Vorlesung 1: Einleitung

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1 Vorlesung 1: Einleitung Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 1/17

2 1.1 Motivation In der Vorlesung Intermediate Microecoomics haben wir nur Entscheidungen bei Sicherheit betrachtet. In vielen Entscheidungssituationen hängt das Ergebnis aber nicht nur von der gewählten Aktion des Entscheidungsträgers, sondern auch von anderen Einflüssen ab, die aus Sicht des Entscheidungsträgers zufällig sind. Fragen: Wie können wir solche Unsicherheit beschreiben? Wie können wir Präferenzen über unsichere Ergebnisse (bzw. über Aktionen mit unsicheren Ergebnissen) beschreiben? Was bedeutet Rationalität in diesem Zusammenhang? Welche beobachtbaren Implikationen ergeben sich aus der Annahme des rationalen Verhaltens? Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 2/17

3 1.2. Entscheidung unter Risiko In der Vorlesung werden wir eine bestimmte Form von Entscheidungen unter Unsicherheit modellieren, die zumeist als Entscheidung unter Risiko bezeichnet wird. Damit ist gemeint, dass ein Individuum zwar nicht mit Bestimmtheit wissen kann, welche Konsequenz die Wahl einer Aktion hat, dass aber eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die möglichen Konsequenzen einer Aktion als Teil der Beschreibung des Entscheidungsproblems gegeben ist. Mit anderen Worten: Es wird die Auswahl aus einer Menge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen modelliert. An dieser Stelle werden wir einige hierzu erforderliche Grundbegriffe einführen. Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 3/17

4 1.3 Lotterien Eine Lotterie wird durch zwei Objekte beschrieben: 1. Eine Menge von möglichen Ergebnissen oder Konsequenzen. 2. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der Ergebnisse. Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 4/17

5 1.3 Lotterien Beispiel für eine Lotterie: Sie können entweder 60 Franken oder 20 Franken gewinnen. Diese Ergebnisse treten jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0.5 ein. Grafische Darstellung durch einen Wahrscheinlichkeitsbaum: Jeder Endknoten stellt ein Ergebnis dar, welches entsprechend vermerkt ist. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ergebnis eintritt, ist an der Kante vermerkt, die zu dem jeweiligen Endknoten führt. Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 5/17

6 1.3 Lotterien Beispiel für ein Entscheidungsproblem mit Lotterien: Sie haben die Wahl zwischen Lotterien A und B (d.h. Sie müssen sich für eine der beiden entscheiden). Welche wählen Sie? Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 6/17

7 1.3 Lotterien Im Prinzip kann man sich die Menge der möglichen Ergebnisse sehr allgemein vorstellen Wir werden jedoch ausser in einigen Beispielen zunächst davon ausgehen, dass die Menge der möglichen Ergebnisse, die mit X bezeichnet wird, endlich viele Elemente enthält: X = {x 1,,x n }, Zumeist betrachten wir den Fall sogenannter monetärer Lotterien, bei dem x i R für alle i = 1,,n gilt und diese Ergebnisse als Geldbeträge interpretiert werden. Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 7/17

8 1.3 Lotterien Sind die Ergebnisse durch X = {x 1, x n } gegeben, so kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Ergebnisse als p = (p 1,, p n ) mit 0 p i 1 und n i=1 p i = 1 geschrieben werden, wobei p i die Wahrscheinlichkeit ist, mit der das Ergebnis x i eintritt. Eine entsprechende Lotterie kann dann als L = (x 1, p 1 ; ;x n, p n ) geschrieben werden. Man bezeichnet eine solche Lotterie auch als einfache Lotterie. Ist aus dem Kontext klar, was die Menge der möglichen Ergebnisse ist, so schreibt man vereinfachend L = (p 1,, p n ). Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 8/17

9 1.4 Der Erwartungswert einer monetären Lotterie Ein (aus historischer Sicht) natürlicher Ansatz zur Bewertung von monetären Lotterien, ist die Betrachtung des Erwartungswertes. Definition (Erwartungswert) Der Erwartungswert einer monetären Lotterie ist E[L] = n i=1 p i x i. Beachte, dass die Definition des Erwartungswertes voraussetzt, dass es sich bei den Ergebnisse um reelle Zahlen handelt deswegen betrachten wir hier nur monetäre Lotterien. Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 9/17

10 1.4 Der Erwartungswert einer monetären Lotterie Die Berechnung der Erwartungswerte führt auf ein natürliches Entscheidungskriterium: Erwartungswertkriterium Entscheide Dich bei der Auswahl zwischen zwei Lotterien L und L für diejenige, mit dem grösseren Erwartungswert. Aus Sicht der modernen Entscheidungstheorie bezeichnet man ein Individuum, dessen Auswahlentscheidungen durch das Erwartungswertkriterium beschrieben werden, als risikoneutral. Das Problem ist, dass sich viele Individuen in den meisten Situationen offenkundig nicht risikoneutral verhalten. Hinzu kommt, dass das Erwartungswertkriterium nichts zur Beschreibung der Entscheidung bei Lotterien mit nicht-monetären Konsequenzen beitragen kann. Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 10/17

11 1.4 Der Erwartungswert einer monetären Lotterie Beispiel für ein Entscheidungsproblem mit Lotterien: Welche der beiden Lotterien A und B würden Sie wählen? Ist Ihre Entscheidung mit dem Erwartungswertkriterium vereinbar? Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 11/17

12 1.5 Bernoulli und das St. Petersburg-Paradoxon Daniel Bernoulli ( ) lehrte ab 1733 an der Universität Basel. veröffentlichte 1738 einen Aufsatz, in dem als erster eine Erwartungsnutzenbewertung von monetären Lotterien vorschlug. bis dahin wurde lediglich das Erwartungswertkriterium betrachtet. Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 12/17

13 1.5 Bernoulli und das St. Petersburg-Paradoxon Das folgende Beispiel, welches Bernoulli betrachtete, wurde als das St. Petersburg-Paradoxon bekannt: Eine Münze wird so oft geworfen, bis sie auf Kopf landet. Landet sie beim ersten Wurf auf Kopf, erhält man zwei Franken... Landet sie beim zweiten Wurf auf Kopf, erhält man vier Franken... usw., d.h. landet sie beim i-ten Wurf auf Kopf erhält man 2 i Franken. Die dazugehörige Lotterie ist durch X = {x i R x i = 2 i mit i N} und p i = 1/2 i für i N gegeben. Beachte: Dieses ist keine einfache Lotterie. Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 13/17

14 1.5 Bernoulli und das St. Petersburg-Paradoxon Der Erwartungwert der betrachteten Lotterie ist eine unendliche Summe: E[L] = i=1 p i x i = = =, so dass nach dem Erwartungswertkriterium diese Lotterie jedem sicheren Geldbetrag ganz gleich wie hoch er ist vorzuziehen wäre. Anders gesagt: das Erwartungswertkriterium impliziert, dass man jeden beliebigen Geldbetrag dafür zahlen sollte, an diesem Spiel teilzunehmen. Wieviel würden Sie zahlen? Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 14/17

15 1.5 Bernoulli und das St. Petersburg-Paradoxon Bernoullis Lösungsvorschlag: Vergleiche monetäre Lotterien nicht an Hand ihres Erwartungswertes, sondern berechne von jedem Ergebnis zuerst den (natürlichen) Logarithmus: u i = ln(x i ), bilde dann den Erwartungswert der so transformierten Ergebnisse, U(L) = n i=1 p i u i = n i=1 und ersetze E[L] durch U(L) in dem Erwartungswertkriterium. p i ln(x i ), Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 15/17

16 1.5 Bernoulli und das St. Petersburg-Paradoxon Anwendung von Bernoulli s Lösungsvorschlag auf die St.Petersburg-Lotterie ergibt: U(L) = i=1 = ln(2) 1 2 i ln(2i ) i i=1 2 i = ln(2) 2 = ln(4). Die Schlussfolgerung ist, dass die St. Petersburg-Lotterie genauso gut ist, wie den Geldbetrag 4 mit Sicherheit zu erhalten Anmerkungen: Die St. Petersburg-Lotterie ist ein Gedankenexperiment. Bernoullis Erwartungsnutzenbewertung erscheint genauso willkürlich wie das Erwartungswertkriterium. Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 16/17

17 1.6 Weiteres Vorgehen In Analogie zum Fall der Entscheidung unter Unsicherheit werden wir Entscheidungen unter Risiko durch eine rationale Präferenzrelation auf der Menge der möglichen Lotterien modellieren... und dann weitere Annahmen an diese Präferenzrelationen einführen... sowie deren Konsequenzen für eine Nutzendarstellung untersuchen. Im Zentrum steht dabei die Modellierung von risikoaversen Verhalten sowie die Frage unter welchen Annahmen eine Präferenzrelation über Lotterien eine Erwartungsnutzendarstellung besitzt. Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 17/17