Vorlesung 2: Risikopräferenzen im Zustandsraum

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1 Vorlesung 2: Risikopräferenzen im Zustandsraum Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 1/29

2 2.1 Motivation Der Modellrahmen, in dem wir die Theorie der Entscheidung unter Unsicherheit entwickelt haben, ist für ökonomische Anwendungen nicht ideal. Bisher: Ergebnisse gegeben. Alternativen unterscheiden sich durch die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese Ergebnisse eintreten. Nun: Wahrscheinlichkeiten von verschiedenen Zuständen gegeben. Alternativen unterscheiden sich durch die Ergebnisse, die in den verschiedenen Zuständen eintreten. Im Kontext der Versicherungsökonomie beschreibt ein Zustand z.b. ob ein Schaden eingetreten ist (oder nicht). Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 2/29

3 2.1 Motivation Ziel dieses Kapitels ist es, die Konzepte aus der Theorie der Unsicherheit in diesen Rahmen zu übertragen und dadurch für die Versicherungsökonomie nutzbar zu machen. Fragen: Was bedeutet Risikoaversion in diesem Kontext? Wie bestimmt man Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie? Welche Interpretation hat das Mass der absoluten Risikoaversion? Was bedeuten die Annahmen der konstanten absoluten bzw. relativen Risikoaversion? Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 3/29

4 2.2 Modellrahmen Mögliche Zustände i = 1,,n mit Wahrscheinlichkeiten p = (p 1,, p n ) sind gegeben. Dabei gilt p i > 0 für alle i. Eine Lotterie (x 1,,x n ) legt für jeden Zustand eine Alternative x i fest. Wir betrachten nur monetäre Lotterien mit x i 0. Beachte: Die Möglichkeit, dass x i = x j für i j gilt, ist zugelassen. Da (p 1,, p n ) als gegeben betrachtet wird, können wir die Menge der denkbaren Lotterien durch X = {x = (x 1,,x n ) R n x i 0 für alle i = 1,,n}. beschreiben. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 4/29

5 2.2 Modellrahmen Unter den gleichen Annahmen wie in der Konsumententheorie (Entscheidung unter Sicherheit) lässt sich eine rationale Präferenzrelation über X durch eine Nutzenfunktion U : X R darstellen, wobei U(x) die Nutzenbewertung der Lotterie x = (x 1,,x n ) ist. Wir gehen durchweg davon aus, dass die betrachteten Präferenzrelationen eine Erwartungsnutzendarstellung besitzen, d.h. es existiert eine Bernoulli-Nutzenfunktion u : R + R, so dass U(x) = n i=1 p i u(x i ) die Präferenzrelation auf X darstellt. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 5/29

6 2.2 Modellrahmen Beachte: Die Formel n i=1 p iu(x i ) sieht genauso aus, wie die Erwartungsnutzendarstellung aus der Entscheidung unter Unsicherheit. Nun fassen wir dieses für gegebenes p als eine Beschreibung der Präferenzen über X auf deswegen steht da U(x) =... Zuvor war es umgekehrt: Die Nutzenfunktion hat für gegebenes x Präferenzen über p dargestellt deswegen stand da U(p) =... Frage: Warum haben wir nicht direkt so angefangen? Um eine plausible Begründung der Erwartungsnutzendarstellung zu erhalten, muss man freie Hand darin haben, die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die verschiedenen Ergebnisse auftreten, zu varieren. In einem Modell wie dem hier betrachteten mit einer endlichen Anzahl von Zuständen lässt sich das nicht erreichen. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 6/29

7 2.2 Modellrahmen Im Folgenden betrachten wir den Fall n = 2, d.h. es gibt nur zwei Zustände, die mit den Wahrscheinichkeiten p 1 > 0 und p 2 > 0 eintreten. Beachte: p 2 = 1 p 1. Konsum im Zustand 1 ist x 1 0. Konsum im Zustand 2 ist x 2 0. Präferenzen über sogenannte bedingte Konsumpläne x = (x 1,x 2 ) werden durch dargestellt. U(x) = p 1 u(x 1 ) + p 2 u(x 2 ) = E[u(x)] Dabei ist die Bernoulli-Nutzenfunktion u : R + R als streng steigend mit u (x) > 0 für alle x unterstellt. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 7/29

8 2.3 Sicherheitslinie und Erwartungswert Als Sicherheitslinie bezeichnet man die Menge der bedingten Konsumpläne x = (x 1,x 2 ), für die x 1 = x 2 gilt. Konsumpläne auf der Sicherheitslinie entsprechen einer degenerierten Lotterie, in der man mit Wahrscheinlichkeit 1 das Ergebnis x = x 1 = x 2 mit entsprechender Nutzenbewertung u( x) erhält. Der Erwartungswert eines Konsumplans ist E[x] = p 1 x 1 + p 2 x 2, so dass die Gleichung p 1 x 1 + p 2 x 2 = m x 2 = m p 2 p 1 p 2 x 1 eine Isoerwartungswertlinie beschreibt: die Menge der Konsumpläne x, welche Erwartungswert m besitzen. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 8/29

9 2.3 Sicherheitslinie und Erwartungswert Abbildung: Sicherheitslinie und zwei Isoerwartungswertlinien zu m > m. Im Schnittpunkt einer Isoerwartungswertlinie mit der Sicherheitslinie entspricht der Konsum in beiden Zuständen dem jeweiligen Erwartungswert. Die Steigung einer Isoerwartungswertlinie entspricht dem Negativen des Verhältnis der Zustandswahrscheinlichkeiten: p 1 /p 2. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 9/29

10 2.4 Indifferenzkurven und Grenzrate der Substitution Die Gleichung für eine Indifferenzkurve ist durch U(x) = k p 1 u(x 1 ) + p 2 u(x 2 ) = k gegeben. Da u > 0 angenommen wurde, ist die dargestellte Präferenzrelation streng monton: x > y U(x) > U(y). In Worten: Die Besserrichtung ist rechts-oben. Beachte: Die Isoerwartungswertlinien entsprechen den Indifferenzkurven eines risikoneutralen Individuums (u(x) = x.) Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 10/29

11 2.4 Indifferenzkurven und Grenzrate der Substitution Zur Erinnerung: Die Grenzrate der Substitution beschreibt die Steigung einer Indifferenzkurve und ist gleich U(x 1,x 2 )/ x 1 U(x 1,x 2 )/ x 2. Ökonomische Interpretation: Grenzrate der Substitution misst, wieviel Einheiten Konsum in Zustand 2 der Konsument bereit ist, für eine zusätzliche Einheit Konsum in Zustand 1 aufzugeben. Die Grenzrate der Substitution für die hier betrachteten Nutzenfunktion mit der Form U(x 1,x 2 ) = p 1 u(x 1 ) + p 2 u(x 2 ) ist p 1 u (x 1 ) p 2 u (x 2 ) < 0. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 11/29

12 2.5 Risikoaversion und Konvexität der Präferenzrelation Satz (Lokale Risikoneutralität) Im Schnittpunkt mit der Sicherheitslinie entspricht die Steigung einer jeder Indifferenzkurve dem Negativen des Verhältnis der Zustandswahrscheinlichkeiten: x 2 = x 1 p 1 p 2 u (x 1 ) u (x 2 ) = p 1 p 2. Interpretation: Ganz gleich wie die differenzierbare Bernoulli-Nutzenfunktion eines Individuum beschaffen ist, entspricht die Grenzrate der Substitution in einem Punkt auf der Sicherheitslinie der Grenzrate der Substitution eines risikoneutralen Individuums. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 12/29

13 2.5 Risikoaversion und Konvexität der Präferenzrelation Zur Erinnerung: u 0 impliziert, dass u konkav ist. Dies bedeutet, dass die dargestellte Präferenzrelation risikoavers ist. u < 0 impliziert, dass u streng konkav ist. Dies bedeutet, dass die dargestellte Präferenzrelation streng risikoavers ist. Satz (Risikoaversion und Konvexität der Präferenzrelation) Ist die Bernoulli-Nutzenfunktion u (streng) konkav, so ist die Präferenzrelation auf X (streng) konvex. Insbesondere sind alle Indifferenzkurven (streng) konvexe Funktionen von x 1. Wie beweist man das? Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 13/29

14 2.5 Risikoaversion und Konvexität der Präferenzrelation Abbildung: Im Schnittpunkt mit der Sicherheitslinie sind Indifferenzkurven tangential zu der Isoerwartungswertlinie durch den gleichen Punkt. (Strenge) Risikoaversion bedeutet, dass die Indifferenzkurve ansonsten (streng) oberhalb dieser Isoerwartungswertlinie verlaufen muss. Das Bild stellt den Fall p 1 = 1/4, p 2 = 3/4, u(x) = ln(x) dar. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 14/29

15 2.5 Risikoaversion und Konvexität der Präferenzrelation Beachte: Konvexität der Präferenzrelation in Verbindung mit lokaler Risikoneutralität impliziert, dass jede Bewegung entlang einer Isoerwartungswertlinie in Richtung auf die Sicherheitslinie zu einer besseren Lotterie führt. In diesem Sinne werden nicht nur sichere Lotterien unsicheren Lotterien mit dem gleichen Erwartungswert vorgezogen (Definition der Risikoaversion), sondern weniger riskante Lotterien (näher an der Sicherheitslinie) werden bei gleichem Erwartungswert vorgezogen. In dem hier betrachteten Fall (Zustandwahrscheinlichkeiten fix, nur zwei Ergebnisse) bedeutet weniger riskant in diesem Sinne das gleiche wie geringere Varianz. Im allgemeinen gilt das so aber nicht: Risikoaverse Individuen können bei gleichem Erwartungswert eine Lotterie mit grösserer Varianz vorziehen. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 15/29

16 2.6 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie Das Sicherheitsäquivalent eines bedingten Konsumplans x = (x 1,x 2 ) ist durch den Schnittpunkt der Indifferenzkurve durch x mit der Sicherheitslinie bestimmt: Dieser Schnittpunkt beschreibt den sicheren Geldbetrag, der genauso gut wie x ist. Die Risikoprämie kann dann aus dem Vergleich mit dem Schnittpunkt der Isoerwartungswertlinie durch x mit der Sicherheitslinie bestimmt werden. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 16/29

17 2.6 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie Abbildung: Bestimmung des Sicherheitsäquivalent c als Schnittpunkt der Indifferenzkurve durch den betrachteten Konsumplan mit der Sicherheitslinie. Die Risikoprämie π = m c kann ebenfalls im Bild abgelesen werden. Das Bild stellt den Fall p 1 = p 2 = 1/2 und u(x) = ln(x) dar. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 17/29

18 2.7 Das Mass der Absoluten Risikoaversion Ziel dieses Abschnittes ist zu zeigen, dass ein enger Zusammenhang zwischen der Krümmung der Indifferenzkurven und dem Mass der absoluten Risikoaversion besteht. Insbesondere: Das Mass der absoluten Risikoaversion ist proportional zur zweiten Ableitung einer Indifferenzkurve in ihrem Schnittpunkt mit der Sicherheitslinie. Zur Erinnerung: Das Mass der absoluten Risikoaversion der Bernoulli-Nutzenfunktion u ist wie folgt definiert: ρ A (x,u) = u (x) u (x) Um den erwähnten Zusammenhang herzustellen, sind einige Vorarbeiten erforderlich. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 18/29

19 2.7 Das Mass der Absoluten Risikoaversion Die Lösung der Gleichung U(x 1, f (x 1 )) = k beschreibt die Indifferenzkurve zu dem Nutzenniveau k als Funktion, die x 2 = f (x 1 ) in Abhängigkeit von x 1 angibt. Die Steigung dieser Funktion entspricht der Grenzrate der Substitution, die wir bereits bestimmt haben: f (x 1 ) = p 1 p 2 u (x 1 ) u ( f (x 1 )) und von der wir wissen (lokale Risikoneutralität), dass f (x 1 ) = p 1 p 2 an der Stelle f (x 1 ) = x 1 gilt. Unser Ziel ist es, die zweite Ableitung der Indiffenzkurve, f, zu bestimmen. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 19/29

20 2.7 Das Mass der Absoluten Risikoaversion Leite dazu beide Seiten von f (x 1 ) = p 1 p 2 u (x 1 ) u ( f (x 1 )) nach x 1 ab (Quotientenregel und Kettenregel): f (x 1 ) = p 1 p 2 u (x 1 )u ( f (x 1 )) u ( f 2 (x 1 )) f (x 1 )u (x 1 ) (u ( f 2 (x 1 ))) 2. (1) Betrachte nun einen Punkt auf der Sicherheitslinie, so dass man auf der rechten Seite von (1) f (x 1 ) durch x 1 und f (x 1 ) durch p 1 /p 2 ersetzen kann. Das Ergebnis ist: f (x 1 ) = p 1 p 2 ( 1 + p 1 p 2 ) u (x 1 ) u (x 1 ) = p 1 u (x 1 ) p 2 2 u (x 1 ) (2) Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 20/29

21 2.7 Das Mass der Absoluten Risikoaversion Unter Verwendung der Definition des Mass der absoluten Risikoaversion erhält man aus (2): Satz (Mass der Absoluten Risikoaversion und Krümmung der Indifferenzkurven) In jedem Punkt ( x, x) auf der Sicherheitslinie gilt für die zweite Ableitung der Indifferenzkurve durch ( x, x): f ( x) = p 1 p 2 ρ A ( x,u). 2 Insbesondere ist ein Individuum also risikoaverser als ein anderes Individuum, wenn seine Indifferenzkurven im Zustandsraum zumindest in der Nähe der Sicherheitslinie stärker gekrümmt sind. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 21/29

22 2.7 Das Mass der Absoluten Risikoaversion Abbildung: Bernoulli-Nutzenfunktion v ist streng risikoaverser als Bernoulli-Nutzenfunktion u. Die Indifferenzkurve zu v ist stärker gekrümmt. Das Bild stellt den Fall p 1 = p 2 = 1/2, u(x) = e 0.5x und v(x) = e x dar. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 22/29

23 2.7 Das Mass der Absoluten Risikoaversion Satz Die Betrachtung der vorhergehenden Abbildung suggeriert eine alternative Charakterisierung der risikoaverser als -Beziehung: Ein Individuum mit Bernoulli-Nutzenfunktion v ist genau dann risikoaverser als ein Individuum mit Bernoulli-Nutzenfunktion u, wenn für alle m und x gilt: E[v(x)] v(m) E[u(x)] u(m). Gilt in der Implikation strenge Ungleichung für x (m,m) so ist das Individuum mit Bernoulli-Nutzenfunktion v streng risikoaverser. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 23/29

24 2.8 Risikoaversion und Vermögen Konstante absolute Risikoaversion bedeutet, dass alle Indifferenzkurven die gleiche Krümmung im Schnittpunkt mit der Sicherheitslinie aussehen In der Tat: Alle Indifferenzkurven resultieren aus der Parallelverschiebung einer einzigen Indifferenkurve entlang der Sicherheitslinie. Fallende absolute Risikoaversion bedeutet, dass die Indifferenkurven um so weniger gekrümmt sind, je höher ihr Schnittpunkt mit der Sicherheitslinie liegt. Steigende absolute Risikoaverion bedeutet, dass die Indifferenzkurven um so stärker gekrümmt sind, je höher ihr Schnittpunkt mit der Sicherheitslinie liegt. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 24/29

25 2.8 Risikoaversion und Vermögen Abbildung: Indifferenzkurven einer CARA-Nutzenfunktion. Die Grenzrate der Substitution ist entlang einer jeden Parallelen zur Sicherheitslinie (hier rot dargestellt) konstant. Das Bild stellt den Fall p 1 = p 2 = 1/2, u(x) = e 0.5x dar. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 25/29

26 2.8 Risikoaversion und Vermögen Abbildung: Indifferenzkurven einer DARA-Nutzenfunktion. Die Krümmung der Indifferenzkurven im Schnittpunkt mit der Sicherheitslinie nimmt ab, je höher der Schnittpunkt liegt. Das Bild stellt den Fall p 1 = p 2 = 1/2, u(x) = x 0.1 dar. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 26/29

27 2.8 Risikoaversion und Vermögen Abbildung: Indifferenzkurven einer IARA-Nutzenfunktion. Die Krümmung der Indifferenzkurven im Schnittpunkt mit der Sicherheitslinie nimmt zu, je höher der Schnittpunkt liegt. Das Bild stellt den Fall p 1 = p 2 = 1/2, u(x) = 50x 2x 2 dar. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 27/29

28 2.8 Risikoaversion und Vermögen Konstante relative Risikoaversion impliziert, dass die Präferenzrelation im Zustandsraum homothetisch ist. Homothetisch bedeutet, dass die Grenzrate der Substitution entlang jedes Strahls durch den Ursprung konstant ist. Beweis dieser Aussage ist Übungsaufgabe. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 28/29

29 2.8 Risikoaversion und Vermögen Abbildung: Konstante relative Risikoaversion impliziert, dass die Grenzrate der Substitution entlang jedes Strahls durch den Ursprung (hier rot dargestellt) konstant ist. Das Bild stellt den Fall p 1 = p 2 = 1/2, u(x) = ln(x) dar. Versicherungsökonomie VL 2, FS 12 Risikopräferenzen im Zustandsraum 29/29