11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen; Mächtigkeitsvergleich von Mengen

Transkript

1 11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen; Mächtigkeitsvergleich von Mengen 11.1 g-adische Entwicklung von Zahlen aus [0, 1[ 11.2 g-adische Entwicklung reeller Zahlen 11.3 g-adische Entwicklung nicht-negativer Zahlen 11.4 Satz von Bernstein 11.5 Kardinalzahlen von Mengen 11.6 Regeln für Kardinalzahlen 11.7 Abzählbare und überabzählbare Mengen 11.8 Regeln für abzählbare Mengen, Abzählbarkeit von Q 11.9 Überabzählbare Mengen Ist Z N 0 und z n {0,..., 9}, so heißt Z, z 1 z 2 z 3... := Z + 10 k ein unendlicher Dezimalbruch oder eine Dezimalbruchentwicklung. Wegen n 9 n 1 10 k 10 k= k /10 = 1 9.3(i) ist die unendliche Reihe konvergent. Z, z 1 z 2 z 3... stellt also eine nicht-negative reelle Zahl dar. Wegen k= k = 9.9(iii) 9 10 k= k 1 = 9.3(i) /10 = 1 ist 1, = 0, , insbesondere ist damit die Dezimalbruchdarstellung nicht eindeutig. Diese Mehrdeutigkeit läßt sich vermeiden, wenn man z n = 9 für fast alle n ausschließt. Wir beweisen zunächst für Zahlen a [0, 1[ die Existenz der sogenannten g-adischen Entwicklung als Verallgemeinerung der Dezimalbruchentwicklung. C 1 [11] 1

2 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen 11.1 g-adische Entwicklung von Zahlen aus [0, 1[ Sei 2 g N. Jedes a [0, 1[ hat genau eine Entwicklung der Gestalt a = mit z k {0,..., g 1} und z k g 1 für unendlich viele k. Umgekehrt stellt jede solche Reihe unter den angegebenen Bedingungen eine Zahl aus [0, 1[ dar. Beweis. Wegen z k {0,..., g 1} für alle k N und wegen der Voraussetzung z k0 g 1 für mindestens ein k 0 N folgt: 0 < k=1 g 1 (g 1) = g 9.9(iii) k=1 1 g 1 1 = 1 g 9.3(i) 1 1/g = 1; also stellt jede solche Reihe eine Zahl aus [0, 1[ dar. Zur Existenz der im Satz angegebenen Entwicklung: Sei a [0, 1[. Die z k werden rekursiv definiert. Setze mit a 0 := a z 1 := [ga 0 ], a 1 := a z 1 g, z 2 := [g 2 a 1 ], a 2 := a z 1 g z 2, g 2 und allgemein z n := [g n a n 1 ], a n := a z 1 g z 2 g 2... zn g n. Wir zeigen induktiv: (1) (A) (S) { 0 an < g n für n N 0, z n {0,..., g 1} für n N. Da a 0 = a ist, gilt nach Voraussetzung 0 a 0 < 1 = g 0. Sei n N 0 und 0 a n < g n. Dann folgt 0 g n+1 a n < g. Also gilt (vgl. 4.4): (2) 0 [g n+1 a n ] (= z n+1 ) < g, (3) 0 g n+1 a n z n+1 < 1. Daher ist z n+1 {0,..., g 1} nach (2). Nach Definition von a n gilt: a n+1 = a n z n+1 g n+1 < (3) Somit ist (1) induktiv bewiesen. 1 g n+1 und 0 a n+1. (3) Aus (1) folgt a n 0. Also gilt nach Definition von a n a = lim n (a a n ) = lim n n =. Es ist noch zu zeigen, daß wir z k g 1 für unendlich viele k annehmen können. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so gibt es ein p N mit z k = g 1 für alle k p. Wir können annehmen, daß p minimal ist mit dieser Eigenschaft, es ist dann p 2 (sonst wäre a = 1) und es gilt z p 1 < g 1. Wir geben nun eine Entwicklung von a = k=1 z k /gk der gewünschten Form an: [11] 2 C 1

3 Mächtigkeitsvergleich von Mengen Zunächst ist a = z 1 /g z p 2 /g p 2 + (z 1 + 1)/g p 1 und daher gleich k=1 z k /gk mit z i = z i für i < p 1 und z p 1 = z p und z i = 0 für i p. Zur Eindeutigkeit der Entwicklung: Sei (4) = z k k=1 mit z k, z k {0,..., g 1} und z k g 1 für unendlich viele k sowie z k g 1 für unendlich viele k. Sei z k z k für wenigstens ein k. Dann gibt es ein p N mit z i = z i für i < p und z p z p. Wegen (4) gilt daher (benutze 9.8(ii)(b) und 9.9(ii)): O.B.d.A. sei z p > z p. Dann gilt: z p g p z p g p = (z k z k) k=p+1. 1 (z p z p) = (z k z k) k=p+1 (g 1) p k= (iv) = (g 1) g 1 1 1/g = 1. Wäre z k z k < (g 1) für ein k > p, so würde man sogar eine strikte Ungleichung erhalten, ein Widerspruch. Somit folgt z k z k = g 1 für alle k > p. Wegen z k, z k {0, 1,..., g 1} folgt z k = g 1 und z k = 0 für alle k > p, ein Widerspruch zur Formel (4). Dies beweist die Eindeutigkeit der Entwicklung g-adische Entwicklung reeller Zahlen Sei 2 g N. Jede reelle Zahl a hat genau eine Entwicklung der Gestalt a = [a] + mit z k {0,..., g 1} und z k g 1 für unendlich viele k. Beweis. a := a [a] [0, 1[ nach 4.4. Nach 11.1 gilt a = mit z k {0,..., g 1} und z k g 1 für unendlich viele k. Dies beweist die Existenz einer Entwicklung der angegebenen Gestalt. Die Eindeutigkeit folgt entsprechend aus g-adische Entwicklung nicht-negativer Zahlen Sei 2 g N. Jede nicht-negative reelle Zahl a hat genau eine Entwicklung der Gestalt: a = mit z k {0,..., g 1}, z k g 1 für unendlich viele k und p N 0 sowie z p 0 für p N. C 1 [11] 3

4 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen Beweis. Existenz der Entwicklung: Ist a [0, 1[, so folgt die Existenz aus 11.1 mit z 0 := 0. Ist a 1, so ist [a] N und nach E 1.2 gilt mit p N 0 : (1) [a] = 0 mit z p 0 und z k {0,..., g 1} für k = p,..., 0. Wiederum nach 11.1 gibt es z k {0,..., g 1}, so daß (2) a [a] = mit z k g 1 für unendlich viele k. Aus (1) und (2) folgt a = (a [a]) + [a] = 0 + = 9.8(ii) mit z k {0,..., g 1} und z k g 1 für unendlich viele k. Eindeutigkeit der Entwicklung: Sei (3) = z k k= q. Da sowohl z k g 1 für unendlich viele k als auch z k g 1 für unendlich viele k ist, folgt 0 < 1 und 0 < 1. Da aber 0 0 z k k= q = 0 oder 1 ist, folgt somit aus (3): (4) 0 = 0 k= q Aus (3) und (4) folgt dann: { a (5) := = z k k=1 mit z k, z k {0,..., g 1} und z k g 1 sowie z k g 1 für jeweils unendlich viele k. (5) liefert wegen a [0, 1[, daß z k = z k für k N ist (siehe 11.1). Für die Eindeutigkeit verbleibt zu zeigen: (6) p = q und z k = z k für k = p,..., 0. (I) Sind p, q N und somit nach Voraussetzung z p 0 sowie z q 0, so folgt (6) nach E 1.2 aus (4). (II) Ist p N, so ist wegen z p 0 zunächst 0 g p g > z 0. Nach g 0 (4) ist daher q N. Somit gilt (6) nach (I). Der Fall q N folgt aus Symmetriegründen. (III) Sind p = q = 0, so ist (6) wegen (4) trivial. z k. Statt schreibt man (z p... z 0, z 1 z 2 z 3...) g und im Falle g = 10 üblicherweise z p... z 0, z 1 z 2 z Sind dabei alle z k = 0 für k > k 0 N, so schreibt man auch kürzer z p... z 0, z 1 z 2... z k0 und nennt solche Zahlen abbrechende Dezimalbrüche. [11] 4 C 1

5 Mächtigkeitsvergleich von Mengen Wir betrachten noch einmal Beispiel 7.1. Die letzten Überlegungen zeigen, daß jedes a 0 eine (unter den angegebenen Bedingungen) eindeutige Dezimalbruchdarstellung a = z p... z 0, z 1 z 2... besitzt. Für diese gilt mit a n := z p... z 0, z 1... z n insbesondere a a n 10 n. Die in 7.1 für 2 angegebene Darstellung gilt also generell für jede reelle Zahl a 0. Im folgenden werden wir die Dezimalbruchdarstellung benutzen, um zu zeigen, daß es wesentlich mehr reelle als rationale Zahlen gibt. Sind A und B zwei endliche Mengen und gibt es sowohl eine injektive Abbildung von A in B als auch eine injektive Abbildung von B in A, so sind A und B äquivalent; d.h. es gibt eine bijektive Abbildung von A auf B (siehe 3.28(i)). Daß dieser Satz auch für beliebige Mengen gilt, hatte bereits Cantor vermutet, konnte aber erst von Bernstein im Jahre 1897 bewiesen werden Satz von Bernstein Gibt es sowohl eine injektive Abbildung von A in B als auch eine injektive Abbildung von B in A, dann gibt es auch eine bijektive Abbildung von A auf B. Beweis. Ist A = (bzw. B = ), so ist auch B = (bzw. A = ), und die Behauptung ist trivial. Seien also A und B. Nach Voraussetzung gibt es injektive Abbildungen: h 1 : A B, h 2 : B A. Also ist h 2 h 1 eine bijektive Abbildung von A auf h 2 h 1 (A) =: A 1 und h 2 eine bijektive Abbildung von B auf h 2 (B) =: C. Daher ist C B und (1) A 1 C A, A 1 A. Es reicht zu zeigen, daß aus (1) folgt: (2) A C. Sei (3) f bijektive Abbildung von A auf A 1. Diese Abbildung existiert nach (1). Mit vollständiger Induktion wird zunächst definiert (beachte C A und A 1 = f(a)): { A0 := A, A n+1 := f(a n ) (4) C 0 := C, C n+1 := f(c n ). C 1 [11] 5

6 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen Die in (2) gesuchte Bijektion werde folgendermaßen festgesetzt: { f(a) für a n N0 (A n \ C n ) =: D (5) g(a) := a für a A \ D. Für die Gültigkeit von (2) reicht es offenbar zu zeigen: (6) g : A C, (7) g ist injektiv. (8) g(a) = C. Zu (6): Ist a D, so ist g(a) = f(a) A 1 C. Für a A \ D ist a C zu (3) (1) zeigen. Wäre a C, so wäre a A \ C = A 0 \ C 0 D, im Widerspruch zu a A \ D. Zu (7): Sei zunächst a D. Dann ist a A n \ C n für ein n N 0 und somit g(a) = f(a) f(a n \ C n ) = f inj. f(a n ) \ f(c n ) = A n+1 \ C n+1 D. Also ist g = f D eine injektive Abbildung von D in D. Nach Definition von g in (5) ist dann aber auch g eine injektive Abbildung. Zu (8): Ist a C D, so ist zunächst a A n \ C n für ein n N 0 wegen a D. Da a C nicht aus A 0 \ C 0 ist, muß n N sein. Somit ist a A n \ C n = f(a n 1 ) \ f(c n 1 ) = f(a n 1 \ C n 1 ) = (5) g(a n 1 \ C n 1 ). Ist a C \ D( A \ D), so ist a = g(a) g(a). (1) 11.5 Kardinalzahlen von Mengen Seien A, B Mengen. Dann schreiben wir (i) kard(a) = kard(b) A B. (ii) (iii) kard(a) kard(b) Es existiert eine injektive Abbildung von A in B. kard(a) < kard(b) (kard(a) kard(b) kard(a) kard(b)). Es ist also genau dann kard(a) < kard(b) nach 11.5(i) + (ii), wenn es eine injektive Abbildung von A in B, aber keine bijektive Abbildung von A auf B gibt. Diese Definition steht im Einklang mit der Definition für endliche Mengen: Sind nämlich A und B endliche Mengen und damit kard(a), kard(b) schon als Elemente von N 0 erklärt, so gilt (i) nach 3.28(iv) und (ii) nach 3.28(iii). [11] 6 C 1

7 Mächtigkeitsvergleich von Mengen 11.6 Regeln für Kardinalzahlen Für beliebige Mengen A, B, C gilt: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) kard(a) = kard(a); kard(a) = kard(b) kard(b) = kard(a); kard(a) = kard(b) kard(b) = kard(c) kard(a) = kard(c); kard(a) kard(a); kard(a) kard(b) kard(b) kard(a) kard(a) = kard(b); kard(a) kard(b) kard(b) kard(c) kard(a) kard(c). Beweis. (i) (iii) folgen aus 3.24(i) (iii). (iv) und (vi) sind trivial; (v) ist der Satz von Bernstein. Wir wollen im folgenden insbesondere unendliche (= nicht endliche) Mengen betrachten. N war ein Beispiel für eine unendliche Menge (siehe 3.34(iii)) Abzählbare und überabzählbare Mengen (i) (ii) (iii) Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie endlich oder äquivalent zu N ist. Eine abzählbare Menge, die keine endliche Menge ist, heißt abzählbar unendlich. Eine nicht abzählbare Menge heißt überabzählbar. Eine nicht-leere Menge A ist also genau dann abzählbar, wenn sie zu N n mit n N oder zu N äquivalent ist. Im ersten Fall läßt A sich als (1) {a 1,..., a n } mit a i a j für i j, im zweiten Fall als (2) {a n : n N} mit a i a j für i j schreiben. Ist umgekehrt A eine Menge der Gestalt (1) oder (2), dann ist A abzählbar. Eine der ersten überraschenden Ergebnisse ist die Abzählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen (siehe 11.8). Die Menge Q, die anschaulich wesentlich mehr Elemente als N enthält, läßt sich dennoch bijektiv auf die Menge N abbilden. Die Frage, ob auch die Menge der reellen Zahlen (oder vielleicht sogar jede Menge) abzählbar ist, wurde von Cantor im Jahre 1873 durch den Nachweis der Überabzählbarkeit von R verneinend beantwortet (siehe 11.9). Dieses Ergebnis war der Beginn einer eigenständigen Teildisziplin der Mathematik, die man heute als Mengenlehre bezeichnet. C 1 [11] 7

8 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen 11.8 Regeln für abzählbare Mengen; Abzählbarkeit von Q Seien A, B Mengen. Dann gilt: (i) A ist abzählbar kard(a) kard(n). (ii) A ist unendlich kard(n) kard(a). (iii) Sind A, B abzählbar, so ist A B abzählbar. (iv) Eine Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar. (v) Eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar, d.h. genauer: ist I abzählbar und sind A i für i I abzählbar, so ist auch i I A i abzählbar. (vi) N 0, Z, Q sind abzählbar. (vii) Die Menge der (reellen) algebraischen Zahlen ist abzählbar. (viii) Für A : A abzählbar Es gibt eine surjektive Abbildung von N auf A. Beweis. (i) : Ist A abzählbar, dann ist A N n N oder A N. Es gibt also in beiden Fällen eine injektive Abbildung von A in N, d.h. es ist kard(a) kard(n). : Sei A unendlich. Dann gibt es eine injektive Abbildung von N in A (siehe 3.35), d.h. es ist kard(n) kard(a). Da kard(a) kard(n) nach Voraussetzung gilt, folgt kard(a) = kard(n) (siehe 11.6(v)). Also ist A N, d.h. A ist abzählbar. (ii) : Ist A unendlich, so folgt kard(n) kard(a) (siehe 3.35). : Nach Voraussetzung existiert eine injektive Abbildung f von N in A. Mit N ist wegen N f(n) auch f(n) unendlich. Daher ist auch A( f(n)) unendlich. (iii) Nach (i) gibt es injektive Abbildungen f : A N und g : B N. Dann ist (a, b) (f(a), g(b)) eine injektive Abbildung von A B in N N. Es reicht nun wegen (i) zu zeigen: (1) N N N. Der Beweis von (1) wird mit Hilfe des sogenannten ersten Cantorschen Diagonalverfahrens geführt: Man ordnet die Paare (m, n) mit m, n N nach untenstehendem Schema an und durchläuft dann nacheinander die Diagonalen {(m, n) : m + n = k} (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)... (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)... (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)... (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) [11] 8 C 1

9 Mächtigkeitsvergleich von Mengen Hierdurch erhält man eine bijektive Abbildung von N auf N N. Dies beweist (1). (iv) Ist A abzählbar, so gibt es nach (i) eine injektive Abbildung f von A in N. Ist T Teilmenge von A, dann ist f T eine injektive Abbildung von T in N. Also ist T abzählbar nach (i). (v) Es genügt, (v) für abzählbar unendliche I und A i zu beweisen. (Man vergrößere notfalls I und A i zu abzählbar unendlichen Mengen und wende dann (iv) an). Da I abzählbar unendlich ist, können wir weiter o.b.d.a. I = N voraussetzen. Dann gibt es für jedes n N eine Abbildung (2) f n : N A n bijektiv. Somit ist (n, m) f n (m) eine surjektive Abbildung von N N auf n=1 A n. Wegen (1) gibt es dann auch eine surjektive Abbildung h von N auf n=1 A n =: A. Die Behauptung folgt nun aus (viii). (vi) Es ist N 0 = {0} N. Daher ist N 0 nach (v) abzählbar. Da N N ist (betrachte die Abbildung f(n) = n), ist N abzählbar und nach (v) somit Z = N 0 ( N). Nun ist Q = n=1 { m n : m Z} nach (v) wegen { m n : m Z} Z N abzählbar. Es bezeichne A die Menge der reellen algebraischen Zahlen. Dann gilt: (3) A = n=1 N n, wobei für n N N n := {a R : P (a) = 0 für ein P R n }, R n := { n ν=0 α νx ν, α n 0, α ν Q}. Wegen (3) reicht es nach (v) zu zeigen: (4) N n ist abzählbar. Nun ist Q n+1 wegen (vi) und (iii) abzählbar. Da R n ein surjektives Bild der nach (iv) abzählbaren Menge {(α 0,..., α n ) Q n+1 : α n 0} ist, ist R n nach (viii) abzählbahr. Ordnet man jedem P R n die Menge seiner Nullstellen N P zu, so hat diese Menge höchstens n Elemente (siehe 6.4). Also ist wegen auch N n abzählbar nach (v). N n = P Rn N P (viii) : Ist N A, so ist die Behauptung trivial. Ist A endlich und f eine Bijektion von N n auf A, so wähle ein a 0 A und setze f(k) = a 0 für k > n, k N. : Ist f eine surjektive Abbildung von N auf A, so wähle für jedes a A genau ein n N mit f(n) = a und setze g(a) := n. Dann ist g eine injektive Abbildung von A in N, und somit ist A nach (i) abzählbar. C 1 [11] 9

10 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen 11.9 Überabzählbare Mengen Sei A eine Menge. Dann gilt: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) A ist überabzählbar kard(n) < kard(a). kard(a) < kard(p(a)). A unendlich P(A) überabzählbar. R ist überabzählbar. Die Menge der irrationalen Zahlen ist überabzählbar. Die Menge der transzendenten Zahlen ist überabzählbar. Beweis. (i) : Ist A überabzählbar, so ist A nach Definition insbesondere unendlich. Also ist kard(n) kard(a) (siehe 11.8(ii)). Wegen kard(n) kard(a) (andernfalls wäre A abzählbar unendlich) ist kard(n) < kard(a). : Zunächst ist A unendlich (siehe 11.8(ii)). Wegen kard(n) < kard(a) gilt aber auch nicht N A, also ist A überabzählbar. (ii) Wegen kard( ) = 0 < 1 = kard(p({ })) kann A vorausgesetzt werden. Setze nun f(a) := {a} für a A. Dann ist f eine injektive Abbildung von A in P(A). Somit ist (1) kard(a) kard(p(a)). Wäre nun kard(a) = kard(p(a)), dann gibt es eine Abbildung g mit (2) g : A P(A) bijektiv. Dann ist (3) B := {a A : a g(a)} P(A). Nach (2) gibt es daher ein a 0 mit (4) a 0 A mit g(a 0 ) = B. Damit erhalten wir aber folgenden Widerspruch: a 0 g(a 0 ) = (4) B (3) a 0 g(a 0 ). Also ist kard(a) kard(p(a)). Zusammen mit (1) folgt daher die Behauptung. (iii) Es gilt: (5) kard(n) kard(a) kard(p(a)). 11.8(ii) (ii) Also ist zunächst kard(n) kard(p(a)). Wäre kard(n) = kard(p(a)), so wäre kard(p(a)) kard(a) kard(p(a)) (5) (5) und damit kard(a) = 11.6(v) im Widerspruch zu (ii). (iv) Es reicht z.z.: [0, 1[ ist überabzählbar (benutze 11.8(iv)). Sei indirekt [0, 1[ abzählbar und damit abzählbar unendlich. Dann ist (6) [0, 1[ = {a n : n N}. [11] 10 C 1

11 Mächtigkeitsvergleich von Mengen Nun läßt sich gemäß 11.1 jedes a n eindeutig in der dort angegebenen Weise als unendlicher Dezimalbruch darstellen a 1 = 0, z (1) 1 z (1) 2 z (1) 3... a 2 = 0, z (2) 1 z (2) 2 z (2) 3... a 3 = 0, z (3) 1 z (3) 2 z (3) 3... Mit Hilfe des sogenannten zweiten Cantorschen Diagonalverfahrens konstruieren wir nun ein a mit a [0, 1[, a a n, im Widerspruch zu (6). Setze hierzu { 0 für z n (n) 0, z n := 1 für z n (n) = 0. Dann ist a := 0, z 1, z 2... [0, 1[. Sei nun n N. Nach Konstruktion unterscheidet sich a an der n-ten Stelle der Dezimalbruchentwicklung von a n. Da sogar alle z k 9 sind, folgt aus der Eindeutigkeitsaussage in 11.1, daß a a n ist. (v) Sei I die Menge der irrationalen Zahlen. Dann ist R = Q I. Nun ist Q abzählbar (siehe 11.8(vi)). Wäre auch I abzählbar, so wäre R nach 11.8(v) abzählbar, im Widerspruch zu (iv). (vi) ergibt sich aus 11.8(vii) analog zur letzten Argumentation. Zu jeder Menge A gibt es eine Menge mit größerer Kardinalzahl, z.b. P(A). Insbesondere ist kard(n) < kard(p(n)) < kard(p(p(n))) <... Es gibt also unendlich viele Abstufungen des Unendlichen. Ergänzung: Die Relation zwischen den Kardinalzahlen lieferte eine partielle Ordnung (siehe 11.6). Diese Relation ist sogar eine totale Ordnung, d.h. für je zwei Mengen A, B gilt kard(a) kard(b) oder kard(b) kard(a). Der Beweis für diese Aussage wurde erst im Jahre 1904 von Zermelo gefunden. Von Cantor selbst wurde noch die überraschende Aussage bewiesen, daß sowohl jeder R n mit n N als auch der Folgenraum R N äquivalent zu R ist. Insbesondere bleibt also die Dimension eines Vektorraumes nicht unter beliebigen bijektiven Abbildungen erhalten. C 1 [11] 11

12 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen Nach 11.9 ist kard(n) < kard(r). Cantor äußerte schon 1878 die Vermutung, daß für jede Teilmenge B mit N B R gilt: kard(b) = kard(n) oder kard(b) = kard(r). Diese Vermutung wurde die (spezielle) Kontinuumshypothese genannt. Neuere Untersuchungen haben gezeigt, daß unter Zugrundelegung der üblichen Axiome der Mengenlehre weder eine Widerlegung (Gödel 1939) noch ein Beweis (Cohen 1963) möglich ist. Anders formuliert besagt dies: Gibt es überhaupt einen Bereich von Mengen, in denen die üblichen Axiome der Mengenlehre gelten, dann gibt es sowohl einen Bereich von Mengen, in denen die Kontinuumshypothese gültig ist, als auch einen Bereich von Mengen, in denen die Negation der Kontinuumshypothese gültig ist. Dies entspricht formal der aus der linearen Algebra bekannten Tatsache, daß es ganz verschiedene Bereiche von Mengen gibt, in denen z.b. die Gruppenaxiome gelten. Für einige dieser Gruppen gilt dann die Kommutativität, für andere nicht. Diese Bemerkungen scheinen der Eindeutigkeit von R bis auf Isomorphie (siehe 1.15) zu widersprechen. Diese Eindeutigkeit gilt jedoch nur dann, wenn die gesamte Mengenwelt schon festgelegt ist. Betrachtet man verschiedene Mengenwelten, so kann dies auch zu verschiedenen Mengen von reellen Zahlen führen. Die Abhängigkeit von der Mengenwelt kommt besonders deutlich im Vollständigkeitsaxiom, das eine Aussage über Teilmengen von R macht, zum Ausdruck. Da man sich jedoch in der Regel immer nur in einer festen Mengenwelt bewegt, gibt es dann in dieser Mengenwelt auch nur einen (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmten Körper der reellen Zahlen. Zur Einführung in die Mengenlehre ist empfehlenswert: Friedrichsdorf und Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker, Vieweg Studium, Grundkurs Mathematik. [11] 12 C 1