2. Die Überabzählbarkeit von

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1 2. Die Überabzählbarkeit von Der Leser wird sich vielleicht gefragt haben, warum wir nicht die Dezimaldarstellung verwendet haben, um zu zeigen, dass es irrationale Zahlen gibt. Denn bekanntlich ist eine reelle Zahl in unendlicher Dezimaldarstellung x = ±n,a 1 a 2 a 3 a 4, n, a i {0,1,,9}, genau dann rational, wenn die Darstellung periodisch ist, wobei abbrechende Darstellungen als 0-periodisch gelten. (Diese Tatsache werden wir später noch genauer betrachten.) Damit sind zum Beispiel irrational: x 1 x 2 x 3 = 0, , = 0, , = 0, Konkrete für die Mathematik bedeutsame Größen wie 2 können wir in dieser Weise in der Regel nicht als irrational erkennen. Geeignete Rechenverfahren wie das Heron-Verfahren, das wir im vierten Abschnitt besprechen werden, liefern 2 = 1, , erlauben aber in der Regel nicht, die berechnete Zahl als irrational oder rational zu identifizieren im Unterschied zu den obigen Beweisen der Irrationalität von 2. Dessen ungeachtet liefert uns die Dezimaldarstellung spielerische Möglichkeiten zur Konstruktion irrationaler Zahlen. Und sie leistet noch weit mehr. Hierzu betrachten wir einige Eigenarten unendlicher Mengen. Das Hilbertsche Hotel Das Hilbertsche Hotel hat unendlich viele Zimmer 0, 1, 2, 3, Alle Zimmer des Hotels sind belegt. Ein neuer Gast kann aber trotzdem untergebracht werden, indem jeder alte Gast von seinem Zimmer n in das Zimmer n+1 umzieht. Dadurch wird das Zimmer 0 für den neuen Gast frei. Ebenso können unendlich viele neue Gäste g 0,g 1,,g n, untergebracht werden, indem jeder alte Gast von Zimmer n in das Zimmer 2n umzieht. Dadurch werden diezimmer1,3,5,7, frei. O. Deiser, Analysis 1, Mathematik für das Lehramt, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

2 30 1. Abschnitt Reelle und komplexe Zahlen Dieses Gedankenexperiment illustriert, dass es, im Sinne einer möglichen 1-1-Korrespondenz, ebenso viele natürliche Zahlen größergleich 0 wie natürliche Zahlen größergleich 1 gibt: Ebenso gibt es ebenso viele natürliche Zahlen wie gerade natürliche Zahlen: Und es gibt ebenso viele natürliche Zahlen wie ganze Zahlen: Diese Beobachtungen lassen sich mit Hilfe des Bijektionsbegriffs allgemein fassen. Zwei Mengen M und N heißen gleichmächtig, in Zeichen M = N, falls eine Bijektion f :M N existiert. Für das Folgende genügt die begrifflich einfachere Gleichmächtigkeit einer Menge M mit der Menge der natürlichen Zahlen. Den allgemeinen Begriff betrachten wir im Ausblick zu diesem Kapitel. Abzählbare Mengen Definition (abzählbar unendlich, abzählbar) (a) Eine Menge M heißt abzählbar unendlich, fallseseinebijektion f: M gibt. Wir schreiben dann M = und sagen, dass die Mächtigkeit von M gleich der Mächtigkeit von ist. (b) Eine Menge heißt abzählbar, falls M endlich oder abzählbar unendlich ist. Wir schreiben dann M und sagen, dass die Mächtigkeit von kleinergleich der Mächtigkeit von ist. Beispiele =, * =, =, { x 0,,x n }, { x 0,,x n, }, {x 0,,x n, } =, falls x n x m für alle n m gilt.

3 2. Die Überabzählbarkeit von 31 Eine Funktion f : M lässt sich wie in obigen Beispielen darstellen: f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) Diese tabellarische Darstellung können wir zur Folgenform f(0), f(1), f(2),, f(n), verkürzen. Damit ist leicht einzusehen, dass eine Menge M genau dann abzählbar unendlich ist, wenn wir die Elemente von M ohne Wiederholungen in die Form f(0), f(1), f(2), bringen können. Können wir M mit eventuellen Wiederholungen als g(0), g(1), g(2), aufzählen, so ist M abzählbar. Denn das Streichen der Wiederholungen liefert eine endliche Aufzählung f(0),, f(n) von M oder aber eine wiederholungsfreie unendliche Aufzählung f(0), f(1), f(2), von M. Obige Überlegung zeigt, dass die Menge der ganzen Zahlen abzählbar unendlich ist. Stärker gilt: Satz (Abzählbarkeit der rationalen Zahlen) Es gilt =. Beweis Wir zählen die rationalen Zahlen wie folgt auf: 0/1, (Gewicht 1) 1/1, 1/1, (Gewicht 2) 2/1, 2/1, 1/2, 1/2, (Gewicht 3) 3/1, 3/1, 1/3, 1/3, (Gewicht 4) 4/1, 4/1, 3/2, 3/2, 2/3, 2/3, 1/4, 1/4 (Gewicht 5) Hierbei erhält ein gekürzter Bruch n/m mit n,m * das Gewicht g = n + m. Indem wir die jeweils endlich vielen gekürzten Brüche mit dem Gewicht g = 1, 2, 3, aneinanderfügen, wird in eine wiederholungsfreie Form f(0), f(1), f(2), f(3),, f(n), gebracht. Also gilt =.

4 32 1. Abschnitt Reelle und komplexe Zahlen Ein ganz ähnliches Argument zeigt noch stärker: Satz (Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen) Es gilt =. Beweis Jede algebraische Zahl ist eine Lösung einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Da jede solche Gleichung nur endlich viele Lösungen besitzt, genügt es zu zeigen, dass wir alle diese Gleichungen aufzählen können. Hierzu ordnen wir einer Gleichung a n x n + +a 1 x 1 +a 0 = 0 mitn, a 0,,a n, a n 0, das Gewicht g = n + a n + + a 0 0 zu. Dann gibt es für jedes Gewicht g nur endlich viele Gleichungen mit dem Gewicht g. Damit erhalten wir eine Aufzählung aller algebraischen Gleichungen und folglich auch eine Aufzählung aller algebraischen Zahlen. Das Diagonalverfahren Man wird nun vielleicht einwenden, dass diese Überlegungen nur zeigen, dass im Reich des Unendlichen eben alle Größenunterschiede verschwinden. Die Begriffsbildung abzählbar unendlich scheint überflüssig, da sich scheinbar jede noch so umfassende unendliche Menge mit Hilfe der natürlichen Zahlen durchzählen lässt. Dass dies nicht so ist, folgt aus dem folgenden fundamentalen Satz von Georg Cantor aus dem Jahre 1874: Satz (Überabzählbarkeit der reellen Zahlen) Es gilt, d.h., die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar. Beweis Seien x 0,x 1,x 2,,x n, reelle Zahlen. Wir konstruieren ein x*,das von allen x n verschieden ist. Hierzu schreiben wir in Dezimaldarstellung: x 0 =z 0,a 0,0 a 0,1 a 0,2, x 1 =z 1,a 1,0 a 1,1 a 1,2, x 2 =z 2,a 2,0 a 2,1 a 2,2, x n = z n,a n,0 a n,1 a n,2,

5 2. Die Überabzählbarkeit von 33 Wir definieren nun für alle n d n = 1, falls a n,n =2, 2, falls a n,n 2, und setzen x* = 0, d 0 d 1 d 2 Dann ist x* eine reelle Zahl in eindeutiger Dezimaldarstellung, und für jedes n ist x* x n, denn die n-ten Nachkommastellen von x* und x n sind verschieden voneinander. Damit kommt die reelle Zahl x* in der Aufzählung x 0,x 1,,x n, nicht vor. Wir lesen also die Nachkommastellen der Zahlen x 0,x 1,,x n, diagonal und konstruieren mit Hilfe der Diagonalziffern a 0, 0 a 1, 1 a 2, 2 eine reelle Zahl x*, die für jedes n spätestens ab der n-ten Nachkommastelle von x n abweicht. Dieses Vorgehen ist als Diagonalargument in die Geschichte der Mathematik eingegangen. Es gehört heute ebenso zur Allgemeinbildung eines Mathematikers wie der Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2. Varianten des Arguments tauchen an verschiedenen Stellen in der Mengenlehre, Logik, Informatik und höheren Analysis auf. Erster Einwand Gegen das Argument wird oft vorgebracht, dass man ja die konstruierte Zahl x* noch zu den Zahlen x 0,x 1,x 2,,hinzufügenkönneundimSinne des Hilbertschen Hotels dann die Zahlen x*, x 0,x 1, vorliegenhätte. Hierzu bemerken wir, dass aus der Annahme der Abzählbarkeit von folgt, dass es eine Folge x 0,x 1, gibt, die alle reellen Zahlen durchläuft. Unser Beweis findet eine Zahl x*, die nicht in der Folge vorkommt. Damit ist die Annahme falsch, d. h., die reellen Zahlen sind nicht abzählbar. Selbstverständlich kann man für jede Folge x 0,x 1, die Folge x*, x 0,x 1, bilden und dann weiter x**, x*, x 0,x 1, Das Ergebnis, dass keine Folge reeller Zahlen alle reellen Zahlen durchläuft, bleibt dadurch unangetastet. Zweiter Einwand Oft wird auch behauptet, dass die Überabzählbarkeit von unhaltbar sei, weil man ja zeigen kann, dass sich zwischen je zwei reellen Zahlen eine rationale Zahl befindet und es deswegen doch offensichtlich nicht mehr reelle Zahlen als rationale Zahlen geben könne. Hierzu ist zu sagen, dass ein kontraintuitives Ergebnis noch keinen Widerspruch bedeutet. Wer einen Widerspruch anmeldet, muss genau zeigen, welche Ergebnisse warum nicht miteinander vereinbar sind. Ordnet man nun jedem Paar (x, y) von reellen Zahlen x < y eine rationale Zahl q zwischen x und y zu, so verwendet man dabei notwendig rationale Zahlen mehrfach. Die so entstehende Abbildung ist nicht injektiv und ein Widerspruch ist nicht zu sehen.

6 34 1. Abschnitt Reelle und komplexe Zahlen Es gibt also, im Sinne einer unmöglichen 1-1-Korrespondenz, mehr reelle Zahlen als natürliche oder ganze oder rationale Zahlen und damit existieren Größenunterschiede im Unendlichen. Und der Unterschied zwischen und ist gewaltig. Die durch die alten Griechen entdeckten Lücken von sind so zahlreich, dass wir sie nicht aufzählen können. entsteht nicht aus durch Hinzufügen von abzählbar vielen Zahlen x 0,x 1,x 2,,denndieentstehende Menge {x 0,x 1,x 2, } wäre als Vereinigung zweier abzählbarer Mengen immer noch abzählbar, wie eine Aufzählung der Form q 0,x 0,q 1,x 1,q 2,x 2, zeigt. Es gibt also überabzählbar viele irrationale Zahlen. Das Gleiche gilt für die algebraischen Zahlen. Wir notieren explizit: Korollar (Existenz transzendenter Zahlen) Es gibt überabzählbar viele transzendente Zahlen. Beweis Wäre die Menge der transzendenten Zahlen abzählbar, so wäre aufgrund der Abzählbarkeit von die Menge = ( ) eine Vereinigung zweier abzählbarer Mengen und damit abzählbar. Wir haben keine neue Erkenntnis über π oder e gewonnen, aber wir haben gezeigt, dass fast alle reellen Zahlen transzendent sind. Die Vorstellung besteht im Wesentlichen aus und den Wurzeln und π und e, die wir aus der Schule oft mehr oder weniger bewusst mitnehmen, ist mit der Vorstellung, dass jede Folge von Nachkommastellen eine reelle Zahl definiert, unvereinbar. Das Meer aller Nachkommafolgen ist gewaltig, die zu rationalen oder algebraischen Zahlen gehörigen Folgen sind dagegen nur ein paar Tropfen. Die reellen Zahlen sind also weitaus komplizierter, als man meinen möchte, und die vertraute Dezimaldarstellung reeller Zahlen beginnt Fragen aufzuwerfen: Was heißt eigentlich beliebige Folge von Nachkommastellen? Welche derartigen Folgen existieren eigentlich? Diese Fragen führen zum Wunsch nach einer präzisen Konstruktion der reellen Zahlen, und es ist kein Zufall, dass die ersten Konstruktionen von historisch mit der Entdeckung der Überabzählbarkeit von zusammenfallen. Weiter wird man vielleicht auch noch die mengentheoretischen Grundannahmen erfahren wollen, auf denen eine solche Konstruktion beruht. Wir wollen diesen Dingen an dieser Stelle nicht nachgehen, sondern uns im folgenden Kapitel den Struktureigenschaften zuwenden, die für die Zwecke der Analysis gebraucht werden. Dabei werden wir eine algebraische Charakterisierung angeben, die klar zeigt, welches Ziel man bei einer Konstruktion eines mathematischen Kontinuums anstrebt. Unsere hier gewonnenen Ergebnisse zeigen dann, dass man dieses Ziel mit einer abzählbar unendlichen Menge notwendig verfehlt. Die Analysis beruht auf einer überabzählbaren Struktur, wenn bestimmte Eigenschaften für diese Struktur gelten sollen.

7 2. Die Überabzählbarkeit von 35 Ausblick: Elementare Mächtigkeitstheorie Wir verfolgen die Idee, beliebige Mengen mit Hilfe von Injektionen und Bijektionen zu vergleichen, noch etwas genauer. Grundlegend hierzu ist: Definition (Mächtigkeitsvergleich) Seien M und N Mengen. Dann definieren wir: M = N, falls esgibteinbijektivesf:m N, M N, falls es gibt ein injektives f : M N, M < N, falls M N und M N. Wir sagen dann, dass die Mächtigkeit von M gleich bzw. kleinergleich bzw. kleiner der Mächtigkeit von Nist. M f N Eine Bijektion f : M N bringt die Elemente von M und N in eine eindeutige Korrespondenz. M und N heißen gleichmächtig, wenn eine solche Korrespondenz existiert. Diese Begriffsbildungen erlauben es, folgende Größenstufen einzuführen: Definition (endlich, unendlich, abzählbar, überabzählbar) Eine Menge M heißt (a) endlich, falls es ein n mit M = { 0,, n 1 } gibt, (b) unendlich, falls M nicht endlich ist, (c) abzählbar unendlich, falls M =, (d) abzählbar, falls M endlich oder M abzählbar unendlich ist, (e) überabzählbar, falls M nicht abzählbar ist. Leicht zu sehen ist, dass für alle Mengen M, N, P gilt: M = M, M M, M = N impliziert N = M, M = N und N P impliziert M P, usw.

8 36 1. Abschnitt Reelle und komplexe Zahlen Deutlich schwieriger zu zeigen sind dagegen die beiden folgenden Sätze: Satz (Satz von Cantor-Bernstein) Es gelte M N und N M. Dann gilt M = N. Satz (Vergleichbarkeitssatz) Für alle Mengen M und N gilt M N oder N M. Wir verweisen den Leser auf die Lehrbuchliteratur zur Mengenlehre für Beweise der beiden Sätze. Mit Hilfe des Satzes von Cantor-Bernstein kann man relativ einfach zeigen, dass es genauso viele reelle Zahlen wie Teilmengen von gibt: Satz (reelle Zahlen und Teilmengen von ) Es gilt = P( ). Zum Beweis des Satzes muss man lediglich zwei Injektionen f : P( )und g:p( ) konstruieren. Der Satz von Cantor-Bernstein liefert dann die Behauptung. Zur Konstruktion von f und g sind Dualdarstellungen von reellen Zahlen nützlich. So kann man zum Beispiel der reellen Zahl 0, in DualdarstellungdieMenge{2,3,5,6,9, } der Stellen mit einer 1-Ziffer zuordnen. Wir überlassen die genaue Durchführung der Konstruktion von f und g dem Leser zur Übung. Eines der beeindruckendsten Ergebnisse der Mächtigkeitstheorie ist, dass die Potenzmenge einer Menge stets eine größere Mächtigkeit als M selbst besitzt. Der überraschend kurze Beweis beruht wieder auf einem Diagonalargument. Satz (Satz von Cantor) Für alle M gilt M < P(M). Beweis Die Injektion g : M P(M) mit g(x) = { x } für alle x M zeigt, dass M P(M). Zum Beweis von M P(M) sei f : M P(M) beliebig. Wir zeigen, dass f nicht surjektiv ist. Hierzu sei D = {x M x f(x) }. Für alle x Mgiltdann x D genau dann, wenn x f(x). Wäre nun x* M mit f(x*) = D, so würde gelten x* D genau dann, wenn x* D, was nicht sein kann. Also ist D f[m], und damit ist f nicht surjektiv.

9 2. Die Überabzählbarkeit von 37 Speziell ist < P( ) =, sodass wir die Überabzählbarkeit von noch einmal bewiesen haben. Insgesamt ergibt sich das folgende Bild der Mächtigkeitsstufen:, {0}, {0,1},, {0,,n},, endliche Mächtigkeiten,?, P( ),?, P(P( ))),?, unendliche Mächtigkeiten Statt P( ) können wir hier auch die gleichmächtige Menge der reellen Zahlen einsetzen und statt P(P( )) auch die gleichmächtige Menge { f f : }aller reellen Funktionen. Die Hypothese, dass sich in dem mit dem ersten? gekennzeichneten Mächtigkeitsintervall nichts befindet, ist als Cantorsche Kontinuumshypothese bekannt. Diese Hypothese besagt also, dass sich die reellen Zahlen auf der nächstgrößeren Unendlichkeitsstufe nach den natürlichen Zahlen befinden. Oder so formuliert: Jede Teilmenge von ist gleichmächtig zu oder abzählbar. (Cantorsche Kontinuumshypothese) Analog nennt man die Vermutung, dass alle mit einem Fragezeichen gekennzeichneten Bereiche leer sind, die allgemeine Kontinuumshypothese. Sie besagt, dassfür eine unendliche Menge M immer P(M) die nächste Stufe einnimmt. Die spezielle und die allgemeine Kontinuumshypothese und viele andere Fragen der Mächtigkeitstheorie sind im Rahmen der üblichen mengentheoretischen Axiomatik weder beweisbar noch widerlegbar, wie tiefliegende Ergebnisse von Kurt Gödel und Paul Cohen zeigen. Cantor hat also unser Verständnis des Unendlichen in ebenso ungeahnter wie irritierender Weise erweitert. ist größer als, aber wir wissen nicht, wie groß tatsächlich ist. Unsere Axiomatik, auf die wir die Mathematik aufbauen, ist zu schwach, um diese Frage zu beantworten.

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