 2 ) S 0 e σw ) ) + 1{l < }. Umformungen der Auszahlung ergeben: S 0 e σw ) + = S 0 e σw )1 {S0 e σw } = S 0 e σw 1 {W 1 σ ln S 0 } 1 {W 1 σ ln S 0 } = S 0 e σw 1 {W k} 1 {W k}, 3

6 wobei k := 1 σ ln S 0. Setzt man die oben) umgeformte Auszahlung in die Formel für den DIC ein, erhält man: ) e r DICS 0,, L) = E R expmw m2 2 )S 0e σw 1 {W k} 1 {W k})1 {l < } = e m2 2 E R e mw S 0 e σw 1 {W k} 1 {W k})1 {l < } = e m2 2 [S 0 E R e σ+m)w 1 {W k}1 {l < }) E R e mw 1 {W k}1 {l < })] = e m2 2 [S 0 Ψσ + m) Ψm)] ) mit Ψy) := E R e yw 1 {W k}1 {l < }). Sei m Gleichung: := inf s W s, dann gilt folgende { l < } = {m l}. Um Ψy) := E R e yw 1 {W k}1 {l < }) = E R e yw 1 {W k}1 {m l}) zu berechnen, wird zwischen zwei Fällen unterschieden. Der erste Fall ist, dass der Strike kleiner gleich der Schranke L ist k l) und der zweite Fall ist, dass der Strike größer gleich L ist k l). 1. Fall k l : Ψy) = E R e yw 1 {W k}1 {m l}) = E R e yw 1 {k W l}1 {m l}) + E R e yw 1 {W l}1 {m l}) = E R e yw 1 {k W l}) + E R e yw 1 {W l}1 {m l}). Die Berechnung des linken Summanden ist klar, da W N0, ). Für die des rechten Summanden wird das Spiegelungsprinzip benutzt. Zur Erinnerung: RW x, m y) = RW 2y x), für y 0, x y. 4

7 Daraus folgt: Ψy) = E R e yw 1 {k W l}) + E R e yw 1 {W l}1 {m l}) l = 1 e yx e 1 2 x2 dx + e yx e 1 2π k l l = 1 ) 2 e y2 2 e 1 x y 2 dx + 1 2π 2π k 2 2l x)2 dx l e y2 2 +2yl e 1 2 ) 2 x 2l y dx. Das letzte Gleichheitszeichen ist mittels quadratischer Ergänzung entstanden. Substituiert man nun im linken Summanden x 1 := 1 x y ) dx = dx 1 ) und im rechten x 2 := 1 x 2l y ) Ψy) = e y2 2 1 l y ) 1 2π 1 k y ) dx = dx 2 ), folgt: e 1 2 x2 1 dx1 + e y2 2 +2yl 1 2π = e y2 2 [N y1 ) N y 2 )] + e y2 2 +2yl N y 3 ) 1 l y ) e 1 2 x2 2 dx2 mit y 1 := 1 l y ), y 2 := 1 k y ), y 3 := 1 l + y ). Setzt man alle vorher berechneten und definierten Werte, Ψy), m = 1 σ l = 1 σ ln L S 0 r σ2 2 und k = 1 σ ln S 0, in die Preisformel des DIC ein, erhält man zusammenfassend für L: DICS 0,, L) = e r e m2 2 [S 0 Ψσ + m) Ψm)] ) ] 2r L σ = S 0 [N z 1 ) N z 2 ) N z 3 ) S 0 [ L e r N z 4 ) N z 5 ) + S 0 ) ] 2r σ 2 1 N z 6 ) ), 5

8 mit z 1 : = 1 [ σ r σ2 ) + ln S ] 0 L z 2 : = 1 [ σ r σ2 ) + ln S ] 0 ] z 3 : = 1 σ [ r σ2 ) ln S 0 L z 4 := z 1 + σ z 5 := z 2 + σ z 6 := z 3 σ. 2. Fall k l : Ψy) = E R e yw 1 {W k}1 {m l}) = 1 e yx e 1 2 2l x)2 dx 2π k = 1 2π k e y2 2 +2yl e 1 2 = e y2 2 +2yl 1 2π = e y2 2 +2yl N y 4 ) 1 k 2l y ) ) 2 x 2l y dx e 1 2 x2 3 dx3 mit y 4 := 1 2l + y k) und der Substitution x 3 := 1 x 2l y ). Setzt man analog alle Werte ein, erhält man für den Fall L : DICS 0,, L) = e r e m2 2 [S 0 Ψσ + m) Ψm)] ) 2r L σ = S 2 +1 ) 2r L 0 N z 7 ) e r σ 2 1 N z 8 ) S 0 S 0 mit z 7 : = 1 σ [ln L2 S 0 + r + 1 ] 2 σ2 ) z 8 := z 7 σ. Die Preisformel für den DIC L) lässt sich umschreiben zu L DICS 0, L, ) = S 0 ) 2r σ 2 +1 [ ] S 0 N z 7 ) e r S2 0 L N z 8) 2 6

9 oder falls CS 0, ) den Preis eines Calls mit Strike und Anfangskurs S 0 bezeichnet, zu: L DICS 0, L, ) = S 0 ) 2r σ 2 +1 ) C S 0, S2 0. L 2 3 Die Symmetrie von P. Carr Ziel ist, die Preisformel für den DIC mit Hilfe der Symmetrie Formel zu bestimmen. Zunächst wird die Symmetrie Formel von Carr durch ein Beispiel erläutert, anschließend wird die Beziehung zum DIC hergestellt. 3.1 Beispiel Gegeben sei ein Wechselkurs mit folgender Dynamik: dx t = X t [r d r f )dt + σdw t ], wobei r d den inländischen Zinssatz und r f den ausländischen Zinssatz darstellt. Im Beispiel wird der Wechselkurs X t zwischen dem Euro und dem US-Dollar betrachtet. X t = 0.7EUR bedeutet beispielsweise, dass man für 0.7EUR einen Dollar erhält. Dies ist äquivalent dazu, dass der Wechselkurs zwischen dem US- Dollar und dem Euro 1 X t für 1 X t = beträgt, ansonsten gäbe es Arbitragemöglichkeiten. D.h. 1.42USD erhält man einen Euro. Im Folgenden wird ein Call auf die ausländische Währung USD mit Laufzeit und Strike betrachtet. Der Payoff dieses Calls beträgt in EUR: X ) EUR falls X X ) + = 0 sonst. In USD beträgt dieser: X ) X ) + X = = 1 1 X ) USD falls X 0 sonst. 7

10 Der Preis dieser Call Option beträgt zum Zeitpunkt t: Call d t, X t,,, r d, r f ) EUR = Call d t, X t,,, r d, r f )X 1 t USD. Nimmt nun ein ausländischer Investor die Position Long Puts auf die Euro- Währung mit Wechselkurs 1 X t, Laufzeit und Strike 1 von Put f t, 1 X t, 1,, r f, r d ) USD ein, hat dieser einen Preis und damit einen USD Payoff von 1 1 ) + 1 = 1 X ) USD falls 1 1 X 0 sonst. X X Aus dem Replikationsprinzip folgt, dass die Preise identisch sind, da der Payoff des Calls dem der Puts entspricht, d.h. Call d t, X t,,, r d, r f )X 1 t = Put f t, 1 X t, 1,, r f, r d ) Call d t, X t,,, r d, r f ) = X t Put f t, X 1 t, 1,, r f, r d ). Betrachtet man nun den Fall r d = r f und die Eigenschaft des Puts, erhält man folgenden Satz. aputt, X t,, ) = Putt, ax t, a, ) 3.2 Satz Falls das Basisgut die Dynamik ds t = S t σdw t unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß besitzt, gilt folgende Symmetrie Formel: Callt, S t,, ) = S t Putt, S 1 t, 1, ) = Putt,, S t, ), wobei die Notation Putt, x, y, ) für den Putpreis zum Zeitpunkt t, aktuellem urs x, Strike y und Laufzeitende steht. 8

11 3.3 Beziehung zum DIC Sei für den DIC > L und ein Aktienpreisprozess S t ) t 0, welches ein Martingal unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß ist, gegeben, dann ist DICx,, L) = E[S ) + 1 {L < }] = E[ES ) + 1 {L < } F L )] = E[1 {L < }ES ) + F L )]. Der erm E[S ) + F L ] entspricht dem Preis eines Calls mit Strike, Anfangskurs L und Laufzeit L. Wendet man darauf die Symmetrie Formel an, ist dieser erm äquivalent zu Put L,, L, ). Daraus folgt: E[1 {L < }ES ) + F L )] = E [ 1 {L < }Put L,, L, ) ] [ ] = E 1 {L < } L Put L, L, L2, ). ) + Die Auszahlung dieses Puts mit Strike L2 beträgt L 2 S und ist nur dann positiv, wenn das Basisgut unter L2 liegt, somit auch unter L liegt, sofern > L. Falls also die Auszahlung nicht Null ist, muss die Barriere L erreicht worden sein und es gilt für den Preis des DIC: ] [1 L E {L< }Put L, L, L2, ) = L [ E 1 {L < }E [ L2 = [1 L E {L < }E [ L2 = L E [E = L E [E = L E [ L2 [ L2 S ) + F L ]] S )1 { L 2 >S } F L S )1 { L 2 1 >S } { L < } F L ]] [ L2 S )1 { L 2 F >S } L ] S )1 { L 2 = [ ] L E L2 S ) + = L Put x, L2 9 ). >S } ]] ]]

12 Mit Hilfe der Symmetrie Formel ist dann DICx,, L) = ) L Put x, L2 = Call L, x ). L 10