Standardnormalverteilung
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- Judith Flater
- vor 6 Jahren
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1 Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative Bezeichnungen: Gaußsche Glockenkurve;Fehlerkurve Natürliche Prozesse Körpergröße, Gewicht von Lebewesen Messung von physikalischen Größen Messfehlermodell Variable, die sich aus der Summe von vielen zufälligen Einzelwerten ergeben zentraler Grenzwertsatz Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung
2 Dichtefunktion In der einfachsten Form: Standardnormalverteilung X~N(0; 1) E(X)=0 Erwartungswert = 0 V(X)=1 Varianz bzw. Standard-Abweichung =1 fx ( ) = 1 2π e x 2 / 2 Statistik 2 für SoziologInnen 2 Normalverteilung
3 Die Standard-Normalverteilung Wendepunkte Statistik 2 für SoziologInnen 3 Normalverteilung
4 Die Standard-Normalverteilung Flaeche = 0, Statistik 2 für SoziologInnen 4 Normalverteilung
5 Die Standard-Normalverteilung Flaeche = 0, Leitregel: Ca. 95% der Beobachtungen liegen im Bereich Erwartungswert plus/minus 2*Standardabweichung Statistik 2 für SoziologInnen 5 Normalverteilung
6 Verschiedene Normalverteilungen Standardnormalverteilung N(0; 0,25) Kleinere Varianz N(0; 1) Größere Varianz N(0; 4) Statistik 2 für SoziologInnen 6 Normalverteilung
7 Verschiedene Normalverteilungen N(-3; 0,25) Verschiebung und Stauchung N(0; 1) N(2; 1) Unterschiedlicher Erwartungswert bei konstanter Varianz Statistik 2 für SoziologInnen 7 Normalverteilung
8 Dichtefunktion Im allgemeinen: Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Varianz σ² X~N(µ; σ²) E(X) = µ V(X) = σ² fx ( ) = σ 1 2π e 1 x µ ( ) 2 σ 2 Statistik 2 für SoziologInnen 8 Normalverteilung
9 Lineartransformation Wenn X eine normalverteilte Zufallsvariable ist, dann ist auch Y=a+bX normalverteilt. E(Y)=E(a+bX)=a+bE(X) V(Y)=V(a+bX)=b²V(X) Knapp formuliert: Sei X~N(µ; σ²) und Y=a+bX dann gilt Y~N(a+bµ; b²σ²) Änderung des Erwartungswertes: Verschiebung (Translation) Änderung der Varianz: Dehnung oder Stauchung der Verteilungsform Prinzipielle Gestalt der Glockenkurve bleibt erhalten Statistik 2 für SoziologInnen 9 Normalverteilung
10 Standardisierung Aus dem vorigen folgt: Sei X~N(µ; σ²) dann gilt für Z=(X- µ)/σ standardisierte Variable Z~N(0;1) Durch Anwendung der Standardisierung lässt sich jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung überführen. Tabellen für Wahrscheinlichkeiten der Standardnormalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen 10 Normalverteilung
11 Standardisierung Anwendungsbeispiel: X sei die Körpergröße in cm von einer bestimmten Population Es sei X~N(175; 64) Z=(X-175)/8 P(167<X<183)= =P(( )/8<Z<( )/8)= =P(-1<Z<1)=0,6826 Statistik 2 für SoziologInnen 11 Normalverteilung
12 N(175; 64) Koerpergroesse in cm N(0; 1) Standardeinheiten Statistik 2 für SoziologInnen 12 Normalverteilung
13 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Statistik 2 für SoziologInnen 13 Normalverteilung
14 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, ,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, Standardnormalverteilung Verteilung der Körpergrößen Statistik 2 für SoziologInnen 14 Normalverteilung
15 Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ergibt sich durch Integration der Dichtefunktion Notation: Bleymüller: F N (z) Schlittgen: φ(z) z u 2 F ( z)= e du N 2π Statistik 2 für SoziologInnen 15 Normalverteilung
16 Von der Dichte zur Verteilungsfunktion Dichtefunktion Verteilungsfunktion P(X<1)=0, P(X<1)=0, Statistik 2 für SoziologInnen 16 Normalverteilung
17 Dichtefunktion Verteilungsfunktion 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,05 0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3, Grenzwert: -1 Prob(Z<-1)= 0,15866 Dichtefunktion Verteilungsfunktion 0,45 1 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,05 0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3, Grenzwert: 0 Prob(Z<0)= 0,5 Dichtefunktion Verteilungsfunktion 0,45 1 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,05 0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3, Grenzwert: 1 Prob(Z<1)= 0,84134 Statistik 2 für SoziologInnen 17 Normalverteilung
18 Ausnützung der Symmetrie um Null P(Z < a) = 1 - P(Z < -a) oder P(Z < -a) = 1 - P(Z < a) aa aa P(Z>a) = P(Z<-a) Statistik 2 für SoziologInnen 18 Normalverteilung
19 Arbeit mit Tabellen: P(Z<1)=? φ(1) liegt zwischen 0,841 und 0,842 Grob: P(Z<1) = φ(1) = 0,8415 Lineare Interpolation: P(Z<1) = φ(1) = 0,8413 P(Z<-1)=? φ(a)=1- φ(-a) bzw. φ(-a)=1- φ(a) P(Z<-1)=1 - φ(1) = 1-0,8413 = 0,1587 φ(-1) liegt zwischen 0,158 und 0,159 Statistik 2 für SoziologInnen 19 Normalverteilung
20 Beispiel Wir wollen für eine Normalverteilung mit Erwartungswert 170 und Standardabweichung 16 die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 180 zu erhalten ermitteln. P(X<180) = =P(Z<( )/16)=P(Z<0,625)=F N (0,625)= =0,734 Statistik 2 für SoziologInnen 20 Normalverteilung
21 Normalverteilung in Excel: NORMVERT Für eine Normalverteilung mit Erwartungswert 170 und Standardabweichung 16 gilt, dass die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 180 zu erhalten 73,4% beträgt. Statistik 2 für SoziologInnen 21 Normalverteilung
22 Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen 22 Normalverteilung
23 0,0300 0,7340 0,2660 0,0250 Erwartungswert: 170 Varianz: 256 Standardabweichung: 16,0000 0,0200 Grenzwert: 180 0,0150 Prob(X < 180) = 0,7340 Prob(X > 180) = 0,2660 0,0100 0,0050 Hinweis: 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0000 Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und dem gewünschten Grenzwert sind hellgrün markiert. Statistik 2 für SoziologInnen 23 Normalverteilung
24 X~N(175; 64) P(X<175)=? P(Z<( )/8) = φ(0)= 0, P(X<175) Koerpergroesse in cm P(Z<0) Standardeinheiten Statistik 2 für SoziologInnen 24 Normalverteilung
25 X~N(175; 64) P(X<175)=? P(Z<( )/8) = φ(0)= 0,5 P(X<181)=? P(Z<( )/8) = φ(0,75)= 0,7734 P(X>177)=? P(Z>( )/8)= =1-P(Z<0,25)= =1- φ(0,25)= =1-0,5987=0,4013 Beispiel zur Körpergröße E(X)= 175 V(X)= 64 σ(x)= 8 Grenzwert: 181 P(X<181)= 77, % Dieser Wert kann variiert werden P(X>181)= 22, % Statistik 2 für SoziologInnen 25 Normalverteilung
26 P(X<181)= Koerpergroesse in cm Statistik 2 für SoziologInnen 26 Normalverteilung
27 P(X>177)= Koerpergroesse in cm Statistik 2 für SoziologInnen 27 Normalverteilung
28 0,0600 0,7734 0,2266 0,0500 Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0400 Grenzwert: 181 0,0300 Prob(X < 181) = 0,7734 Prob(X > 181) = 0,2266 0,0200 0,0100 Hinweis: 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0000 Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und dem gewünschten Grenzwert sind hellgrün markiert. Statistik 2 für SoziologInnen 28 Normalverteilung
29 Beispiel IQ-Test E(X)= 100 V(X)= 225 σ(x)= 15 4-Sigma Gesellschaft Personen mit einem IQ über 160 P(X>100+4*σ)=? 100+4*s= 160 P(X>160)= 0,00317% Bei ,17 1 von In Österreich leben: Menschen Österreicher in 4-Sigma 254 Statistik 2 für SoziologInnen 29 Normalverteilung
30 Wahrscheinlichkeiten für Intervalle P(a<X<b) = P(X<b) P(X<a) X~N(175; 64) P(177<X<181) =? P(X<181) - P(X<177) = =P(Z<( )/8) - P(Z<( )/8) = = φ(0,75) - φ(0,25) = = 0,7734-0,5987 = 0,1747 Statistik 2 für SoziologInnen 30 Normalverteilung
31 P(177<X<181)= Koerpergroesse in cm Statistik 2 für SoziologInnen 31 Normalverteilung
32 Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0,0500 0,5987 0,1747 0,2266 Untergrenze: 177 Obergrenze: 181 Prob(177< X < 181) = 0,1747 Prob( X < 177) = 0,5987 Prob( X > 181) = 0,2266 0,0400 0,0300 0,0200 0,0100 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Grenzwerte sind hellgrün markiert. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 32 Normalverteilung
33 Symmetrische Intervalle P(-1<Z<1)=? P(-1<Z<1)= φ(1) - φ(-1)= 0,8413-0,1587 = 0,6826 P(-a<Z<a)=P(Z<a)-P(Z<-a)=φ(a)-(1-φ(a))=2φ(a)-1 P(-a<Z<a)=2φ(a)-1 P(-1<Z<1)= 2*φ(1) -1=2*0,8413-1=0,6826 Statistik 2 für SoziologInnen 33 Normalverteilung
34 X~N(175; 64) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person maximal 8 cm vom Erwartungswert abweicht? P(167<X<183) = φ(( )/8) - φ(( )/8) = φ(1) - φ(-1) = 0,8413-0,1587 = 0,6827 P(167<X<183) = 2* φ(( )/8) -1= = 2* φ(1)-1 = 2*0, = 0,6827 Statistik 2 für SoziologInnen 34 Normalverteilung
35 Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0,0500 0,1587 0,6827 0,1587 maximale Abweichung: 8 0,0400 Prob(167< X < 183) = 0,6827 Prob(X < 167) = 0,1587 Prob(X > 183) = 0,1587 0,0300 0,0200 0,0100 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die maximale Abweichung sind hellgrün markiert. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 35 Normalverteilung
36 Inverse Fragestellung Gesucht sind Quantilwerte z α für die bestimmte Wahrscheinlichkeitsaussagen gelten: P(Z< z α ) = φ(z α ) =α P(Z<z 0,9 ) = 0,9 ==> z α =? Nachschlagen in der Tabelle: ==> z 0,9 = 1,2816 Gesucht ist jene Körpergröße x α für die gilt, daß die Wahrscheinlichkeit P(X<x α )=0,9 Lösung: x α = µ + σ z α x α = ,2816*8 = 185,25 Statistik 2 für SoziologInnen 36 Normalverteilung
37 Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0, ,2524 0,9000 0,1000 Wahrscheinlichkeit: 0,9 α Quantil von Z~N(0;1): 1,2816 0,0400 0,0300 Grenzwert = 185,2524 Prob(185,25 < 0,9) = 0,9000 Prob(185,25 > 0,9) = 0,1000 0,0200 0,0100 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und der gewünschten Wahrscheinlichkeit sind hellgrün markiert. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 37 Normalverteilung
38 Normalverteilung in Excel: NORMINV Für eine Standardnormalverteilung gilt, dass die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 1, zu erhalten 95% beträgt. Statistik 2 für SoziologInnen 38 Normalverteilung
39 Symmetrie von Quantilen Aus der Symmetrie der NV folgt unmittelbar, daß das α-quantil und das (1-α)-Quantil einer Standardnormalverteilung symmetrisch um null liegen: Sei z α jener Quantil für den gilt φ(z α ) =α bzw. φ(z 1-α ) =1-α dann gilt: φ(-z α ) =1-α bzw. φ(-z 1-α ) =α P(Z<z 0,9 ) = 0,9 ==> z 0,9 = 1,2816 P(Z<z 0,1 ) = P(Z<z 1 0,9 ) = 1-0,9 = 0,1 z 0,1 = 1,2816 Statistik 2 für SoziologInnen 39 Normalverteilung
40 Zentrale Schwankungsintervalle auch Streubereiche symmetrische Intervalle um den Erwartungswert [µ-c;µ+c] Von Interesse sind Aussagen der Form a) P(µ-c < X < µ+c) =? b) P(µ-? < X < µ+?) = 1-α Wir ordnen dem zentralen Schwankungsbereich die Wahrscheinlichkeit 1-α zu. Dadurch kommt außerhalb des Bereichs an jedem Ende eine Randwahrscheinlichkeit von α/2 zustande. Statistik 2 für SoziologInnen 40 Normalverteilung
41 Konzept zentraler Schwankungsintervalle alpha/2 1-alpha alpha/ Statistik 2 für SoziologInnen 41 Normalverteilung
42 Zentrale Schwankungsintervalle Sei X~N(µ,σ²) so ergibt sich das zentrale Schwankungsintervall,welches eine Wahrscheinlichkeit von 1-α abdeckt durch: [µ-z 1-α/2 σ;µ+ z 1-α/2 σ] bzw. P(µ- z 1-α/2 σ < X < µ+ z 1-α/2 σ) = 1-α Für α=0,1 (α=0,05; α=0,01) ergibt sich aus der Tabelle für z 1-α/2 = 1,6449 (1,96; 2,5758) d.h. P(µ- 1,6449 < Z < µ+ 1,6449) = 0,9 P(µ- 1,96 < Z < µ+ 1,96) = 0,95 P(µ- 2,5758 < Z < µ+ 2,5758) = 0,99 Statistik 2 für SoziologInnen 42 Normalverteilung
43 X~N(175; 64) Gesucht ist ein zentrales Schwankungsintervall, das eine Wahrscheinlichkeit von 0,95 aufweist P(µ- z 1-α/2 σ < X < µ+ z 1-α/2 σ) = 1-α α = 0,05 1-α/2 = 0,975 P(175-1,96*8 < X < ,96*8) = 0,95 P(159,32 < X < 190,68) = 0,95 Falls man eine höhere Wahrscheinlichkeit anstrebt wird das Intervall größer: P(175-2,5758 *8 < X < ,5758 *8) = 0,99 P(154,39 < X < 195,61) = 0,99 Statistik 2 für SoziologInnen 43 Normalverteilung
44 Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0, ,32 0,95 190,68 Hinweis: Wahrscheinlichkeit des zentralen Intervalls 1-α: 0,95 1-α/2 Quantil von Z~N(0;1): 1,9600 Prob(159,32< X < 190,68) = 0,9500 Untergrenze: 159,32 Obergrenze: 190,68 0,0400 0,0300 0,0200 0,0100 Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Wahrscheinlichkeit für das zentrale Intervall sind hellgrün markiert. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 44 Normalverteilung
45 Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0, ,39 0,99 195,61 Hinweis: Wahrscheinlichkeit des zentralen Intervalls 1-α: 0,99 1-α/2 Quantil von Z~N(0;1): 2,5758 Prob(154,39< X < 195,61) = 0,9900 Untergrenze: 154,39 Obergrenze: 195,61 0,0400 0,0300 0,0200 0,0100 Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Wahrscheinlichkeit für das zentrale Intervall sind hellgrün markiert. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 45 Normalverteilung
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