4 ZU V5"4. Er wart ungsnut zenhyp ot hese. Dogmenhistorische Ausgangslage, analytische Voraussetzungen und moderne Entwicklungen

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1 4 ZU V5"4 Er wart ungsnut zenhyp ot hese Dogmenhistorische Ausgangslage, analytische Voraussetzungen und moderne Entwicklungen

2 Vorwort Zufall und die Erwartungsnutzentheorie Inhalt und Fortgang der Arbeit 19 Formale und inhaltliche Grundlagen: Präferenzen, Ordnungen, Repräsentation Einleitung Die inhaltlichen und formalen Grundüberlegungen Präferenzen: Messen, Abbilden und numerische Repräsentation Präferenzen im Kontext von Relationen und Ordnungen Mengen, Relationen und Ordnungen als allgemeine Grundlage einer axiomatischen Darstellung Mengen, geordnete Paare und Identität Eigenschaften von Relationen und Ordnungen Präferenzen als Grundlage der relationalen Struktur Indifferenz und Identität Die mindestens-so-gut-wie"-relation und die positive versus implizite Definition Schwache versus strikte Ordnung bei von Neumann und Morgenstern Die schwache Ordnung als zentrale Ordnungsannahme der Erwartungsnutzentheorie Wichtige Eigenschaften einer schwachen Präferenzordnung Äquivalente Ordnungsannahmen und relationale Beziehungen Die Annahme der Refiexivität 52

3 2.3.5 Die schwache Ordnung und die Zusammenfassung von indifferenten Elementen zu Äquivalenzklassen Die Überführung präferenzbasierter Ordnungen in Zahlen - numerische Repräsentation 58 ', Messen und Skalen Abbildungen Homomorphismen und Isomorphismen Numerische Repräsentation Die axiomatische Fundierung der numerischen Repräsentation von Präferenzrelationen - Cantor und Debreu Numerische Repräsentation einer endlichen Menge Numerische Repräsentation einer abzählbaren Menge Numerische Repräsentation einer überabzählbaren Menge - die Problematik Die lexikographische Ordnung Die lexikographische Ordnung als schwache Ordnung Die lexikographische Ordnung und das Abbildbarkeitsproblem Dichte und Ordnungsdichte von Mengen Numerische Repräsentation einer überabzählbaren Menge - das Theorem Vorbemerkungen Die Notwendigkeit der Annahme Die Annahme als hinreichende Bedingung Die Dimensionalität der numerisch repräsentierenden Zielstruktur K Archimedisches Axiom, reelle Zahlen und Non-Standard Analysis Archimedisches Axiom als notwendige Bedingung für die numerische Repräsentation Archimedisches Axiom, lexikographische Ordnung und numerische Repräsentation Dimensionalität der numerischen Repräsentation und Archimedisches Axiom Archimedisches Axiom und Ordnungsdichte Abschließende Bemerkungen Existenz einer stetigen, numerisch repräsentierenden Funktion.. 108

4 2.7.2 Existenz einer difffirenziorbaren, numerisch repräsentierenden Funktion 111 Die Erwartungsnutzentheorie nach von Neumann und Morgenstern: Historie, Abgrenzung, Inhalt und Erweiterungen Einleitung Die Abwesenheit von Sicherheit Fortgang des Kapitels Historischer Überblick Zufall, Bernoulli, Cramer und das St. Petersburg-Spiel St. Petersburg-Spiel, Grenzwertbetrachtung und Weber/Fechner St. Petersburg-Spiel und Erwartungswert St. Petersburg-Spiel und Konvergenz Vom St. Petersburg-Spiel zur axiomatischen Fundierung der Erwartungsnutzentheorie Entscheidungen unter Unsicherheit oder unter Risiko und objektive oder subjektive Wahrscheinlichkeiten Die Erwartungsnutzentheorie nach Bernoulli/Cramer versus von Neumann und Morgenstern Von Neumann und Morgenstern Erwartungsnutzentheorie - Grundlagen, Axiomatik und Abgrenzung Die Grundlagen der von Neumann- und Morgensternschen Ergebnisse Von Neumann und Morgensterns zentrale Überlegung Präferenzen und Nutzen Präferenzdifferenzen und Nutzendifferenzen Annahmen zum Entscheidungsverhalten, formale Anforderungen und die Notation von Neumann und Morgensterns Die Axiomatik nach von Neumann und Morgenstern Die implizite Unabhängigkeitsannahme in der Axiomatik nach von Neumann und Morgenstern Die Forderung der numerischen Repräsentation der Präferenzen Die Forderung der Linearität in a Die Eigenschaften und Bedeutung der zugrundeliegenden Menge. 186

5 Analyse und Abgrenzung der formalen Konzepte: Mixture Set, Wahrscheinlichkeitsmaß, konvexe Menge - das nullte Axiom Das formale Entscheidungskonzept als Wahl aus einer Menge von Lotterien, Wahrscheinlichkeitsmaßen und Mixture Sets Konvexe Mengen Mixture Sets Mixture Set-Identität Mixture Set-Indifferenz Mixture Set-Identität versus Mixture Set-Indifferenz Wahrscheinlichkeitsmaße Eine vergleichende Abgrenzung der verschiedenen Konzepte zur Modellierung einer Alternativenmenge Mixture Set und konvexe Menge Compound Lotteries Wahrscheinlichkeitsmaße und konvexe Menge Ein anschauliches Beispiel konvexer Kombinationen von Wahrscheinlichkeitsmaßen Einfache konvexe Kombinationen von Wahrscheinlichkeitsmaßen Abzählbare konvexe Kombinationen von Wahrscheinlichkeitsmaßen Die zugrundeliegende Ergebnismenge Abschließende Bemerkung Von Neumann und Morgenstern Erwartungsnutzentheorie - Analyse der Axiome und Beweise Das zentrale Theorem der Erwartungsnutzentheorie und die einzelnen Axiome Eine erste Betrachtung des zentralen Theorems der Erwartungsnutzentheorie Alternative Axiomatiken der numerischen Repräsentation Die Ordnungsannahmen Konnexität von Präferenzen Transitivität von Präferenzen Die Archimedische Annahme 227

6 3.4.4 Die Unabhängigkeitsannahme Historie und Fehlinterpretation Ellsbergs und Allais Kritik Die zugrundeliegenden Mengen und eine alternative Formulierung Die Herleitung der Erwartungsnutzenfunktion Einige zentrale Zwischenergebnisse Die Nutzenfunktion unter Unsicherheit Existenz einer eindeutigen reellen Zahl u(p) Numerische Repräsentation Die Erwartungsnutzeneigenschaft - Linearität Linearität über eine abgeschlossene Menge Linearität bei Erweiterung einer abgeschlossenen Menge Positive affine Transformation und Kardinalität Linearität bei positiver affiner Transformation Numerische Repräsentation der Trägermenge und Erwartungsnutzeneigenschaft Numerische Repräsentation durch beste und schlechteste Lotterien bei endlicher Menge Abschließende Bemerkungen zu diesem Kapitel Beschränktheit und Erwartungsnutzenform über die Ergebnismenge Schlusswort 275 A Anhang 277 A.l St. Petersburg-Spiel : Nullfolge und Konvergenzkriterien 277 A.2 Beschränktheit, notwendige und hinreichende Bedingung 280 B Literaturverzeichnis 283