Vorlesung 5b. Zufallsvariable mit Dichten

Transkript

1 Vorlesung 5b 1

2 Vorlesung 5b Zufallsvariable mit Dichten

3 Vorlesung 5b Zufallsvariable mit Dichten

4 Wiederholung aus Vorlesung 2b+: Kontinuierlich uniform verteilte Zufallsvariable: Sei S eine Teilmenge des R d mit endlichem Inhalt V(S). Eine Zufallsvariable X mit Zielbereich S heißt uniform verteilt auf S, wenn für alle A S mit wohldefiniertem Inhalt V(A) gilt: P(X A) = V(A) V(S). (Man beachte die Analogie zu Anzahl günstige durch Anzahl mögliche Fälle ) 2

5 Beispiel 1: S := [0,1] R 1 4

6 Beispiel 1: S := [0,1] R 1 A := [c,d] mit 0 c d 1

7 Beispiel 1: S := [0,1] R 1 A := [c,d] mit 0 c d 1 P(X A) = d c. 0 c d 1

8 Beispiel 2: S := [0,l] [0,b] R 2 5

9 Beispiel 2: S := [0,l] [0,b] R 2 A S mit Flächeninhalt V(A)

10 Beispiel 2: S := [0,l] [0,b] R 2 A S mit Flächeninhalt V(A) P(X A) = V(A) l b.

11 A S 6

12 Für diskret uniform verteilte Zufallsvariable hatten wir P(X = a) = 1 #S. 7

13 Für diskret uniform verteilte Zufallsvariable hatten wir P(X = a) = 1 #S. Das Analogon dazu ist jetzt:

14 Für diskret uniform verteilte Zufallsvariable hatten wir P(X = a) = 1 #S. Das Analogon dazu ist jetzt: P(X da) = da V(S).

15 P(X da) = da V(S). Der Ausdruck da taucht hier in zwei Bedeutungen auf: links als infinitesimales Raumstück und rechts als dessen infinitesimaler Inhalt. 8

16 P(X da) = da V(S). Der Ausdruck da taucht hier in zwei Bedeutungen auf: links als infinitesimales Raumstück und rechts als dessen infinitesimaler Inhalt. 9

17 P(X da) = da V(S). Der Ausdruck da taucht hier in zwei Bedeutungen auf: links als infinitesimales Raumstück und rechts als dessen infinitesimaler Inhalt. Die Gleichung bekommt ihre exakte Bedeutung unter dem Integral : P(X A) = A P(X da) = A da V(S) = V(A) V(S) 10

18 Dichten Wie im Diskreten begnügen wir uns nicht nur mit rein zufälliger Wahl. 11

19 Dichten Wie im Diskreten begnügen wir uns nicht nur mit rein zufälliger Wahl. Das Analogon zu den Verteilungsgewichten ρ(a) ist jetzt gegeben durch infinitesimale Gewichte f(a)da,

20 Dichten Wie im Diskreten begnügen wir uns nicht nur mit rein zufälliger Wahl. Das Analogon zu den Verteilungsgewichten ρ(a) ist jetzt gegeben durch infinitesimale Gewichte f(a)da, wobei f : S R + eine Funktion ist mit S f(a)da = 1.

21 X f a S 12

22 X f a S 13

23 X f f(a)da a S 14

24 Der wichtigste Fall: S R Intervall mit Endpunkten l, r (dabei ist l = oder r = erlaubt) Sei f : S R nicht-negativ, integrierbar mit r l f(a)da = 1. 15

25 Sei X eine Zufallsvariable mit Zielbereich S. Gilt für alle Intervalle [c,d] S die Gleichung P ( X [c,d] ) = d c f(a)da, so sagt man, dass X die Dichte f(a) da besitzt. 16

26 Sei X eine Zufallsvariable mit Zielbereich S. Gilt für alle Intervalle [c,d] S die Gleichung P ( X [c,d] ) = d c f(a)da, so sagt man, dass X die Dichte f(a) da besitzt. Wir schreiben dann auch kurz P(X da) = f(a)da, a S.

27 X f(a) P(X [c,d]) c d 17

28 Die Funktion F(x) := P(X x) = x f(a)da, x R (mit f(a) = 0 für a / S) heißt Verteilungsfunktion von X. 18

29 Beispiele 1. Eine auf dem Intervall [0,2] uniform verteilte Zufallsvariable hat die Dichte?da, 0 a 2. 19

30 Beispiele 1. Eine auf dem Intervall [0,2] uniform verteilte Zufallsvariable hat die Dichte 1 2 da, 0 a 2. 20

31 Beispiele: 2. Eine in einem endlichen Intervall S = [l,r] uniform verteilte Zufallsvariable hat die Dichte f(a)da mit f(a) =?, a S. 21

32 Beispiele: 2. Eine in einem endlichen Intervall S = [l,r] uniform verteilte Zufallsvariable hat die Dichte f(a)da mit f(a) = 1 r l, a S. 22

33 Beispiele: 3. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. 23

34 Beispiele: 3. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. P(X x) = P(U x)

35 Beispiele: 3. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. P(X x) = P(U x) = x! = x 0 f(a)da, 0 x 4.

36 Beispiele: 3. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. P(X x) = P(U x) = x! = x 0 f(a)da, 0 x 2. 24

37 Beispiele: 3. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. P(X x) = P(U x) = x! = x 0 f(a)da, 0 x 1. 25

38 Beispiele: 3. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. P(X x) = P(U x) = x! = x 0 f(a)da, 0 x 1. f(x) = 1 2 x, 0 < x 1 0 sonst

39 Beispiele: 4. Sei U uniform verteilt auf [0,2]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. 26

40 Beispiele: 4. Sei U uniform verteilt auf [0,2]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. P(X x) = P(U x)

41 Beispiele: 4. Sei U uniform verteilt auf [0,2]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. P(X x) = P(U x) = 1 2 x! = x 0 f(a)da, 0 x 4.

42 Beispiele: 4. Sei U uniform verteilt auf [0,2]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. P(X x) = P(U x) = 1 2 x! = x 0 f(a)da, 0 x 4. 27

43 Beispiele: 4. Sei U uniform verteilt auf [0,2]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. P(X x) = P(U x) = 1 2 x! = x 0 f(a)da, 0 < x 4. 28

44 Beispiele: 4. Sei U uniform verteilt auf [0,2]. Gefragt ist nach der Dichte von X := U 2. P(X x) = P(U x) = 1 2 x! = x 0 f(a)da, 0 < x 4. f(x) = x, 0 x 4 0 sonst

45 Beispiele: 5. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := lnu. 29

46 Beispiele: 5. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := lnu. P(X x) = P( lnu x)

47 Beispiele: 5. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := lnu. P(X x) = P( lnu x) = P(U e x )= 1 e x! = x 0 f(a)da, x 0.

48 Beispiele: 5. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := lnu. P(X x) = P( lnu x) = P(U e x ) = 1 e x! x = f(a)da, x

49 Beispiele: 5. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := lnu. P(X x) = P( lnu x) = P(U e x ) = 1 e x! x = f(a)da, x

50 Beispiele: 5. Sei U uniform verteilt auf [0,1]. Gefragt ist nach der Dichte von X := lnu. P(X x) = P( lnu x) = P(U e x ) = 1 e x! x = f(a)da, x 0. 0 f(x) = e x, x 0 0 sonst

51 Erwartungswert und Varianz einer reellwertige Zufallsvariable X mit Dichte f(a)da: µ = E[X] := r l af(a)da 32

52 Erwartungswert und Varianz einer reellwertige Zufallsvariable X mit Dichte f(a)da: µ = E[X] := r l af(a)da und σ 2 = Var[X] := r l (a µ)2 f(a)da, vorausgesetzt, die Integrale sind wohldefiniert.

53 Analog zum Diskreten gilt für h : S R E[h(X)] = r l h(a)f(a)da vorausgesetzt das Integral existiert. 33

54 Definition: Eine Zufallsvariable X mit Zielbereich R + heißt standard-exponentialverteilt, 34

55 Definition: Eine Zufallsvariable X mit Zielbereich R + heißt standard-exponentialverteilt, falls sie die Dichte P(X dx) = e x dx,x 0 besitzt.

56 Für standard-exponentialverteiltes X gilt: 35

57 Für standard-exponentialverteiltes X gilt: P(X t) = t e x dx = e t,

58 Für standard-exponentialverteiltes X gilt: P(X t) = t e x dx = e t, P(X t) = 1 e t.

59 Erwartungswert und Varianz einer standard-exponentialverteilten Zufallsvariablen X: 36

60 Erwartungswert und Varianz einer standard-exponentialverteilten Zufallsvariablen X: Mit partieller Integration u v = uv ergibt sich u v

61 Erwartungswert und Varianz einer standard-exponentialverteilten Zufallsvariablen X: E[X] = Mit partieller Integration u v = uv ergibt sich 0 x e x dx = xe x u v e x dx = 1

62 Erwartungswert und Varianz einer standard-exponentialverteilten Zufallsvariablen X: E[X] = Mit partieller Integration u v = uv ergibt sich 0 x e x dx = xe x u v e x dx = 1 E[X 2 ] = 0 x2 e x dx = x 2 e x x e x dx = 2

63 Erwartungswert und Varianz einer standard-exponentialverteilten Zufallsvariablen X: E[X] = Mit partieller Integration u v = uv ergibt sich 0 x e x dx = xe x u v e x dx = 1 E[X 2 ] = 0 x2 e x dx = x 2 e x x e x dx = 2 Also: E[X] = 1, VarX = 1.

64 Sei X standard-exponentialverteilt. Was ist die Dichte von Y := 1 2 X? 37

65 Sei X standard-exponentialverteilt. Was ist die Dichte von Y := 1 2 X? P(Y > y) = P(X > 2y) = e 2y

66 Sei X standard-exponentialverteilt. Was ist die Dichte von Y := 1 2 X? P(Y > y) = P(X > 2y) = e 2y Also ist die Verteilungsfunktion von Y

67 Sei X standard-exponentialverteilt. Was ist die Dichte von Y := 1 2 X? P(Y > y) = P(X > 2y) = e 2y Also ist die Verteilungsfunktion von Y F(y) = 1 e 2y, y 0

68 Sei X standard-exponentialverteilt. Was ist die Dichte von Y := 1 2 X? P(Y > y) = P(X > 2y) = e 2y Also ist die Verteilungsfunktion von Y F(y) = 1 e 2y, y 0 und die Dichte

69 Sei X standard-exponentialverteilt. Was ist die Dichte von Y := 1 2 X? P(Y > y) = P(X > 2y) = e 2y Also ist die Verteilungsfunktion von Y F(y) = 1 e 2y, y 0 und die Dichte f(y)dy = 2e 2y dy, y 0.

70 Lemma: Die reellwertige ZV X habe Dichte f(x) dx. Für λ > 0 hat dann Y := 1 λx die Dichte f(λy) λdy. 38

71 Lemma: Die reellwertige ZV X habe Dichte f(x) dx. Für λ > 0 hat dann Y := 1 λx die Dichte f(λy) λdy. Beweis: P(c Y d) = P(λc X λd)

72 Lemma: Die reellwertige ZV X habe Dichte f(x) dx. Für λ > 0 hat dann Y := 1 λx die Dichte f(λy) λdy. Beweis: P(c Y d) = P(λc X λd) = λd λc f(x)dx= d c f(λy)λdy

73 Lemma: Die reellwertige ZV X habe Dichte f(x) dx. Für λ > 0 hat dann Y := 1 λx die Dichte f(λy) λdy. Beweis: P(c Y d) = P(λc X λd) = λd λc f(x)dx = d c f(λy)λdy 39

74 Lemma: Die reellwertige ZV X habe Dichte f(x) dx. Für λ > 0 hat dann Y := 1 λx die Dichte f(λy) λdy. Beweis: P(c Y d) = P(λc X λd) = λd λc f(x)dx = d c f(λy)λdy (mit der Substitution x = λy).

75 Das sieht man auch heuristisch: X hat Dichte f(x) dx. Dann gilt: 40

76 Das sieht man auch heuristisch: X hat Dichte f(x) dx. Dann gilt: P(Y dy) = P(X d(λy)) = f(λy) d(λy)

77 Das sieht man auch heuristisch: X hat Dichte f(x) dx. Dann gilt: P(Y dy) = P(X d(λy)) = f(λy) d(λy) = f(λy) λdy.

78 Das sieht man auch heuristisch: X hat Dichte f(x) dx. Dann gilt: P(Y dy) = P(X d(λy)) = f(λy) d(λy) = f(λy) λdy.

79 Definition: Sei λ > 0. Eine R + -wertige Zufallsvariable Y mit Dichte e λy λdy heißt exponentialverteilt mit Parameter λ. 41

80 Definition: Sei λ > 0. Eine R + -wertige Zufallsvariable Y mit Dichte e λy λdy heißt exponentialverteilt mit Parameter λ. X := λy ist dann standard-exponentialverteilt. Also gilt :

81 Definition: Sei λ > 0. Eine R + -wertige Zufallsvariable Y mit Dichte e λy λdy heißt exponentialverteilt mit Parameter λ. X := λy ist dann standard-exponentialverteilt. Also gilt : E[Y] = 1 λ, VarY = 1 λ 2.

82 Wir erinnern an die Exponentialapproximation : (Vorlesung 4a und Buch Seite 42): Ist für jedes n N die Zufallsvariable X n geometrisch verteilt mit E[X n ] für n, dann gilt: 42

83 Wir erinnern an die Exponentialapproximation : (Vorlesung 4a und Buch Seite 42): Ist für jedes n N die Zufallsvariable X n geometrisch verteilt mit E[X n ] für n, dann gilt: ( ) X n P E[X n ] t e t für alle t R +.

84 ( ) X n P E[X n ] t e t für alle t R +. 43

85 ( ) X n P E[X n ] t e t für alle t R +. Ist X eine standard-exponentialverteilte Zufallsvariable,

86 ( ) X n P E[X n ] t e t für alle t R +. Ist X eine standard-exponentialverteilte Zufallsvariable, dann kann man dies schreiben als

87 ( ) X n P E[X n ] t e t für alle t R +. Ist X eine standard-exponentialverteilte Zufallsvariable, P dann kann man dies schreiben als ) E[X n ] t P(X t), t R +. ( X n

88 ( ) X n P E[X n ] t e t für alle t R +. Ist X eine standard-exponentialverteilte Zufallsvariable, P dann kann man dies schreiben als ) E[X n ] t P(X t), t R +. ( X n Man sagt dafür auch:

89 ( ) X n P E[X n ] t e t für alle t R +. Ist X eine standard-exponentialverteilte Zufallsvariable, P dann kann man dies schreiben als ) E[X n ] t P(X t), t R +. ( X n Man sagt dafür auch: Die Folge der Zufallsvariablen X n /E[X n ] konvergiert in Verteilung gegen die Zufallsvariable X.

90 Salopp gesprochen: Man holt für kleines p eine Geom(p)-verteilte Zufallsvariable Y zurück ins Bild, indem man py betrachtet. 44

91 Gewichte des p fachen einer Geom(p) verteilten ZV p=1/10 Exp(1) Dichte

92 Gewichte des p fachen einer Geom(p) verteilten ZV p=1/100 Exp(1) Dichte

93 Wie sieht die Bin(n,1/2)-Verteilung für großes n aus, oder allgemeiner die Bin(n,p)-Verteilung mit großem n und großem npq? 47

94 n = 1000, p =

95 n = 1000, p = k

96 n = 4000, p =

97 n = 4000, p = k

98 Binomialverteilungen mit großem n und großer Varianz npq sehen glockenförmig aus, wenn man sie geeignet ins Bild holt. 52

99 Binomialverteilungen mit großem n und großer Varianz npq sehen glockenförmig aus, wenn man sie geeignet ins Bild holt.

100 Dahinter steht eine Approximation der Binomialgewichte mit Stirling & Taylor : )p k q n k 1 1 exp k npq 2π ( n ( 1 2 ( k np npq ) 2 ). 53

101 Dahinter steht eine Approximation der Binomialgewichte mit Stirling & Taylor : )p k q n k 1 1 exp k npq 2π ( n ( 1 2 ( k np npq ) 2 ). = 1 ( ) k µ σ ϕ σ mit µ := np, σ := npq und ϕ(a) := 1 2π e a2 /2, a R. 54

102 Dahinter steht eine Approximation der Binomialgewichte mit Stirling & Taylor : )p k q n k 1 1 exp k npq 2π ( n ( 1 2 ( k np npq ) 2 ). = 1 ( ) k µ σ ϕ σ mit µ := np, σ := npq und ϕ(a) := 1 2π e a2 /2, a R. 55

103 Dahinter steht eine Approximation der Binomialgewichte mit Stirling & Taylor : ( ) n k p k q n k 1 σ ( 1 exp 2π 1 2 ( k µ σ ) 2 ). = 1 ( ) k µ σ ϕ σ mit µ := np, σ := npq und ϕ(a) := 1 2π e a2 /2, a R. 56

104 Dahinter steht eine Approximation der Binomialgewichte mit Stirling & Taylor : ( ) n k p k q n k 1 σ ( 1 exp 2π 1 2 ( k µ σ ) 2 ). = 1 ( ) k µ σ ϕ σ mit µ := np, σ := npq und ϕ(a) := 1 2π e a2 /2, a R. 57

105 Dahinter steht eine Approximation der Binomialgewichte mit Stirling & Taylor : ( ) n k p k q n k 1 σ ( 1 exp 2π 1 2 ( k µ σ ) 2 ). = 1 ( ) k µ σ ϕ σ mit µ := np, σ := npq und ϕ(a) := 1 2π e a2 /2, a R. 58

106 Die nächste Definition beinhaltet die wichtigste Verteilung der Stochastik: 59

107 Die nächste Definition beinhaltet die wichtigste Verteilung der Stochastik: Eine R-wertige Zufallsvariable Z mit Dichte

108 Die nächste Definition beinhaltet die wichtigste Verteilung der Stochastik: Eine R-wertige Zufallsvariable Z mit Dichte ϕ(a)da := 1 2π e a2 /2 da

109 Die nächste Definition beinhaltet die wichtigste Verteilung der Stochastik: Eine R-wertige Zufallsvariable Z mit Dichte ϕ(a)da := 1 2π e a2 /2 da heißt standard-normalverteilt.

110 0,4 0,3 0,2 0,

111 Nebenbei überzeugen wir uns, dass gilt J := R ϕ(a)da = 1. In der Tat ergibt der Übergang zu Polarkoordinaten: 61

112 Nebenbei überzeugen wir uns, dass gilt J := R ϕ(a)da = 1. In der Tat ergibt der Übergang zu Polarkoordinaten: J 2 = R ϕ(x)dx R ϕ(y)dy = R R 1 2π e (x2 +y 2 )/2 dxdy

113 Nebenbei überzeugen wir uns, dass gilt J := R ϕ(a)da = 1. In der Tat ergibt der Übergang zu Polarkoordinaten: J 2 = R ϕ(x)dx R ϕ(y)dy = R R 1 2π e (x2 +y 2 )/2 dxdy = 1 2π 2π 0 0 e r2 /2 rdrdθ

114 Nebenbei überzeugen wir uns, dass gilt I := R ϕ(a)da = 1. In der Tat ergibt der Übergang zu Polarkoordinaten: J 2 = R ϕ(x)dx R ϕ(y)dy = R R 1 2π e (x2 +y 2 )/2 dxdy = 1 2π 2π 0 0 e r2 /2 rdrdθ = e r2 /2 0 = 1. 62

115 Zur Illustration der Polarkoordinatentransformation: e (x2 +y 2 )/2 dxdy = e r2 /2 r drdθ G H y G θ H x r

116 Für ein standard-normalverteiltes Z ist 64

117 Für ein standard-normalverteiltes Z ist E[Z] = 0, VarZ = 1.

118 Für ein standard-normalverteiltes Z ist E[Z] = 0, VarZ = 1. Denn aus Symmetriegründen ist 1 2π R ae a2 /2 da = 0,

119 Für ein standard-normalverteiltes Z ist E[Z] = 0, VarZ = 1. Denn aus Symmetriegründen ist 1 2π R ae a2 /2 da = 0, und mit partieller Integration bekommt man R a2 e a2 /2 da = R aae a2 /2 da

120 Für ein standard-normalverteiltes Z ist E[Z] = 0, VarZ = 1. Denn aus Symmetriegründen ist 1 2π R ae a2 /2 da = 0, und mit partieller Integration bekommt man R a2 e a2 /2 da = = ae a2 /2 + R aae a2 /2 da R e a2 /2 da = 2π.

121 Zwei für die Praxis wichtige Zahlen: 65

122 P( 1.96 Z 1.96) tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttaaaaaaaaaaaaaaaaa

123 P( 1 Z 1) tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttaaaaaaaaaaaaaaaaa

124 Sei Z standard-normalverteilt, µ R, σ > 0. Dann gilt für 68

125 Sei Z standard-normalverteilt, µ R, σ > 0. Dann gilt für X := σz +µ :

126 Sei Z standard-normalverteilt, µ R, σ > 0. Dann gilt für X := σz +µ : E[X] = µ, VarX = σ 2,

127 Sei Z standard-normalverteilt, µ R, σ > 0. Dann gilt für X := σz +µ : E[X] = µ, VarX = σ 2, und die Dichte von X ist ϕ µ,σ 2(a)da mit

128 Sei Z standard-normalverteilt, µ R, σ > 0. Dann gilt für X := σz +µ : E[X] = µ, VarX = σ 2, und die Dichte von X ist ϕ µ,σ 2(a)da mit ϕ µ,σ 2(a) := 1 ( ) a µ σ ϕ σ = 1 σ (a µ) 2 2π e 2σ 2.

129 Eine Zufallsvariable mit Dichte ϕ µ,σ 2(a)da heißt normalverteilt mit Mittelwert µ und Varianz σ 2, kurz 69

130 Eine Zufallsvariable mit Dichte ϕ µ,σ 2(a)da heißt normalverteilt mit Mittelwert µ und Varianz σ 2, kurz N(µ,σ 2 )-verteilt.

131 Eine Zufallsvariable mit Dichte ϕ µ,σ 2(a)da heißt normalverteilt mit Mittelwert µ und Varianz σ 2, kurz N(µ,σ 2 )-verteilt. Ist Y N(µ,σ 2 )-verteilt, dann ist Y µ σ standard-normalverteilt.

132 Carl Friedrich Gauss ( ) 70

133 Zurück zu unserer locker gestellten Frage: Wie holt man bei großem n und großem npq eine Bin(n,p)-verteilte Zufallsvariable X zurück ins Bild? 71

134 Zurück zu unserer locker gestellten Frage: Wie holt man bei großem n und großem npq eine Bin(n,p)-verteilte Zufallsvariable X zurück ins Bild? Durch Standardisieren, d.h. in diesem Fall Verschieben um den Erwartungswert µ und Teilen durch die Standardabweichung σ:

135 Zurück zu unserer locker gestellten Frage: Wie holt man bei großem n und großem npq eine Bin(n,p)-verteilte Zufallsvariable X zurück ins Bild? Durch Standardisieren, d.h. in diesem Fall Verschieben um den Erwartungswert µ und Teilen durch die Standardabweichung σ: X µ σ ist dann annähernd N(0,1)-verteilt. Genaues sagt der Satz von de Moivre-Laplace (Buch S. 44).

136 Satz (de Moivre (1733) für p = 1/2, Laplace (1812) ) Sei Y 1,Y 2,... ein p-münzwurf und Z eine N(0,1)-verteilte Zufallsvariable. Dann gilt mit n : P c 1 npq ( n i=1 ) Y i np d P(c Z d) für alle c < d. 72

137 Der Wunder nicht genug: Was dem p-münzwurf recht ist, ist jeder Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit endlicher Varianz billig. 73

138 Der Wunder nicht genug: Was dem p-münzwurf recht ist, ist jeder Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit endlicher Varianz billig. Diese Aussage wird präzisiert im klassischen Zentralen Grenzwertsatz (Buch S. 77); er verallgemeinert den Satz von de Moivre-Laplace. Mehr dazu in Vorlesung 6b!