Zufallszahlenerzeugung

Transkript

1 Zufallszahlenerzeugung Anwendunsgebiete: z.b.: - Computerspiele - Kryptographie - Monte-Carlo-Methoden - Simulation Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

2 Wie erzeuge ich Zufallszahlen, die sich so verhalten, als wären es Beobachtungen einer Zufallsgröße X? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2

3 Anforderungen: - Gleichverteilung: Die Zahlen sind gleichverteilt in M={0, 1,...k} - Unvorhersagbar: Hat man eine Zufallszahl erzeugt, dann soll die nächste nicht vorhersagbar sein, d.h. das Konstruktionsprinzip soll komplex genug sein, damit es nicht erkannt wird. -> keine Muster, keine Strukturen -> Stat. gesehen sollen die Zufallszahlen unabhängig voneinander sein - Keine Zyklen - - Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 3

4 Hilfsmittel zur Erzeugung von Zufallszahlen: Modulo-Rechnung Modulo-Rechnung: Rest bei der Division zweier natürlicher Zahlen Bsp. 27 mod 12 = 3 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 4

5 Ein Algorithmus zur Erzeugung von Pseudo-Zufallszahlen (Lineare Kongruenzmethode) Der folgende Algorithmus erzeugt ganze Zufallszahlen aus dem Intervall [0, m-1], wobei wir die Modulo-Rechnung verwenden. Grundprinzip: Wähle einen Startwert (Seed) und führe folgende Rechnung durch r = a * x + b mod k Daraus ergibt sich die erste Zufallszahl. Zufallszahl ist dann Anfangswert für die Generierung der zweiten Zufallszahl,... Diesen Algorithmus für einen Zufallszahlengenerator können wir auch so aufschreiben: x 1 = a * x 0 + b mod k x 2 = a* x 1 + b mod k usw. Iterative Rechenvorschrift: x i+1 = x i *a + b mod k Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 5

6 Beispiel: Zufallszahlen M={0, 1,... 6} a=3 b=2 k=7 x0 = 5 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 6

7 Probleme: - - Vorgehen: - Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 7

8 Wahl des Samens (Seed) - Wahl des Seeds kann durchaus kritisch sein - z.b. Wenn der Samen nur als 32-bit-Zahl gewählt werden kann, dann ist die Anzahl des Samens auf 2^32 bit reduziert - Wahl des Samens mittels Synchronisation mit der Uhrzeit schränkt die Auswahl der Möglichkeiten stark ein Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 8

9 Beispiel: Java a = b = 11 k = 2^48 Seed: Zeit seit dem in ms Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 9

10 Erzeugung von stetigen Zufallszahlen auf (0;1) xn: Zufallszahlen auf M={0,..., k} yn Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 10

11 Erzeugung von Zufallszahlen diskreter Zufallsgrößen Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 11

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14 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 14

15 Erzeugung von Zufallszahlen stetiger Zufallsgrößen Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 15

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