Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:

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1 Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die Standard-Normalverteilung Die allgemeine Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen 2 Normalverteilung 1

2 Stetige Zufalls-Variable Erweitert man den Begriff der diskreten Zufallsvariable für stetige Merkmale gibt es einige technische Probleme Die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten konkreten Wert zu beobachten ist null, da es ja unendlich viele unterschiedliche Wert gibt. Eine stetige Zufallsvariable liefert daher Wahrscheinlichkeitswerte immer nur für Intervalle. Man erhält Wahrscheinlichkeiten indem man eine Fläche evaluiert. Konkret betrachtet man das Integral unter der Dichtefunktion, die das stetige Analogon zur Wahrscheinlichkeitsfunktion bildet. Statistik 2 für SoziologInnen 3 Normalverteilung Dichtefunktion f(x) Dichtefunktion 1) f(x) > 0 für alle x 2) Gesamte Fläche unter der Kurve ist 1 Einzelne Werte von f(x) können größer als 1 sein! f(x) ist eine Dichte aber keine Wahrscheinlichkeit Vergleiche dazu das Histogramm, wo auch die Fläche als Maß für die Häufigkeit fungiert Statistik 2 für SoziologInnen 4 Normalverteilung 2

3 Stetige Verteilungsfunktion Die theoretische Verteilungsfunktion einer steigen Zufallsvariablen X mit Dichtefunktion f(x) bezeichnen wir mit F(x) Die theoretische Verteilungsfunktion wird durch das Integral (stetiges Analogon zur Summe) definiert x F( x) P( X x) f ( udu ) Statistik 2 für SoziologInnen 5 Normalverteilung Beziehung zwischen Dichte- und Verteilungsfunktion Dichtefunktion f(x) Verteilungsfunktion F(x) 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 1 0,8 0,6 0,4 0, Statistik 2 für SoziologInnen 6 Normalverteilung 3

4 Wahrscheinlichkeiten als Integral P(a X b) = P(X b) - P(X a) = F(b) - F(a) P(a X b) f (x)dx b a Statistik 2 für SoziologInnen 7 Normalverteilung Erwartungswert und Varianz einer stetigen ZV E(X) x f(x)dx V(X) ² [x E(X)]² f(x)dx Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 Statistik 2 für SoziologInnen 8 Normalverteilung 4

5 Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative Bezeichnungen: Gaußsche Glockenkurve;Fehlerkurve Natürliche Prozesse Körpergröße, Gewicht von Lebewesen Messung von physikalischen Größen Messfehlermodell Variable, die sich aus der Summe von vielen zufälligen Einzelwerten ergeben zentraler Grenzwertsatz Statistik 2 für SoziologInnen 9 Normalverteilung Dichtefunktion In der einfachsten Form: Standardnormalverteilung X~N(0; 1) E(X)=0 Erwartungswert = 0 V(X)=1 Varianz bzw. Standard-Abweichung =1 fx ( ) 1 2 e x 2 / 2 Statistik 2 für SoziologInnen 10 Normalverteilung 5

6 Die Standard-Normalverteilung Wendepunkte Statistik 2 für SoziologInnen 11 Normalverteilung Die Standard-Normalverteilung Flaeche = 0, Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert im Bereich -1 bis +1 annimmt ist 68,27% Statistik 2 für SoziologInnen 12 Normalverteilung 6

7 Flaeche = 0, Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert im Bereich -2 bis +2 annimmt, ist rund 95% Allgemein: Bei einem normalverteilten Merkmal liegen rund 95% der Beobachtungen liegen im Bereich Erwartungswert plus/minus 2*Standardabweichung Statistik 2 für SoziologInnen 13 Normalverteilung Varianten der Normalverteilung Im allgemeinen: Normalverteilung mit Erwartungswert und Varianz ² X~N( ; ²) E(X) = V(X) = ² fx ( ) 1 2 e 1 x 2 ( ) 2 Statistik 2 für SoziologInnen 14 Normalverteilung 7

8 Verschiedene Normalverteilungen Standardnormalverteilung N(0; 0,25) Kleinere Varianz N(0; 1) Größere Varianz N(0; 4) Statistik 2 für SoziologInnen 15 Normalverteilung Verschiedene Normalverteilungen N(-3; 0,25) Verschiebung und Stauchung N(0; 1) N(2; 1) Unterschiedlicher Erwartungswert bei konstanter Varianz Statistik 2 für SoziologInnen 16 Normalverteilung 8

9 Lineartransformation Wenn X eine normalverteilte Zufallsvariable ist, dann ist auch Y=a+bX normalverteilt. E(Y)=E(a+bX)=a+bE(X) V(Y)=V(a+bX)=b²V(X) Knapp formuliert: Sei X~N( ²) und Y=a+bX dann gilt Y~N(a+b ; b² ²) Änderung des Erwartungswertes: Verschiebung (Translation) Änderung der Varianz: Dehnung oder Stauchung der Verteilungsform Prinzipielle Gestalt der Glockenkurve bleibt erhalten Statistik 2 für SoziologInnen 17 Normalverteilung Standardisierung Aus dem vorigen folgt: Sei X~N( ²) dann gilt für Z=(X- standardisierte Variable Z~N(0;1) Durch Anwendung der Standardisierung lässt sich jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung überführen. Daher reichen Tabellen für Wahrscheinlichkeiten der Standardnormalverteilung für alle Fragestellungen Statistik 2 für SoziologInnen 18 Normalverteilung 9

10 Standardisierung Anwendungsbeispiel: X sei die Körpergröße in cm von einer bestimmten Population Es sei X~N(175; 64) dann ist Z=(X-175)/8 Frage: P(167<X<183)=? P(167<X<183)= =P(( )/8<Z<( )/8)= =P(-1<Z<1)=0,6826 Bei Kenntnis des Mittelwertes und der Varianz lassen sich unter der Modellannahme, dass das Merkmal normalverteilt ist, die Wahrscheinlichkeit für alle denkmöglichen Fragestellungen mit der Standardnormalverteilung ermitteln. Statistik 2 für SoziologInnen 19 Normalverteilung Unterschiedlicher Maßstab! N(175; 64) Koerpergroesse in cm N(0; 1) Standardeinheiten Statistik 2 für SoziologInnen 20 Normalverteilung 10

11 Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ergibt sich durch Integration der Dichtefunktion Unterschiedliche Notation: Bleymüller: F N (z) Schlittgen: (z) z u 2 F ( z) e du N 2 Statistik 2 für SoziologInnen 21 Normalverteilung Von der Dichte zur Verteilungsfunktion Dichtefunktion Verteilungsfunktion P(X<1)=0, P(X<1)=0, Statistik 2 für SoziologInnen 22 Normalverteilung 11

12 -3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 Dichtefunktion Verteilungsfunktion 1 0,8 0,6 0,2 0,15 0,4 0,1 0,2 0, Grenzwert: -1 Prob(Z<-1)= 0,15866 Dichtefunktion Verteilungsfunktion 0,45 1 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,8 0,6 0,4 0,2 0, Grenzwert: 0 Prob(Z<0)= 0,5 Dichtefunktion Verteilungsfunktion 0,45 1 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,8 0,6 0,4 0,2 0, Grenzwert: 1 Prob(Z<1)= 0,84134 Statistik 2 für SoziologInnen 23 Normalverteilung Ausnützung der Symmetrie um Null P(Z < a) = 1 - P(Z < -a) oder P(Z < -a) = 1 - P(Z < a) aa aa P(Z>a) = P(Z<-a) Statistik 2 für SoziologInnen 24 Normalverteilung 12

13 Arbeit mit Tabellen: P(Z<1)=? (1) liegt zwischen 0,841 und 0,842 Grob: P(Z<1) = (1) = 0,8415 Lineare Interpolation: P(Z<1) = (1) = 0,8413 P(Z<-1)=? (a)=1- (-a) bzw. (-a)=1- (a) P(Z<-1)=1 - (1) = 1-0,8413 = 0,1587 (-1) liegt zwischen 0,158 und 0,159 Statistik 2 für SoziologInnen 25 Normalverteilung Beispiel Wir wollen für eine Normalverteilung mit Erwartungswert 170 und Standardabweichung 16 die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 180 zu erhalten ermitteln. P(X<180) = =P(Z<( )/16)=P(Z<0,625)=F N (0,625)= =0,734 Statistik 2 für SoziologInnen 26 Normalverteilung 13

14 Normalverteilung in Excel: NORMVERT Für eine Normalverteilung mit Erwartungswert 170 und Standardabweichung 16 gilt, dass die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 180 zu erhalten 73,4% beträgt. Statistik 2 für SoziologInnen 27 Normalverteilung Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen 28 Normalverteilung 14

15 Erwartungswert: 170 Varianz: 256 Standardabweichung: 16,0000 0,0300 0,0250 0,7340 0,2660 Grenzwert: 180 0,0200 Prob(X < 180) = 0,7340 Prob(X > 180) = 0,2660 0,0150 0,0100 0,0050 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und dem gewünschten Grenzwert sind hellgrün markiert. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4400 Statistik 2 für SoziologInnen 29 Normalverteilung X~N(175; 64) P(X<175)=? P(Z<( )/8) = (0)= 0, P(X<175) Koerpergroesse in cm P(Z<0) Standardeinheiten Statistik 2 für SoziologInnen 30 Normalverteilung 15

16 X~N(175; 64) P(X<175)=? P(Z<( )/8) = (0)= 0,5 P(X<181)=? P(Z<( )/8) = (0,75)= 0,7734 P(X>177)=? P(Z>( )/8)= =1-P(Z<0,25)= =1- (0,25)= =1-0,5987=0,4013 Beispiel zur Körpergröße E(X)= 175 V(X)= 64 (X)= 8 Grenzwert: 181 Dieser Wert kann variiert werden P(X<181)= 77, % P(X>181)= 22, % Statistik 2 für SoziologInnen 31 Normalverteilung P(X<181)= Koerpergroesse in cm Statistik 2 für SoziologInnen 32 Normalverteilung 16

17 P(X>177)= Koerpergroesse in cm Statistik 2 für SoziologInnen 33 Normalverteilung Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0,0500 0,7734 0,2266 Grenzwert: 181 0,0400 Prob(X < 181) = 0,7734 Prob(X > 181) = 0,2266 0,0300 0,0200 0,0100 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und dem gewünschten Grenzwert sind hellgrün markiert. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 34 Normalverteilung 17

18 Beispiel IQ-Test E(X)= 100 V(X)= 225 (X)= 15 4-Sigma Gesellschaft Personen mit einem IQ über 160 P(X>100+4* )=? 100+4*s= 160 P(X>160)= 0,00317% Bei ,17 1 von In Österreich leben: Menschen Österreicher in 4-Sigma 254 Statistik 2 für SoziologInnen 35 Normalverteilung Wahrscheinlichkeiten für Intervalle P(a<X<b) = P(X<b) P(X<a) X~N(175; 64) P(177<X<181) =? P(X<181) - P(X<177) = =P(Z<( )/8) - P(Z<( )/8) = = (0,75) - (0,25) = = 0,7734-0,5987 = 0,1747 Statistik 2 für SoziologInnen 36 Normalverteilung 18

19 P(177<X<181)= Koerpergroesse in cm Statistik 2 für SoziologInnen 37 Normalverteilung Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0,0500 0,5987 0,1747 0,2266 Untergrenze: 177 Obergrenze: 181 Prob(177< X < 181) = 0,1747 Prob( X < 177) = 0,5987 Prob( X > 181) = 0,2266 0,0400 0,0300 0,0200 0,0100 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Grenzwerte sind hellgrün markiert. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 38 Normalverteilung 19

20 Symmetrische Intervalle P(-1<Z<1)=? P(-1<Z<1)= (1) - (-1)= 0,8413-0,1587 = 0,6826 P(-a<Z<a)=P(Z<a)-P(Z<-a)= (a)-(1- (a))=2 (a)-1 P(-a<Z<a)=2 (a)-1 P(-1<Z<1)= 2* (1) -1=2*0,8413-1=0,6826 Statistik 2 für SoziologInnen 39 Normalverteilung X~N(175; 64) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person maximal 8 cm vom Erwartungswert abweicht? P(167<X<183) = (( )/8) - (( )/8) (1) - (-1) = 0,8413-0,1587 = 0,6827 P(167<X<183) = 2* (( )/8) -1= = 2* (1)-1 = 2*0, = 0,6827 Statistik 2 für SoziologInnen 40 Normalverteilung 20

21 Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0,0500 0,1587 0,6827 0,1587 maximale Abweichung: 8 0,0400 Prob(167< X < 183) = 0,6827 Prob(X < 167) = 0,1587 Prob(X > 183) = 0,1587 0,0300 0,0200 0,0100 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die maximale Abweichung sind hellgrün markiert. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 41 Normalverteilung Inverse Fragestellung Gesucht sind Quantilwerte z für die bestimmte Wahrscheinlichkeitsaussagen gelten: P(Z< z ) = (z ) = P(Z<z ) = z Nachschlagen in der Tabelle: ==> z Gesucht ist jene Körpergröße x für die gilt, daß die Wahrscheinlichkeit P(X<x )=0,9 Lösung: x = + z x = ,2816*8 Statistik 2 für SoziologInnen 42 Normalverteilung 21

22 Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0, ,2524 0,9000 0,1000 Wahrscheinlichkeit: 0,9 Quantil von Z~N(0;1): 1,2816 0,0400 0,0300 Grenzwert = 185,2524 Prob(185,25 < 0,9) = 0,9000 Prob(185,25 > 0,9) = 0,1000 0,0200 0,0100 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und der gewünschten Wahrscheinlichkeit sind hellgrün markiert. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 43 Normalverteilung Normalverteilung in Excel: NORMINV Für eine Standardnormalverteilung gilt, dass die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 1, zu erhalten 95% beträgt. Statistik 2 für SoziologInnen 44 Normalverteilung 22

23 Zentrale Schwankungsintervalle (Streubereiche) symmetrische Intervalle um den Erwartungswert [ -c; +c] Von Interesse sind Aussagen der Form a) P( -c < X < +c) =? b) P( -? < X < +?) = 1- Beispiel für a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person maximal 8 cm vom Erwartungswert abweicht? Beispiel für b) Wie groß ist das symmetrische Intervall in welchem Personen mit einer Wahrscheinlichkeit 1- liegen? Wir ordnen dem zentralen Schwankungsbereich die Wahrscheinlichkeit 1- zu. Dadurch kommt außerhalb des Bereichs an jedem Ende eine Randwahrscheinlichkeit von /2 zustande. Statistik 2 für SoziologInnen 45 Normalverteilung Konzept zentraler Schwankungsintervalle alpha/2 1-alpha alpha/ Statistik 2 für SoziologInnen 46 Normalverteilung 23

24 Zentrale Schwankungsintervalle Sei X~N(, ²) so ergibt sich das zentrale Schwankungsintervall,welches eine Wahrscheinlichkeit von 1- abdeckt durch: [ -z 1- /2 ; + z 1- /2 ] bzw. P( - z 1- /2 < X < + z 1- /2 ) = 1- Für =0,1 ( =0,05; =0,01) ergibt sich aus der Tabelle für z 1- /2 d.h. P( - 1,6449 < Z < + ) = 0,9 P( - 1,96 < Z < + ) = 0,95 P( - 2,5758 < Z < + 2,5758) = 0,99 Statistik 2 für SoziologInnen 47 Normalverteilung X~N(175; 64) Gesucht ist ein zentrales Schwankungsintervall, das eine Wahrscheinlichkeit von 0,95 aufweist P( - z 1- /2 < X < + z 1- /2 ) = 1- = 0,05 1- /2 = 0,975 P(175-1,96*8 < X < ,96*8) = 0,95 P(159,32 < X < 190,68) = 0,95 Falls man eine höhere Wahrscheinlichkeit anstrebt wird das Intervall größer: P(175-2,5758 *8 < X < ,5758 *8) = 0,99 P(154,39 < X < 195,61) = 0,99 Statistik 2 für SoziologInnen 48 Normalverteilung 24

25 Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 Wahrscheinlichkeit des zentralen Intervalls 1- : 0,95 1- /2 Quantil von Z~N(0;1): 1,9600 0,0600 0,0500 0,0400 0, ,32 0,95 190,68 Prob(159,32< X < 190,68) = 0,9500 Untergrenze: 159,32 Obergrenze: 190,68 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Wahrscheinlichkeit für das zentrale Intervall sind hellgrün markiert. 0,0200 0,0100 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 49 Normalverteilung Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 Wahrscheinlichkeit des zentralen Intervalls 1- : 0,99 1- /2 Quantil von Z~N(0;1): 2,5758 0,0600 0,0500 0,0400 0, ,39 0,99 195,61 Prob(154,39< X < 195,61) = 0,9900 Untergrenze: 154,39 Obergrenze: 195,61 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Wahrscheinlichkeit für das zentrale Intervall sind hellgrün markiert. 0,0200 0,0100 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 50 Normalverteilung 25

26 Zentraler Grenzwertsatz Die Normalverteilung verdankt ihre universelle theoretische und praktische Bedeutung dem zentralen Grenzwertsatz. Unabhängig von der konkreten Ausgangsverteilung konvergiert nämlich die Verteilungsfunktion einer Summe gegen die Normalverteilung. (sehr grob formuliert) Ist die Anzahl der Summanden (n) hinreichend groß, so kann in der Praxis die Verteilung einer Summe durch die Normalverteilung approximiert werden. Die Frage, ab wann n hinreichend groß ist, hängt von der gewünschten Genauigkeit und der Form der Ausgangsverteilung ab. Statistik 2 für SoziologInnen 51 Normalverteilung Was wir uns merken sollten Wie eine stetige Zufallsvariable mittels Dichtefunktion und Verteilungsfunktion beschrieben wird Einige wichtige Eigenschaften der Normalverteilung (Symmetrie, zentrale Schwankungsintervalle [z.b. 95% plus/minus 2xStandardabweichung], Lineartransformationen) Wie man mittels Tabellen oder Excel konkrete Wahrscheinlichkeiten bestimmen kann Statistik 2 für SoziologInnen 52 Normalverteilung 26