1 Grundprinzipien statistischer Schlußweisen

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1 Grundprinzipien statistischer Schlußweisen - - Grundprinzipien statistischer Schlußweisen Für die Analyse zufallsbehafteter Eingabegrößen und Leistungsparameter in diskreten Systemen durch Computersimulation benötigen wir Hilfsmittel aus der mathematischen Statistik. In diesem Kapitel werden die im weiteren angewendeten Grundprinzipien statistischer Schlußweisen, Grundbegriffe und Definitionen zusammengestellt. Nach Durcharbeitung dieses Kapitels werden Sie die Grundprinzipien der drei typischen statistischen Inferenzmethoden: Punktschätzung, Bereichsschätzung, Hypothesentest zur Ermittlung von Verteilungen bzw. Parametern von Verteilungen kennen und voneinander unterscheiden können. den Begriff des Quantils einer Verteilung kennengelernt haben und damit arbeiten können. drei weitere Verteilungen kennenlernen, die t-verteilung, die χ -Verteilung und die F-Verteilung, die in den folgenden Kapiteln benötigt werden.. Einleitung Betrachten wir noch einmal die Autowaschanlage aus der Kurseinheit. Das Ziel besteht darin, durch Simulation die Auslastung der einzigen Waschstation zu ermitteln. Dazu bildeten wir das Systemverhalten eine gewisse Zeit lang auf dem Computer nach und haben als Auslastung den Zeitanteil an der Gesamtsimulationszeit berechnet, in welchem die Waschanlage besetzt ist. Um die Vorgänge in der Waschstation, insbesondere das Belegen und Freigeben der Waschanlage, auf dem Computer nachzuvollziehen, müssen wir jeweils die Zeit zwischen dem Eintreffen zweier Kunden und die Zeitdauer der Bedienung eines Kunden an der Waschanlage eingeben. Sind diese Zeiten für jeden Kunden gleich, hätten wir keine Probleme; wir geben

2 - - Mathematische Methoden in der Simulation dynamischer Systeme sie einmalig als Konstanten zu Beginn der Simulation ein. Da sie jedoch zufällig sind, müssen wir auf dem Computer die Gesetzmäßigkeit nachbilden, nach welcher diese zufälligen Zeitwerte entstehen. Das Gesetz der Zufälligkeit ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der entsprechenden Zufallsgröße; die Nachbildung dieses Gesetzes erfolgt durch die Implementierung eines Zufallszahlengenerators. In Kurseinheit ist zum Beispiel zunächst angenommen worden, daß die zufällige Zeit zwischen der Ankunft zweier Kunden einer Gleichverteilung im Intervall zwischen und Sekunden genügt. Anschließend ist ein Algorithmus eingeführt und verwendet worden, der Zahlen erzeugt (auswürfelt), die sich so verhalten, als wären es Realisierungen der entsprechend gleichverteilten Zufallsgröße. Dieser Algorithmus erzeugt nur die entsprechend gleichverteilten Zufallszahlen. Wenn die Zwischenankunftszeit zum Beispiel einer Normalverteilung genügt oder der Ankunftsstrom ein Poissonstrom ist (die Zwischenankunftszeiten also exponentialverteilt sind), müssen wir einen anderen Algorithmus zur Erzeugung von Zufallszahlen anwenden. Um den richtigen Algorithmus anwenden zu können, benötigen wir also immer zuerst die Kenntnis des Zufallsgesetzes, d.h. der Wahrscheinlichkeitsverteilung der zufälligen, in das Simulationsmodell eingehenden, Größen. Bezeichnen wir die Zwischenankunftszeit als Zufallsgröße X, so geht es im ersten Schritt der Modellierung und Simulation um die Bestimmung der Verteilungsfunktion F von X. Manchmal ist der Typ einer solchen Verteilung bereits bekannt; es sind lediglich noch einige, die Verteilung charakterisierende, Parameter (wir bezeichnen sie im folgenden abstrakt mit θ ) zu bestimmen. Kommen zum Beispiel die in der Waschanlage eintreffenden Kunden unabhängig voneinander an, und ist die Eintreffwahrscheinlichkeit für jeden (potentiellen) Kunden in jeder fest vorgegebenen Minute gleich groß, so handelt es sich um einen Poissonstrom, d.h. die Zwischenankunftszeit X genügt einer Exponentialverteilung, die Ankunftsintensität bzw. der Parameter α der Exponentialverteilung ist zu bestimmen. Die Bestimmung der Verteilungsfunktion F einer Zufallsgröße X oder eines Parameters θ von F geschieht immer dadurch, daß wir die Zufallsgröße X mehrmals - sagen wir n mal - beobachten. Den Schluß von den Beobachtungen x, K, x n von X auf die Gestalt von F bzw. den Wert von θ nennt man statistische Inferenz.

3 Grundprinzipien statistischer Schlußweisen - - Die Annahme der Gleichverteilung für die Zwischenankunftszeit an der Waschanlage in der Kurseinheit könnte zum Beispiel wie folgt entstanden sein. Wir beobachten bei n = Kunden den Zeitabstand des Eintreffens in der Waschanlage und erhalten folgende Werte: 6, 8, 9,,,, 7, 8, 7, 6,,,,,, 9, 6, 7,, 6, 7,,, 9,,,,,,,,,,, 7, 8, 8,, 9,,,,,,,,,,,,,,, Der kleinste Wert ist x min =, der größte ist x max = Minuten. Um eine Vorstellung über die Häufigkeit des Auftretens bestimmter Werte zu bekommen, zerlegen wir den Bereich zwischen x min und x max in sechs gleich große Teilintervalle und zählen aus, wieviel Werte in jedes Teilintervall fallen. Die Abbildung zeigt die Anzahl dieser Werte als Grafik; man nennt eine solche Grafik auch Histogramm. Anzahl der Werte 6 8 Zwischenankunftszeit Abbildung : Histogramm von n= Zwischenankunftszeiten an der Waschanlage In jedes Intervall fallen in etwa gleich viele beobachtete Zeiten hinein; das läßt auf eine Gleichverteilung für die Bedienzeit schließen. Hätten wir die in der Abbildung dargestellten Histogramme erhalten, so würden wir im Falle a) wegen der Symmetrie um ein gehäuft auftretendes Intervall auf eine Normalverteilung und im Falle b) wegen des exponentiell verlaufenden Abklingens des Histogramms auf eine Exponentialverteilung schließen.

4 - - Mathematische Methoden in der Simulation dynamischer Systeme Anzahl Anzahl 6 8 Zeit 6 8 Zeit Abbildung a) Normalverteilter Verlauf, b) Exponentialverteilter Verlauf Die Gleichverteilung hat zwei (zunächst unbekannte) Parameter, die Grenzen a und b, in denen die Gleichverteilung vorliegt. Es liegt nahe, diese Grenzen durch a= x min und b = x max zu schätzen. Natürlich macht man bei dieser Inferenz Fehler; die Verteilungsannahme und die Annahme über die Parameter der Verteilung hängen strikt von den vorliegenden (zufälligen) Beobachtungen ab. Führen wir weitere Beobachtungen durch oder hätten wir weniger gemacht, würden wir eventuell ein völlig anderes Verteilungsbild erhalten. Bei der statistischen Inferenz möchte man möglichst allgemeingültige (von den konkreten Beobachtungen abstrahierende) Aussagen treffen. Man irrt sich um so mehr, je weniger Beobachtungen von X vorliegen, d.h. je weniger man von X weiß. Offensichtlich ist, daß wir andere Werte für a und b erhalten würden, wenn wir nur die ersten Werte aus unserem Beispiel verwenden. Aber auch unsere Verteilungsannahme hängt von den konkret vorliegenden Beobachtungen ab. Werten wir zum Beispiel nur die ersten oben angegebenen Daten in Form eines Histogramms aus, erhalten wir eine Häufigkeitsverteilung, die der in Abbildung a ähnelt, und von der wir eher auf eine Normalverteilung schließen würden.. Fertigen Sie ein Histogramm für die ersten Daten an. Bei allen statistischen Inferenzmethoden muß der Fehler, den man macht, klein gehalten werden. Dazu muß man aber zunächst diesen Fehler mathematisch formal definieren. Erst dann kann man versuchen, die Anzahl n notwendiger Beobachtungen so zu bestimmen, daß der Fehler hinreichend klein ist. Sie werden im Laufe dieser Kurseinheit feststellen, daß das ein nichttriviales mathematisches Problem ist, welches nicht immer lösbar ist.

5 Grundprinzipien statistischer Schlußweisen - - Versuchen Sie doch einmal eine Formel für den Fehler aufzuschreiben, den man macht, wenn man sich auf der Basis von n Beobachtungen x, K, x n von X für eine Normalverteilung entschließt, obwohl in Wirklichkeit eine Gleichverteilung vorliegt! An dieser Stelle wird es ihnen vermutlich nicht gelingen. Es gibt in der Statistik drei grundsätzliche Inferenzmethoden für die Bestimmung von Parametern und Verteilungsfunktionen; das sind die sogenannte Punktschätzung, die Bereichsschätzung und die Hypothesentestverfahren. Diese drei Prinzipien unterscheiden sich in der Vorgehensweise und in der Definition des Fehlers. Während für die Bestimmung von Parametern alle drei Prinzipien anwendbar sind, werden zur Bestimmung der vollständigen Verteilungsfunktionen Hypothesentestverfahren eingesetzt. Wir werden in diesem Kapitel zunächst die drei Inferenzprinzipien auf einem relativ hohem Abstraktionsniveau vorstellen. Dadurch soll Ihnen die grundsätzliche Vorgehensweise der Methoden deutlich gemacht werden; insbesondere sollen Sie mit der Beschreibung des Fehlers bei der statistischen Inferenz vertraut gemacht werden und für die Bedeutung des Beobachtungsumfangs n für die Größe dieser Fehler sensibilisiert werden. Die konkrete Umsetzung aller drei Prinzipien erfolgt in den nachfolgenden Kapiteln.