Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik

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1 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Statistik Dr. Thomas Zehrt Ausblick Motivation Wir werfen einen Würfel 000-mal und wir möchten die Wahrscheinlichkeit P bestimmen, dass zwischen 500- und 600-mal eine Sechs fällt. Natürlich können wir hier schnell ein Bernoulli-Experiment mit der Einzel)erfolgswahrscheinlichkeit erkennen und es gilt 6 P = 600 k=500 ) ) k ) 000 k k 6 6 Und selbst mit dem Taschenrechner ist das Ergebnis weder leicht noch schnell zu bestimmen. Da aber die Binomialverteilung in der Praxis sehr häufig vorkommt, müssen wir versuchen, die Rechnung zu vereinfachen. Dabei helfen uns sogenannte Grenzwertsätze, die z.b. die obige Wahrscheinlichkeit approximativ) als Flächeninhalte unter speziellen Funktionsgraphen ausdrücken. Benötigtes Schulwissen Für das Verständnis dises Kapitels wird der gesamte Maturastoff vorausgesetzt. Insbesondere sollte man sich mit Differentialrechnung, Kurvendiskussionen und Integralrechnung auskennen. Falls Sie also den Inhalt dieses Kapitels Schritt für Schritt nachvollziehen können, werden Sie auch die höheren Mathematikkurse vor keine unlösbaren) Probleme stellen. Erkennen Sie viele Lücken, sollten Sie in den Semesterferien dringend den Maturastoff in Mathematik wiederholen und am mathematischen Vorbereitungskurs teilnehmen. Erfahrungsgemäss bereitet die Vorlesung Mathematik den Studierenden die grössten Probleme Durchfallquote im FS 0: 56%), obwohl knapp die Hälfte der Vorlesung aus Maturastoff besteht! Übungsaufgaben Dieses Skript enthält keine Übungsaufgaben. Lösen Sie die Aufgaben im Skript und versuchen Sie insbesondere die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes sowie die Konstruktion der Zufallsvariablen im Kapitel Fundamentalbeispiel zu verstehen. Auch dieses Skript ist prüfungsrelevant!

2 Die Gaußschen) Glockenkurven) Seien zunächst µ und zwei reelle Zahlen mit > 0. Die Funktion φx; µ, ) := π e x µ ) ist auf der ganzen reellen x-achse definierte und ihr Graph heisst Glockenkurve oder Gaußsche Glockenkurve. Ein wichtige Spezialfall ist die so genannte Standardglockenkurve µ = 0 und = : φx) := φx; 0, ) = π e x In der folgenden Skizze sehen Sie die Graphen von φx) = φx; 0, ) rot) und φx;, 0.5) blau).

3 3. Eigenschaften von φx) = π e x. φx) > 0 für alle x R, denn Exp.-funktionen nehmen nur positive Werte an.. Der Graph von φ ist symmetrisch zur y-achse, denn φ x) = φx) für alle x R. 3. φx) hat ein lokales Maximum an der Stelle x = 0, denn mit der Kettenregel) 0 = φ x) = e x ) π x = x e x π falls x = 0 und mit Produkt- und Kettenregel) φ x) = π [ e x x e x] = π e x [ x ] φ 0) = π < Die beiden einzigen Wendestellen von φ sind und, denn 0 = φ x) = e x [ x ] π gilt falls x = 0 also für x = oder x =. 5. lim x ± 6. π e x = lim x ± φt) dt = = π e x = 0. φx) dx =. Diese Eigenschaft wollen und können) wir hier nicht beweisen. Sie bedeutet, dass die Fläche die man zwischen dem gesamten) Graphen der Glockenkurve und der gesamten) x-achse erahnen kann, den Flächeninhalt von genau besitzt. 7. Die Funktion φ ist nicht elementar integrierbar, d.h. dass sie zwar eine Stammfunktion besitzt, dass man diese aber nicht aus den elementaren Funktionen Polynome, rationale Funktionen, e x, logx), sinx), cosx),...) zusammensetzen kann. Deshalb schreiben wir einfach für eine Stammfunktion von φx): Φx) = x φt) dt = π Aufgabe. Skizzieren Sie den Graphen von φ. Wo könnte man die Werte von Φ ablesen? Zeichnen Sie in der Skizze des Graphen von φ die Funktionswerte Φ/) und Φ ) ein. x e t dt

4 4 8. Für jedes x R gilt: Φx) = Flächeninhalt links von x zwischen x-achse und Graph von φ Da die Funktion φ symmetrisch zur y-achse ist für jedes x R gilt die Relation φx) = φ x)), gilt auch: Φ0) = / Φ x) = Φx) Wegen der grossen praktischen Bedeutung der Funktion Φx) wurden die Funktionswerte früher und zum Teil auch heute noch) in Tafelwerken zusammengestellt. x

5 5 Aufgabe. a) Berechnen Sie Φ.83) und Φ.5). b) Bestimmen Sie x, so dass Φx) = Natürlich gilt: b a φt) dt = b φt) dt a φt) dt = Φb) Φa). Aufgabe.3 Berechnen Sie φt) dt, φt) dt, 0.5 φt) dt und.9 φt) dt.

6 6. Eigenschaften von φx; µ, ). φx; µ, ) > 0 für alle x R.. φx; µ, ) ist symmetrisch bezüglich der Geraden x = µ, d.h. es gilt für alle reellen Zahlen t. φµ + t) = φµ t) 3. φx; µ, ) hat ein lokales Maximum an der Stelle x = µ und sonst keine weiteren lokalen Extremalstellen und keine Sattelpunkte. 4. Die einzigen beiden Wendestellen von φx; µ, ) sind µ + und µ. 5. lim x ± φx; µ, ) = 0 6. Keine der Funktionen φx; µ, ) ist elementar integrierbar. Deshalb schreiben wir einfach für eine Stammfunktion von φx; µ, ): Φx; µ, ) = x φt; µ, ) dt = π x e t µ) Beachten Sie, dass Φx; µ, ) der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von φx; µ, ) und der x-achse links vom Punkt x ist. 7. Durch Substitution kann man zeigen, dass sich die Fläche unter irgendeiner Glockenkurve als Fläche unter der Standardglockenkurve darstellen lässt. dt b a φx; µ, ) dx = b µ a µ ) ) b µ a µ φx) dx = Φ Φ Beweis: Wir wählen die Substitution u = ux) = x µ du = dx und erhalten damit schrittweise: und damit b a φx; µ, ) dx = π b a e x µ ) dx = π b µ e u du a µ = π b µ e x dx π a µ e x dx, } {{ ) } b µ = Φ } {{ ) } a µ = Φ

7 7 Beispiel. 6 φx; 8, ) dx = = φx; 0, ) dx φx) dx = Φ) Φ ) 8. Die folgenden Integrale sind unabhängig von der konkreten Wahl der Parameter µ und : µ+ µ µ+ µ µ+3 µ 3 φx; µ, ) dx = φx; µ, ) dx = φx; µ, ) dx = φx; µ, ) dx = oder anders ausgedrückt: 68.3% bzw. 95.5% oder 99.7%) der Gesamtfläche unter φx; µ, ) liegen zwischen den Grenzen µ und µ + µ und µ + oder µ 3 und µ + 3)

8 8 Der zentrale Grenzwertsatz. Standardisierung Der folgenden Satz, der sogar noch weiter verallgemeinert werden kann, gibt Ihnen den wesentlichen Grund für die herausragende Wichtigkeit der Funktionen φ und Φ. Zunächst benötigen wir noch einen neuen Begriff. Definition. Eine Zufallsvariable heisst standardisiert, wenn sie den Erwartungswert 0 und die Varianz hat. Sei X eine Zufallsvariable. Dann heisst die Zufallsvariable Standardisierung von X. Z = X EX) V arx) Beispiel. Sei X B, /3), d.h. die Verteilung von X ist gegeben durch: = = = 9 Es gilt: EX) = n p =, V arx) = n p p) = Standardisierung von X ist somit und hat die Verteilung: Z = X /3 /3 und V arx) = 3. Die 0 /3 /3 = /3 /3 = /3 /3 = Links sehen Sie die Verteilung von X und rechts die Verteilung der Standardisierung von X. Die drei Wahrscheinlichkeiten sind unverändert. Aber die Positionen der Wahrscheinlichkeiten habe sich so verändert, dass einerseits der Erwartungswert Schwerpunkt) die 0 ist und andererseits die Varianz Streuung) gleich. Man könnte sagen, dass sich die Verteilung qualitativ nicht verändert hat. 9

9 9 Aufgabe. Zeigen Sie, dass die Standardisierung einer Zufallsvariablen eine standardisierte Zufallsvariable ist. Lösung:

10 0. Der zentrale Grenzwertsatz Sei X, X,... eine unendliche) Folge von identisch verteilten und unabhängigen Zufallsvariablen, die alle den selben Erwartungswert e = EX i ) und die selbe Varianz v = V arx i ) haben. Wir betrachten die neuen Zufallsvariablen S n = n i= X i = X + X X n Für den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von S n ergibt sich nach direkter Rechnung: n ) n ES n ) = E X i = EX i ) = n e V ars n ) = V ar i= S n ) = n v n i= X i ) Diese Zufallsvariablen werden nun standardisiert: Y n = S n ES n ) V arsn ) = i= n i= V arx i ) = n v = S n n e n v. Satz Zentraler Grenzwertsatz) lim P Y n x) = Φx) n Etwas grob formuliert bedeutet das: Lässt sich eine zufällige Erscheinung additiv aus vielen kleinen) unabhängigen zufälligen Ereignissen zusammensetzen, so können Wahrscheinlichkeiten der zufälligen Erscheinung näherungsweise mit der Funktion Φ bestimmt werden. Wir sagen dann auch, dass Z n angenähert) standardnormalverteilt ist..3 Fundamentalbeispiel Experiment: n-maliger Münzwurf Dann gilt Ω = {ω, ω,..., ω n ) : ω i {K, Z}} mit der Gleichverteilung. Sei X i = { 0 beim i-ten Wurf Kopf beim i-ten Wurf Zahl Alle diese Zufallsvariablen sind unabhängig und gleichverteilt; es gilt EX i ) = V arx i ) =. Genauer gesagt, ist jedes X 4 i zweipunktverteilt { 0, ),, )}. Nun addieren wir die Zufallsvariablen: und

11 S = X Verteilung: { )} 0, ),, S = X + X, Verteilung: { ) )} 0, 4),, 4,, 4 S 3 = X + X + X 3, Verteilung: { 0, 8),, 3 8 ),, 3 8 ) )}, 3, 8

12 S 0 = X X 0, Verteilung: { 0, 0 ),, 0 0 ),..., 0, 0 )} S 50 = X X 50, Verteilung: Lemma Die Verteilung für S n = Beweis: n X i ist gegeben durch i= { 0, ),, n ),..., k, n n ) n k) n,..., n, ) } n

13 3 Nun betrachten wir die zugehörigen normalisierten Zufallsvariablen: Y n = S n n n 4 Y, Verteilung: { )}, ),, = n i= X i n n Y, Verteilung: { ) )}, 4), 0, 4,, 4 usw. Lemma Die Verteilung der Zufallsvariablen Y n = { 0 n n und für n gilt Y n N0, ), ) k n,..., n n, ) n k) n n i= X i n n n n,..., n ist gegeben durch, n ) }

14 4 3 Grenzwertsatz und Binomialverteilung Sei X binomialverteilt, d.h. X Bn; p) oder P X = x) = f Bi x; n, p) = ) n p x p) n x x Die Zufallsvariable X gibt also an, wie oft in der n-fachen unabhängigen Wiederholung eines Einzelexperimentes ein Ereignis E welches jeweils mit der konstanten Einzelwahrscheinlichkeit p eintrifft) eingetreten ist. Daher kann X als Summe X = unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen X i darstellt werden mit: { beim i-ten Versuch E X i = 0 beim i-ten Versuch E c Auf X kann der zentrale Grenzwertsatz angewendet werden. Wir wissen, dass µ = np Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen) und = np p) Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsvariablen) n i= X i und es folgt zunächst: lim n P X x) = lim n P X µ x µ ) ) x µ = Φ Diese Aussage, zusammen mit einer kleinen Korrektur um 0.5 an den Rändern, gibt uns eine Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten von binomialverteilten Zufallsvariablen angenähert zu bestimmen. Satz Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace) Sei X Bn; p) eine binomialverteilte Zufallsvariable, µ = np und = np p). Dann gilt f Bi x; n, p) = ) n p x p) n x x φ x; np, ) np p) P a X b) = b x=a ) n p x p) n x x ) ) b µ a µ 0.5 Φ Φ mit hinreichender Genauigkeit, falls n p p) > 9 gilt. Definition 3. Eine Zufallsvariable X heisst angenähert normalverteilt mit den Parametern µ und, wenn sich ihre Verteilung angenähert durch die Funktion φx; µ, ) darstellen lässt.

15 5 Beispiel 3. Wir wollen für n = 0 und p = 0.5 bzw. p = 0.5 jeweils f Bi vergleichen. mit φ. n = 0 und p = 0.5 µ = n p = 5 und = n p p).58 In der Skizze sehen Sie die Binomialverteilung f Bi x; 0, 0.5) als rotes Stabdiagramm) und die blaue) Glockenkurve φx; 5,.58):. n = 0 und p = 0.5 µ = n p =.5 und = n p p).37 In der Skizze sehen Sie die Binomialverteilung f Bi x; 0, 0.5) als rotes Stabdiagramm) und die blaue) Glockenkurve φx;.5,.37): Es ist klar, dass die Approximation hier nicht so gut ausfallen kann wie im obigen Beispiel. Jede Glockenkurve ist symmetrisch zur Geraden x = µ, aber eine Binomialverteilung ist nur dann symmetrisch zur Geraden x = µ = np, wenn p = 0.5 ist!

16 6 Es ist auf den ersten Blick etwas seltsam, denn in der zweiten Formel des lokalen Grenzwertsatzes werden Summen von Streckenlängen linke Seite) mit dem Flächeninhalt unter einer Kurve verglichen. Hier scheinen die Dimensionen nicht zu passen. Um uns das besser vorstellen zu können stellen wir die Binomialverteilung f Bi x; n, p) in einem Koordinatensystem als Treppenfunktion in folgender Weise dar: Für jedes x mit 0 x n zeichnen wir anstelle eines Stabes der Länge f Bi x; n, p) über x) ein Rechteck mit den Eckpunkten x ), 0, x + ), 0, x ), f Bix; n, p), x + ), f Bix; n, p) in das Koordinatensystem. Da das Rechteck die Grundseitenänge und die Höhe f Bi x; n, p) hat ist der Flächeninhalt genau f Bi x; n, p), d.h. der Flächeninhalt des Rechtecks über x kann als die zu x gehörende Wahrscheinlichkeit f Bi x; n, p) angesehen werden. Jetzt kann man Flächen mit Flächen vergleichen! Eventuell kann man sogar erkennen, warum man die Integrationsgrenzen im Grenzwertsatz um / modifiziert?

17 7 Aufgabe 3. Bestimmen Sie approximativ die Zahl P = 60 k=00 ) ) k ) 000 k k 6 6 Lösung: Das exakte Ergebnis ist P Mit dem Grenzwertsatz sollte man P erhalten.)

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