Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden Kapitel 1-2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden Kapitel 1-2"

Transkript

1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND Sommersemester 2011 FAKULTÄT STATISTIK Dr. M. Arnold Dipl.-Stat. R. Walter Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden Kapitel 1-2 Aufgabe 1: Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion: x i f(x i ) c 0.5 c c (a) Bestimmen Sie die Konstante c und stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion grafisch dar. (b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X und zeichnen Sie diese. (c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. (d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X 2.5), P (1.5 < X 3), P (X > 1). Aufgabe 2: Für eine stetige Zufallsvariable X gilt: 4cx 0 x < 1 f(x) = cx x 5 0 sonst (a) Bestimmen Sie den Parameter c so, dass f(x) eine Dichtefunktion von X ist und zeichnen Sie diese. (b) Ermitteln sie die zugehörige Verteilungsfunktion und skizzieren Sie deren Verlauf. (c) Berechnen Sie den Erwartungswert sowie die Varianz von X. (d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (0 < X 1) mit Hilfe der Dichtefunktion und mit Hilfe der Verteilungsfunktion.

2 Aufgabe 3: Beweisen Sie den Verschiebungssatz Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Aufgabe 4: Sei Y = ax + b und Z = dx + e, wobei X die Zufallsvariable aus Aufgabe 2 ist. Berechnen Sie (a) den Erwartungswert von Y und von X 2, (b) die Varianz von Y, (c) die Kovarianz von Y und Z, (d) die Varianz von Y + Z. Aufgabe 5: Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung, also E(X) und Var(X), wobei X Exp(λ) mit Dichte f(x; λ) = λe λx, x 0. Aufgabe 6: Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen X für beliebiges λ. Zeichnen Sie anschließend die Dichte und Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung für λ = 0.5. Berechnen Sie außerdem P (2 X < 3) mit Hilfe der Dichte- und Verteilungsfunktion und erläutern Sie, wie man die berechnete Wahrscheinlichkeit anhand der Zeichnungen ablesen kann. Aufgabe 7: Die Firma Osram nimmt an, dass die Lebensdauer ihrer 60 Watt Glühbirnen normalverteilt ist, allerdings sind die Parameter der Normalverteilung unbekannt. Sei X die Lebensdauer, dann gilt also X N(µ, σ 2 ), mit µ und σ 2 unbekannt. Zur Überprüfung der Vermutung der Normalverteilung und Einschätzung der Parameter werden Lebensdauern von 1000 Glühbirnen erhoben. Lebensdauer [600, 700) [700, 800) [800, 900) [900, 1000) absolute Häufigkeit Lebensdauer [1000, 1100) [1100, 1200) [1200, 1300) [1300, 1400) absolute Häufigkeit

3 (a) Zeichnen Sie das Histogramm der Lebensdauern! Kann hier von einer Normalverteilung ausgegangen werden? (b) Skizzieren Sie die Dichten der Normalverteilungen mit folgenden Parametern in die Zeichnung aus (a): µ 1 = 900, σ 2 1 = µ 2 = 1000, σ 2 2 = µ 3 = 1100, σ 2 3 = (c) Welche der Parameter aus (b) sind vermutlich die tatsächlichen? Aufgabe 8: Die im Landtag von Nordrhein-Westfalen vertretenen Parteien entsenden folgende Anzahlen von Abgeordneten: Partei CDU SPD Grüne FDP Summe männlich weiblich Summe (a) Sind die Ereignisse A: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist Mitglied der SPD und B: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist weiblich stochastisch unabhängig? Schätzen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten durch die relativen Häufigkeiten. (b) Sind die Ereignisse C: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist Mitglied der Grünen und D: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist weiblich stochastisch unabhängig? Schätzen Sie auch hier die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten durch die relativen Häufigkeiten. Hinweis zur Erinnerung: zwei Ergeignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, falls eine der drei (äquivalenten) Bedingungen zutrifft P (A B) = P (A) P (B) P (A B) = P (A) P (B A) = P (B)

4 Aufgabe 9: Sei X N(2, 16). Berechnen Sie (a) P (X 10), (b) P (0 X 4), (c) P ( X > 3). Aufgabe 10: Die Zufallsvariablen X 1,..., X n seien unabhängig und identisch verteilt mit bekanntem Erwartungswert E(X i ) = µ, i = 1,..., n. Die Varianz σ 2 ist unbekannt und soll deshalb geschätzt werden. Dazu stehen Ihnen die Schätzfunktionen ˆσ 2 1 = 1 n (X i µ) 2, ˆσ 2 2 = 1 n 1 (X i µ) 2, ˆσ 3 2 = 1 3 (X2 1 + X2 2 + Xn) 2 µ 2 zur Verfügung. Welche dieser Schätzer sind erwartungstreu für σ 2? Berechnen Sie die Verzerrungen der drei Schätzer! Sind die verzerrten Schätzer asymptotisch erwartungstreu? Aufgabe 11: Beweisen Sie den Steinerschen Verschiebungssatz 1 n (x i x) 2 = 1 n (x i d) 2 ( x d) 2, d R. Aufgabe 12: Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X = 1 n X i, wenn X 1,..., X n Varianz σ 2. unabhängig und identisch verteilt sind mit Erwartungswert µ und Aufgabe 13: (vgl. Beispiel 2.2 (b)) Es seien X 1,..., X n unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ 2. Zeigen Sie, dass S 2 = 1 n 1 ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 ist. (X i X) 2

5 Aufgabe 14: Die Zufallsvariablen X 1,..., X n (n gerade) seien unabhängig und identisch verteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ und bekannter Varianz σ 2. Zur Schätzung von µ stehen Ihnen folgende zwei Funktionen zur Auswahl: ˆµ 1 = 1 4 (X 1 + X 2 + X n 1 + X n ), ˆµ 2 = 1 8 X X n X n X n. Welcher dieser beiden Schätzer ist effizienter für die Schätzung von µ? Aufgabe 15: Es seien X 1,..., X n unabhängig bernoulliverteilte Zufallsvariablen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit des zu Grunde liegenden Zufallsexperiments wird mit p bezeichnet. Zeigen Sie, dass ˆp = X ein im quadratischen Mittel konsistenter Schätzer für p ist. Aufgabe 16: Ein alternativer Schätzer zu X aus Aufgabe 15 sei durch n n p = X + n + n n + n 0.5 gegeben. Bestimmen Sie Erwartungswert, Verzerrung und Varianz von p. Für welchen Wert von p ist p unverzerrt? Berechnen Sie außerdem den MSE von p. Ist p für beliebiges p asymptotisch unverzerrt und konsistent im quadratischen Mittel? Zeichnen Sie anschließend für p {0.25, 0.5, 0.75} die Verzerrung von p in Abhängigkeit von n (für n = 1,..., 10) und interpretieren Sie die Darstellung. Aufgabe 17: Zeigen Sie, dass der MSE des Schätzers X (n) für den Parameter der Re[0, θ]-verteilung folgendermaßen gegeben ist: wenn gilt: MSE(X (n), θ) = 2θ 2 (n + 1)(n + 2), f X(n) (x) = nxn 1 θ n Zeichnen Sie den MSE für n = 1,..., 20 und θ = 2. Was können Sie an der graphischen Darstellung ablesen? Aufgabe 18: Zeigen Sie die Behauptung aus Bemerkung 2.4: Sei ˆθ erwartungstreu für θ und g(θ) = a θ + b, a, b R eine lineare parametrische Funktion. Dann ist g(ˆθ) erwartungstreu für g(θ).

6 Aufgabe 19: Eine Grundgesamtheit besitze den Mittelwert µ und die Varianz σ 2. Die Stichprobenvariablen X 1,..., X 5 seien unabhängige Ziehungen aus dieser Grundgesamtheit. Man betrachtet als Schätzfunktionen für µ die Stichprobenfunktionen T 1 = X = 1 5 (X 1,..., X 5 ) T 2 = 1 3 (X 1 + X 2 + X 3 ) T 3 = 1 8 (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) X 5 T 4 = X 1 + X 2 T 5 = X 1 T 6 = 5 (a) Welche Schätzfunktionen sind erwartungstreu für µ? (b) Welche Schätzfunktion ist die effizienteste unter allen erwartungstreuen Schätzern? (c) Bestimmen Sie den MSE der Schätzer und zeichnen Sie diesen in Abhängigkeit von µ (µ [0, 10]) für σ 2 = 1. Interpretieren Sie die Abbildung. Aufgabe 20: Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort kurz (jeweils drei Punkte für richtige Begründung). a) Jeder UMVU-Schätzer ist erwartungstreu. b) Jeder im quadratischen Mittel konsistente Schätzer ist erwartungstreu. c) Jeder erwartungstreue Schätzer ist konsistent im quadratischen Mittel. Aufgabe 21: Sei X 1,..., X n eine Stichprobe aus einer Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert E(X i ) = µ und unbekannter Varianz Var(X i ) = σ 2. Hinweis: Es gilt ( ) ( ) E (X i X) 2 = (n 1)σ 2, Var (X i X) 2 = 2(n 1)σ 4. a) Betrachten Sie für c > 0 die Klasse von Schätzern für σ 2 der Form c n (X i X) 2. Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler von c n (X i X) 2 bezüglich σ 2 in Abhängigkeit von c. b) Angenommen, es gelte ( ) MSE c (X i X) 2, σ 2 = 2c 2 (n 1)σ 4 + [c(n 1) 1] 2 σ 4. Für welches c > 0 wird der mittlere quadratische Fehler innerhalb dieser Klasse von Schätzern minimal?

Kapitel 3 Schließende Statistik

Kapitel 3 Schließende Statistik Motivation Grundgesamtheit mit unbekannter Verteilung F Stichprobe X 1,...,X n mit Verteilung F Realisation x 1,...,x n der Stichprobe Rückschluss auf F Dr. Karsten Webel 160 Motivation (Fortsetzung) Kapitel

Mehr

Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1

Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester 2013 Aufgabe 1 In einer Urne

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Streuungsparameter Varianz Var(X) bzw. σ 2 : [x i E(X)] 2 f(x i ), wenn X diskret Var(X)

Mehr

Theorie Parameterschätzung Ausblick. Schätzung. Raimar Sandner. Studentenseminar "Statistische Methoden in der Physik"

Theorie Parameterschätzung Ausblick. Schätzung. Raimar Sandner. Studentenseminar Statistische Methoden in der Physik Studentenseminar "Statistische Methoden in der Physik" Gliederung 1 2 3 Worum geht es hier? Gliederung 1 2 3 Stichproben Gegeben eine Beobachtungsreihe x = (x 1, x 2,..., x n ): Realisierung der n-dimensionalen

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Lageparameter: Erwartungswert d) Erwartungswert

Mehr

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen 4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen Allgemeine Problemstellung: Gegeben sei die gemeinsame Verteilung der ZV en X 1,..., X n (d.h. bekannt seien f X1,...,X n bzw. F X1,...,X n ) Wir betrachten

Mehr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr 1.4.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen als Grenzwerte diskreter Zufallsvariablen Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable. Wir können aus X leicht eine diskrete Zufallsvariable konstruieren, indem wir

Mehr

Übungsaufgaben, Statistik 1

Übungsaufgaben, Statistik 1 Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

Einführung in die Maximum Likelihood Methodik

Einführung in die Maximum Likelihood Methodik in die Maximum Likelihood Methodik Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Gliederung 1 2 3 4 2 / 31 Maximum Likelihood

Mehr

Übungsblatt 9 (25. bis 29. Juni)

Übungsblatt 9 (25. bis 29. Juni) Statistik 2 Dr. Andrea Beccarini Dipl.-Vw. Dipl.-Kffr. Heike Bornewasser-Hermes Sommersemester 2012 Übungsblatt 9 (25. bis 29. Juni) Stetiges Verteilungsmodell und Gemeinsame Verteilung Stetiges Verteilungsmodell

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt

Mehr

Beziehungen zwischen Verteilungen

Beziehungen zwischen Verteilungen Kapitel 5 Beziehungen zwischen Verteilungen In diesem Kapitel wollen wir Beziehungen zwischen Verteilungen betrachten, die wir z.t. schon bei den einzelnen Verteilungen betrachtet haben. So wissen Sie

Mehr

Die Varianz (Streuung) Definition

Die Varianz (Streuung) Definition Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ

Mehr

Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung)

Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung) Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung) Aufgabe (Anwendung der Chebyshev-Ungleichung) Sei X eine Zufallsvariable mit E(X) = µ und var(x) = σ a) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß

Mehr

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1 Aufgabe 1 (2 + 2 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x, y) = P (X = x, Y = y) der Zufallsvariablen X und Y : 0.2 x = 1, y = 1 0.3 x = 2, y = 1 f(x, y) = 0.45 x

Mehr

Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung 11 p.2/38

Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung 11 p.2/38 Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung Kapitel 11 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate

Mehr

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Statistik III Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Inhaltsverzeichnis 1 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 1 1.1 Diskrete Zufallsvariablen........................... 1 1.2 Stetige Zufallsvariablen............................

Mehr

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern.

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. Aufgabe 1 (2 + 1 + 2 + 2 Punkte) Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. a) Wieviele Möglichkeiten hat

Mehr

3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit

3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit 3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit Lernziele dieses Kapitels: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (Zufallsvektoren) (Verteilung, Kenngrößen) Abhängigkeitsstrukturen Multivariate

Mehr

1.5 Erwartungswert und Varianz

1.5 Erwartungswert und Varianz Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen (Bildbereich also reelle Zahlen, metrische Skala) durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere:

Mehr

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem

Mehr

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen 47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,

Mehr

Philipp Sibbertsen Hartmut Lehne. Statistik. Einführung für Wirtschafts- und. Sozialwissenschaftler. 2., überarbeitete Auflage. 4^ Springer Gabler

Philipp Sibbertsen Hartmut Lehne. Statistik. Einführung für Wirtschafts- und. Sozialwissenschaftler. 2., überarbeitete Auflage. 4^ Springer Gabler Philipp Sibbertsen Hartmut Lehne Statistik Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler 2., überarbeitete Auflage 4^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Teil I Deskriptive Statistik 1 Einführung

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

Aufgabe 1 (8= Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten:

Aufgabe 1 (8= Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten: Aufgabe 1 (8=2+2+2+2 Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten: Die Zufallsvariable X bezeichne die Note. 1443533523253. a) Wie groß ist h(x 5)? Kreuzen

Mehr

Übungsscheinklausur,

Übungsscheinklausur, Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 27 Prof. Dr. F. Liese Übungsscheinklausur, 3.7.27 Dipl.-Math. M. Helwich Name:...

Mehr

Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler

Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Fachbereich Mathematik 20.04.2017 Dr. Hefter & Dr. Herzwurm Übungsblatt 0 Keine Abgabe. Gegeben seien die Mengen A 1 =, A 2 = {1}, A 3 = {1, 1}, A 4 = {1, 3}, A 5 = {1, 2, 4}, A 6 = {1, 2, 3, 4}. a) Bestimmen

Mehr

Exponentialverteilung

Exponentialverteilung Exponentialverteilung Dauer von kontinuierlichen Vorgängen (Wartezeiten; Funktionszeiten technischer Geräte) Grenzübergang von der geometrischen Verteilung Pro Zeiteinheit sei die Eintrittswahrscheinlichkeit

Mehr

Korollar 116 (Grenzwertsatz von de Moivre)

Korollar 116 (Grenzwertsatz von de Moivre) Ein wichtiger Spezialfall das Zentralen Grenzwertsatzes besteht darin, dass die auftretenden Zufallsgrößen Bernoulli-verteilt sind. Korollar 116 (Grenzwertsatz von de Moivre) X 1,..., X n seien unabhängige

Mehr

Beispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal

Beispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Beispiel 37 Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Dies geschehe in jedem Wurf unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p. Wir definieren dazu die Zufallsvariable X := Anzahl der Würfe.

Mehr

WS 2014/15. (d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. (e) Bestimmen Sie nun den Erwartungswert und die Varianz von X.

WS 2014/15. (d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. (e) Bestimmen Sie nun den Erwartungswert und die Varianz von X. Fragenkatalog zur Übung Methoden der empirischen Sozialforschung WS 2014/15 Hier finden Sie die denkbaren Fragen zum ersten Teil der Übung. Das bedeutet, dass Sie zu diesem Teil keine anderen Fragen im

Mehr

SozialwissenschaftlerInnen II

SozialwissenschaftlerInnen II Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II Henning Best best@wiso.uni-koeln.de Universität zu Köln Forschungsinstitut für Soziologie Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Mehr

3.3 Methoden zur Evaluierung von Schätzern

3.3 Methoden zur Evaluierung von Schätzern 3.3 Methoden zur Evaluierung von Schätzern Bis jetzt haben wir nur glaubwürdige Techniken zur Konstruktion von Punktschätzern besprochen. Falls unterschiedliche Schätzer für einen Parameter resultieren,

Mehr

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch 6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6

Mehr

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Markus Höchstötter Lehrstuhl

Mehr

Mathematik 2 Probeprüfung 1

Mathematik 2 Probeprüfung 1 WWZ Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät der Universität Basel Dr. Thomas Zehrt Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen: Name Vorname Mathematik 2 Probeprüfung 1 Zeit: 90 Minuten, Maximale Punktzahl: 72 Zur

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 8. Dezember 2010 Teil V Schließende Statistik 1 Parameterschätzung Erwartungstreue und Konsistenz Maximum-Likelihood

Mehr

Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen. Woche 4: Gemeinsame Verteilungen. Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen

Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen. Woche 4: Gemeinsame Verteilungen. Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen Zusammenfassung: e und e Verteilungen Woche 4: Gemeinsame Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilung p() Wahrscheinlichkeitsdichte f () WBL 15/17, 11.05.2015 Alain Hauser P(X = k

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

7.2 Moment und Varianz

7.2 Moment und Varianz 7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p

Mehr

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen David Geier und Sven Middelberg RWTH Aachen, Sommersemester 27 Inhaltsverzeichnis Information 2 Aufgabe 4 Aufgabe 2 6 4 Aufgabe

Mehr

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)

Mehr

1 Multivariate Zufallsvariablen

1 Multivariate Zufallsvariablen 1 Multivariate Zufallsvariablen 1.1 Multivariate Verteilungen Definition 1.1. Zufallsvariable, Zufallsvektor (ZV) Sei Ω die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments. Eine (univariate oder eindimensionale)

Mehr

1.5 Erwartungswert und Varianz

1.5 Erwartungswert und Varianz Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere: a) durchschnittlicher Wert Erwartungswert, z.b.

Mehr

2. Übung zur Vorlesung Statistik 2

2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 Aufgabe 1 Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen

Mehr

6. Schätzverfahren für Parameter

6. Schätzverfahren für Parameter 6. Schätzverfahren für Parameter Ausgangssituation: Ein interessierender Zufallsvorgang werde durch die ZV X repräsentiert X habe eine unbekannte Verteilungsfunktion F X (x) Wir interessieren uns für einen

Mehr

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

5. Stichproben und Statistiken

5. Stichproben und Statistiken 5. Stichproben und Statistiken Problem: Es sei X eine ZV, die einen interessierenden Zufallsvorgang repräsentiere Man möchte die tatsächliche Verteilung von X kennenlernen (z.b. mittels der VF F X (x)

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:

Mehr

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable

Mehr

Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm.

Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm. Veranstaltung: Statistik für das Lehramt 16.12.2016 Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm Erwartungswert Varianz Standardabweichung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

I. Deskriptive Statistik 1

I. Deskriptive Statistik 1 I. Deskriptive Statistik 1 1. Einführung 3 1.1. Grundgesamtheit und Stichprobe.................. 5 1.2. Merkmale und Verteilungen..................... 6 1.3. Tabellen und Grafiken........................

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungen stetiger Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Chi-Quadrat-Verteilung

Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/chi-quadrat-verteilung 1 von 7 6/18/2009 6:13 PM Chi-Quadrat-Verteilung aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Die Chi-Quadrat-Verteilung ist

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen... Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................

Mehr

Modellanpassung und Parameterschätzung. A: Übungsaufgaben

Modellanpassung und Parameterschätzung. A: Übungsaufgaben 7 Modellanpassung und Parameterschätzung 1 Kapitel 7: Modellanpassung und Parameterschätzung A: Übungsaufgaben [ 1 ] Bei n unabhängigen Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments sei π die Wahrscheinlichkeit

Mehr

Statistik I. 1. Klausur Wintersemester 2010/2011 Hamburg, Art der Anmeldung: STiNE FlexNow Zulassung unter Vorbehalt

Statistik I. 1. Klausur Wintersemester 2010/2011 Hamburg, Art der Anmeldung: STiNE FlexNow Zulassung unter Vorbehalt Statistik I 1. Klausur Wintersemester 2010/2011 Hamburg, 11.02.2011 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname:............................................................................ Vorname:.............................................................................

Mehr

4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze

4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze 4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze Häufig in der Praxis: Man muss mehrere (n) ZV en gleichzeitig betrachten (vgl. Statistik I, Kapitel 6) Zunächst Vereinfachung: Betrachte n = 2 Zufallsvariablen

Mehr

4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze

4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze 4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze Häufig in der Praxis: Man muss mehrere (n) ZV en gleichzeitig betrachten (vgl. Statistik I, Kapitel 6) Zunächst Vereinfachung: Betrachte n = 2 Zufallsvariablen

Mehr

2. Übung zur Vorlesung Statistik 2

2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 Aufgabe 1 Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen

Mehr

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik Universität Karlsruhe (TH) Institut für Stochastik Dr. Bernhard Klar Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark Name Vorname Matr.-Nr.: Scheinklausur Stochastik für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Anpassung von Verteilungen Zu Aufgabe ) a) Zeichnen des Histogranmmes: Um das Histogramm zu zeichnen, benötigen wir die Höhe der Balken. Die Höhe

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

Anpassungsrechnungen mit kleinsten Quadraten und Maximum Likelihood

Anpassungsrechnungen mit kleinsten Quadraten und Maximum Likelihood Anpassungsrechnungen mit kleinsten Quadraten und Maximum Likelihood Hauptseminar - Methoden der experimentellen Teilchenphysik WS 2011/2012 Fabian Hoffmann 2. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

Mehr

Kapitel 9. Schätzverfahren und Konfidenzintervalle. 9.1 Grundlagen zu Schätzverfahren

Kapitel 9. Schätzverfahren und Konfidenzintervalle. 9.1 Grundlagen zu Schätzverfahren Kapitel 9 Schätzverfahren und Konfidenzintervalle 9.1 Grundlagen zu Schätzverfahren Für eine Messreihe x 1,...,x n wird im Folgenden angenommen, dass sie durch n gleiche Zufallsexperimente unabhängig voneinander

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5 Inhaltsverzeichnis Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite 1.0 Erste Begriffsbildungen 1 1.1 Merkmale und Skalen 5 1.2 Von der Urliste zu Häufigkeitsverteilungen 9 1.2.0 Erste Ordnung

Mehr

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion Konstruktionsprinzip: Ein Zufallsexperiment wird n mal unabhängig durchgeführt. Wir interessieren uns jeweils nur, ob ein bestimmtes Ereignis A eintritt oder

Mehr

5. Kolmogorov-Smirnov-Test und χ 2 -Anpassungstest

5. Kolmogorov-Smirnov-Test und χ 2 -Anpassungstest Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Ralf Runde 5. Kolmogorov-Smirnov-Test und χ 2 -Anpassungstest Ein wesentliches Merkmal nichtparametrischer Testverfahren ist, dass diese im Allgemeinen weniger

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 1. Dezember 21 1 Integralrechnung Flächeninhalt Stammfunktion Rechenregeln 2 Dichten von Erwartungswert und Varianz

Mehr

Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9

Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9 Diskrete Zufallsgrößen Zu Aufgabe Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Jahr genüge folgender Verteilung: ai 0 3 4 5 6 >6 pi /0 /0 3/0 /0 /0 /0 /0 0 Ein Ausfall des Servers verursacht

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen

70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70. Motivation Zufallsvariablen sind nicht immer diskret, sie können oft auch jede beliebige reelle Zahl in einem Intervall [c, d] einnehmen. Beispiele für solche

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Einführung in die Statistik Analyse und Modellierung von Daten Von Prof. Dr. Rainer Schlittgen 4., überarbeitete und erweiterte Auflage Fachbereich Materialwissenschaft! der Techn. Hochschule Darmstadt

Mehr

Kenngrößen von Zufallsvariablen

Kenngrößen von Zufallsvariablen Kenngrößen von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch die sogenannten Kenngrößen beschrieben werden, sie charakterisieren sozusagen die Verteilung. Der Erwartungswert Der Erwartungswert

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Einführung in die Statistik Analyse und Modellierung von Daten von Prof. Dr. Rainer Schlittgen Universität Hamburg 12., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis 1 Statistische Daten

Mehr

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009 Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene Steen Elstner, Klaus Wohlrabe, Steen Henzel SS 9 1 Wichtige Verteilungen Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Mehr

(8 + 2 Punkte) = = 0.75

(8 + 2 Punkte) = = 0.75 Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

Kapitel 6. Verteilungsparameter. 6.1 Der Erwartungswert Diskrete Zufallsvariablen

Kapitel 6. Verteilungsparameter. 6.1 Der Erwartungswert Diskrete Zufallsvariablen Kapitel 6 Verteilungsparameter Wie bei einem Merkmal wollen wir nun die Lage und die Streuung der Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen durch geeignete Maßzahlen beschreiben. Beginnen wir mit Maßzahlen

Mehr

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume 1. Einführung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 211/476 Beispiel 85 Wir betrachten

Mehr

die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen

die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen Kapitel 8 Schätzung von Parametern 8.1 Schätzmethoden Gegeben seien Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen ¾ Ò auffassen. Die Verteilung

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz - 1 - Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe Dimension, Umfang Skalierung Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Punktediagramm, Regressionsgerade,

Mehr

Unabhängige Zufallsvariablen

Unabhängige Zufallsvariablen Kapitel 9 Unabhängige Zufallsvariablen Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird auf die Unabhängigkeit von Ereignissen zurückgeführt. Im Folgenden sei Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definition

Mehr

Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass

Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass f Z (z) = Pr[Z = z] = x W X Pr[X + Y = z X = x] Pr[X = x] = x W X Pr[Y = z x] Pr[X = x] = x W X f X (x) f Y (z x). Den Ausdruck

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen

Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen Kapitel 7 Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen Im Folgenden sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Der Erwartungswert von X ist ein Lebesgue-Integral (allerdings allgemeiner als in Analysis

Mehr

1 Dichte- und Verteilungsfunktion

1 Dichte- und Verteilungsfunktion Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen Yannick.Schroer@rub.de 9.2.26 ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die

Mehr

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels

Mehr

Kapitel 9. Verteilungsmodelle. 9.1 Diskrete Verteilungsmodelle Die Gleichverteilung

Kapitel 9. Verteilungsmodelle. 9.1 Diskrete Verteilungsmodelle Die Gleichverteilung Kapitel 9 Verteilungsmodelle Es gibt eine Reihe von Verteilungsmodellen für univariate diskrete und stetige Zufallsvariablen, die sich in der Praxis bewährt haben. Wir wollen uns von diesen einige anschauen.

Mehr

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Robert Galata, Sandro Scheid. Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL. Methoden - Beispiele - Anwendungen

Inhaltsverzeichnis. Robert Galata, Sandro Scheid. Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL. Methoden - Beispiele - Anwendungen Inhaltsverzeichnis Robert Galata, Sandro Scheid Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL Methoden - Beispiele - Anwendungen Herausgegeben von Robert Galata, Markus Wessler ISBN (Buch):

Mehr

Formelsammlung: Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

Formelsammlung: Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Formelsammlung: Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 1: Deskriptive und explorative Statistik Empirische Verteilungsfkt (S15): Quantile (S24): Bei Typ7 1.Pkt = 0 Danach 1/(n-1) Median (S24):

Mehr