FF Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters. Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 1 von 6

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Juliane Baumhauer
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1 Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 1 von 6 (Wahrscheinlichkeitsrechnung, Verteilungen) 1. Eine Illustrierte veranstaltet wöchentlich ein Ratespiel, bei dem ein Preis von 1000, vier Preise von 500 und 200 Preise von 18 zu gewinnen sind. Diese Preise werden unter den Einsendern richtiger Lösungen ausgelost. a) Bezeichnen Sie die Zufallsvariable mit dem Buchstaben X, beschreiben Sie deren Eigenschaften und stellen Sie die Verteilung und Verteilungsfunktion von X in einer dreizeiligen Tabelle dar ( richtige Einsendungen). b) Wie groß sind der Erwartungswert und die Varianz des Gewinnbetrages, der auf eine eingesandte richtige Lösung entfällt, wenn richtige Lösungen eingehen? c) Wie viele richtige Lösungen müssen eingehen, damit die Gewinnerwartung genau den Kosten für das Postkartenporto von 0,45 für jede eingesandte Lösung entspricht? 2. In einer Kiste liegen 10 gleiche Ersatzteile. Der Eingangsprüfer einer Firma weiß aus Erfahrung, dass immer 20% der Ersatzteile dieser Art unbrauchbar sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er beim Prüfen von zwei zufällig und ohne Zurücklegen entnommenen Teilen genau zwei unbrauchbare Teile findet? 3. Eine Warensendung bestehe aus 10 Fernsehgeräten, von denen 3 Geräte defekt sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufälligen Entnahme von 4 Geräten a) genau ein Gerät b) höchstens 2 Geräte c) mindestens 2 Geräte defekt sind! 4. Zum Paketschalter eines Postamts kommen pro Stunde durchschnittlich 6,5 Kunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde a) genau 3 Kunden b) höchstens 4 Kunden c) mindestens 5 Kunden kommen? 5. Im vergangenen Jahr erhielt eine Berliner Autovermietung alle 14 Tage im Durchschnitt 7 Bußgeldbescheide wegen falschen Parkens. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter sonst gleichen Bedingungen an einem beliebigen Tag und unabhängig voneinander a) kein Bußgeldbescheid b) mindestens ein, aber höchstens zwei Bußgeldbescheide bei der Autovermietung eintreffen? 6. Messungen haben ergeben, dass die Füllmenge eines 0,25 l Altbierglases einer Düsseldorfer Altbierbrauerei normalverteilt ist mit einer durchschnittlichen Füllmenge von 0,22 l und einer Standardabweichung von 0,02 l. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Soll-Füllmenge von 0,25 l unterschritten wird?

2 Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 2 von 6 b) Wie viele Gläser wird man durchschnittlich trinken müssen, um ein mit wenigstens 0,28 l gefülltes Glas zu erhalten? c) Welche Altbiermenge ist mit Wahrscheinlichkeit 0,9 wenigstens in einem gefüllten Altbierglas enthalten?

3 Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 3 von 6 Lösung zu Aufgabe 1: Lösung zu Aufgabe 2:

4 Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 4 von 6 Lösung zu Aufgabe 3: Lösung zu Aufgabe 4: Poisson-Verteilung mit Zufallsvariable X: Anzahl Kunden und µ=6,5 3 6,5 6,5 f 3 = P X = 3 = e = 0,0688 3! P X 4 = P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,5 6,5 6,5 6,5 = e = ( 6,5 + 21, , ,3776) e 1! 2! 3! 4! = 147,773 0, = 0,222 6,5 6,5

5 Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 5 von 6 Excel-Berechnung: Poisson Funktion: POISSON µ 6,5 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, , c) P( X 5) = 1 P( X 4) b) = 1 0,222 = 0,778 Lösung zu Aufgabe 5: Poisson-Verteilung mit ZV X: Anzahl Bußgeldbescheide pro Tag mit µ=0,5 0,5 0! = = + = 0,5 0,5 = + 1! 2! = 0 0,5 f 0 = P X = 0 = e = 0,6065 a) ( ) ( ) 1 2 0,5 P 1 X 2 P X 1 P X 2 e 0,379 b) ( ) ( ) ( ) Poisson Funktion: POISSON µ 0,5 x 1 0, x 2 0, , Lösung zu Aufgabe 6: Füllmenge sei N(0,25; 0,02)-verteilt, Z sei standardnormalverteilt mit Z=(X-0,25)/0,02 0,25 0,25 a) P( X 0,25) = P Z = P( Z 0) = 0,5 0,02 Normalverteilung Funktion: NORMVERT µ 0,25 Sigma 0,02 x 0,25 0,5 P(X x) 0,28 0,25 P X 0,28 = 1 P X 0,28 = 1 P Z 0,02 = 1 P Z 1,5 = 1 0,933 = 0,067 b) ( ) ( ) ( )

6 Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 6 von 6 Normalverteilung Funktion: NORMVERT µ 0,25 Sigma 0,02 x 0,28 0, P(X x) 0, P(X x)=1-p(x x) Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,067 bzw. 1 zu 15, d.h. man muss statistisch rund 15 Gläser trinken. c) P( X x) = 0,9 = 1 P( X x) P( X x) = 0,1= P( Z z) x 0,25 Tabelle : z = 1,28. 1,28 = x = 1,28 0,02 + 0,25 = 0,224 0,02 Normalverteilung Funktion: NORMVERT µ 0,25 Sigma 0,02 x 0, , P(X x) 0, P(X x)=1-p(x x) Lösung über Zielwertsuche DAS WAR S!!!

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