Ergebnisbericht des Ausschusses Investment. Beispielhafte Kalibrierung und Validierung des ESG im BSM zum

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1 Ergebnisbericht des Ausschusses Investment Beispielhafte Kalibrierung und Validierung des ESG im BSM zum Köln, den

2 Präambel Der Ausschuss Investment 1 der Deutschen Aktuarvereinigung e.v. (DAV) hat den vorliegenden Ergebnisbericht erstellt. Zusammenfassung Ab Anfang 2016 stellt die DAV quartärlich eine Beispielkalibrierung für den ökonomischen Szenariengenerator (ESG) des Branchensimulationsmodells (BSM) zur Verfügung. Die Ergebnisse dieser Kalibrierung sowie deren Validierung werden in dem vorliegenden Bericht zusammengefasst. Dabei wird explizit auf folgende Punkte hingewiesen: Die Beispielkalibrierung umfasst sämtliche Kalibrierungsparameter des ESG. Der vorliegende Ergebnisbericht veröffentlicht neben den Werten dieser Parameter auch die Datengrundlage der Kalibrierung. Daneben beinhaltet der Ergebnisbericht auch einen Abschnitt über zentrale Validierungen der oben genannten Kalibrierung. Alle für die Kalibrierung und Validierung wesentlichen methodischen Aspekte sind in einem separaten Ergebnisbericht 2 des Ausschusses Investment dargestellt. Dieser wird laufend gepflegt und an Weiterentwicklungen des ESG angepasst. Die Kenntnis dieses Ergebnisberichts ist für das Verständnis des vorliegenden Ergebnisberichts wichtig. Die Beispielkalibrierung kann den Versicherungsunternehmen als Benchmark dienen, mit dem diese ihre eigene Kalibrierung sowie deren zugrundeliegende Methodik vergleichen können. Die Beispielkalibrierung soll keine Vorgabe sein, die Versicherungsunternehmen ohne eigene Untersuchungen und Überprüfung deren Angemessenheit übernehmen können. Die beschriebenen Validierungen können als Referenz dienen, um die eigene Kalibrierung zu bewerten. Zugleich sind solche Validierungen zu einem gewissen Maße Momentaufnahmen, deren Qualität auch von der Anzahl der simulierten Pfade und dem verwendeten Seed abhängen. Abschnitt I dieses Ergebnisberichts befasst sich mit der beispielhaften Kalibrierung des ESG, während Abschnitt II deren Validierung darstellt. 1 Der Ausschuss Investment dankt der Arbeitsgruppe Kalibrierung spezieller ESG unter Solvency II und insbesondere den beiden Unterarbeitsgruppen Kalibrierung spezieller ESG unter Solvency II (namentlich Johannes Fabrega, Sebastian Helbig, Dr. Holger Schalk und Prof. Dr. Annegret Weng) und Validierung spezieller ESG unter Solvency II (namentlich Dr. Manfred Gravekarstens, Dr. Wilfried Homann, Dr. Mario Hörig und Norbert Quapp) ausdrücklich für die geleistete Arbeit. 2 "Zwischenbericht zur Kalibrierung und Validierung spezieller ESG unter Solvency II" 2

3 Der Ergebnisbericht ist an die Mitglieder und Gremien der DAV zur Information über die erzielten Erkenntnisse gerichtet. Dieser Ergebnisbericht stellt keine berufsständisch legitimierte Position der DAV dar. Verabschiedung Dieser Ergebnisbericht ist am durch den Ausschuss Investment verabschiedet worden. 3

4 INHALT I. Beispielkalibrierung zum Stichtag Einleitung Datengrundlage Kalibrierung des Zins-Modells Ergebnisse Bemerkungen Kalibrierung der Aktien- und Immobilienparameter Ergebnisse Bemerkungen Kalibrierung der Korrelationen Ergebnisse Bemerkungen... 7 II. Validierungsreport für die Beispielkalibrierung per Einleitung Zusammenfassung der Validierung Inhalt und Gegenstand der Validierung Validierungsergebnisse Renditen Martingaltests Test der Verteilungseigenschaften Swaptionvolatilität Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen Volatilität Indizes... 19

5 A. Anhang Validierung der Zinsstresse A.1 Renditen A.2 Martingaltests A.2.1 Martingaltest Nullkuponanleihen A.2.2 Martingaltest Indizes A.3 Test der Verteilungseigenschaften A.3.1 Negative Zinsen A.3.2 Verteilung der Shortrate und Zinssätze A.4 Swaptionvolitilität A.5 Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen A.6 Volatilität Indizes

6 I. Beispielkalibrierung zum Stichtag Einleitung Dieser Abschnitt beschreibt die Datengrundlage der Kalibrierung und dokumentiert die Ergebnisse der Beispielkalibrierung der DAV-Arbeitsgruppe Kalibrierung spezieller ESG unter Solvency II zum Stichtag Für den theoretischen Hintergrund und Details zur Methodik wird auf den Ergebnisbericht "Zwischenbericht zur Kalibrierung und Validierung spezieller ESG unter Solvency II" verwiesen. Die Kenntnis dieses Ergebnisberichts ist für das Verständnis der hier dargestellten Ergebnisse zur Kalibrierung wichtig Datengrundlage Für die beispielhafte Kalibrierung wird folgende Datengrundlage verwendet: Zero-Kupon-Zinssätze für Laufzeiten 1-20 Jahre (monatliche Daten über 10 Jahre) der Bundesbank. Implizite Volatilität einer (10, 10) at-the-money Receiver-Swaption zum Stichtag (bereitgestellt von einer internationalen Großbank). Monatliche Entwicklungen des EURO STOXX 50 über 10 Jahre als Grundlage für die den Aktienprozess betreffenden Parameter. Jährliche Entwicklungen des IPD Global Annual Property Index und des IPD Germany Annual Property Index über 10 als Grundlage für die den Immobilienprozess betreffenden Parameter. 2. Kalibrierung des Zins-Modells 2.1. Ergebnisse Die Kalibrierung des Volatilitätsparameters σ des Hull-White Zinsmodells an den vorliegenden Stichtagswert der unter 1.1 genannten Swaption ergibt einen Wert von 1,71% für den Parameter σ Bemerkungen Zur Kalibrierung wurden die Zinskurven gemäß Bundesbank und eine implizite Swaptionvolatilität für eine (10,10) at-the-money Receiver-Swaption in Höhe von 35,18%, beide zum Stichtag , verwendet.

7 I. Beispielkalibrierung zum Stichtag Eine wie im Ergebnisbericht "Zwischenbericht zur Kalibrierung und Validierung spezieller ESG unter Solvency II" dargestellte Mittelung über eine Zeitreihe an historischen Volatilitätsdaten ist dabei nicht erfolgt, weil der Arbeitsgruppe keine historische Zeitreihe von Swaptiondaten vorlag. Daher wurde eine Stichtagskalibrierung durchgeführt. 3. Kalibrierung der Aktien- und Immobilienparameter 3.1. Ergebnisse Die historische jährliche Volatilität des Euro Stoxx 50 Return Index wurde mit 18,4% bestimmt. Die historische jährliche Volatilität der Immobilien (als 50/50- Mischung der Standardabweichungen von IPD German Annual Property Fund Index und IPD Global Annual Property Index) beträgt 5,8% Bemerkungen Mangels Datenverfügbarkeit für Optionen auf die oben genannten Indizes wurden die Volatilitäten auf Basis historischer Performance-Werte kalibriert. 4. Kalibrierung der Korrelationen 4.1. Ergebnisse Die Korrelation zwischen den Log-Returns des Euro Stoxx 50 Return Index und den absoluten Zinsänderungen der einjährigen Zero-Kupon-Zinssätze ergibt 33%. Die Korrelation für die Erzeugung der Szenarien bzw. für die Bestimmung der zeitabhängigen Volatilität des Aktienprozesses wird auf ganze Zehnerstufen gerundet. Somit ergibt sich ein Wert von 30%. Die Korrelation zwischen dem Immobilien- und dem Zinsprozess wird analog dazu auf einen Wert von 30% gesetzt. Die Korrelation zwischen Aktien- und Immobilienprozess wird auf einen Wert von 75% gesetzt Bemerkungen Die Kalibrierung der Korrelationen zwischen Immobilienprozess und Aktien- bzw. Zinsprozess wird aufgrund der sehr dünnen Datengrundlage für Immobilien im Sinne der Stabilität dieser Parameter unter Hinzunahme von Expertenschätzungen so gesetzt, dass Aktien- und Immobilienprozess eine Korrelation von 75% sowie Zins- und Immobilienprozess dieselbe Korrelation wie Zins- und Aktienprozess aufweisen. 7

8 II. Validierungsreport für die Beispielkalibrierung per Einleitung Dieser Abschnitt stellt zentrale Validierungen der im ersten Abschnitt dargestellten Kalibrierung dar. Für den theoretischen Hintergrund und Details zur Methodik sei auf den Ergebnisbericht "Zwischenbericht zur Kalibrierung und Validierung spezieller ESG unter Solvency II" verwiesen. Die Kenntnis dieses Ergebnisberichts ist für das Verständnis der hier dargestellten Ergebnisse zur Validierung wichtig. Zur Validierung wurde folgender Ansatz verwendet: Mit dem vom GDV bereitgestellten ESG in der Version 2.1 werden unter Verwendung der in Abschnitt I dargestellten Kalibrierungs-Parameter risikoneutrale Pfade - jeweils für die Best Estimate (BE)- und die beiden gestressten Zinskurven - erzeugt; der Wert des Seed betrug dabei 12. Es erfolgt eine Validierung dieser Szenarien, wobei im Kapitel 4 auf die Güte aller drei Szenarien eingegangen wird. Die Visualisierungen und zugehörige Größen beschränken sich auf die Ergebnisse des BE-Szenarios. Im Anhang A finden sich der Vollständigkeit halber entsprechende Visualisierungen und zugehörige Größen für die beiden Zinsstresse. Um die Konsistenz des Szenariensatzes zu den vorgegebenen Marktpreisen und der risikoneutralen Projektion zu testen, werden die folgenden Tests durchgeführt: Test der Konsistenz des Szenariensatzes zur initialen Marktzinskurve: Martingaltest für Diskontsätze Test des Szenariensatzes im Hinblick auf seine Martingaleigenschaft für Nullkuponanleihen und des Aktien- bzw. Immobilienindex: Martingaltest für Indizes und Bonds Test der Konsistenz des Szenariensatzes im Hinblick auf Verteilungseigenschaften der Zinsen Ermittlung der impliziten Swaptionvolatilitäten Test der Konsistenz der Korrelation zwischen den Assetklassen im Szenariensatz zu den Kalibrierungsparametern Ermittlung der impliziten Volatilitäten von Optionen auf den Aktien- und Immobilienindex

9 II. Validierungsreport zum Stichtag Zusammenfassung der Validierung Insgesamt zeigt die Validierung zufriedenstellende Ergebnisse. Nachfolgende Punkte waren auffällig: Die Korrelation zwischen Zinsen und Immobilien ist deutlich höher als vorgegeben. Grund hierfür sind numerische Effekte im Validierungs-Excel- Sheet aufgrund der kleinen Volatilität des Immobilienindex, die bis zur nächsten quartärlichen Kalibrierung und Validierung behoben sein werden. Der Martingaltest Aktien fällt bei ca. 95 Jahren Laufzeit knapp aber ausreichend aus. 3. Inhalt und Gegenstand der Validierung Für den wurde durch die UAG Kalibrierung spezieller ESG unter Solvency II eine Beispielkalibrierung der Kapitalmarktmodelle (Zins-, Aktien- und Immobilienmodell) zum ESG des BSM hergeleitet (siehe Abschnitt I). Parameter der Kalibrierung: o Startzinskurve: Basiszinskurve (BE, inkl. CRA und ohne Volatilitätsanpassung) 4,0% Rendite der Nullkuponanleihen - Maßgebliche Zinsstrukturkurve (BE, ohne VA) 3,5% 3,0% 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% ,5% Markt (Eingabe-Zinskurve) o o Volatilitätsparameter des Aktienprozesses: 18,40% (t 1) Volatilitätsparameter des Immobilienprozesses: 5,80% (t 1) o Mean reversion rate ( beta ) des Hull-White-Modells: 0.1 o Volatilität ( sigma ) des Hull-White-Modells:

10 II. Validierungsreport zum Stichtag o Korrelationsmatrix: Shortrate Aktien Immobilien Shortrate 1 0,3 0,3 Aktien 0,3 1 0,75 Immobilien 0,3 0, Validierungsergebnisse 4.1. Renditen Testansatz: Das 1-Faktor Hull-White-Modell wird u.a. mit dem Ziel kalibriert, dass sich darin die Startzinskurve im Mittel realisiert. Um zu testen, ob dies im gegebenen Szenariensatz der Fall ist, vergleicht man die Mittelwerte der über die Zeit projizierten Diskontsätze (bzw. deren Transformation auf Spotrates) mit der Startzinskurve. Nachfolgende Grafik illustriert die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die entsprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte. 4,0% Vergleich der vom Szenariensatz repräsentierten Zinskurve und der Eingabe-Zinskurve 3,5% 3,0% 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% ,5% Markt (Eingabe-Zinskurve) Simulation 10

11 II. Validierungsreport zum Stichtag Ergebnis: Für alle drei Szenarien liegt eine gute Übereinstimmung zwischen der Zinsstrukturkurve, die sich aus der Simulation ergibt, und der Eingabe-Zinsstrukturkurve vor; die Zinsstrukturkurve aus der Simulation liegt bei Restlaufzeiten zwischen ungefähr 15 und 65 Jahren um bis zu 10 Basispunkte über der Marktzinskurve Martingaltests Von einem marktkonsistenten, für die Bewertung von Cashflows geeigneten Szenariensatz wird verlangt, dass dieser arbitragefrei ist, d.h. dass es keine Investmentstrategie gibt, die einen risikofreien Ertrag über den risikofreien Zins hinaus generiert. Im Fall einer risikoneutralen Bewertung bedeutet dies insbesondere, dass alle Assetklassen im Mittel den risikofreien Zins erbringen müssen. In der Praxis wird dies dadurch überprüft, dass der sog. Martingaltest durchgeführt wird. Dieser Test verlangt, dass für alle Assetklassen und alle Projektionszeitpunkte t = 1, 2 T der Erwartungswert der diskontierten Cashflows von einem in t=0 investierten Euro wiederum 1 Euro beträgt. Daher wird dieser Test auch 1=1 -Test genannt. In der Praxis bedeutet dies, dass die in einzelnen Assetklassen (und damit auch die für die gesamte Kapitalallokation) im Modell projizierten und diskontierten Cashflows den anfänglichen Marktwerten der Kapitalanlage entsprechen Martingaltest Nullkuponanleihen Nachfolgende Grafik illustriert die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die entsprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte. 1,30 Martingaltest Zerobonds 1,25 1,20 1,15 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0, obere Grenze empirisches Konfidenzintervall empirischer Mittelwert untere Grenze empirisches Konfidenzintervall 11

12 II. Validierungsreport zum Stichtag Ergebnis: Für alle drei Szenarien liegt die Einslinie durchgehend im Konfidenzintervall. Zwischen den Projektionsjahren 40 bis 60 und ab dem Jahr 95 kommt es zu Abweichungen von absolut über 2%. Die maximalen Abweichungen liegen im Bereich von bis zu -5% im letzten Projektionsjahr bzw. um das Projektionsjahr 50. Insgesamt zeigt der Martingaltest zufriedenstellende Ergebnisse, insbesondere im Hinblick auf das relativ hohe Maß an Varianz, welches sich durch die hohe zugrundeliegende Swaptionvolatilität ergibt. Bezüglich der stärkeren Abweichungen für die Projektionsjahre 40 bis 60 sollte gegebenenfalls individuell das zu diesem Projektionszeitpunkt noch vorliegende unternehmensindividuelle Exposure geprüft werden, um die Erzeugung von Leakage oder Modellunschärfe zu vermeiden Martingaltest Indizes Nachfolgende Grafiken illustrieren die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die entsprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte. 1,10 Martingaltest Immobilien 1,05 1,00 0,95 0,90 0, obere Grenze empirisches Konfidenzintervall empirischer Mittelwert untere Grenze empirisches Konfidenzintervall 12

13 II. Validierungsreport zum Stichtag ,50 Martingaltest Aktien 1,45 1,40 1,35 1,30 1,25 1,20 1,15 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0, obere Grenze empirisches Konfidenzintervall empirischer Mittelwert untere Grenze empirisches Konfidenzintervall Ergebnis: Für den Immobilienindex liegt die Einslinie durchgehend im Konfidenzintervall. Der Mittelwert der diskontierten Total Returns liegt sogar durchgehend innerhalb eines 2%-Korridors um die Einslinie. Für Aktien fällt der Test etwas schlechter aus. Im BE-Szenario liegt die Einslinie zwar mit Ausnahme der späten Projektionsjahre innerhalb des Konfidenzintervalls. Allerdings weicht der Mittelwert der diskontierten Total Returns in den Jahren von ungefähr 45 bis 55 um bis zu -4%, in den Jahren von ungefähr 60 bis 70 um bis zu +11% und in den Jahren 75 bis 100 um bis zu -20% ab (auf den Zinsstressen liegen vergleichbare Abweichungen vor). Diese Abweichungen sind auf die höhere Simulationsvarianz der Aktien im Vergleich zu den Immobilien zurückzuführen. Insgesamt zeigt der Martingal-Test zufriedenstellende Ergebnisse. Bezüglich der phasenweise etwas stärkeren Abweichungen für Aktien sollte gegebenenfalls individuell das zu diesem Projektionszeitpunkt noch vorliegende unternehmensindividuelle Exposure geprüft werden, um die Erzeugung von Leakage oder Modellunschärfe zu vermeiden Reinvestitionstest Der Reinvestitionstest (auch 1=1=1-Test genannt) stellt eine Erweiterung des einfachen Martingaltests dar. Hierbei wird die Martingaleigenschaft eines Assets, welcher aus einer dynamischen Reinvestitionsstrategie in Aktien, Immobilien und Zinsen resultiert, überprüft. In der vorliegenden Validierung wurden anfängliche Investitionen bis t 1=1,,80 in Zinstitel bzw. Indizes weitere t 2=5, 10, 15, 20 Jahren in die Indizes bzw. Zinstitel umgeschichtet und deren mittlerer diskontierter 13

14 II. Validierungsreport zum Stichtag Marktwert sowie die zugehörigen symmetrischen 5%-Konfidenzintervalle ermittelt. Liegt der Mittelwert einer solchen Umschichtungsstrategie in einem Projektionsjahr außerhalb des zugehörigen Konfidenzintervalls, so gilt der Test in diesem einen Fall als nicht bestanden. Um festzulegen, ob die Szenariengesamtheit den Test (über alle Projektionsjahre und Umschichtungsstrategien) besteht, wurde ein Hypothesentest, der anhand der Anzahl der Abweichungen je Simulationsjahr entscheidet, ob der Reinvestitionstest bestanden ist, umgesetzt. Treten keine oder nur wenige Abweichungen auf, dann gilt der Test als bestanden; treten zu viele auf, ist er definitiv nicht bestanden. Bei einer mittleren Anzahl von Abweichungen muss der Nutzer anhand der Einzelabweichungen im Detail entscheiden, ob der Test bestanden ist. Für die untere Grenze wurde festgelegt: Bei weniger als 7 aufgetretenen Abweichungen gilt der Test als bestanden. Die obere Grenze zum definitiven Nichtbestehen des Tests ist folgendermaßen ermittelt: Bei den betrachteten 320 Tests 3 (z.b. von Zins nach Zins) und einer Wahrscheinlichkeit des Überschreitens von 5% gibt es unter Annahme der Binomialverteilung einen Mittelwert von 16 Abweichungen und einer Varianz von 15,2. Der Hypothesentest besagt, dass bei einer Anzahl von mehr als 23 Abweichungen die Hypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von über 97,5% abzulehnen ist. Zusätzlich wird ein Ausreißer-Test für die Reinvestitionen durchgeführt. Die Reinvestitionen werden nun zusätzlich um Ausreißer oberhalb des 99,5%-Quantils geprüft. Falls mehr als 5 Ausreißer gefunden werden, gilt dieser Test als nicht bestanden. Bei keinem oder einem Ausreißer gilt der Test als bestanden, dazwischen ist keine eindeutige Aussage möglich. Ergebnis: Auf dem BE-Szenario, Zins-up-Szenario und Zins-down-Szenario kam es beim Hypothesentest Reinvestition von Aktien nach Zins zu jeweils 6 Abweichungen, beim Hypothesentest Reinvestition von Immobilien nach Aktien kam es zu 4 Abweichungen. In den restlichen 5 Hypothesentests sowie im Ausreißertest traten keine Abweichungen auf. Die Szenariensätze bestehen also sämtliche Reinvestitionstests. 3 4 Umschichtungsdauern nach je 1-80 Projektionsjahren 14

15 II. Validierungsreport zum Stichtag Test der Verteilungseigenschaften Negative Zinsen Testansatz: Im Hull-White-Modell ist die Shortrate normalverteilt. Erwartungswert und Varianz sind daher zu jedem Zeitpunkt in einer geschlossenen Formel darstellbar. Eine theoretische Wahrscheinlichkeit für das Auftreten negativer Zinsen lässt sich daher angeben, die mit der empirischen Wahrscheinlichkeit verglichen werden kann. Nachfolgende Grafik illustriert die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die entsprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte und lediglich gemäß der vorliegenden Zinsstresse entsprechend verschoben. 60% Vergleich der Wahrscheinlickeit negativer Zinsen 50% 40% 30% 20% 10% 0% Theoretische Wahrscheinlichkeit Relative Häufigkeit Ergebnis: Die Häufigkeit negativer Zinsen entspricht in allen drei Szenarien bis auf eine geringe verbleibende Simulationsvarianz den Erwartungen an das Hull-White-Modell bei der gegebenen Parametrisierung. Insbesondere in den ersten Projektionsjahren ist ein hoher Anteil negativer Zinsen zu erwarten. 15

16 II. Validierungsreport zum Stichtag Verteilung der Shortrate und Zinssätze Zusätzlich lässt sich die Verteilung der Shortrate und Zinsen für verschiedene Laufzeiten über die Projektion grafisch über einen Plot von ausgewählten Quantilen darstellen. Nachfolgende Grafiken illustrieren die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die entsprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse finden sich im Anhang und sind gemäß der vorliegenden Zinsstresse entsprechend verschoben. 22% Quantile Shortrate 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% -2% -4% -6% -8% -10% Min. - 1 % bzw. 99 % - Max. 10 % - 25 % bzw. 90 % - 99 % 25 % - 50 % bzw. 75 % - 90 % 50 % - 75 % Mittelwert 22% Quantile Zins 1Y 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% -2% -4% -6% -8% -10% Min. - 1 % bzw. 99 % - Max. 10 % - 25 % bzw. 90 % - 99 % 25 % - 50 % bzw. 75 % - 90 % 50 % - 75 % Mittelwert 16

17 II. Validierungsreport zum Stichtag % Quantile Zins 10Y 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% -2% -4% -6% % -10% Min. - 1 % bzw. 99 % - Max. 10 % - 25 % bzw. 90 % - 99 % 25 % - 50 % bzw. 75 % - 90 % 50 % - 75 % Mittelwert 4.4. Swaptionvolatilität Zum Test der Volatilitätskalibrierung des Hull-White-Modells wurden des Weiteren die Preise und daraus die impliziten Volatilitäten von at-the-money Receiver-Swaptions mit Nominal 1 EUR für (Maturity, Tenor)-Kombinationen aus {5, 10, 15, 20, 25} x {5, 10, 15, 20, 25} Jahren für das BE-Szenario ermittelt. Diese lauten Implizite Volatilitäten Maturity\Tenor ,0% 47,3% 37,6% 28,7% 22,6% 10 44,0% 35,7% 26,2% 20,1% 16,4% 15 38,4% 24,9% 18,1% 14.4% 12,1% 20 21,7% 15,5% 12,2% 10,1% 8,8% 25 16,2% 12,5% 10.2% 8,7% 7,7% Hierbei ist zu beachten, dass der Black-Quote der impliziten Swaptionvolatilitäten vom zugrundeliegenden Zinsniveau abhängt, da dieser die Volatilität der relativen Zinsänderungen misst. Daher macht die Betrachtung dieser Volatilitätsmatrix sowohl für das BE-Szenario als auch die beiden Zinsstresse nur eingeschränkt Sinn, da sich diese Volatilitäten abhängig vom Zinsniveau modellbedingt ändern müssen. Im Anhang finden sich diese Werte für die beiden Zinsstresse daher nur nachrichtlich und ohne weitere Beurteilung. 17

18 II. Validierungsreport zum Stichtag Für die Validierung beschränken wir uns auf den Vergleich des Zielwertes von 35.18% für die (10,10) at-the-money Receiver Swaption (welcher der alleinige Zielpunkt für die Kalibrierung war) und vergleichen diesen mit dem empirisch ermittelten Wert bei Simulation mit dem ESG unter Verwendung der Marktzinskurve. Der sich daraus ergebende Wert beträgt 36.6%, woraus auf eine gute Qualität der Kalibrierung geschlossen werden kann. Eine pauschale Beurteilung der Swaptionvolatilitätskalibrierung kann im Rahmen der Validierung nicht erfolgen, ohne die zugehörigen Kalibrierungsziele zu nennen und zu klären: Für welche Swaptions soll die implizite Volatilität getroffen werden? Aufgrund der Tatsache, dass nur der Volatilitätsparameter sigma zur Kalibrierung zur Verfügung steht (der Parameter beta wird aktuell konstant auf 0.1 gesetzt), kann auch nur die implizite Volatilität einer ausgewählten Swaption exakt getroffen werden. Eine alternative Metrik würde die mittlere Abweichung zwischen Modellwerten und Kalibrierungsvorgaben für eine bestimmte Menge an Swaptions darstellen Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen Die nachfolgenden Grafiken zeigen die Korrelation zwischen den Zinsen verschiedener Laufzeiten (x-achse entspricht der Laufzeit) und dem Logarithmus des Excess-Returns der Indexentwicklung für das BE-Szenario auf. Die entsprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte. 0,33 Korrelation zwischen Zerokupon (mit Restlaufzeit) und Aktien 0,325 0,32 0,315 0,31 0,305 0,3 0,295 0, obere Grenze Korrelation Korrelation untere Grenze Korrelation 18

19 II. Validierungsreport zum Stichtag ,63 Korrelation zwischen Zerokupon (mit Restlaufzeit) und Immobilien 0,625 0,62 0,615 0,61 0,605 0, obere Grenze Korrelation Korrelation untere Grenze Korrelation Die Korrelation zwischen Aktien und Immobilien beträgt 74% auf dem BE-Szenario. Ergebnis: Insgesamt weisen die Korrelationen zwischen Nullkuponanleihen und Aktien sowie Aktien und Immobilien eine gute Übereinstimmung mit den Vorgabeparametern (30% bzw. 75%) auf. Die leichten Abweichung von der Zielkorrelation zwischen Aktien und Zinsen von 30% resultiert im Wesentlichen daraus, dass es sich dabei um die Korrelation zwischen der Logarithmus des Excess-Returns des Aktienprozesses und des Shortrate-Prozesses handelt und sich letzterer Prozess nicht direkt auf die Zinsen überträgt, so dass die Transformation, welche aus den Shortrates die Zinskurven generiert, für die hier sichtbare aber moderate Verzerrung sorgt. Die sich in den Szenarien realisierten Korrelationen zwischen Nullkuponanleihen und Immobilien hingegen weichen selbst unter Berücksichtigung des oben genannten Effekts, der auch hier greift signifikant von deren Ziel ab. Grund hierfür sind numerische Effekte im Validierungs-Excel-Sheet aufgrund der kleinen Volatilität des Immobilienindex, die bis zur nächsten quartärlichen Kalibrierung und Validierung behoben sein werden Volatilität Indizes Die nachfolgenden beiden Grafiken zeigen jeweils den Preis (blaue Linie) und die implizite Volatilität (orangefarbene Linie) einer at-the-money Call-Option auf den 19

20 Implizite Volatilität Optionspreis Implizite Volatilität Optionspreis II. Validierungsreport zum Stichtag Aktien- bzw. Immobilienindex mit steigender Optionslaufzeit. Nachfolgende Grafiken illustrieren die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die entsprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte. Test Aktien-Volatilitäten 30% 0,7 25% 0,6 20% 0,5 0,4 15% 0,3 10% 0,2 5% 0,1 0% Optionslaufzeit 0 implizite Volatilität Preis Test Immobilien-Volatilitäten 18% 0,45 16% 0,4 14% 0,35 12% 0,3 10% 0,25 8% 0,2 6% 0,15 4% 0,1 2% 0,05 0% Optionslaufzeit 0 implizite Volatilität Preis 20

21 II. Validierungsreport zum Stichtag Ergebnis: Es zeigen sich implizite Volatilitäten von anfänglich ca. 19 % (Aktien) und 6% (Immobilien), welche mit den Kalibrierungszielen übereinstimmen. Im Laufe der Projektion steigen diese Volatilitäten auf ca. 26% bzw. 16%. Dieser Anstieg, welcher scheinbar im Widerspruch zu den Kalibrierungszielen steht, resultiert aus der im Zeitverlauf zunehmenden zusätzlichen Volatilität des Zinsprozesses, welche vom Black-Scholes-Modell, das einen deterministische Verzinsung vorsieht, als weitere Volatilität der Indizes gemessen wird. 21

22 A. Anhang Validierung der Zinsstresse A.1 Renditen Zins-down Zins-up

23 A. Anhang Validierung der Zinsstresse A.2 Martingaltests A.2.1 Martingaltest Nullkuponanleihen Zins-down Zins-up 23

24 A. Anhang Validierung der Zinsstresse A.2.2 Martingaltest Indizes Zins-down 24

25 A. Anhang Validierung der Zinsstresse Zins-up 25

26 A. Anhang Validierung der Zinsstresse A.3 Test der Verteilungseigenschaften A.3.1 Negative Zinsen Zins-down Zins-up 26

27 A. Anhang Validierung der Zinsstresse A.3.2 Verteilung der Shortrate und Zinssätze Zins-down 27

28 A. Anhang Validierung der Zinsstresse Zins-up 28

29 A. Anhang Validierung der Zinsstresse 29

30 A. Anhang Validierung der Zinsstresse A.4 Swaptionvolitilität Zins-down Implizite Volatilitäten % 65.9% 53.2% 39.4% 30.3% % 51.9% 36.5% 27.2% 21.6% % 36.2% 25.1% 19.3% 15.8% % 21.2% 16.2% 13.2% 11.2% % 16.7% 13.4% 11.2% 9.7% Zins-up Implizite Volatilitäten Maturity\Tenor Maturity\Tenor % 30.7% 25.2% 20.3% 16.9% % 24.1% 18.7% 15.1% 12.8% % 17.7% 13.6% 11.2% 9.7% % 12.0% 9.7% 8.2% 7.3% 25 30

31 A. Anhang Validierung der Zinsstresse A.5 Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen Zins-down Korrelation Aktien Immobilien: 74% 31

32 A. Anhang Validierung der Zinsstresse Zins-up Korrelation Aktien Immobilien: 74% 32

33 A. Anhang Validierung der Zinsstresse A.6 Volatilität Indizes Zins-down 33

34 A. Anhang Validierung der Zinsstresse Zins-up 34