Modellierung zukünftiger Zinskurven Was sagen Zinsstrukturmodelle?

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1 Modellierung zukünftiger Zinskurven Was sagen Zinsstrukturmodelle? 2. Controlling & Risk Management Forum/ Dr. Ingo Fahrner Stuttgart Landesbank Baden-Württemberg Diese Präsentation dient Werbezwecken. Dieses Dokument richtet sich ausschließlich an Professionelle Kunden und Geeignete Gegenparteien Dieses Präsentation genügt nicht den gesetzlichen Anforderungen zur Gewährleistung der Unvoreingenommenheit von Finanzanalysen. Die , Seite 1 Dr. Ingo Fahrner genannten Landesbank Produkte Baden-Württemberg oder Finanzinstrumente unterliegen nicht dem Verbot des Handels vor Veröffentlichung von Finanzanalysen.Die Produkte dürfen nicht in allen Ländern angeboten und verkauft werden. Bitte beachten Sie die zusätzlichen Hinweise am Ende der Präsentation.

2 Inhalt Modelle Zinskurven: Definition statische, dynamische Eigenschaften Zinsstrukturmodelle Fallstudie , Seite 2 Dr. Ingo Fahrner

3 Einleitung , Seite 3 Dr. Ingo Fahrner

4 Modelle Modelle bilden immer nur einen Teil der Realität ab, erlauben aber, auf diesen Teil einen klareren Blick zu bekommen. Im Versicherungsbereich werden oft stochastiche Modelle eingesetzt, deren Parameter statistisch aus historischen Daten geschätzt werden und mit einem Risiko-Aufschlag versehen werden, z.b. Sterbetafeln. Dies setzt Stationarität und eine große Grundgesamtheit an Ereignissen voraus. Ökonomische Modelle treffen oft die Annahme gewisser Nutzenfunktionen. Diese ist nicht genau bestimmbar, daher ergeben sich eher qualitative als quantitative Ergebnisse. Zinsstrukturmodelle werden für den Handel und das Hedgen von Zinsprodukten entwickelt. Sie sind unabhängig von Nutzenfunktionen und arbeiten aus theoretischen Gründen nicht im real-world measure , Seite 4 Dr. Ingo Fahrner

5 Funktionsweise eines Handelstisch Entgegen der weitverbreiteten Annahme werden an einem Handelstisch nicht riesige Risiken gefahren, sondern Risiken analysiert, umstrukturiert und an Marktteilnehmer mit gegenläufigem Risikoprofil weitergegeben. Ein Händler versucht sich gegen sämtlichen zukünftigen Marktbewegungen zu immunisieren (hedgen). Daher ist es weitaus wichtiger die aktuelle Marktsituation sauber abzubilden als z.b. zukünftige Szenarien zu generieren. Im Folgenden sollen diese Aspekte an Hand der Zinskurve aus Sicht eines Handelstisches einer Bank genauer beleuchtet werden , Seite 5 Dr. Ingo Fahrner

6 Zinskurven - Definitionen , Seite 6 Dr. Ingo Fahrner

7 Diskontfaktoren Diskontfaktor z(t): Heutiger (t=0) Wert eines Euros zur Zeit t 0. Klassische Eigenschaften: z(0) = 1 z(t) z(t) glatt. Discount Factors , Seite 7 Dr. Ingo Fahrner

8 Forwards 0 1 t 1+ΔL t+t T : Tenor Δ : Year Fraction z(t) - (1+ΔL(t)) z(t+t) = 0 => L(t) = ( z(t) / z(t+t) - 1 ) / Δ flache Diskontkurve (z(t) = z(t+t)) => L(t) = 0 inverse Diskontkurve (z(t) < z(t+t)) => L(t) < 0 Sprung Diskontkurve (z(t-) z(t+)) => L(t) springt bei t-t und bei t. Forwards 4.50% 4.00% 3.50% 3.00% 2.50% 2.00% 1.50% 1.00% 0.50% 0.00% Tenor 3M Tenor 6M , Seite 8 Dr. Ingo Fahrner

9 Zero Rates Oft werden auch Zero Rates, z.b. continuous compounded, betrachtet: z(t) = exp(-t R(t) ) <=> R(t) = - 1/t log z(t) Vorteil: Kein Tenor, keine Tageszählmethode. Zero Rates 3.50% 3.00% 2.50% 2.00% 1.50% 1.00% 0.50% 0.00% , Seite 9 Dr. Ingo Fahrner

10 Zusammenfassung Zinskurven Zinskurven können unterschiedlich dargestellt werden. Diskontfaktoren sind unabhängig von Konventionen. Oft sind Forwards oder Zero Rates anschaulicher. Analytische Eigenschaften (Glattheit,...) übertragen sich nicht immer , Seite 10 Dr. Ingo Fahrner

11 Zinskurvenbau , Seite 11 Dr. Ingo Fahrner

12 Klassischer Kurvenbau: Bootstrap Gegeben ist eine Reihe von Instrumenten deren Quotierungen durch die Bewertung mit der Zinskurve getroffen werden sollen. Jedes Instrument ergibt einen weiteren diskreten Punkt der Zinskurve. Zwischen den Punkten wird interpoliert. Beispiel: z(0) = 1 o/n = 0.8% t/n = 0.8% L3M = 1.034%... z(1 Tag) = 1.0 / (1+1/360*0.8%) = z(2 Tag) = z(1 Tag) / (1+1/360*0.8%) = z(3m) = z(2 Tag) / (1+0.25*1.034%) = Diese Kurve kann für Diskontfaktoren und zur Bestimmung von Forwards verwendet werden , Seite 12 Dr. Ingo Fahrner

13 Basis-Swaps im klassischen Modell In einer Ein-Kurven Welt hängt der Wert eines Float-Legs (und damit der Wert eines Swaps) nicht von der Funding-Frequenz ab, sondern nur von den Diskontfaktoren am Start und Ende: Δ L(t) z(t+t) = z(t) z(t+t). Seit der Krise haben Swaps mit unterschiedlicher Funding-Frequenz einen deutlich unterschiedlichen Wert. Basis-Swap: Xm Libor + spread (in bp) vs. Ym Libor 3m vs. 6m 3m vs. 12m 1m vs. 6m 1Y Y Y Y , Seite 13 Dr. Ingo Fahrner

14 Lösungsalternativen Alternative 1: Verwendung verschiedener Kurven für verschiedene Instrumente/Legs Fixe Zahlungen werden inkonsistent diskontiert Nicht für Handel anwendbar Alternative 2: Verwende einheitliche Diskontkurve für alle Instrumente; für Forwards mit unterschiedlichem Tenor werden unterschiedliche Forward-Kurven verwendet. Konsistente Diskontierung Basis-Spreads beeinflussen Forward-Kurven Keine Kürzung im Float-Leg: Δ L(t) z D (t+t) = (z F (t) / z F (t+t) 1)z D (t+t). Für den Kurvenbau bedeutet dies, dass zuerst eine Diskontkurve und eine Forwardkurve gefunden werden muss, und anschliessend über die Basis-Spreads die anderen Forwardkurven gebaut werden können , Seite 14 Dr. Ingo Fahrner

15 Collateral und Nicht-Collateral Besteht Collateral, so müssen negative Barwerte (PV) auf ein Collateral-Konto eingezahlt werden. Dort wird der PV gewöhnlich mit einem Übernachtzins (EONIA) verzinst. Besteht kein Collateral, so müssen negative PVs durch das Treasury zu Marktkonventionen refinanziert werden. Durch die Finanzkrise sind EONIA-Euribor Spreads und Funding-Spreads für Banken auseinander gelaufen. Daher ist es jetzt zwingend erforderlich beide Diskontkurven zu modellieren. Discount Curves (Zero Rates) 3.50% 3.00% 2.50% 2.00% 1.50% 1.00% 0.50% 0.00% Collateral (EONIA) Non-Collateral , Seite 15 Dr. Ingo Fahrner

16 6m Euribor vs. 6m EONIA , Seite 16 Dr. Ingo Fahrner

17 Interpolation...has been the subject of Byzantine hairsplitting polemics between quants with free time on their hands and some patience for details. (Nassim Taleb, Dynamic Hedging, p. 172) Dies ist sicher richtig bei hoch-komplexen Produkten. Die Input-Quotes geben auch keinen Aufschluss über die Interpolation. Die Methode hat jedoch Auswirkung auf nicht-standard Instrumente. Die Stabilität von Risikoparametern hängt von der Glattheit der Kurve ab. Es gibt aber auch gewollte Sprünge, z.b. End-of-Year Jumps , Seite 17 Dr. Ingo Fahrner

18 Zusammenfassung Kurvenbau Klassischer Kurvenbau kann weiterhin verwendet werden. Es müssen jedoch verschiedene Forward- und Diskontkurven gebaut werden. Interpolation kann von Belang sein. In EUR ist die Situation relativ klar. Diskussionen bestehen in exotischeren Währungen, da Risiken in verschiedenen Banken verschieden gehandhabt werden , Seite 18 Dr. Ingo Fahrner

19 Dynamik von Zinskurven , Seite 19 Dr. Ingo Fahrner

20 Wie sieht die Zinskurve von morgen aus? Die durch die Zinskurve gegebenen Forwards drücken eine durch Angebot und Nachfrage gebildete Markterwartung aus. Die Forwards können implizit durch die in der Kurve enthaltenen Instrumente gehandelt werden. Dass die Forwards eintreten ist ein allgemein verwendetes Basis-Szenario. Es tritt jedoch nur mit einer geringen Wahrscheinlichkeit ein. 3.50% 3.00% 2.50% 2.00% 1.50% 1.00% 0.50% 0.00% Today SlideDown(2Y) , Seite 20 Dr. Ingo Fahrner

21 Statistik von Zinsbewegungen Wir betrachten die täglichen Änderungen der Swapsätze mit Tenor 2Y,3Y,4Y,5Y,6Y,7Y,8Y,9Y,10Y,12Y,15Y,20Y,30Y und unterziehen diese Daten einer Hauptkomponentenanalyse (HKA, engl. PCA). Dabei sieht man, dass die ersten drei Hauptkomponenten bereits mehr als 99% der Varianz der historischen Kurvenbewegungen erklären. Die erste Hauptkomponente ist mit Abstand dominierend. PC 1 PC2 PC3 PC4 Proportion 88.96% 8.85% 1.58% 0.39% Cumulative 88.96% 97.81% 99.40% 99.78% Die Hauptkomponenten sind Parallelverschiebung, Kippung, Krümmung, höhere Ordnung , Seite 21 Dr. Ingo Fahrner

22 Hauptkomponenten der Zinskurve PCA on correlation matrix of curve moves Time Series: PC1 PC2 PC3 PC , Seite 22 Dr. Ingo Fahrner

23 Verteilung von Forwards Eine statistische Betrachtung von Forward-Fxings zeigt, dass die Black-Scholes Annahme einer log-normalen Verteilung nicht richtig ist. Ein wesentlich besserer Fit wird (im real-world measure!) durch eine (symmetrische) Lévy-Verteilung erreicht , Seite 23 Dr. Ingo Fahrner

24 Zusammenfassung Glaubt man an die Übertragbarkeit der Vergangenheit auf die Zukunft (Stationarität), so kann man aus Kombination der Lévy-Verteilung mit den Hauptkomponenten ein realistisches Modell für zukünftige Szenarien gebaut werden. Ökonomische Randbedingungen oder bekannte Veränderungen gehen jedoch nicht ein! , Seite 24 Dr. Ingo Fahrner

25 Zinsstrukturmodelle , Seite 25 Dr. Ingo Fahrner

26 Meilensteine der Entwicklung Black-Scholes (1973): Durch ein geschlossenes, dynamisches Portfolio aus Cash und dem Underlying kann die Auszahlung einer Option repliziert und damit bewertet werden. Dies passt genau auf die Arbeitsweise eines Exotenhändlers. Harrison, Pliska et. al. (ca. 1981): No-arbitrage ist äquivalent zu der Existenz eines Martingal/Numeraire -Maßes, so das der Wert einer Option als Erwartungswert über alle Szenarien unter diesem Maß geschrieben werden kann. Der Zusammenhang des Martingal-Maßes zum real-world measure ist in der Regel nicht greifbar. Insbesondere können im real-world measure geschätze Parameter nicht einfach in das Martingal-Maß übertragen werden. Das risikoneutrale Maß ist ein spezielles Martingal-Maß, (wenn das Numeraire der Money-Market Account ist) , Seite 26 Dr. Ingo Fahrner

27 Heath-Jarrow-Morton Heath-Jarrow-Morton (1992): (Instantane) Forwards werden durch eine Diffusion modelliert. No-arbitrage bestimmt den Drift. Es müssen also nur noch die Volatilitäten modelliert werden. Im Prinzip sind heute alle Modelle (erweiterte) Heath-Jarrow-Morton Modelle, auch wenn sie die short rate, Libors oder Swap-Rates modellieren. Zinsstrukturmodelle sind Volatilitätsmodelle! , Seite 27 Dr. Ingo Fahrner

28 Finden eines geeigneten Modells Die Eignung eines Modells hängt ab von den Eigenschaften des Produkts, der Verfügbarkeit von Kalibrierungsinstrumenten, Performance, Stabilität,... Beispiele: Swap: Modellunabhängig, Interpolation der Kurve Swaption: Nur von der Verteilung einer einzelnen Swaprate abhängig Bermudan: Hängt von der ganzen Kurve ab, 1-Faktor aber ausreichend wichtig: Korrelationen SpreadOption (10Y-2Y Hängt von der Verteilung des Spreads ab Wird die Zinskurve modelliert, so benötigt man mindestens 2 Faktoren und die Korrelationen haben entscheidenden Einfluss , Seite 28 Dr. Ingo Fahrner

29 Aussagen eines Zinsstrukturmodells Wichtig für den Handel sind Aussagen bezüglich Hedge-Quantitäten, Forecasts, Preis eines Produktes. Nicht beachtet werden Aussagen bezüglich Modellinterne Szenarien und deren Wahrscheinlichkeiten, Kündigungswahrscheinlichkeiten, Absolute Größe von Risiko-Zahlen (diese kann zwischen verschiedenen Modellen erheblich schwanken), Negative Zinsen , Seite 29 Dr. Ingo Fahrner

30 Fallstudie: Risikoneutrales Maß und Maßwechsel , Seite 30 Dr. Ingo Fahrner

31 Berechnung risikoneutraler Wahrscheinlichkeiten Angenommen wir haben ein Asset S und ein Numeraire (Money-Market Account) N. Wir betrachten ein einfaches Modell mit 2 Zuständen: S N 110 q 1.04 S 0 =100 N 0 = No-Arbitrage ist äquivalent zu Das heisst: Dieser Wert ist unabhängig von der tatsächlichen real-world Wahrscheinlichkeit , Seite 31 Dr. Ingo Fahrner

32 Maßwechsel und Radon-Nikodym-Dichte Betrachten wir ein weiteres Numeraire M S N M 110 q 1.04 p 1.08 S 0 =100 N 0 =1 M 0 = No-Arbitrage, d.h. ergibt Radon-Nykodym-Dichte: / /1.02 Mit dieser Dichte kann man nun in einem anderen Maß rechnen: , Seite 32 Dr. Ingo Fahrner