Lösungsskizzen zur Präsenzübung 03

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1 Lösungsskizzen zur Präsenzübung 03 Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 2015/2016 Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Veröffentlicht am 16. November 2015 von: Mirko Getzin Homepage: Tutor zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 2015/2016. Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das Dokument hat lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung beim Verständnis der Vorlesungsinhalte darzustellen und Lösungsideen für die Aufgaben möglichst vollständig (bis auf Ausnahmen) zu skizzieren. Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses Dokuments erlaubt. Angehängt befindet sich das Aufgabenblatt, sowie der pdf-ausdruck von verwendeten Tabellenblättern. Die Tabellenblätter sind im ods-format auf der unten angegebenen Homepage zu finden. 1

2 Lösungsskizzen Lösung zur Aufgabe 1 (Zufallsexperimente). Wir wiederholen zunächst die Definition eines Zufallsexperimentes gemäß Vorlesung. Abb. 0.1: Auszug aus dem 2. Vorlesungsleitfaden zum Zufallsexperiment. Das Paar (Ω, p) besteht also aus zwei grundlegend verschiedenen mathematischen Objekten. Ω ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Jedes Ergebnis bezeichnen wir entsprechend mit ω und identifizieren es als Element ω Ω. Die Ergebnisse ω können bereits Tupel, Tripel, Quadrupel oder allgemeine n-tupel sein, d.h. ω = (ω 1,..., ω n ). In diesem Fall heißen die ω i für i = 1,..., n Beobachtungswerte und wir können Grundräume Ω i für alle verschiedenen Beobachtungswerte angeben, so dass Ω = Ω 1... Ω n gilt. Teilmengen von Ω bezeichnen wir als Ereignisse A Ω. Sie umfassen alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments, die eine bestimmte Eigenschaft oder Bedingung erfüllen. Die Mengen der Form A = {ω} heißen Elementarereignisse, da sie aus lediglich einem Ergebnis resultieren. Im Rahmen eines Zufallsexperiments können wir schließlich jedem Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Diese Zuordnung ermöglicht uns die Wahrscheinlichkeitsdichte p als Abbildung p : Ω [0, 1]. Wir bilden mit p also Ergebnisse auf Zahlen zwischen 0 und 1 ab und bemerken, dass auch Wahrscheinlichkeiten immer mit Werten zwischen 0 und 1 angegeben werden. In der Tat handelt es sich dabei also um die zugeordneten Wahrscheinlichkeiten eines Ergebnisses im Zufallsexperiment. Wichtig: Im Leitfaden ist ein Fehler. Die Summe über alle p(ω) muss 1 ergeben, damit p tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf Ω ist. 2

3 Beispiel 0.1 (Zufallsexperimente). a) Der faire Münzwurf. Wir stellen uns eine Münze mit den Seiten Kopf (K) und Zahl (Z) vor. Wenn wir diese Münze einmal werfen, erhalten wir als Ergebnis Kopf oder Zahl. Der Ergebnisraum ist also Ω := {K, Z}. Aus Anwendungsgründen eignet sich häufig auch die Kodierung der Ergebnisse mit den Zahlen 0 und 1. Wir können also auch Ω := {0, 1} für den Grundraum setzen. Wichtig ist zunächst nur, dass wir in unserem Grundraum zwei unterscheidbare Ergebnisse wiederfinden. Um ein Zufallsexperiment zu definieren, müssen wir jedoch auch noch festlegen, wie die Wahrscheinlichkeitsdichte die Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Da wir hier einen fairen Münzwurf betrachten, definieren wir p(ω) := 1 für ω = 0, 1 bzw. ω = K, Z. Dann gilt p(ω) = = ω Ω und wir haben eine Wahrscheinlichkeitsdichte mit p auf Ω definiert. Dann ist (Ω, p) das Zufallsexperiment des fairen Münzwurfs. Würden wir entsprechend ungleiche Wahrscheinlichkeiten für beide Ergebnisse definieren, handelt es sich um den unfairen Münzwurf - beispielsweise mit einer gezinkten Münze oder besonderen Wurftechniken. b) Der einfache, faire Würfelwurf. Wir stellen uns einen handelsüblichen sechsseitigen Würfel vor. Wenn wir diesen Würfel einmal werfen, erhalten wir die Beobachtungswerte 1, 2, 3, 4, 5, 6. Daher definieren wir für dieses Zufallsexperiment Ω := {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Auch hier wollen wir davon ausgehen, dass der Würfelwurf fair ist, d.h. alle Ergebnisse treten gleich-wahrscheinlich auf. Dann definieren wir p, indem wir für jedes Ergebnis p(ω) := 1 definieren. Es gilt wieder 6 p(ω) = 1 und insgesamt ist (Ω, p) das Zufallsexperiments des einfachen, fairen Würfelwurfs. ω Ω c) Der zweifache, faire Würfelwurf. Betrachten wir einen zweifachen Wurf mit einem fairen, sechsseitigen Würfel, so sind die Ergebnisse des Zufallsexperiments von der Form ω = (ω 1, ω 2 ). Findest du einen geeigneten Ergebnisraum und die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte, so dass alle Ergebnisse gleich-wahrscheinlich sind? Wofür stehen die beiden Beobachtungswerte ω 1 und ω 2? Bemerkung 0.2. a) Wir nennen Zufallsexperimente (Ω, p) Laplace-Experimente, falls alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit aufweisen, d.h. es gilt p(ω) = 1 Ω ω Ω. b) Wir können im Allgemeinen für abzählbare Ergebnisräume Ω die Wahrscheinlichkeitsdichte p definieren, indem wir für jedes Ergebnis ω Ω die Wahrscheinlichkeit p(ω) angeben. 3

4 Lösung zur Aufgabe 2 (Kartenspiele als Zufallsexperimente). a) Wir unterscheiden in diesem Zufallsexperiment zwischen zwei Beobachtungswerten, nämlich ω 1 {,,, } =: Ω 1 und ω 2 {7, 8, 9, 10, B, D, K, A} =: Ω 2. Wir erhalten somit den Ergebnisraum Ω = Ω 1 Ω 2 aller Ergebnisse (ω 1, ω 2 ), wobei jedes Ergebnis einer Karte entspricht. Die Karte wird dargestellt als Kombination der Spielfarbe und der Spielzahl. Insgesamt werden so alle 32 Karten in der Ergebnismenge berücksichtigt, denn in der Tat gilt Ω = Ω 1 Ω 2 = 4 8 = 32. Die Pik-Dame entspricht zum Beispiel dem Ergebnis (, D) Ω. Es ist (Ω, p) das gesuchte Zufallsexperiment. Da es sich um eine Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeiten beim komplett gemischten Kartenspiel handelt, definieren wir p : Ω [0, 1] durch p(ω) := p((ω 1, ω 2 )) := 1 Ω = 1 32 ω Ω. Insbesondere ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 und p somit eine Wahrscheinlichkeitsdichte. b) Wir erhalten die Ereignisse A, B Ω wie folgt: A = {(, ω 2 ) Ω} = {(ω 1, ω 2 ) Ω ω 1 = } und B = {(ω 1, K) Ω} = {(ω 1, ω 2 ) Ω ω 2 = K}. Wir erkennen hier, dass unsere Wahlen in Aufgabe a) für das Zufallsexperiment besonders geeignet erscheint, da wir zwischen den Beobachtungswerten der Spielfarbe und der Spielzahl sehr leicht unterscheiden können. Zusatzaufgabe: Erkläre mit dem Ergebnis von b), warum Ω = {1, 2, 3,..., 31, 32} zwar eine mögliche Wahl des Ergebnisraums für dieses Zufallsexperiment darstellt, jedoch weniger elegant als die getroffene Wahl ist. c) (i) Analog zu Aufgabenteil a) definieren wir für das neue Kartenspiel einen Ergebnisraum Ω := {,,, } {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, B, D, K, A}. Dann ist der Ergebnisraum für das gesuchte Zufallsexperiment Ω Set = Ω Ω und unsere Ergebnisse sind von der Form (ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ), wobei die ersten beiden Beobachtungswerte die Karte aus dem Kartenstapel von Aufgabe a) und b) darstellen und die letzten beiden Beobachtungswerte die Karte aus dem neuen Kartenstapel darstellen. Da das neue Kartenset 52 Karten inne hat, gilt nun Ω Set = = Gemäß eines fairen Kartenspiels gehen wir davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer bestimmten Karte stets gleich ist. Wir definieren also p : Ω Set [0, 1], p (ω) := = 4

5 1 ω = (ω , ω 2, ω 3, ω 4 ) Ω Set. Das neue Zufallsexperiment ist nun also das Tupel (Ω Set, p ). (ii) Da wir alle vier Beobachtungswerte der insgesamt zwei gezogenen Spielkarten problemlos unterscheiden können, erhalten wir die Ereignisse wie folgt: A = {(, ω 2,, ω 4 ) Ω Set } = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) Ω Set ω 1 = ω 3 = } und B = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) Ω Set ω 2 = K ω 4 = K}. 5

6 Universität Bielefeld Wintersemester 2015/16 G. Elsner Präsenzübungen zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik Blatt 3 Aufgabe 1 Wiederholen Sie die Definition eines Zufallsexperiments und denken Sie sich drei möglichst unterschiedliche Beispiele aus. Tauschen Sie sich über Ihre Ergebnisse in Zweier- oder Dreiergruppen aus (bevor Sie die nächste Aufgabe bearbeiten)! Aufgabe 2 Gegeben sei ein Skatblatt, bestehend aus vier Farben (Pik, Herz, Karo, Kreuz) mit jeweils den Karten Sieben, Acht, Neun, Zehn, Bube, Dame, König, As. Es wird zufällig eine Karte gezogen. a) Geben Sie eine geeignete formale Beschreibung des Zufallsexperimentes (d.h. die Ergebnismenge Ω und die Wahrscheinlichkeitsfunktion p : Ω [0; 1]) an. b) Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse formal (d.h. als Teilmengen der Ergebnisraumes) und geben Sie ihre Wahrscheinlichkeiten an. A: Die gezogene Karte ist eine Pik-Karte. B: Die gezogene Karte ist ein König. c) Zu dem Skatspiel nimmt man noch ein zweites Kartendeck mit einem französisches Blatt, d.h. ein Kartenspiel, das aus den Farben Pik, Herz, Karo, Kreuz mit jeweis den Karten Zwei, Drei, Vier, Fünf, Sechs, Sieben, Acht Neun, Zehn, Bube, Dame, König, As besteht, hinzu. Aus jedem Deck wird zufällig eine Karten gezogen. (i) Geben Sie eine geeignete formale Beschreibung des Zufallsexperimentes (d.h. die Ergebnismenge Ω und die Wahrscheinlichkeitsfunktion p : Ω [0; 1]) an. (ii) Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse formal (d.h. als Teilmengen der Ergebnisraumes) und geben Sie ihre Wahrscheinlichkeiten an. A: Beide Karten sind Pik-Karten. B: Mindestens eine der Karten ist ein König. (Hinweis: Verwenden Sie geeignete Abkürzungen und sparen Sie sich überflüssige Schreibarbeit!) 6