Diskrete Verteilungen

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1 Diskrete Verteilungen

2 Bernoulli-Verteilung: X Bernoulli( ) Symbol für «verteilt wie» «Eperiment» mit zwei Ausgängen: «Erfolg» (X 1) oder «Misserfolg» (X ). Die Erfolgswahrscheinlichkeit sei. Wertebereich: W,1 Wa keitsfunktion: P X 1 p; P X 1 p Erwartungswert / Varianz (nachrechnen!) E X p Var X p 1 p 1

3 Bernoulli-Verteilung (p.3) 1.8 P[X = ] P[X ] 1 2

4 Bernoulli-Verteilung: Beispiele «Eperiment» und «Erfolg» können vieles bedeuten: Erdbeben tritt ein (X 1) vs. Erdbeben tritt nicht ein (X ). Qualitätsanforderung erfüllt (X 1) vs. Qualitätsanforderung nicht erfüllt (X ) (bzw. umgekehrt). Gesund (X=1) vs. krank (X=). Usw Also immer wenn etwas zwei mögliche Ausgänge hat, kann man die Bernoulli- Verteilung verwenden. 3

5 Binomialkoeffizient Wir werden jetzt n unabhängige Eperimente betrachten und wir zählen die Anzahl Erfolge. Wieviel Möglichkeiten gibt es für k Erfolge in n Eperimenten? n! Dies ist gegeben durch den Binomialkoeffizient k.!! Beispiel: Anzahl Möglichkeiten für 1 Erfolg in 5 Eperimenten: 1, 1, 1, 1, 1 und Beispiel: Anzahl Möglichkeiten für 2 Erfolge in 4 Eperimenten: 11, 11, 11, 11, 11, 11 und

6 Binomialverteilung: X Bin(, ) X sei die Summe von n unabhängigen Bernoulli verteilten Zufallsvariablen mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit p. D.h. X zählt die Anzahl «Erfolge» in n unabhängigen «Versuchen» (mit individueller Erfolgsw keit p). Wertebereich: W,1,,n Wa keitsfunktion: P X n p 1 p für W (siehe Kapitel C.1 im Skript) Erwartungswert und Varianz: E X np Var X np 1 p 5

7 Binomialverteilung n 1, p.3.3 P[X = ] P[X ]

8 Binomialverteilung n 1, p.5.3 P[X = ] P[X ]

9 Binomialverteilung: Beispiel Sei p.15 die W keit, dass eine Betonprobe mangelhaft ist. («Erfolg» = mangelhaft) Sei X die Anzahl mangelhafter Proben von insgesamt 1 (unabhängigen) Proben. X ist also Binomial-verteilt: X Bin n,p mit n 1und p.15. Damit können wir diverse Sachen berechnen. 8

10 Binomialverteilung: Beispiel Was ist die W keit, dass von 1 Proben keine mangelhaft ist? P X 1 p 1 p 1 p.85 Was ist die W keit, dass von 1 Proben mindestens eine mangelhaft ist? P X 1 1 P X 1.85 Was ist die W keit, dass von 1 Proben genau zwei mangelhaft sind? P X p 1 p

11 Binomialverteilung: Bemerkungen Die «Anzahl Versuche» n ist in der Regel aus dem Kontet vorgegeben. Die W keit p ist dagegen ein Parameter, der in der Regel unbekannt ist (bis jetzt haben wir einfach entsprechende Annahmen getroffen). Typischerweise will man p aus Daten schätzen (siehe später). Bis auf Weiteres tun wir so, als ob wir p kennen würden. 1

12 Geometrische Verteilung: X Geom( ) X sei die Anzahl Wiederholungen von unabhängigen Bernoulli( ) Eperimenten bis zum ersten Erfolg. Beispiel: Werfe eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Zahl erscheint und notiere die Anzahl Würfe. Wertebereich: W 1,2,3, (unbeschränkt!) Es gilt P X 1 p p für W. 1Misserfolge 1 Erfolg Bemerkung: Wir brauchen jetzt keinen Binomialkoeffizient, weil die Misserfolge alle bevor dem Erfolg passieren müssen. 11

13 Geometrische Verteilung Erwartungswert und Varianz E X 1/p; Var X Erwartungswert entspricht der mittleren Wartezeit bis zum ersten «Erfolg», wird auch als Wiederkehrperiode bezeichnet. Die kumulative Verteilungsfunktion hat eine einfache Form: F 1 p p 1 1 p für W. (geometrische Reihe) 12

14 Geometrische Verteilung p.5 P[X = ] P[X ]

15 Geometrische Verteilung p.3 P[X = ] P[X ]

16 Poisson-Verteilung: X Pois λ, λ Anwendung: Modellierung von (unbeschränkten) Anzahlen. Wertebereich: W,1,2, (unbeschränkt) Wa keitsfunktion: P X e! für W. Erwartungswert / Varianz (hier identisch!) E X λ Var X λ 15

17 Poisson-Verteilung λ.3 P[X = ] P[X ]

18 Poisson-Verteilung λ 2.3 P[X = ] P[X ]

19 Poisson-Verteilung λ 6.3 P[X = ] P[X ]

20 Poisson-Verteilung: Eigenschaften Es gilt: Pois λ Bin n,p, für n gross, p klein und np λ. D.h. die Poisson-Verteilung kann interpretiert werden als Verteilung der Anzahl Ereignisse für seltene Ereignisse (p klein) bei vielen (n gross) unabhängigen Versuchen. Ist X Pois λ,y Pois λ, unabhängig, dann ist X Y Pois λ λ 19

21 Poisson-Verteilung: Beispiel Ein Callcenter wird im Schnitt alle 12 Sekunden angerufen. D.h. wir haben im Schnitt 5 Anrufe pro Minute. Die Anzahl Anrufe pro Minute modellieren wir mit der Zufallsvariablen X, für die wir eine Poissonverteilung annehmen (viele Leute könnten potentiell anrufen, jeder hat jedoch eine tiefe W keit dies zu tun): Was ist die W keit, dass innerhalb einer Minute keine Anrufe eingehen? X Pois 5 ; weil E X 5 P X e! e.674 2

22 Allgemeines Vorgehen Fragestellung (betreffend unsicherem Phänomen) Bsp: Erwartete Anzahl Überschwemmungen in den nächsten 1 Jahren? Annahmen Bsp: Jährliche W keit sei p.1, Ereignisse in verschiedenen Jahren seien unabhängig. Modell Bsp: Modelliere Anzahl Überschwemmungen mit Binomialverteilung. Antwort (basierend auf Modell) Bsp: Erwartete Anzahl, W keit dass keine Überschwemmung, etc. 21