Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 1 von 23 Prof. Dr. Karin Melzer, Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 1 von 23 Prof. Dr. Karin Melzer, Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen"

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Kapitel 4 3 Aufgabe 8 3 Aufgabe 9 3 Aufgabe 30 3 Aufgabe 31 3 Aufgabe 3 4 Aufgabe 33 4 Aufgabe 34 4 Aufgabe 35 4 Aufgabe 36 4 Aufgabe 37 4 Aufgabe 38 5 Aufgabe 39 5 Aufgabe 40 5 Aufgabe 41 5 Aufgabe 4 5 Aufgabe 43 5 Aufgabe 44 6 Aufgabe 45 6 Aufgabe 46 6 Aufgabe 47 6 Aufgabe 48 6 Aufgabe 49 7 Aufgabe 50 7 Aufgabe 51 7 Aufgabe 5 7 Aufgabe 53 7 Aufgabe 54 8 Aufgabe 55 (Klausuraufgabe SS 004): 8 Aufgabe 56 8 Aufgabe 57 9 Aufgabe 58 9 Aufgabe 59 9 Aufgabe 60 (Klausuraufgabe WS 1999/000): 9 Aufgabe Aufgabe 6 10 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 68 (Klausuraufgabe WS 04/05) 11 Aufgabe 69 1 Aufgabe 70 1 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 1 von 3 Aufgabe 71 1 Aufgabe 7 1 Aufgabe 73 1 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 8 15 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 90 (Klausuraufgabe WS 006/007) 17 Aufgabe Aufgabe 9 19 Aufgabe 93 0 Aufgabe 94 0 Aufgabe 95 0 Aufgabe 96 1 Aufgabe 97 1 Aufgabe 98 1 Aufgabe 99 1 Aufgabe Aufgabe 101 (Klausuraufgabe Sommersemester 004) Aufgabe 10 Aufgabe 103 Aufgabe 104 Aufgabe 105 Aufgabe Aufgabe Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite von 3

2 Übungsaufgaben zu Kapitel 4 Aufgabe 8 a) Aus welchen Elementen besteht die Ergebnismenge Ω, wenn als Zufallsexperiment ein Würfel geworfen wird und die Augenzahl abgelesen wird b) Beschreiben Sie die Ergebnismenge Ω wenn das Zufallsexperiment wie folgt aussieht: Die Anzahl der defekten Glühbirnen in einer Stichprobe vom Umfang 100 werden gezählt c) Bei der samstäglichen Ziehung der Lottozahlen werden 7 aus 49 (von 1 bis 49 durchnummerierten) Kugeln zufällig gezogen und die jeweiligen Nummern registriert Jeden Samstag vollzieht sich somit ein Zufallsexperiment Aus welchen Elementarergebnissen besteht das Experiment? Aufgabe 9 a) Zufallsexperiment Wurf eines Würfels: Geben Sie die Ereignisse A=Wurf einer geraden Augenzahl und B=Wurf von Augenzahl an b) Zufallsexperiment Zählung der defekten Glühbirnen in einer Stichprobe: Geben Sie die Ereignisse A=keine defekte Glühbirne und B=höchstens zwei defekte Glühbirnen an c) Zufallsexperiment Wurf von zwei Münzen: Geben Sie die Ergebnismenge Ω, sowie die Ereignisse A=Wurf von mindestens einem Kopf, B=Wurf von genau einer Zahl an Aufgabe 30 Das Zufallexperiment sei wieder der Wurf eines Würfels mit Ω = { 1,,,6} Betrachten Sie die Ereignisse A = gerade Augenzahl = {,4,6}, B = {,3,5}, C = { 1,3} Geben Sie an: a) A b) A B c) A B d) A C Aufgabe 31 Beschreiben Sie durch vollständige Aufzählung sämtliche Ereignisse zu Ω = { 1,,3 } Wie viele Ereignisse gibt es insgesamt? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 3 von 3 Aufgabe 3 Ein Glücksrad hat einhundert gleich große Sektoren Sie tragen zweiziffrige Nummern von 00 bis 99 Mit X werde die erste Ziffer, mit Y die zweite Ziffer bezeichnet Das Zufallsexperiment besteht im einmaligen Drehen des Glücksrades und Feststellen der Nummer auf dem Sektor Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an: a) X = Y b) X = 5 c) X Y 50 d) X < 3 und Y > Aufgabe 33 In einer Lostrommel befinden sich 4000 Lose, die von 1 bis 4000 durchnummeriert sind Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das erste gezogene Los ein gewinn, wenn a) jedes Los, das mit einer 1 beginnt gewinnt b) Jedes Los, dessen Nummer eine durch 17 teilbare Zahl darstellt gewinnt Aufgabe 34 Seien Ω = { 1,,,9} und A := { 4,5,6,7,8,9 }, B := { 1,,3,4,5 }, C := {,4,6,8} Bestimmen Sie a) A B, b) A B, c) A\B, d) B C, e) B C, f) A ( B C), g) ( A B) ( A C) Aufgabe 35 Ein Passwort kann aus sechs bis acht Zeichen bestehen (Kleinbuchstaben oder Ziffern) Wie viele mögliche Passwörter gibt es? Aufgabe 36 Bei einer Pferdewette sind die k = 3 ersten Plätze eines Pferderennens zu tippen Es nehmen n = 0 Pferde am Rennen teil Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Wettschein auszufüllen? Aufgabe 37 Der Vorstand eines Unternehmens besteht aus 5 Personen A, B, C, D, E Für ein bestimmtes Projekt soll eine Arbeitsgruppe mit 3 Mitgliedern gebildet werden Wie viele solcher Arbeitsgruppen sind möglich? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 4 von 3

3 Aufgabe 38 Wie viele Autokennzeichen kann eine Zulassungsstelle vergeben, wenn jedes Kennzeichen nach dem Ortskennzeichen aus Buchstaben und einer vierstelligen Zahl besteht? Aufgabe 39 Bei einem Festakt wurde ein Tisch für 8 Ehrengäste reserviert Aus Versehen wurden die Tischkarten mit den Namen für die Gäste nicht an die Plätze gelegt, so dass die Ehrengäste ihren Platz am Tisch selbst wählten Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass alle Ehrengäste zufällig die mit den Platzkarten beabsichtigte Sitzordnung fanden, wenn man alle Sitzordnungen als gleich wahrscheinlich annimmt? Aufgabe 40 Unter den 50 Losen einer Lotterie befinden sich 50 Gewinnlose Herr X kauft zu Beginn der Lotterie gleich 0 Lose Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er 5 Gewinnlose erwischt? Aufgabe 41 Beim Fußballtoto (11er-Wette) ist der Ausgang von k = 11 vorher festgelegten Begegnungen zu tippen Für jede Begegnung muss auf dem Wettschein eine 1 (= Sieg der Heimmannschaft), eine (= Sieg der Auswärtsmannschaft) oder eine 0 (= Unentschieden) eingetragen werden Wie viele Möglichkeiten gibt es hier, den Wettschein auszufüllen? Aufgabe 4 a) Wie viele verschiedene Würfe sind mit zwei nicht unterscheidbaren Würfeln möglich? Hinweis: Ein Wurf ist gekennzeichnet durch die beiden oben liegenden Augenzahlen Beachten Sie, dass die Würfel nicht unterscheidbar sind, so dass { 1, } denselben Wurf darstellt wie {,1} b) Schreiben Sie alle möglichen Würfe auf Aufgabe 43 Eine Urne enthält 3 Kugeln, die mit A, B und C beschriftet sind Es wird zweimal aus der Urne gezogen Man kann auf verschiedene Arten ziehen bzw das Ergebnis notieren: 1 Es wird mit Zurücklegen gezogen Es wird notiert, welche Kugel als erste und welche als zweite gezogen wird Es wird ohne Zurücklegen gezogen Es wird notiert, welche Kugel als erste und welche als zweite gezogen wird 3 Es wird mit Zurücklegen gezogen In einer Strichliste A B C (vgl Abbildung) wird nur notiert, wie oft A, B und C gezogen wurde Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 5 von 3 4 Es wird ohne Zurücklegen gezogen In einer Strichliste (vgl Abbildung) wird nur notiert, wie oft A, B und C gezogen wurde a) Berechnen Sie für jede der vier oben genannten Arten, wie viele Möglichkeiten auftreten b) Schreiben Sie für jede der vier Arten alle vorkommenden Möglichkeiten auf Aufgabe 44 Eine Lieferung aus 100 Glühbirnen enthält 5 defekte Es werden zufällig 10 Glühbirnen gezogen a) Wie viele verschiedene Stichproben sind möglich? b) Wie viele dieser Glühbirnen enthalten nur unbeschädigte Glühbirnen? c) Wie viele der möglichen Stichproben haben genau zwei defekte Glühbirnen? d) Wie viele der möglichen Stichproben haben höchstens zwei defekte Glühbirnen? Aufgabe 45 Eine monoalphabetische Verschlüsselung des Alphabets entspricht einer Permutation der 6 Buchstaben Es gibt also 6!-1 (die identische Permutation kann als ungeeignet ausgeschlossen werden) mögliche Verschlüsselungen Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man nur Permutationen betrachtet, die keinen Buchstaben auf sich selbst abbilden und ihr eigenes Inverses sind (dh es kann mit der gleichen Permutation ver- und entschlüsselt werden)? Aufgabe 46 Wie viele Möglichkeiten gibt es, in einer Bücherei 10 Bücher auf ein Regalbrett zu stellen, wenn a) alle 10 Bücher verschieden sind? b) es 10 Bücher aus einem dreibändigen Werk sind, und zwar 3-mal der erste Band, - mal der zweite Band und 5-mal der dritte Band? (Die verschiedenen Exemplare ein und desselben Bandes sind nicht zu unterscheiden) Aufgabe 47 Franz Vergesslich kann sich an eine wichtige Telefonnummer nicht mehr erinnern Er weiß nur noch, dass weder eine 0 noch eine 8 vorkam und die Nummer aus 5 Ziffern bestand a) Wie viele solcher Telefonnummern gibt es? b) Franz ist außerdem wieder eingefallen, dass keine Ziffer doppelt vorkam Wie viele Nummern gibt es jetzt noch? Aufgabe 48 Eine Lieferung von zehn PCs enthält drei fehlerhafte Geräte Man entnimmt dieser Lieferung eine Stichprobe vom Umfang 5 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 6 von 3

4 a) Wie viele verschiedene Stichproben vom Umfang 5 gibt es? b) Wie viele Stichproben enthalten genau zwei defekte Geräte? c) Wie viele Stichproben enthalten mindestens ein defektes Gerät? Aufgabe 49 Ein Weinversand hat 18 Weine im Angebot Die Kunden können sich hieraus Kisten mit 6 Flaschen zusammenstellen, wobei sie freie Auswahl haben (es müssen also z B nicht 6 gleiche oder 6 unterschiedliche Weine sein) Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Kiste zusammenzustellen? Aufgabe 50 Ein gezinkter Würfel wird geworfen Man hat für jede einzelne Augenzahl (empirisch) folgende Wahrscheinlichkeiten gefunden: 1 1 P ( 1) = 1, P ( 6) = 4 und die Wahrscheinlichkeit für jede der übrigen Augenzahlen ist jeweils gleich 61 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit a) eine gerade Augenzahl b) eine ungerade Augenzahl zu würfeln? Aufgabe 51 Aus einem Spielkartenpaket (3 Karten) wird zufällig eine Karte gezogen: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Herz-Karte oder eine Kreuz-Karte zu ziehen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Herz-Karte oder einen König zu ziehen? Aufgabe 5 1% 1 % Bei dem abgebildeten System sind die beiden K1 Komponenten K1 und K parallel geschaltet Das System funktioniert also, wenn K1 oder K K funktioniert (oder beide funktionieren) Die Ausfallwahrscheinlichkeit von K1 soll 1 % 0,3 % betragen, und die von K betrage 0,3 % Außerdem nehmen wir an, dass sich Ausfälle von K1 und K unabhängig voneinander ereignen Berechnen Sie a) die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt; b) die Wahrscheinlichkeit, dass das System intakt ist Aufgabe 53 Aus einem Skatspiel (3 Karten, davon sind 4 Zehnen) wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen Uns interessieren die Ereignisse A = beim ersten Ziehen wird eine Zehn gezogen; B = beim zweiten Ziehen wird eine Zehn gezogen Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 7 von 3 a) Beschreiben Sie die Gegenereignisse A und B mit Worten b) Berechnen Sie P (A) und P (A) c) Beschreiben Sie das zusammengesetzte Ereignis A B mit Worten d) Beschreiben Sie das zusammengesetzte Ereignis A B mit Worten e) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beschriften Sie es korrekt f) Wie groß ist P( A B)? g) Wie groß ist P (B)? h) Wie groß ist P( A B)? Aufgabe 54 Ein Kandidat ist in einer Quizshow ist bis zum vorletzten Schritt vorgedrungen Er befindet sich vor drei gleich aussehenden Türen und weiß, dass sich hinter einer ein schickes Auto verbirgt, hinter den beiden anderen aber nur jeweils eine Ziege (die für eine Niete steht) Der Kandidat zeigt auf eine Tür ohne diese zu öffnen Dann gebietet der Showmaste Einhalt und sagt: Ich helfe Ihnen ein bisschen und öffnet eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht Er fragt anschließend den Kandidaten: Möchten Sie bei Ihrer alten Entscheidung bleiben oder wollen Sie die andere noch verbleibende Tür wählen? Wie soll der Kandidat vorgehen, soll er bei seiner ersten Wahl bleiben oder ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit höher, wenn er die Türen wechselt? Berechnen Sie für Ihre Entscheidung jeweils die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Strategien Aufgabe 55 (Klausuraufgabe SS 004): Aus einem Kasten mit 17 roten und 8 schwarzen Kugeln werden blind Kugeln nacheinander (ohne Zurücklegen) gezogen a) Zeichnen Sie hierfür ein Baumdiagramm Beschriften Sie jedes Teilstück eines Pfades mit der zugehörigen (bedingten) Wahrscheinlichkeit b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Kugeln dieselbe Farbe haben Aufgabe 56 Bei dem abgebildeten System sind die beiden Komponenten K1 und K in Reihe geschaltet Das System funktioniert also nur, wenn K1 und K beide funktionieren K1 1 % K 0,3 % Die Ausfallwahrscheinlichkeit von K1 soll 1 % betragen, und die von K betrage 0,3 % Außerdem nehmen wir an, dass sich Ausfälle von K1 und K unabhängig voneinander ereignen Berechnen Sie a) die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt; b) die Wahrscheinlichkeit, dass das System intakt ist Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 8 von 3

5 Aufgabe 57 Ein Automobilhersteller bezieht 40 % seiner Scheibenwischer vom Zulieferer X, 60 % vom Zulieferer Y Die Wareneingangskontrolle stellt fest, dass 1 % der von X gelieferten Scheibenwischer defekt sind und % der von Y gelieferten a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beschriften Sie es korrekt Verwenden Sie folgende Ereignisse: A = der Scheibenwischer ist defekt; B = der Scheibenwischer wurde von X geliefert b) Aus dem Wareneingang wird zufällig ein Scheibenwischer herausgezogen Er ist defekt Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er vom Zulieferer X? Aufgabe 58 Drei Maschinen produzieren denselben Artikel, allerdings mit unterschiedlicher Qualität Aus langer Erfahrung weiß man, dass Maschine 1 nur % unbrauchbare Artikel (Ausschuss) produziert, Maschine dagegen 10 % und Maschine 3 schließlich 4 % Die Anteile der drei Maschinen an der Gesamtproduktion betragen 30 %, 50 % bzw 0 % Die Artikel werden nun zusammengeworfen und ein Artikel zufällig ausgewählt Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Artikel unbrauchbar ist? Aufgabe 59 In einem Unternehmen, das zu 60% Frauen beschäftigt und zu 40 % Männern wird die Wahrscheinlichkeit für eine Herz- und Kreislauferkrankung (HK) gemessen Die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung ist bei Männern und Frauen verschieden, bei Männern beträgt sie 30 %, bei Frauen 10 % a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beschriften Sie es korrekt b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine an einer Herz- und Kreislauferkrankung erkrankte Person weiblich? Aufgabe 60 (Klausuraufgabe WS 1999/000): Für die Funktionstüchtigkeit eines bestimmten Aggregates ist die Ausfallrate eines sehr teuren Bauelementes A mit 10 ppm ( ppm =10 6 ) zu hoch, und es werden für den Notfall die preisgünstigeren Elemente B und C parallel geschaltet, die einen Fehleranteil von 1 % (B) bzw 0,1 % (C) aufweisen Entsprechend der Schaltung müssen bei Ausfall von A sowohl B als auch C funktionieren, damit die Funktionsfähigkeit des Aggregates aufrecht gehalten wird Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall der Schaltung? 10 ppm Zusatz: Welche Annahme müssen Sie treffen, um hier überhaupt rechnen zu können? A Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 9 von 3 B C 1 % 0,1 % Aufgabe 61 Es werden n Komponenten gleicher Bauart zu einem System parallel geschaltet Die Ausfallwahrscheinlichkeit einer einzelnen Komponente betrage 7, % Wie groß muss n mindestens sein, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems unter 50 ppm ( ppm = 10 6 ) liegt? Aufgabe 6 In einem Krankenhaus wird mit einem Schnelltestverfahren geprüft, ob ein Patient an einer bestimmten versteckten Krankheit leidet Wenn der Patient tatsächlich an dieser Krankheit erkrankt ist, zeigt das Verfahren in 96 % der Fälle dies richtig an Andererseits erfolgt bei % der Fälle, bei denen der Patient nicht erkrankt ist, trotzdem eine Testreaktion Etwa 0,5 % der Patienten leiden an dieser Krankheit a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm b) Bei einem zufällig ausgesuchten Patienten wird der Test durchgeführt Mit welcher Wahrscheinlichkeit erfolgt eine Reaktion? c) Bei einem zufällig ausgesuchten Patienten hat der Test eine Reaktion gezeigt Mit welcher Wahrscheinlichkeit leidet der Patient tatsächlich unter der Krankheit? Aufgabe 63 Gegeben ist die Zufallsvariable X=Augensumme von zwei Würfeln a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Augensumme ist 5 an b) Geben Sie die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an c) Geben Sie P( X 4 ) an d) Geben Sie P( X > 5 ) an Aufgabe 64 Ein Laplace-Würfel wird dreimal geworfen Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl, wie oft dabei eine gerade Zahl geworfen wurde Man bestimme die Verteilung von X und stelle sie graphisch dar Aufgabe 65 Ein Unternehmer steht vor der Wahl zwischen zwei Investitionsalternativen Alternative A ist mit Investitionskosten von GE, Alternative B mit Kosten von GE verbunden Der Unternehmer schätzt die Wahrscheinlichkeit, dass sich sein Geschäft im nächsten Jahr normal entwickelt, auf 70 % ein; die Wahrscheinlichkeit für eine gute Geschäftsentwicklung auf 10 % und die für eine schlechte Geschäftsentwicklung auf 0 % Die folgende Tabelle gibt den Zusatzumsatz bei den beiden Alternativen in Abhängigkeit von der Geschäftsentwicklung im nächsten Jahr an Geschäfts- Zusatzumsatz entwicklung Alternative A Alternative B gut , ,- normal , ,- schlecht 10000, ,- Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 10 von 3

6 a) Die Zufallsvariable X beschreibe den zusätzlichen Gewinn (= Zusatzumsatz Investitionskosten), der bei Strategie A erzielt wird Geben Sie die diskrete Dichte von X an, und berechnen Sie den Erwartungswert µ sowie die Standardabweichung σ von X b) Die Zufallsvariable Y beschreibe den zusätzlichen Gewinn (= Zusatzumsatz Investitionskosten), der bei Strategie B erzielt wird Geben Sie die diskrete Dichte von Y an, und berechnen Sie den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von Y c) Vergleichen Sie die beiden Alternativen Wie sind µ und σ zu interpretieren? Welche Alternative ist vorzuziehen? d) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X Aufgabe 66 Bei einem Glücksspiel wird ein Würfel geworfen Ihr Einsatz beträgt 4,- EUR Wird eine 1 oder geworfen, erhalten Sie 1,- EUR ausgezahlt; bei einer 3 oder 4 erhalten Sie,- EUR Bei einer 5 beträgt die Auszahlung 4,- EUR und bei einer 6 beläuft sie sich auf 8,- EUR (D h, beim Werfen einer 6 beträgt Ihr Gewinn 4,- EUR) a) Die Zufallsvariable X beschreibe Ihren Gewinn bzw Verlust Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an b) Berechnen Sie E (X ) und Var (X ) Ist das Spiel fair? Aufgabe 67 In einem Behälter befinden sich 0 Kugeln, davon sind 4 blau und 16 rot Aus dem Behälter werden nun ohne Zurücklegen 5 Kugeln zufällig entnommen a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in dieser Stichprobe genau blaue Kugeln vorzufinden? b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X=Anzahl der blauen Kugeln in der Stichprobe an Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung graphisch dar Aufgabe 68 (Klausuraufgabe WS 04/05) Ein Unternehmen hat sich zu seinem -jährigen Bestehen ein Gewinnspiel ausgedacht Bei dem Gewinnspiel müssen die Teilnehmer auf einem Schein mit Zahlen Zahlen ankreuzen Anschließend werden Gewinnzahlen gezogen a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, bei diesem Spiel 0 Richtige, 1 Richtige bzw Richtige zu haben Die Teilnahme an dem Spiel soll allerdings für die Kunden nicht kostenlos sein, sondern pro Schein einen Einsatz von 1,- Euro kosten Hat der Kunde Richtige, erhält er, Euro Gewinn und zusätzlich seinen Einsatz zurück Bei 1 richtigen Zahl erhält er einen Trostpreis von 5,- Euro, aber seinen Einsatz nicht zurück (= 4,- Gewinn) b) Welchen Gewinn oder Verlust kann das Unternehmen erwarten, wenn 1000 Kunden an diesem Glücksspiel teilnehmen? Aufgabe 69 In einer Urne befinden sich 10 Kugeln, und zwar 4 schwarze und 6 weiße Es wird 5-mal ohne Zurücklegen gezogen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau schwarze Kugeln zieht? Aufgabe 70 In einer Urne befinden sich 40 % schwarze und 60 % weiße Kugeln Es wird 5-mal mit Zurücklegen gezogen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau schwarze Kugeln zieht? Aufgabe 71 Ein Unternehmen erhält eine Lieferung vom Umfang N = 1000 Von diesen 1000 sind M = 35 defekt Beim Abnehmer, der die Anzahl der Defektstücke in der Lieferung natürlich nicht kennt, wird bei der Wareneingangskontrolle eine Stichprobe von n = 0 Stück zufällig entnommen Die Zufallsvariable X beschreibt, wie viele Defektstücke in dieser Stichprobe sind a) Wie ist die Zufallsvariable X verteilt? b) Berechnen Sie P ( X =1) exakt c) Berechnen Sie P ( X =1) näherungsweise unter Verwendung der Binomialverteilung (Darf man das hier?) Aufgabe 7 Die Ausschussquote bei der Produktion eines Massengutes liege bei 10 % Aus der laufenden Produktion werden 4 Stück zufällig entnommen Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der dabei gefundenen Defektstücke Berechnen Sie (unter der Annahme, dass die vier Ereignisse Stück i ist defekt, i = 1, 4, unabhängig sind) a) die diskrete Dichte von X; b) den Erwartungswert von X; c) die Varianz von X Aufgabe 73 a) Berechnen Sie P ( X = ) für eine B(100; 0,05)-verteilte Zufallsvariable X b) Berechnen Sie P ( X 3) für eine B(100; 0,05)-verteilte Zufallsvariable X c) Berechnen Sie P ( 48 Y < 50) für eine B(100; 0,47)-verteilte Zufallsvariable Y d) Berechnen Sie P ( Z 97) für eine B(100; 0,94)-verteilte Zufallsvariable Z Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 11 von 3 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 1 von 3

7 Aufgabe 74 Über eine Datenleitung werden binäre Nachrichten, also aus Nullen und Einsen bestehende Ziffernfolgen, übermittelt Die Datenleitung ist allerdings gestört, und zwar erhält der Empfänger mit Wahrscheinlichkeit 9,7 % nicht die gesendete Ziffer, sondern die falsche Das Auftreten von Störungen bei mehreren gesendeten Ziffern sei voneinander unabhängig Um in dieser Situation die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, dass der Empfänger die richtige Nachricht erhält, sendet der Sender jedes Zeichen fünfmal direkt hintereinander, also statt 0 und statt 1 Der Empfänger entscheidet bei jeder Fünfergruppe nach der Mehrheit der empfangenen Zeichen, welche die Bedeutung die Fünfergruppe haben soll Bei drei oder mehr Einsen (z B bei 10110) entscheidet er also, dass eine (verfünffachte) 1 gesendet wurde, bei drei oder mehr Nullen (z B bei 00010) interpretiert er die Fünfergruppe als 0 Mit welcher Wahrscheinlichkeit interpretiert der Empfänger eine Fünfergruppe falsch? Aufgabe 75 Ein Würfel wird 7-mal geworfen a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal die Augenzahl 1 zu werfen? b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X = Anzahl der geworfenen Einsen an Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung graphisch dar Aufgabe 76 Gegeben ist die folgende Verteilungsfunktion: 0 für x < 1 0, für 1 x < 3 F X ( x) = 0,5 für 3 x < 6 0,6 für 6 x < 7 1 für 7 x Wie lautet die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion? Aufgabe 77 Gegeben ist die folgende graphische Darstellung einer Verteilungsfunktion: 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, ,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 Bestimmen Sie aus dem Schaubild die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) P ( 5 < X < 8) b) P ( 1 < X < 9) c) P ( X 5) d) P ( X = 10) P X = 8 e) ( ) Aufgabe 78 In einer Lieferung sind 000 Einheiten, davon sind 60 fehlerhaft Es wird eine zufällige Stichprobe vom Umfang n = 50 entnommen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau zwei fehlerhafte Einheiten zu ziehen? Lösen Sie a) exakt und b) mit Näherung durch die Binomialverteilung Aufgabe 79 In einem Behälter liegen 50 Dichtungen, davon sind 10 defekt Man greift zufällig in den Behälter und entnimmt 10 Dichtungen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehleranteil im Behälter danach genauso groß ist wie vorher? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 13 von 3 Aufgabe 80 Ein Batterietestgerät kann gleichzeitig 5 Batterien prüfen Unter 5 Batterien sind fehlerhaft Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese gleich beim ersten Test entdeckt werden? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 14 von 3

8 Aufgabe 81 Aus einer Lieferung ( Prüflos ) vom Umfang N wird eine Stichprobe vom Umfang n zufällig gezogen Falls in der Stichprobe höchstens c fehlerhafte Stücke sind, wird das Los angenommen; anderenfalls wird das Los zurückgewiesen Man spricht hier von einem (n c)- Prüfplan oder von einer (n c)- Stichprobenanweisung c heißt Annahmezahl (= maximal erlaubte Anzahl von Defektstücken in der Stichprobe) Ein Prüflos von N = 1000 Einheiten wird mit Hilfe des Prüfplans (80 1) überprüft In der Lieferung befinden sich M = 10 fehlerhafte Einheiten (was dem Abnehmer natürlich unbekannt ist) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung angenommen wird? a) Rechnen Sie exakt b) Rechnen Sie näherungsweise mit der Binomialverteilung c) Nähern Sie die Binomialverteilung aus b) durch eine Poisson-Verteilung an d) Sind nach den Faustregeln die Näherungen in b) und c) eigentlich zulässig? Falls nein, halten Sie die Näherungen trotzdem für brauchbar? Aufgabe 8 In einer Telefonzentrale gehen im Mittel in 5 Minuten 3 Gespräche ein a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten 5-Minuten- Zeitraum genau ein Gespräch eingeht? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten 10- Minuten-Zeitraum genau zwei Gespräche eingehen? Aufgabe 83 Lackierte Bleche besitzen Lackfehler Im Mittel sind es 0,4 Fehler pro Blech Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Lackfehler auf einem Blech a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem zufällig ausgewählten Blech genau Lackfehler sind? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf zwei zufällig ausgewählten Blechen zusammen genau 4 Lackfehler sind? Aufgabe 84 Bei der Herstellung einer bestimmten Gewebesorte kann die Zahl der Webfehler pro 1 m als Poisson-verteilt angesehen werden mit Erwartungswert 0,8 a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem Stück von 1 m keinen Fehler zu finden? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem Stück von 5 m drei oder mehr Fehler zu finden? Aufgabe 85 a) Zwei ideale Würfel werden gleichzeitig und voneinander unabhängig geworfen Die Zufallsvariable S bezeichne die Augensumme beim zweimaligen Werfen Wie groß ist der Erwartungswert und die Standardabweichung von S? b) Ein Würfel wird 100 mal hintereinander unabhängig voneinander geworfen Die Zufallsvariable S 100 bezeichne die Augensumme beim 100-maligen Werfen Wie groß ist der Erwartungswert und die Standardabweichung von S 100? c) Ein Würfel wird 100 mal hintereinander unabhängig voneinander geworfen Die Zufallsvariable X bezeichne die mittlere Augenzahl beim 100-maligen Werfen Wie groß ist der Erwartungswert und die Standardabweichung von X? Aufgabe 86 Jemand schließt eine Risikolebensversicherung über Euro ab Der Jahresbetrag dafür betrage 400 Euro Die Sterbewahrscheinlichkeit innerhalb eines Jahres sei für diese Person 0,0085 a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen X des Reingewinns der Versicherungsgesellschaft aus diesem Vertrag während eines Jahres b) Die gleiche Person schließe fünf solcher Verträge ab Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen Y des Reingewinns der Versicherungsgesellschaft aus diesen 5 Verträgen innerhalb eines Jahres c) Die Versicherungsgesellschaft schließe mit 5 Personen jeweils einen Vertrag über Euro zum Beitrag von 400 Euro ab Die Sterbewahrscheinlichkeit während eines Jahres sei bei allen fünf Personen unabhängig voneinander jeweils 0,0085 Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung des Reingewinns Z der Versicherungsgesellschaft während eines Jahres aus allen fünf Verträgen zusammen d) Weshalb ist die Standardabweichung von Z kleiner als die der Zufallsvariablen Y? Aufgabe 87 Angenommen eine Straßenbahn fährt pünktlich alle 10 Minuten Wenn man zufällig zur Haltestelle kommt, dann ist die Wartezeit X eine Zufallsvariable, die kontinuierlich alle Werte von 0 bis 10 annehmen kann, wobei jede Wartezeit gleich wahrscheinlich ist Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte ist daher Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 15 von 3 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 16 von 3

9 k, 0 < x < 10 f ( x) =, wobei k eine Konstante ist 0, sonst a) Bestimmen Sie k b) Geben Sie die Verteilungsfunktion F an c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens 3 Minuten zu warten? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens Minuten zu warten? e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 5 und 9 Minuten zu warten? f) Berechnen Sie die Varianz und den Erwartungswert für die Wartezeit an der Straßenbahnhaltestelle Aufgabe 88 Die Lebensdauer X (in Jahren) eines elektronischen Bauteils, das zufällig ausfällt, kann oft durch eine Verteilungsfunktion der Form kx 1 e, 0 x FX ( x) = 0, x < 0 angegeben werden Dabei ist k eine Materialkonstante a) Geben sie die zugehörige Dichtefunktion f an Für einen bestimmten Bauteil ist k = 1: Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer b) höchstens 1 Jahr c) zwischen 1 und Jahre d) größer als Jahre ist? Aufgabe 89 Die Zufallsvariable X beschreibt die Lebensdauer eines bestimmten Glühbirnentyps (gemessen in Stunden) Die Verteilungsfunktion von X sei die folgende Funktion: 0 für x < 0 F( x) = x / e für x 0 a) Berechnen Sie mit Hilfe der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a1) Die Glühbirne hält höchstens 1000 Stunden a) Die Glühbirne hält mindestens 1500 Stunden a3) Die Glühbirne hält mindestens 1000 und höchstens 000 Stunden b) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion c) Welche Lebensdauer erreichen 50 % der Glühbirnen? Aufgabe 90 (Klausuraufgabe WS 006/007) An der Wareneingangskontrolle wird eine Massensendung mit Einzelteilen nach folgendem Schema geprüft: Man entnimmt der Sendung zufällig 8 Teile und prüft diese Sind alle Teile einwandfrei, so wird die Sendung sofort akzeptiert Bei zwei und mehr defekten Teilen wird die Sendung sofort zurückgewiesen Bei einem defekten Teil entscheidet eine zweite Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 17 von 3 Stichprobe vom Umfang 4 Sind dann alle Teile in Ordnung, so wird die Sendung akzeptiert, bei mindestens einem defekten Teil in der zweiten Stichprobe wird die Sendung endgültig zurückgewiesen Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei diesem Verfahren eine Sendung mit 1% Ausschuss akzeptiert? Aufgabe 91 Nachfolgend finden Sie die Dichten von vier verschiedenen Normalverteilungen skizziert Beschriften Sie die Dichten: Welche Werte haben jeweils die Parameter µ und σ? Machen Sie sich anhand der Skizzen die Bedeutung von µ und σ bei einer Normalverteilung klar a) b) 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, ,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 18 von 3

10 c) d) Aufgabe 9 Eine Maschine füllt Wasser in 0,7-l-Flaschen ab Die Füllmenge (in ml) kann als normalverteilt angesehen werden mit Erwartungswert µ = 701, 5 und Standardabweichung σ = 0, 9 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse a) Die Füllmenge unterschreitet den Sollwert von 0,7 l b) Die Füllmenge übersteigt 705 ml c) Die Füllmenge weicht um mehr als ml vom Sollwert ab d) Berechnen Sie je einen zweiseitigen Zufallsstreubereich, der d1) mit Wahrscheinlichkeit 98 % d) mit Wahrscheinlichkeit 99 % 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, ,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, die (zufällige) Füllmenge einer Flasche enthält (Skizze!) Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 19 von 3 Aufgabe 93 Die Zufallsvariable Z sei N(0; 1)-verteilt Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Tabelle der Φ -Funktion a) P ( Z 1,5) b) P ( Z >1,5) c) P ( 0,43 Z 1,5) d) P ( Z 1,5) e) P ( Z = ) Aufgabe 94 Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z Veranschaulichen Sie sich den Sachverhalt, falls erforderlich, mit einer Skizze a) P ( Z < 0,99) b) P ( Z 1,3) c) P ( Z >,7) d) P ( Z >,7) e) P ( 1,1 Z <,1) f) P ( Z = 0,18) Aufgabe 95 Aus einer laufenden Produktion wurden die Widerstandswerte (in m Ω ) von 00 elektronischen Bauteilen gemessen Es ergaben sich die in der Tabelle angegebenen Werte Widerstand (in m Ω ) größer als bis max Anzahl der Bauteile Es soll überprüft werden, ob man die Widerstandswerte als normalverteilt N ( µ, σ ) ansehen kann a) Zeichnen Sie dazu zunächst ein Histogramm b) Berechnen Sie Punktschätzer µˆ bzw σ für µ und σ c) Die Funktion g sei das 1000-fache der Dichte einer N( ˆ, µ ˆ σ ) -Verteilung, also gegeben durch folgende Funktionsgleichung: g ( x) = 1000 e πσˆ 1 x ˆ µ ˆ σ Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 0 von 3 ˆ ˆ, wobei µˆ und σ die in b) berechneten

11 Punktschätzer sind Berechnen Sie (zur Kontrolle) g (315) d) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g in Ihr Schaubild aus a) ein Berechnen Sie dazu (z B mit einem programmierbaren Rechner oder mit Excel) die Funktionswerte g (300), g (305), g (310),, g (360) und verbinden Sie diese Punkte durch eine Kurve e) Vergleichen Sie ( nach Augenmaß ) Histogramm und Funktionskurve Kann man davon ausgehen, dass die Widerstandswerte normalverteilt sind? f) Warum ist der Faktor 1000 in Aufgabenteil c) erforderlich? Aufgabe 96 Die Zufallsvariable X sei N(100; 0)-verteilt Berechnen Sie a) P ( X 109) b) P ( X > 95) Aufgabe 97 Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten für eine N(00; 10)-verteilte Zufallsvariable X (Skizze!) a) P ( 0 X 05) b) P ( 197 < X < 03) c) P ( 198 X 199) Aufgabe 98 Das Gewicht (in kg) von Schülern einer bestimmten Altersgruppe sei N(73; 64)- normalverteilt Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten a) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters liegt zwischen 75 und 85 kg b) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters übersteigt 90 kg c) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters übersteigt 70 kg d) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters liegt zwischen 65 und 81 kg Aufgabe 99 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariable X vom Erwartungswert µ um höchstens a) σ, b) σ, c) 3σ Aufgabe 100 Eine Maschine füllt Zucker in Packungen ab Die Füllmenge einer Packung (in g) sei durch eine N(1000; 10)-verteilte Zufallsvariable X beschrieben Bestimmen Sie a) einen zweiseitigen 95-%-Zufallsstreubereich für X; b) die beiden einseitigen 95-%-Zufallsstreubereiche für X Aufgabe 101 (Klausuraufgabe Sommersemester 004) Bei einer Studie wurde die Lesekompetenz von Schülern auf einer Punktskala gemessen (hoher Punktwert = hohe Lesekompetenz) Für eine bestimmte Schülergruppe ergab sich, dass die Lesekompetenz durch eine N(550; 3600)-Normalverteilung beschrieben werden kann Welche Punktwerte hatten die 5 % der Schüler, die am schlechtesten lesen konnten? Aufgabe 10 Die Füllmenge von Kaffeepackungen (in g) sei N(500; 5)-verteilt Es wird eine Stichprobe von n = 0 Packungen zufällig herausgegriffen Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) Das Gesamtgewicht G der Stichprobe liegt bei höchstens 9,990 kg b) Das Durchschnittsgewicht D der Stichprobe liegt bei höchstens 499 g Aufgabe 103 In einem chemischen Prozess werden über eine Dosiervorrichtung nacheinander zwei Stoffe zugeführt Die beiden Stoffmengen sind unabhängig normalverteilt mit µ 1 = 100 g und σ1 = g sowie µ = 75 g und σ = 1 g Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zugeführte Stoffmenge beider Stoffe zusammen weniger als 170 g beträgt? Aufgabe 104 Eine Maschine schneidet Drahtstücke zu Die Zufallsvariable X, die die Länge (in mm) eines zufällig ausgewählten Drahtstücks beschreibt, sei normalverteilt mit µ = 501 und σ = 7 a) Berechnen Sie einen zweiseitigen 95 %-Zufallsstreubereich für X b) Berechnen Sie einen zweiseitigen 99 %-Zufallsstreubereich für X c) Berechnen Sie die beiden einseitigen 99 %-Zufallsstreubereiche für X d) Es werden zufällig n = 50 Drahtstücke aus der Produktion dieser Maschine entnommen Die Zufallsvariable X beschreibe die mittlere Drahtlänge dieser Stichprobe Berechnen Sie einen zweiseitigen 99 %-Zufallsstreubereich für X Aufgabe 105 Bei einem Produktionsprozess liegt der Ausschussanteil bei p = % Aus der laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang n = 500 entnommen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Stichprobe mehr als 15 Ausschussstücke enthalten sind? Rechnen Sie a) exakt; b) näherungsweise mit der Normalverteilung Vergleichen Sie den Aufwand Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 1 von 3 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite von 3

12 Aufgabe 106 Salzpakete werden von einer Maschine abgefüllt Die Zufallsvariable X des Gewichts in Gramm sei näherungsweise normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 500 und der Varianz σ = 9 a) In der Produktion werden jeweils 5 Pakete zusammengepackt Y sei das Gesamtgewicht eines Pakets Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das Gesamtgewicht eines solchen Pakets zwischen und Gramm? b) Bei gleicher Varianz kann der Erwartungswert µ als Maschinengröße eingestellt werden Wie groß muss µ sein, damit die Aufschrift Inhalt mindestens 500 Gramm bei 98 % der produzierten Salzpakete auch tatsächlich zutrifft (Hinweis: Verwenden Sie, dass z, 0538)? 0,98 = c) Das durchschnittliche Gewicht von n Paketen werde durch die Zufallsvariable X beschrieben Welche Verteilung hat X? Wie groß muss n mindestens sein, damit gilt P ( X 500 0,1) 0, 999? (Hinweis: Verwenden Sie, dass z 3, 9053 ) 0,9995 = Aufgabe 107 Ein Würfel wird 100-mal geworfen Wie groß ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme zwischen 340 und 360 liegt? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 3 von 3

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1 Übungen zur Stochastik - Lösungen 1. Ein Glücksrad ist in 3 kongruente Segmente aufgeteilt. Jedes Segment wird mit genau einer Zahl beschriftet, zwei Segmente mit der Zahl 0 und ein Segment mit der Zahl

Mehr

Übungsaufgaben zu Kapitel 5. Aufgabe 101. Inhaltsverzeichnis:

Übungsaufgaben zu Kapitel 5. Aufgabe 101. Inhaltsverzeichnis: Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Kapitel 5... 1 Aufgabe 101... 1 Aufgabe 102... 2 Aufgabe 103... 2 Aufgabe 104... 2 Aufgabe 105... 3 Aufgabe 106... 3 Aufgabe 107... 3 Aufgabe 108... 4 Aufgabe 109...

Mehr

Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten

Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten I.1 Erweitertes Urnenmodell mit Zurücklegen In einer Urne befinden sich ( N Kugeln, davon M 1 der Farbe F 1, M 2 der Farbe l ) F 2,..., M

Mehr

i x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1

i x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1 1. Aufgabe: Der E-Commerce-Umsatz (in Millionen Euro) der fünf größten Online- Shopping-Clubs liegt wie folgt vor: Club Nr. Umsatz 1 120 2 72 3 54 4 30 5 24 a) Bestimmen Sie den Ginikoeffizienten. b) Zeichnen

Mehr

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal

Mehr

3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II

3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II Inhaltsverzeichnis 1 bedingte Wahrscheinlichkeiten 2 2 unabhängige Ereignisse 5 3 mehrstufige Zufallsversuche 7 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 28.02.2010 Theorie und

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses. XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

3.2. Prüfungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit

3.2. Prüfungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit 3.2. Prüfungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit Aufgabe : Summenregel und bedingte Wahrscheinlichkeit Eine Statistik hat folgende Ergebnisse zutage gebracht: 52 % der Bevölkerung sind weiblich.

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Stochastik Wahrscheinlichkeit

Stochastik Wahrscheinlichkeit Stochastik Wahrscheinlichkeit Dies ist ein Detail, das auf dem letzten 1 DM Schein abgebildet war. Es stellt die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung überhaut dar die Normalverteilung. Diese Verteilung

Mehr

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Mehr

AUFGABEN AUS DEM ZENTRALABITUR

AUFGABEN AUS DEM ZENTRALABITUR -28- -29- AUFGABEN AUS DEM ZENTRALABITUR GK-Aufgabe / Zentralabitur Bayern 1984 In einer Urne befinden sich 2 blaue und 6 weiße Kugeln. Die Kugeln unterscheiden sich nur durch ihre Farbe. 1. Bei einem

Mehr

1.) Wie viele verschiedene Anordnungen mit drei unterschiedlichen Buchstaben lassen sich aus acht verschiedenen Buchstaben bilden?

1.) Wie viele verschiedene Anordnungen mit drei unterschiedlichen Buchstaben lassen sich aus acht verschiedenen Buchstaben bilden? Aufgaben zur Kombinatorik, Nr. 1 1.) Wie viele verschiedene Anordnungen mit drei unterschiedlichen Buchstaben lassen sich aus acht verschiedenen Buchstaben bilden? 2.) Jemand hat 10 verschiedene Bonbons

Mehr

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8 . Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8

Mehr

Maristengymnasium Fürstenzell zuletzt geändert am 10.03.2001 Aufgaben zur Kombinatorik (mit Lösungen)

Maristengymnasium Fürstenzell zuletzt geändert am 10.03.2001 Aufgaben zur Kombinatorik (mit Lösungen) Maristengymnasium Fürstenzell zuletzt geändert am 0.0.00 Aufgaben zur Kombinatorik (mit Lösungen) 0.. Wieviele Möglichkeiten gibt es für Kinder, sich auf einen Schlitten zu setzen, wenn ihn nur davon steuern

Mehr

Modellierungskonzepte 2

Modellierungskonzepte 2 Modellierungskonzepte 2 Elke Warmuth Humboldt-Universität Berlin WS 2008/09 1 / 50 1 Pfadregeln 2 Begriff Umbewertung von Chancen Bayessche Formel 3 Verwechslungsgefahr Implizite Lotterien 2 / 50 mehrstufige

Mehr

Aktiv Kurs Thema Kompakt Test. Reißnägel werfen

Aktiv Kurs Thema Kompakt Test. Reißnägel werfen . Reißnägel werfen Die Klasse 7a will wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit beim Reißnägel fallen lassen die Nadel nach oben zeigt. Dazu lässt jeder Schüler/jede Schülerin der Klasse einen Reißnagel 00-mal

Mehr

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung a.: Du bearbeitest die Aufgabe in Einzelarbeit. Lies dir die Aufgabe genau durch und überlege dir einen Lösungsansatz. Danach versuche eine Lösung zu erarbeiten. Für diese Phase hast du 10 Minuten Zeit.

Mehr

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis 1 6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Spiele aus dem Alltagsleben: Würfel, Münzen, Karten,... u.s.w. sind gut geeignet die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

LM2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK

LM2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK LM2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK III. In einer Region haben 60 % der Haushalte einen Internetanschluss. Das Diagramm veranschaulicht die Anteile der Zugangsgeschwindigkeiten unter den Haushalten

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Beispielarbeit. MATHEMATIK (mit CAS)

Beispielarbeit. MATHEMATIK (mit CAS) Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 1 Abitur 2008 Mecklenburg-Vorpommern Beispielarbeit MATHEMATIK (mit CAS) Hinweis: Diese Beispielarbeit ist öffentlich und daher nicht als Klausur verwendbar.

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 2014

Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 2014 Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 04 Schwerpunkt: grundlegendes Anforderungsniveau 0 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Seite Vorbemerkungen... Aufgabenvariationen und Ergänzungen

Mehr

Prüfung zu Modul 26 (BA Bw) bzw. 10 (BA IB) (Wirtschaftsstatistik)

Prüfung zu Modul 26 (BA Bw) bzw. 10 (BA IB) (Wirtschaftsstatistik) 2 3 Klausur-Nr = Sitzplatz-Nr Prüfung zu Modul 26 (BA Bw) bzw. 10 (BA IB) (Wirtschaftsstatistik) Klausurteil 1: Beschreibende Statistik BeStat-1 (7 ) n = 400 Personen wurden gefragt, wie viele Stück eines

Mehr

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten Kugel-Fächer-Modell n Kugeln (Rosinen) sollen auf m Fächer (Brötchen) verteilt werden, zunächst 3 Kugeln auf 3 Fächer. 1fach 3fach Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten } 6fach 3! Möglichkeiten Es

Mehr

Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen

Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Grimmer Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen Eine anwendungsorientierte Einführung 04. Auflage Übungsaufgaben zu Kapitel Aufgaben

Mehr

Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I

Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I Universität Duisburg Essen Standort Duisburg Integrierter Diplomstudiengang Sozialwissenschaften Skript zum SMS I Tutorium Von Mark Lutter Stand: April

Mehr

Stochastik - Kapitel 1

Stochastik - Kapitel 1 Stochastik - Kapitel 1 Aufgaben ab Seite 9 I. Ereignisräume 1. Ergebnis und Ergebnisraum; Baumdiagramm Experimente werden nach der Vorhersehbarkeit ihres Versuchsausganges unterschieden: - Experimente,

Mehr

Risiko und Versicherung - Übung

Risiko und Versicherung - Übung Sommer 2009 Risiko und Versicherung - Übung Entscheidungstheoretische Grundlagen Renate Bodenstaff Vera Brinkmann r.bodenstaff@uni-hohenheim.de vera.brinkmann@uni-hohenheim.de https://insurance.uni-hohenheim.de

Mehr

9. StatistischeTests. 9.1 Konzeption

9. StatistischeTests. 9.1 Konzeption 9. StatistischeTests 9.1 Konzeption Statistische Tests dienen zur Überprüfung von Hypothesen über einen Parameter der Grundgesamtheit (bei einem Ein-Stichproben-Test) oder über die Verteilung einer Zufallsvariablen

Mehr

Schätzer (vgl. Kapitel 1): Stichprobenmittel X N. Stichprobenmedian X N

Schätzer (vgl. Kapitel 1): Stichprobenmittel X N. Stichprobenmedian X N Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.1 Schätzer für Lage- und Skalenparameter und Verteilungsmodellwahl Lageparameter (l(x + a) = l(x) + a): Erwartungswert EX Median von X

Mehr

Analog definiert man das Nichteintreten eines Ereignisses (Misserfolg) als:

Analog definiert man das Nichteintreten eines Ereignisses (Misserfolg) als: 9-9 Die befasst sich mit der Untersuchung, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Falles aufgrund bestimmter Voraussetzungen stattfindet. Bis anhin haben wir immer logisch gefolgert: 'Wenn diese Voraussetzung

Mehr

7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lösungshinweise

7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lösungshinweise 7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lösungshinweise Aufgabe 7.: Gegeben sei ein Würfel, der die Form eines Tetraeders hat und die Augenzahlen bis aufweist. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Schafkopf

Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Schafkopf Thema: Facharbeit aus dem Fach Mathematik Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Schafkopf Inhalt. Ziel der Facharbeit / Einführung. Grundlegende Überlegungen und Berechnungen.. Kartengeben als Laplace-Experiment..

Mehr

12. Vergleich mehrerer Stichproben

12. Vergleich mehrerer Stichproben 12. Vergleich mehrerer Stichproben Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Häufig wollen wir verschiedene Populationen, Verfahren, usw. miteinander vergleichen. Beipiel: Vergleich

Mehr

Stochastik. 1. Oktober 2007 Torsten Linnemann, Kantonsschule Solothurn 1

Stochastik. 1. Oktober 2007 Torsten Linnemann, Kantonsschule Solothurn 1 Stochastik 1. Oktober 2007 Torsten Linnemann, Kantonsschule Solothurn 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 1.1 Laplace-Experimente................................. 2 1.2

Mehr

Stochastik kompakt. - worauf es ankommt... Zürich 2007 1

Stochastik kompakt. - worauf es ankommt... Zürich 2007 1 Stochastik kompakt - worauf es ankommt... Zürich 2007 1 Ziel: Am Ende der Unterrichtssequenzen über Stochastik sollen die Schüler/innen Aufgaben aus folgenden Themenbereichen lösen können: 1. Umgang mit

Mehr

Einführung in die Stochastik

Einführung in die Stochastik Einführung in die Stochastik Josef G. Steinebach Köln, WS 2009/10 I Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Wahrscheinlichkeitsräume, Urnenmodelle Stochastik : Lehre von den Gesetzmäßigkeiten des Zufalls, Analyse

Mehr

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T Verteilungsmodelle Verteilungsfunktion und Dichte von T Survivalfunktion von T Hazardrate von T Beziehungen zwischen F(t), S(t), f(t) und h(t) Vorüberlegung zu Lebensdauerverteilungen Die Exponentialverteilung

Mehr

Spielen ist etwas Heiteres die Mathematik des Glücksspiels

Spielen ist etwas Heiteres die Mathematik des Glücksspiels FORUM-Themenabend Michael Kleiber Timon Kleiber Spielen ist etwas Heiteres die Mathematik des Glücksspiels Rosmarin & Thymian, 01. März 2014 1 Das Ziegenproblem Marilyn vos Savant 1990 2 Das Ziegenproblem

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 8.1 Grundbegriffe 8.1 8.1 Laplace-Experiment Ergebnis Elementarereignis Ergebnismenge Ergebnisraum

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 8.1 Grundbegriffe 8.1 8.1 Laplace-Experiment Ergebnis Elementarereignis Ergebnismenge Ergebnisraum 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Die österreichische Lottoziehung vom 28. September 2003 lieferte nahezu dieselben Zahlen wie die am Vorabend in Deutschland stattgefundene Ziehung: 3, 17, 35,

Mehr

11 Diskrete Zufallsvariablen

11 Diskrete Zufallsvariablen 11 Diskrete Zufallsvariablen 11.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion In Kapitel 2 wurde zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen unterschieden. Eine Zufallsvariable X wurde als

Mehr

Übungen zur Vorlesung Induktive Statistik Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Übungen zur Vorlesung Induktive Statistik Bedingte Wahrscheinlichkeiten Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arrenberg@dvz.fh-koeln.de Aufgabe 3.1 Übungen zur Vorlesung Induktive Statistik Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Risiko und Symmetrie. Prof. Dr. Andrea Wirth

Risiko und Symmetrie. Prof. Dr. Andrea Wirth Risiko und Symmetrie Prof. Dr. Andrea Wirth Gliederung 1. Einleitung Was ist eigentlich Risiko? 2. Risiko Mathematische Grundlagen 3. Anwendungsbeispiele Wo genau liegt der Schmerz des Risikos? 4. Sie

Mehr

Schriftliche Realschulprüfung 1997 Mathematik

Schriftliche Realschulprüfung 1997 Mathematik Mecklenburg - Vorpommern Schriftliche Realschulprüfung 1997 Mathematik E Mecklenburg - Vorpommern Realschulprüfung 1997 Ersatzarbeit A/B Seite 2 Hinweise für Schülerinnen und Schüler: Von den vorliegenden

Mehr

Dies ist die entscheidende Erkenntnis, um die es in diesem Buch geht. Nach Abschluss der Lektüre werden Sie verstehen, was genau ich damit meine.

Dies ist die entscheidende Erkenntnis, um die es in diesem Buch geht. Nach Abschluss der Lektüre werden Sie verstehen, was genau ich damit meine. Das Geheimnis der Spitzenspieler Das Spiel der Quoten No-Limit Hold em ist ein Spiel der Quoten. Liegen Sie mit Ihren Quoten grundlegend falsch, können Sie trotz noch so großem Engagement kein Gewinner

Mehr

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung. Mathematik. Probeklausur März 2014. Teil-1-Aufgaben

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung. Mathematik. Probeklausur März 2014. Teil-1-Aufgaben Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik Probeklausur März 2014 Teil-1-Aufgaben Beurteilung Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in

Mehr

(für Grund- und Leistungskurse Mathematik) 26W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP

(für Grund- und Leistungskurse Mathematik) 26W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP .RPELQDWRULN (für Grund- und Leistungsurse Mathemati) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nach dem Studium dieses Sripts sollten folgende Begriffe beannt sein: n-menge, Kreuzprodut, n-tupel Zählprinzip

Mehr

Klassische Risikomodelle

Klassische Risikomodelle Klassische Risikomodelle Kathrin Sachernegg 15. Jänner 2008 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 1.1 Begriffserklärung.................................. 3 2 Individuelles Risikomodell 3 2.1 Geschlossenes

Mehr

Telephone Integration für Microsoft CRM 4.0 (TI)

Telephone Integration für Microsoft CRM 4.0 (TI) Telephone Integration für Microsoft CRM 4.0 (TI) Benutzerhandbuch Der Inhalt des Dokuments ist Änderungen vorbehalten. Microsoft und Microsoft CRM sind registrierte Markenzeichen von Microsoft Inc. Alle

Mehr

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Max C. Wewel Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Methoden, Anwendung, Interpretation Mit herausnehmbarer Formelsammlung ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow,

Mehr

Wie löst man Mathematikaufgaben?

Wie löst man Mathematikaufgaben? Wie löst man Mathematikaufgaben? Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Wie löst man Mathematikaufgaben? 1 Das Schubfachprinzip 2 Das Invarianzprinzip 3 Das Extremalprinzip Das Schubfachprinzip Verteilt

Mehr

Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8

Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8 1. Aufgabe: Eine Reifenfirma hat für Winterreifen unterschiedliche Profile entwickelt. Bei jeweils gleicher Geschwindigkeit und auch sonst gleichen Bedingungen wurden die Bremswirkungen gemessen. Die gemessenen

Mehr

Binäre abhängige Variablen

Binäre abhängige Variablen Binäre abhängige Variablen Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Einführung Oft wollen wir qualitative Variablen

Mehr

Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B

Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip Sommersemester 2010 KLAUSUR Statistik B Hinweise zur Bearbeitung: Bei allen Teilaufgaben

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm - Eine Einführung -

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm - Eine Einführung - Informationstechnische Grundbildung (ITG): Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Excel Seite 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm - Eine Einführung - Starte das Programm Excel.

Mehr

. Allgemeiner berechnen wir Wahrscheinlichkeiten nach der Formel p =

. Allgemeiner berechnen wir Wahrscheinlichkeiten nach der Formel p = 2 Stochastik Mit p(a bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A. p = 1 bedeutet, dass das Ereignis sicher eintritt, p = 0, dass es niemals eintritt. Es gilt demnach immer 0 p 1. Werfen wir

Mehr

Niedersächsisches Kultusministerium. Name: Klasse / Kurs: Schule: Allgemeiner Teil Hauptteil Wahlaufgaben Summe. Mögliche Punkte 28 36 20 84

Niedersächsisches Kultusministerium. Name: Klasse / Kurs: Schule: Allgemeiner Teil Hauptteil Wahlaufgaben Summe. Mögliche Punkte 28 36 20 84 Niedersächsisches Abschlussprüfung zum Erwerb des Sekundarabschlusses I Hauptschulabschluss Schuljahrgang 9, Schuljahr 2012/2013 Mathematik G- und E-Kurs Prüfungstermin 30. April 2013 Name: Klasse / Kurs:

Mehr

von Marsha J. Falco amigo-spiele.de/04713

von Marsha J. Falco amigo-spiele.de/04713 von Marsha J. Falco amigo-spiele.de/04713 Das Würfelspiel zum beliebten Klassiker! Spieler: 2 4 Personen Alter: ab 8 Jahren Dauer: ca. 35 Minuten Form 42 SET-Würfel 1 Spielplan 1 Stoffbeutel Inhalt Anzahl

Mehr

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678 Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [

Mehr

Quantilsschätzung als Werkzeug zur VaR-Berechnung

Quantilsschätzung als Werkzeug zur VaR-Berechnung Quantilsschätzung als Werkzeug zur VaR-Berechnung Ralf Lister, Aktuar, lister@actuarial-files.com Zusammenfassung: Zwei Fälle werden betrachtet und die jeweiligen VaR-Werte errechnet. Im ersten Fall wird

Mehr

Fragestellungen der Schließenden Statistik

Fragestellungen der Schließenden Statistik Fragestellungen der Schließenden Statistik Bisher: Teil I: Beschreibende Statistik Zusammenfassung von an GesamtheitM N {e,,e N } erhobenem Datensatz x,,x N durch Häufigkeitsverteilung und Kennzahlen für

Mehr

Das St. Petersburg Paradox

Das St. Petersburg Paradox Das St. Petersburg Paradox Johannes Dewender 28. Juni 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Das Spiel 2 2 Das Paradox 3 3 Lösungsvorschläge 4 3.1 Erwartungsnutzen............................... 4 3.2 Risikoaversion..................................

Mehr

Betriebswirtschaftliche Blätter Fachzeitschrift

Betriebswirtschaftliche Blätter Fachzeitschrift Erwartungswert Auf richtige Interpretation kommt s an von Dr. Christian R. Sievi Der Erwartungswert spielt im Glücksspiel, etwa an Einarmigen Banditen, eine große Rolle. Für Sparkassen ist er wichtig bei

Mehr

Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes

Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes Aufgabe 1: Wetterbericht Im Mittel sagt der Wetterbericht für den kommenden Tag zu 60 % schönes und zu 40% schlechtes

Mehr

bedingte Wahrscheinlichkeit

bedingte Wahrscheinlichkeit bedingte Wahrscheinlichkeit 1. Neun von zehn Ungeborenen bevorzugen im Mutterleib den rechten Daumen zum Lutschen. Forscher fanden heraus, dass alle Kinder, die rechts genuckelt hatten, im Alter von 10

Mehr

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz 9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Wenn wir die Standardabweichung σ nicht kennen,

Mehr

System- Infos für TOTO

System- Infos für TOTO Merkblatt für Systeme Staatliche Toto-Lotto GmbH Baden-Württemberg System- Infos für TOTO er-tipp Spielteilnahme ab 8 Jahren. Glücksspiel kann süchtig machen. Nähere Informationen bei LOTTO und unter www.lotto.de.

Mehr

Kaufhaus-Aufgabe. aus Abiturprüfung Bayern LK (abgeändert)

Kaufhaus-Aufgabe. aus Abiturprüfung Bayern LK (abgeändert) Kaufhaus-Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern LK (abgeändert) 5. a) Ein Kunde eines Kaufhauses benutzt mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% die hauseigene Tiefgarage. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% bleibt

Mehr

Multivariate Statistik

Multivariate Statistik Hermann Singer Multivariate Statistik 1 Auflage 15 Oktober 2012 Seite: 12 KAPITEL 1 FALLSTUDIEN Abbildung 12: Logistische Regression: Geschätzte Wahrscheinlichkeit für schlechte und gute Kredite (rot/blau)

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Spielregeln (die Vollversion mit den Optionen)

Spielregeln (die Vollversion mit den Optionen) Spielregeln (die Vollversion mit den Optionen) Ziel des Spiels Plyt Herausforderungen Spieler richtig multiplizieren (oder hinzufügen) eine Anzahl von Würfeln zusammen und Rennen entlang der Strecke der

Mehr

Commercial Banking. Kreditgeschäft 2. Bedingte marginale und kumulative Ausfallwahrscheinlichkeit

Commercial Banking. Kreditgeschäft 2. Bedingte marginale und kumulative Ausfallwahrscheinlichkeit Commercial Banking Kreditgeschäft Bedingte marginale und kumulative Ausfallwahrscheinlichkeit Bedingte Marginale Ausfallwahrscheinlichkeit (BMAW t ) (Saunders: MMR ) prob (Ausfall in Periode t kein Ausfall

Mehr

90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft

90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff SS08 90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft am 22.7.2008 Anmerkungen Überprüfen Sie bitte sofort, ob Ihre Angabe vollständig ist. Sie sollte

Mehr

Aufgaben und Lösungen

Aufgaben und Lösungen Aufgaben und Lösungen Aufgabe Aus einer Schulklasse von 3 Schülern soll eine Abordnung von Schülern zum Direktor geschickt werden. Auf wie viele Arten kann diese Abordnung gebildet werden? ( ) 3 = 33.649

Mehr

Bachelorabschlussseminar Dipl.-Kfm. Daniel Cracau

Bachelorabschlussseminar Dipl.-Kfm. Daniel Cracau 1 Einführung in die statistische Datenanalyse Bachelorabschlussseminar Dipl.-Kfm. Daniel Cracau 2 Gliederung 1.Grundlagen 2.Nicht-parametrische Tests a. Mann-Whitney-Wilcoxon-U Test b. Wilcoxon-Signed-Rank

Mehr

DIPLOM. Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II:

DIPLOM. Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Seite 1 von 18 Name: Matrikelnummer: DIPLOM Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Bankmanagement und Theory of Banking Seite 2 von 18 DIPLOM Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Bankmanagement

Mehr

Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00.

Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00. 1 Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle 9 gestellten Aufgaben. b) Lösungswege sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses

Mehr

Spielanleitung Wie funktioniert das Internet?

Spielanleitung Wie funktioniert das Internet? Spielanleitung Wie funktioniert das Internet? Ein Würfelspiel für 2 oder mehr Spieler 1. Für Spieler ab 6 Jahren. Spielmaterial: diese Spielanleitung 1 Spielwürfel (mit Augenzahlen 1 bis 4 und den Symbolen

Mehr

Stellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster

Stellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster Es gibt in Excel unter anderem die so genannten Suchfunktionen / Matrixfunktionen Damit können Sie Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs suchen. Als Beispiel möchte ich die Funktion Sverweis zeigen.

Mehr

Primzahlen zwischen 50 und 60. Primzahlen zwischen 70 und 80. Primzahlen zwischen 10 und 20. Primzahlen zwischen 40 und 50. den Term 2*x nennt man

Primzahlen zwischen 50 und 60. Primzahlen zwischen 70 und 80. Primzahlen zwischen 10 und 20. Primzahlen zwischen 40 und 50. den Term 2*x nennt man die kleinste Primzahl zwischen 0 und 60 zwischen 0 und 10 zwischen 60 und 70 zwischen 70 und 80 zwischen 80 und 90 zwischen 90 und 100 zwischen 10 und 20 zwischen 20 und 0 zwischen 0 und 40 zwischen 40

Mehr

Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 SS 2011

Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 SS 2011 Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 zum Kurs 41500, Finanzwirtschaft: Grundlagen, SS2011 1 Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 SS 2011 Finanzwirtschaft: Grundlagen, Kurs 41500 Aufgabe Finanzierungsbeziehungen

Mehr

Spielerklärung. Die Systemwetten. von ODDSET

Spielerklärung. Die Systemwetten. von ODDSET Spielerklärung Die Systemwetten von ODDSET Inhalt Mehr Vielfalt S. 4 Die Spielquittung S. 5 So spielen Sie mit S. 6 Die Systemwetten im Überblick S. 10 Systemwette 2 aus 3 S. 12 Systemwette 2 aus 4 S.

Mehr

Klausur Physikalische Chemie für TUHH (Chemie III)

Klausur Physikalische Chemie für TUHH (Chemie III) 07.03.2012 14.00 Uhr 17.00 Uhr Moritz / Pauer Klausur Physikalische Chemie für TUHH (Chemie III) Die folgende Tabelle dient Korrekturzwecken und darf vom Studenten nicht ausgefüllt werden. 1 2 3 4 5 6

Mehr

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.

Mehr

Hotelbetten-Aufgabe Lösungshinweise. Auto-Aufgabe Lösungshinweise

Hotelbetten-Aufgabe Lösungshinweise. Auto-Aufgabe Lösungshinweise Stochastik Hotelbetten-Aufgabe 1. Bettbestellungen anlässlich von Kongressen werden mit der Wahrscheinlichkeit von 15% storniert. Ein Hotel stellt 55 Betten zur Verfügung und nimmt 60 Reservierungen an.

Mehr

Single Parity check Codes (1)

Single Parity check Codes (1) Single Parity check Codes (1) Der Single Parity check Code (SPC) fügt zu dem Informationsblock u = (u 1, u 2,..., u k ) ein Prüfbit (englisch: Parity) p hinzu: Die Grafik zeigt drei Beispiele solcher Codes

Mehr

Gibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero?

Gibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero? Gibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero? Manche sagen: Ja, manche sagen: Nein Wie soll man das objektiv feststellen? Kann man Geschmack objektiv messen? - Geschmack ist subjektiv

Mehr

Tabelle 6a: Deskriptive Statistiken der metrischen Variablen

Tabelle 6a: Deskriptive Statistiken der metrischen Variablen Ergebnisse 77 5 Ergebnisse Das folgende Kapitel widmet sich der statistischen Auswertung der Daten zur Ü- berprüfung der Hypothesen. Die hier verwendeten Daten wurden mit den in 4.3 beschriebenen Instrumenten

Mehr

29. Mai 2006. 5. Bei Unterschleif gilt die Klausur als nicht bestanden und es erfolgt eine Meldung an das Prüfungsamt.

29. Mai 2006. 5. Bei Unterschleif gilt die Klausur als nicht bestanden und es erfolgt eine Meldung an das Prüfungsamt. L. Fahrmeir, C. Belitz Department für Statistik Bitte für die Korrektur freilassen! Aufgabe 1 2 3 4 Punkte Klausur zur Vorlesung Statistik III für Studenten mit Wahlfach Statistik 29. Mai 2006 Hinweise:

Mehr

ROULETTE. SPIELREGELN 24er

ROULETTE. SPIELREGELN 24er ROULETTE SPIELREGELN 24er DAS TABLEAU 1-12 PAIR IMPAIR 1-24 1 2 4 5 6 7 8 9 1 11 12 1 14 16 17 18 19 2 21 22 2 24 5 24 16 6 1 2 9 18 7 22 1 1 9 18 7 22 SERIE /2/ 6 1 2 ORPHELINS 5 24 16 SERIE 5/8 2 8 11

Mehr

Beispielsammlung - Matura Juni 2010

Beispielsammlung - Matura Juni 2010 1 Beispielsammlung - Matura Juni 2010 I. TRIGONOMETRIE 1) Von einem Grundstück sind bekannt: CD = 48 m; AB = 35 m; AD = 36,6 m sowie die Winkel =

Mehr