ITWM Workshopserie 2012: Mehrfaktor-Zinsmodelle und ihre Implementation

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1 ITWM Workshopserie 2012: Mehrfaktor-Zinsmodelle und ihre Implementation Aspekte des 2-Faktor-Hull-White-Modells 8. November 2012

2 Inhalt Weshalb ein Mehrfaktor Modell? 2-Faktor-Modelle Das ursprüngliche 2-Faktor-Hull-White-Modell Das HJM-G2++ Modell Das HJM-G2++ Modell: Geschlossene Lösungen 1

3 Weshalb ein Mehrfaktor Modell? Empirische Argumente Zinsgebirge bestimmt durch drei Faktoren Level (Zinsniveau), Slope (Anstieg zwischen kurz- und langfristigem Zins) und Curvature (Krümmung) Reaktion des Marktes auf kurzfristige EZB-Eingriffe betreffen nur kurze Laufzeiten Praktische Argumente Besserer Fit und flexiblere Modellierung Mehr Erklärungs- und Interpretationsmöglichkeiten 2

4 Übliche Mehrfaktormodelle 2- oder 3-Faktor Hull-White-Modelle LIBOR-Modell Zwei-Faktor CIR++-Modell rational lognormal model (Flesaker, Hughston)... 3

5 Weshalb ein Mehrfaktor Modell II? Besondere Anforderungen an ein gutes Short-Rate Modell 1. Flexible numerische Bewertung von amerikanischen und pfadabhängigen Optionen 2. komplexe Korrelationsstrukturen zwischen Forward-Rates 4

6 Weshalb ein Zwei-Faktor Modell? Ein-Faktor Modelle erfüllen (1) aber nicht (2) unbefriedigende Kalibrierung starke Unterbewertung von Produkten die stark von der Volatilität abhängen (Mehrfaktor) Libor Markt Modelle erfüllen (2), es ist jedoch relativ umständlich amerikanische und pfadabhängige Produkte zu bewerten Zwei-Faktor Short-Rate Modelle erfüllen beide Kriterien, aber Gaussche Modelle generieren negative Zinsraten mit positiver Wahrscheinlichkeit Das Zwei-Faktor CIR++ Modell generiert keine negativen Zinsraten, erfordert jedoch unkorrelierte Faktoren keine gute Anpassung an Swaption-Preise möglich. 5

9 Gausssche 2-Faktor-Modelle Original 2-Faktor-Hull-White-Modell 2-Faktor-Gauss-Modell von Brigo/Mercurio 2-Faktor-Gauss-Modell basierend auf HJM-Framework (HJM-G2++) von ITWM 6

10 Das ursprüngliche Hull-White-Modell Definition Hull-White-Modell Die Short-Rate ist gegeben durch dr(t) = ( θ(t) ar(t) ) dt + σ 1 dw 1 (t), r(0) = r 0 Funktion θ(t) ergibt sich aus der anfänglichen Zinskurve. Ein Parameter: a, σ 1 Die 7

11 Das ursprüngliche 2-Faktor-Hull-White-Modell Definition 2-Faktor-Hull-White-Modell Die Short-Rate ist gegeben durch dr(t) = ( θ(t)+u(t) ar(t) ) dt + σ 1 dw 1 (t), r(0) = r 0 du(t) = bu(t) dt + σ 2 dw 2 (t), u(0) = 0 Die Korrelation d W 1, W 2 t = ρ dt wird mit kalibriert und die Funktion θ(t) ergibt sich aus der anfänglichen Zinskurve. Fünf Parameter: a, b, σ 1, σ 2, ρ. 7

12 Erinnerung: Das Heath-Jarrow-Morton Framework I Die integrierte Forward-Rate hat die Form f(t, T) = f(0, T)+ t 0 σ(u, T) T u σ(u, s) ds du+ t 0 σ(s, T) dw(s), wobei W(t) eine Brownsche Bewegung unter dem risikoneutralen Maß ist. Die integrierte Short-Rate abgeleitet von der Forward-Rate r(t) = f(t, t) = f(0, t) + t 0 σ(u, t) t u σ(u, s) ds du t + σ(s, t) dw(s). 0 8

13 Erinnerung: Das Heath-Jarrow-Morton Framework I Die integrierte Forward-Rate hat die Form f(t, T) = f(0, T)+ t 0 σ(u, T) T u σ(u, s) ds du+ t 0 σ(s, T) dw(s), wobei W(t) eine Brownsche Bewegung unter dem risikoneutralen Maß ist. Die integrierte Short-Rate abgeleitet von der Forward-Rate r(t) = f(t, t) = f(0, t) + t 0 σ(u, t) t u σ(u, s) ds du t + σ(s, t) dw(s). 0 8

14 Erinnerung: Das Heath-Jarrow-Morton Framework II Cheyette Ansatz σ(u, t) = β 1 (u) α 1(t) α 1 (u) + β α 2 (u) 2 α 2 (t) α s und β s α i (t) = exp( κ i t) und β i (t) = σ i 9

15 Das HJM-G2++ Modell I Definition des 2-Faktor-Hull-White-Modells Die Short-Rate ist gegeben durch r(t) = f(0, t) + X 1 (t) + X 2 (t), wobei die Zustandsvariablen X 1, X 2 erfüllen X 1 (0) = X 2 (0) = 0, dx 1 (t) = ( κ 1 X 1 (t) + ϕ 11 (t) + ϕ 12 (t) ) dt + σ 1 dw 1 (t), dx 2 (t) = ( κ 2 X 2 (t) + ϕ 21 (t) + ϕ 22 (t) ) dt + σ 2 dw 2 (t). Die Korrelation d W 1, W 2 t = ρ dt wird mit kalibriert. Fünf Parameter: κ 1, κ 2, σ 1, σ 2, ρ. 10

16 Das HJM-G2++ Modell II Die deterministischen Funktionen ϕ ij sind gegeben durch ϕ ij (t) = Insbesondere ist t 0 cov(x i (s), X j (s)) ds. ϕ ii (t) = σ2 i 2κ i (1 e 2κ it ), ϕ 12 (t) = ϕ 21 (t) = ρσ 1σ 2 κ 1 + κ 2 ( 1 e (κ 1 +κ 2 )t ). 11

17 Zusammenhang von G2++ und HJM-G2++ Modell I Definition des 2-Faktor-Hull-White-Modells G2++ Die Short-Rate ist gegeben durch r(t) = θ(t) + x 1 (t) + x 2 (t), wobei die Zustandsvariablen x 1, x 2 erfüllen x 1 (0) = x 2 (0) = 0, dx 1 (t) = κ 1 x 1 (t) dt + σ 1 dw 1 (t), dx 2 (t) = κ 2 x 2 (t) dt + σ 2 dw 2 (t). 12

18 Zusammenhang von G2++ und HJM-G2++ Modell II Setzt man u i = 2 t j=1 0 e κ i(s t) ϕ ij (s) ds, dann ist leicht gezeigt x i = X i u i und θ(t) = f(0, t) + u 1 (t) + u 2 (t). 13

19 Geschlossene Lösungen: Nullkuponbond Preis zur Zeit t eines Nullkuponbonds mit Laufzeitende T [ P(t, T) =E exp ( T r(s) ds ) ] Ft t P(0, T) ( = P(0, t) exp 2 β i(t t)x i (t) i=1 1 2 ) 2 β i(t t)β j (T t)ϕ ij (t). i,j=1 Hier ist β i (s) = 1 e κ i s κ i falls κ i 0 und β i (s) = s sonst. Bondpreise sind lognormal und hängen von der Korrelation ρ ab. 14

20 Geschlossene Lösungen: Nullkuponbond Call Preis zur Zeit t eines Calls mit Laufzeitende T 1 und Strike K auf einen Nullkuponbond mit Laufzeitende T 2 [ ZBC(t, T 1, T 2, K) = E exp ( T1 r(s) ds )( P(T 1, T 2 ) K ) ] + Ft t = P(t, T 2 )N(d + ) P(t, T 1 )K N(d ) wobei und d ± := ln ( K P(t, T 1 )/P(t, T 2 ) ) σ 2 ZBC := σ ZBC(t, T 1, T 2 ) 2 := σ ZBC ± σ ZBC 2 2 β i (T 2 T 1 )β j (T 2 T 1 )ϕ ij (T 1 t) i,j=1 15

21 Geschlossene Lösungen: Cap Formeln für Caps folgen aus den Preisen für Calls. Preis zur Zeit t eines Caps mit Zahlungszeitpunkten t 1,..., t n auf die Zinsrate R Cap(t, (t 1,..., t n ), R) = n i=1 1 K i ZBP(t, t i 1, t i, K i ). Hierbei sind die Strikes K i := 1 1+R (t i t i 1 ). 16

22 Geschlossene Lösungen: Europäische Payer Swaption I Preis zum Zeitpunkt t einen Payer Swap zum Zeitpunkt T = t 0 einzugehen mit Zahlungszeitpunkten t 1,..., t n, einer festen Rate R und Nominal 1 S(t, T,(t i ), R) = 1 + exp ( x 2 ) 2π 2 ( n λ i exp ( b i (x, r x) + 2 i /2) N ( ) ) h(x) i dx i=0 17

23 Geschlossene Lösungen: Europäische Payer Swaption I Preis zum Zeitpunkt t einen Payer Swap zum Zeitpunkt T = t 0 einzugehen mit Zahlungszeitpunkten t 1,..., t n, einer festen Rate R und Nominal 1 S(t, T,(t i ), R) = 1 + exp ( x 2 ) 2π 2 ( n λ i exp ( b i (x, r x) + 2 i /2) N ( ) ) h(x) i dx i=0 17

24 Geschlossene Lösungen: Europäische Payer Swaption II h(x) = y(x) r x, 1 r 2 i = ϕ 22 β 2 (t i T) 1 r 2, λ i = c i P(t, t i ) exp ( σ ZBC (t, T, t i ) 2 /2 ), b i (x, y) = x ϕ 11 β 1 (t i T) y ϕ 22 β 2 (t i T) c 0 = 1, c i = R (t i t i 1 ), c n = 1 + R (t n t n 1 ). y(x) ist implizit gegeben durch n i=1 λ i exp ( b i (x, y(x)) ) = P(t, T). Abkürzend ist ϕ ij = ϕ ij (T t) und r = ϕ 12 / ϕ 11 ϕ

28 Geschlossene Lösungen: Europäische Payer Swaption III Finanzkrise: Swaps mit zwei Kurven (Diskontierung, Forward) bewerten obige Formel gilt nicht mehr Ausweg: Deterministischer Spread s(t) zwischen Forward-Rate (LIBOR) und Zerobondrate (Diskontierungsrate), Diskontierungskurve wird modelliert, Forwardrate ergibt sich daraus Lösung: s ist von der Rate R abzuziehen und zwar s(t i ) in c i 19

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