Vorlesung 4b. Die Varianz

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1 Vorlesung 4b Die Varianz 1

2 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Die Varianz von X ist definiert als Var X := E[(X µ) 2 ], die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen X von ihrem Erwartungswert µ. Alternative Bezeichnung: σ 2 := σ 2 X := VarX 2

3 Wie ändert sich die Varianz, wenn man X um eine Konstante verschiebt? Var[X + b] = E[((X + b) (µ + b)) 2 ] = VarX Und wenn man X mit einer Konstanten multipliziert ( skaliert )? Var[cX] = E[(cX cµ) 2 ] = c 2 VarX 3

4 Die Standardabweichung von X ist die Wurzel aus der Varianz: σ := σ X := VarX = E[(X µ) 2 ]. Sie ist eine Kennzahl für die typische Abweichung der Zufallsvariablen X von ihrem Erwartungswert. 4

5 Es gilt: σ X+d = σ X, σ cx = c σ X. 5

6 Wie der Erwartungswert ist auch die Varianz von X durch die Verteilung von X bestimmt: Hat X die Verteilungsgewichte ν(a), und Erwartungswert µ, so ist a S R Var X = a S (a µ) 2 ν(a). 6

7 Var[X] = E[X 2 ] E[X] 2 Denn: E[(X µ) 2 ] = E[X 2 2µX + µ 2 ] = E[X 2 ] 2µE[X] + µ 2 (wegen Linearität des Erwartungswertes) 7

8 Beispiel: Sei Z eine 0-1 wertige Zufallsvariable mit P{X = 1} = p, P{X = 0} = q E[X 2 ] = E[X] = p E[X 2 ] E[X] 2 = p p 2 = p(1 p) = pq. 8

9 Beispiel: Sei X eine Bin(n, p)-verteilte Zufallsvariable Var X =? E[X(X 1)] = n k=0 k(k 1) ( ) n k p k q n k = n(n 1)p 2 n k=2 ( n 2 k 2 ) p k 2 q (n 2) (k 2) = n(n 1)p 2. 9

10 E[X(X 1)] = n(n 1)p 2. Var[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = E[X(X 1)] + E[X] E[X] 2 = n(n 1)p 2 + np (np) 2 = np np 2 = npq. Fazit: Die Varianz einer Bin(n, p)-verteilten Zufallsvariablen X ist VarX = npq. 10

11 Die Varianz einer Poissonverteilten Zufallsvariablen: Zur Erinnerung: Die Poissonverteilung mit Parameter λ entsteht als Grenzwert von Binomialaverteilungen mit n, p 0, np λ. Weil dann npq gegen λ konvergiert, steht zu vermuten: Die Varianz einer Pois(λ)-verteilten Zufallsvariablen ist λ. 11

12 Beweis durch Rechnung: E[X(X 1)] = k=0 k(k 1)e λλk k! = λ 2 k=2 e λ λk 2 (k 2)! = λ2. Var[X] = E[X(X 1)] + E[X] E[X] 2 = λ 2 + λ λ 2. 12

13 Z 1,..., Z n Münzwurf mit Erfolgsw kt p, X = Z Z n VarZ i = pq, VarX = npq. Wir haben das üner die Biomialgewichte ausgerechnet. Kann man es auch direkt sehen? Wie steht s mit der Varianz einer Summe? 13

14 Var[X + Y = E[((X µ X ) + (Y µ Y )) 2 ] = E[(X µ X ) 2 +E[(Y µ Y ) 2 ]+2E[(X µ X )(Y µ Y )] Mit der Definition der Covarianz Cov[X, Y ] := E[(X µ X )(Y µ Y )] bekommen wir Var[X + Y ] = VarX + VarY + 2Cov[X, Y ]. 14

15 Die Covarianz Cov[X, Y ] = E[(X µ X )(Y µ Y )] ist positiv, wenn X und Y die Tendenz haben, gemeinsam über bzw. gemeinsam unter ihrem Erwartungswert zu sein. (Große Abweichungen fallen dabei mehr ins Gewicht.) 15

16 Zwei Spezialfälle: Y = X : Cov[X, Y ] = E[(X µ X )(X µ X )] = VarX Y = X : Cov[X, Y ] = E[(X µ X )( X + µ X )] = VarX 16

17 Var[X + Y ] = VarX + VarY + 2Cov[X, Y ]. Ganz analog ergibt sich: Var[Z Z n ] = Var Z 1 + Var Z n + 2 i<j Cov[Z i, Z j ] Was ist Cov[Z i, Z j ] beim Münzwurf? 17

18 Eine nützliche Umformung von Cov[X, Y ] = E[(X µ X )(Y µ Y )]: Cov[X, Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ] Beim Münzwurf: E[Z i Z j ] = P{Z i = 1, Z j = 1} = p 2, E[Z i ]E[Z j ] = P{Z i = 1}P{Z j = 1} = p 2 Also ist beim Münzwurf Cov[Z i, Z j ] = 0. 18

19 Damit haben wir noch einmal bewiesen: Die Varianz einer Bin(n, p)-verteilten Zufallsvariablen ist n pq. 19

20 Wir halten fest: Sind X 1,..., X n reellwertige Zufallsvariable mit endlicher Varianz und Cov[X i, X j ] = 0 für i j (man sagt dafür auch: die X i sind paarweise unkorreliert) dann gilt: Var[X X n ] = Var X Var X n 20

21 Var[Z 1 + +Z n ] = Var Z 1 + Var Z n +2 i<j Cov[Z i, Z j ] Beispiel: Die Anzahl der Erfolge beim Ziehen ohne Zurücklegen Die hypergeometrische Verteilung. In einer Urne sind r rote und b blaue Kugeln. Es wird n-mal ohne Zurücklegen gezogen. X := Anzahl der gezogenen roten Kugeln. VarX =? 21

22 Zur Erinnerung: Mit g := r + b ist P{X = k} = ( r k )( b n k ) ( g n), k = 0,..., r. X heißt hypergeometrsich verteilt mit Parametern n, g und r. Erwartungswert und Varianz kann man (etwas mühsam) über die Verteilungsgewichte ausrechnen. Es geht auch eleganter! 22

23 Wir betrachten die Zufallsvariable Z i, die... den Wert 1 annimmt, falls die i-te gezogene Kugel rot ist,... und sonst den Wert 0. Man sagt dafür auch: Z i ist der Indikator des Ereignisses {i-te gezogene Kugel rot}. 23

24 X := Z Z n E[Z i ] = P{Z i = 1} = p, mit p := r g der Anteil der roten Kugeln in der Urne. Also: E[X] = np. Und wie stehts mit der Varianz von X? 24

25 X = Z Z n VarX = Var Z Var Z n i<j n Cov[Z i, Z j ] Sei wie gehabt g = r + b die Gesamtanzahl der Kugeln, p = r der Anteil der roten Kugeln in der Urne. g q := 1 p. VarZ i =? 25

26 X := Z Z n VarX = Var Z Var Z n i<j n Cov[Z i, Z j ] Sei g = r + b die Gesamtanzahl der Kugeln, p := g r der Anteil der roten Kugeln in der Urne, q := 1 p. Var Z i = pq. Cov[Z i, Z j ] =? 26

27 Cov[Z i, Z j ] = P{Z i = 1, Z j = 1} P{Z i = 1}P{Z j = 1} = r(r 1) g(g 1) r g 2 =... r(g r) = g 2 (g 1) Bekommt man das auch eleganter? 27

28 Wir ziehen in Gedanken, bis die Urne leer ist. Dann ist Z Z g = r, also Var[Z Z g ] = 0 28

29 Wir ziehen in Gedanken, bis die Urne leer ist. Dann ist Z Z g = r, also Var[Z Z g ] = 0. 0 = Var Z 1 + Z g i<j g Cov[Z i, Z j ], also 0 = gpq + g(g 1)Cov[Z 1, Z 2 ], d.h. Cov[Z 1, Z 2 ] = 1 g 1 pq 29

30 VarX = Var Z Var Z n i<j n Cov[Z i, Z j ] = nvarz 1 + n(n 1)Cov[Z 1, Z 2 ] = npq n(n 1) 1 g 1 pq = npq 1 n 1 g 1 = npq g n g 1. 30