Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung

Transkript

1 Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Minimale spannende Bäume 5. Färbungen und Cliquen 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken und Anwendungen 8. Bipartite Graphen 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

2 Gliederung des Kapitels a) Einordnung / Motivation b) c) Wegbasierte Algorithmen 7/, Folie 015 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

3 u Begriff: Fluss es sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion ein Fluss für G ist eine Funktion f(.), die jeder Kante e in E eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet, wobei für jeden Knoten v V mit v s und v t gilt: f((u,v)) = f((v,u)) (u,v) E (v,u) E... in jeden Knoten fließen genauso viele Produkte heraus wie hinein (/* Flusserhaltungs-Bedingung */) 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

4 u Begriff: zulässiger Fluss sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei f(.) ein Fluss für G f(.) ist zulässig, falls für alle Kanten e E gilt: 0 f(e) c(e)... die Kapazitäten beschränken, wie viele Produkte entlang einer Kante maximal fließen können (/* Kapazitätsbeschränkungs-Bedingung */) 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

5 u Begriff: Wert eines zulässigen Flusses sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei f(.) ein zulässiger Fluss in G sei E E so gewählt, dass E alle Kanten mit dem Endknoten t enthält der Wert val(f) des Flusses f(.) bestimmt sich wie folgt: val(f) = f(e) e E 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

6 u Beispiel gegebenes Flussnetzwerk G = (V,E) mit... s t 3 4 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

7 u Beispiel zulässiger Fluss f(.) für G (/* wenn an einer Kante e der Wert (f,c) steht, so gilt f(e) = f und c(e) = c */) mit dem Wert val(f) = 3 s (1,) (1,4) 1 (0,) (3,7) 3 t (,3) (3,4) 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

8 u Algorithmische Problem gegeben: ein Flussnetzwerk, d.h. ein gerichteter Graph mit einer Quelle s und einer Senke t eine Funktion c(.), die jeder Kante eine ganze Zahl größer 0 als Kapazität zuordnet gesucht: ein zulässiger Fluss f(.) für G, für den gilt, dass der Wert des Flusses val(f) maximal ist 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

9 u Anmerkungen wir werden uns zunächst einen nahe liegenden Lösungsansatz genauer ansehen feststellen, dass er nicht funktioniert und ihn im Anschluss so anpassen, dass das Gewünschte geleistet wird 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

10 u Zur Erinnerung ein Pfad von einem Knoten u zu einem Knoten v ist... ein Weg von einem Knoten u zu einem Koten v ist ein Pfad, in dem jede Kante nur einmal verwendet wird ein einfacher Weg von einem Knoten u zu einem Knoten v ist, ein Weg in dem jeder Knoten nur einmal benutzt wird wenn es einen Pfad von u nach v gibt, gibt es auch einen Weg von u nach v und auch einen einfachen Weg von u nach v 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

11 u Algorithmische Idee sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion 1) setze f(e) = 0 für alle e E ) prüfe, ob es in G einen einfachen Weg von der Quelle s zur Senke t gibt, so dass für alle Kanten e auf diesem Weg f(e) < c(e) gilt falls nein, gib den bisher bestimmten Fluss aus falls ja, sei W der gefundene Weg bestimme unter allen Kanten e auf dem Weg W diejenige Kante e*, für die der Wert c(e) - f(e) minimal ist setze h = c(e*) - f(e*) setze f(e) = f(e) + h für alle Kanten e auf dem Weg W gehe zu )... offenbar ist jeder Schritt ) erzeugte Fluss auch zulässig 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

12 u Beispiel gegebenes Flussnetzwerk G = (V,E) mit Quelle s, Senke t und der zugehörige Kapazitätsfunktion c(.) sowie der zu Beginn festgelegte zulässige Fluss f(.) s (0,) (0,4) 1 (0,) (0,7) 3 t (0,3) (0,4) 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

13 u Beispiel in Schritt ) kann der folgende rot markierte Weg gefunden werden s (0,) (0,4) 1 (0,) (0,7) 3 t (0,3) (0,4) Resultat von Schritt ) (/* Flussnetzwerk G mit dem aktuellen Fluss */) s (,) (,4) 1 (0,) (,7) 3 t (0,3) (,4) 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

14 u Beispiel in Schritt ) kann der folgende rot markierte Weg gefunden werden s (,) (,4) 1 (0,) (,7) 3 t (0,3) (,4) Resultat von Schritt ) (/* Flussnetzwerk G mit dem aktuellen Fluss */) s (,) (,4) 1 (0,) (4,7) 3 t (,3) (4,4) 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

15 u Beispiel in Schritt ) wird festgestellt, dass es keinen passenden Weg mehr gibt, der von der Quelle s zur Senke t geht s (,) (,4) 1 (0,) (4,7) 3 t (,3) (4,4) als Ergebnis wird ein zulässiger Fluss f(.) mit dem Wert val(f) = 4 ausgegeben 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

16 u Beispiel es gibt jedoch einen zulässigen Fluss f(.) mit dem Wert val(f) = 5 s (,) (1,4) 1 (1,) (5,7) 3 t (3,3) (4,4) 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

17 u Anmerkung der vorgestellte Lösungsansatz funktioniert nicht man könnte einwenden, dass die im Beispiel verwendeten Wege von der Quelle s zur Senke t nur ungeschickt ausgewählt wurden... wenn man das vermeiden will, bedarf es lokal überprüfbarer Kriterien (/* die bisher aber niemand kennt */)... nahe liegenden Kriterien (/* bspw. unter allen möglichen Wegen einen kürzesten Weg zu benutzen bzw. einen, der den aktuellen Fluss maximal vergrößert */) taugen nicht 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

18 u Modifiziertes Beispiel (zur Illustration) (0,) (0,) (0,4) 1 (0,) (0,) s (0,4) (0,4) 3 t (0,7) 1 (0,) (0,) (0,)... gemäß beider Kriterien wird der rot markierte Weg ausgewählt und (wie gehabt) ein zulässiger Fluss f(.) mit val(f) = 4 bestimmt... es gibt jedoch (wie gehabt) einen Fluss f(.) mit val(f) = 5 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

19 u Anmerkungen um den Wert eines maximalen Flusses in einem Flussnetzwerk zu bestimmen, genügt es nicht, zu Beginn einen Fluss f(.) zu bestimmen zu überprüfen, ob es in G noch einen Weg von s zu t gibt, über den noch Produkte fließen können, und - falls das der Fall ist - f(.) geeignet zu vergrößern... dieser Ansatz funktioniert jedoch in einer leicht modifizierten Form... bevor wir die relevanten Details ausarbeiten, schauen wir uns genauer an, welche Eigenschaften zulässige Flüsse haben 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

20 u Begriff: (s,t)-schnitt sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei (S,T) eine Zerlegung der Knotenmenge V, d.h. es gilt S T = V und S T = (S,T) ist ein (s,t)-schnitt, falls gilt: s S und t T 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

21 u Beispiel s t 3 4 S = { s } S = { s,1 }, S = { s, }, S = { s,3 } S = { s,1, }, S = { s,1,3 }, S = { s,,3 } S = { s,1,,3 } 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

22 u Hilfsbegriff: relevante Kanten eines (s,t)-schnitt sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion es sei (S,T) ein (s,t)-schnitt jede Kante e = (u,v) mit u S und v T nennen wir relevante Kante für den (s,t)-schnitt (S,T)... relevante Kanten sind den Schnitt kreuzende Kanten, entlang derer Material von s nach t transportiert werden kann 7/, Folie 015 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

23 u Begriff: Kapazität eines (s,t)-schnitt sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei (S,T) ein (s,t)-schnitt sei R E die Menge der relevanten Kanten für den (s,t)-schnitt (S,T) die Kapazität c((s,t)) des (s,t)-schnitts (S,T) ist definiert als: c((s,t)) = c(e) e R 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

24 u Beispiel s t 3 4 S = { s } mit c(s,t) = c((s,1)) + c((s,)) = 5 S = { s,1 } mit c(s,t) = c((s,)) + c((1,)) + c((1,3)) = 9,..., S = { s,3 } mit c(s,t) = c((s,1)) + c((s,)) + c((3,t))= 1... S = { s,1,,3 } mit c(s,t) = c((3,t)) = 7 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

25 u Die zentrale Eigenschaft zulässiger Flüsse sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei f(.) ein zulässiger Fluss Dann gilt: val(f) = f(e), wobei R die Menge der relevanten e R Kanten irgendeines (s,t)-schnitt (S,T) sind.... das ist de facto eine direkte Folgerung aus der Flusserhaltungs- Bedingung 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

26 u Illustration der Beweisidee s (,) (,3) (,4) 1 (0,) (4,4) (4,7) 3 t S = { s,1} T = {,3,t } R = { (s,),(1,),(1,3) } val(f) = f((3,t)) = 0 = 0 = f((3,t)) + f((s,)) + f((1,) - f((,3)) + f((1,3)) + f((,3) - f((3,t)) = f((3,t)) - f((3,t)) + f((s,)) + f((1,)) + f((1,3)) + f((,3)) - f((,3)) = f((s,)) + f((1,)) + f((1,3)) = f(e) e R 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

27 u Anmerkungen zur Beweisidee benutze die Definition val(f) =... addiere auf der rechten Seite für alle Knoten v in T die Werte f(e) für alle Kanten mit dem Endknoten v und subtrahiere die Werte f(e) für alle Kanten mit dem Anfangsknoten v wegen der Flusserhaltungsbedingung hat man den Wert der rechten Seite nicht verändert in der Summe auf der rechten Seite kommt der Wert f(e) für jede relevante Kante e des (s,t)-schnittes (S,T) genau einmal vor (/* dieser Wert wird addiert */) der Wert f(e) jeder anderen Kante kommt zweimal vor (/* dieser Wert wird einmal addiert und einmal subtrahiert */) 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

28 u Eine unmittelbare Folgerung sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei f(.) ein zulässiger Fluss Dann gilt: val(f) c((s,t)), wobei (S,T) irgendein (s,t)-schnitt ist. Begründung:... da f(.) ein zulässiger Fluss ist, gilt f(e) c(e) für alle Kanten e und damit gilt auch mit Blick auf die relevanten Kanten R des (s,t)-schnittes (S,T): val(f) = f(e) c((s,t)) e R 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

29 u Eine weitere unmittelbare Folgerung sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei f(.) ein zulässiger Fluss Dann gilt: Wenn val(f) = c((s,t)) für irgendeinen (s,t)-schnitt (S,T) gilt, so ist f(.) sogar ein maximaler Fluss. Begründung:... für jeden anderen zulässigen Fluss f (.) muss mit Blick auf die relevanten Kanten R dieses (s,t)-schnittes (S,T) ebenfalls gelten: val(f ) = f (e) c((s,t)) e R 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

30 u Anmerkung die letzte Folgerung zeigt uns einen Weg, wie man nachweisen kann, dass ein Algorithmus zum Bestimmen maximaler Flüsse hierzu genügt es zu zeigen, dass es einen (s,t)-schnitt (S,T) gibt, so dass für alle relevanten Kanten e dieses (S,T)-Schnittes gilt, dass die Werte f(e) und c(e) gleich sind (/* dann gilt auch val(f) = c((s,t)) */)... wir schauen uns jetzt an, wie man einen solches maximalen Fluss auf eine andere Art beschreiben kann und leiten daraus dann eine algorithmische Idee ab 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

31 u Zugrunde liegende Intention... Ausgangpunkt: Flussnetzwerk G mit einem gegebenen Fluss f(.) (4,4) 1 (0,) s (0,3) (4,5) (4,4) t Zentrale Frage: Wie könnte man den aktuellen Fluss modifizieren? durch die Kanten (s,), (1,) und (1,t) könnte mehr Material fließen durch die Kanten (s,1), (1,) und (,t) könnte weniger Material fließen ein anderer Blick auf G und f hilft, diese beide Aspekten geeignet zu modellieren 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

32 u Zugrunde liegende Intention... Ausgangspunkt: Flussnetzwerk G mit einem gegebenen Fluss f(.) (4,4) 1 (0,) s (0,3) (4,5) (4,4) t... das zu G und f(.) gehörende Restflussnetzwerk G f 1 s t 4 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

33 u Spätere Verwendung... im Restflussnetzwerk G f gibt es einen passenden Weg von s nach t, der die Kanten (s,), (,1) und (1,t) benutzt und einen Materialfluss der Größe ermöglicht 1 s t 4... zusammen mit dem Fluss f(.) erhält man folgenden Gesamtfluss: (4,4) 1 (,) s (,3) (,5) (4,4) t 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

34 u Begriff: Restflussnetzwerk sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei f(.) ein zulässiger Fluss in G das zugehörige Restflusswerk G f mit der Kapazitätsfunktion c (.) ist folgt definiert: G f enthält dieselbe Knotenmenge wie G zu jeder Kante e = (u,v) von G mit f(e) < c(e) gibt es in G f die Vorwärtskante e = (u,v) mit der Kapazität c (e ) = c(e) - f(e) zu jeder Kante e = (u,v) von G mit f(e) > 0 gibt es in G f eine Rückwärtskante e = (v,u) mit der Kapazität c (e ) = f(e)... Vorwärtskanten werden später blau und Rückwärtskanten rot dargestellt... offenbar hat G f nur Kanten e mit c (e ) > 0 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

35 u Beispiel s (,) (1,4) 1 (1,) (3,7) 3 t (1,3) (,4) s t 4 1 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

36 u Begriff: Erweiterungsweg im Restflusswerk und dessen Kapazität sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t und c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei f(.) ein zulässiger Fluss in G und G f das zugehörige Restflussnetzwerk mit der Kapazitätsfunktion c (.) ein einfacher Weg W in G f von der Quelle s zur Senke t heißt Erweiterungsweg im Restflussnetzwerk G f die Kapazität c W des Erweiterungsweges W ist die Kapazität derjenigen Kante e auf dem Weg W, für die Kapazität c (e ) minimal ist 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

37 u Beispiel s t es sei W = (s,,1,3,t)... dann ist c W = 1 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

38 u Ein grundlegender Zusammenhang sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei f(.) ein zulässiger Fluss in G und G f das zugehörige Restflussnetzwerk mit der Kapazitätsfunktion c (.) Dann gilt: Wenn es in G f keinen Erweiterungsweg gibt, so ist f(.) ein maximaler Fluss in G.... offenbar genügt es zu zeigen, dass es in G einen (s,t)-schnitt (S,T) mit val(f) = c((s,t)) gibt 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

39 u Beweisidee da es in G f keinen Erweiterungsweg gibt, ist die Senke t von der Quelle s aus nicht erreichbar es seien S die Teilmenge aller Knoten in G f, die von der Quelle s aus erreichbar sind, und T = V \ S offenbar ist (S,T) eine (s,t)-schnitt in G f (/* und damit auch auch ein (s,t)-schnitt G */) es sei nun e = (u,v) eine Kante in G, die für den (s,t)-schnitt (S,T) relevant ist, d.h. es gilt u S und v T da f(.) ein zulässiger Fluss in G ist, gilt auch 0 f(e) c(e) 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

40 u Beweisidee Annahme: f(e) < c(e) da c(e) - f(e) > 0 ist, gibt es in G f die Vorwärtskante e = (u,v) da der Knoten u zu S gehört, muss in G f der Knoten u von der Quelle s aus erreichbar sein also wäre auch der Knoten v in G f von der Quelle s aus erreichbar also müsste der Knoten v zur Menge S gehören und folglich kann die Kante e = (u,v) keine Kante in G sein, die für den (s,t)-schnitt (S,T) relevant ist 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

41 u Begriff: Aktualisierter Fluss im Flussnetzwerk sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei f(.) ein zulässiger Fluss in G und G f das zugehörige Restflussnetzwerk mit der Kapazitätsfunktion c (.) sei W ein Erweiterungsweg in G f mit der Kapazität c W dann ist der aktualisierte Fluss f (.) in G für alle Kanten e = (u,v) wie folgt definiert: f (e) = f(e) + c w, falls die zur Kante e gehörende Vorwärtskante e = (u,v) zum Weg W in G f gehört f (e) = f(e ) - c W, falls die zur Kante e gehörende Rückwärtskante e = (v,u) zum Weg W in G f gehört f (e) = f(e), sonst 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

42 u Anmerkung da ein Erweiterungsweg ein einfacher Weg ist, ist die Definition des aktualisierten Flusses f (.) korrekt... in einem Erweiterungsweg wird jede Kante einmal benutzt... in einem Erweiterungsweg können nicht gleichzeitig die Kanten (u,v) und (v,u) benutzt werden 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

43 u Folgerung sei G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t sowie c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion sei f(.) ein zulässiger Fluss in G und G f das zugehörige Restflussnetzwerk mit der Kapazitätsfunktion c (.) sei W ein Erweiterungsweg in G f mit der Kapazität c W sei f (.) der aktualisierte Fluss in G Dann gilt: f (.) ist ein zulässiger Fluss für G mit val(f ) = val(f) + c W. 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

44 u Beweisidee sei W = (s,v 1,...,v k,t) der gefundene Erweiterungsweg, wobei offenbar für jeden Zwischenknoten v i gilt: in W wird genau eine Kante mit dem Anfangsknoten v i und genau eine Kante mit dem Endknoten v i benutzt es sind drei Dinge zu überprüfen: f (.) erfüllt die Flusserhaltungs-Bedingung f (.) erfüllt die Kapazitätserhaltungs-Bedingung val(f ) = val(f) + c W 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

45 u Beweisidee Aspekt: Flusserhaltungs-Bedingung mit Blick auf irgendeinen Knoten v i auf dem Weg W in G f (/* es sind vier Fälle zu unterscheiden */)... Knoten v i in G f und die in W benutzten Kanten: c W c W c W c W c W c W c W c W v i v i v i v i... und in G: + c W + c W + c W - c W - c W + c W - c W - c W v i v i v i v i 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

46 u Beweisidee Aspekt: Kapazitätsbeschränkungs-Bedingung (/* es sind zwei Fälle zu unterscheiden, wobei wir benutzen können, das f(e) c(e) für alle Kanten in G gilt */)... Kante e = (u,v) in G f : c W c (e ) = c(e) - f(e) 0 < c W c (e ) = f(e)... und die zugehörige Kante e in G: f (e) = f(e) + c W c(e) 0 f (e) = f(e) - c W < f(e) c(e) 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

47 u Beweisidee Aspekt: val(f ) = val(f) + c W da der Erweiterungsweg W ein einfacher Weg ist, kommt der Knoten t nur einmal vor da t eine Senke im Flussnetzwerk ist, gibt es in G keine Kante mit der Anfangsecke t die zugehörige Kante e auf dem Weg W in G f mit dem Endknoten t muss also eine Vorwärtskante sein also gilt: f (e) = f(e) + c W und damit gilt auch: val(f ) = val(f) + c W 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

48 u Das Min-Cut-Max-Flow-Theorem es seien G = (V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t und c(.) die zugehörige Kapazitätsfunktion es sei f*(.) ein maximaler Fluss für G es sei (S*,T*) ein (s,t)-schnitt mit minimaler Kapazität für G Dann gilt: Der Wert val(f*) eines maximalen Flusses f*(.) für G ist gleich der Kapazität c((s*,t*)) des (s,t)-schnittes (S*,T*).... dass val(f*) c((s*,t*)) gilt, haben wir uns schon überlegt... dass c((s*,t*)) val(f*) gilt, folgt aus den letzten Überlegungen 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

49 u abgeleitete algorithmische Idee sei f(.) so gewählt, dass f(e) = 0 für alle Kanten e in G gilt 1) bestimme das zu f(.) gehörende Restflussnetzwerk G f ) falls es in G f keinen Erweiterungsweg gibt, so gilt f(.) = f*(.) (/* dass das korrekt ist, wissen wir auch schon */) 3) falls es einen Erweiterungsweg gibt, bestimme c W sowie den aktualisierten Fluss f (.), setze f(.) = f (.) und gehe zu )... wenn alle Kapazitäten c(.) ganzzahlig sind, kann 3) nicht endlich oft ausgeführt werden, da c W stets eine ganze Zahl größer oder gleich 1 ist 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

50 u Zwischenzusammenfassung wir kennen damit also schon eine algorithmische Idee, die funktioniert, um maximale Flüsse in Flussnetzwerken zu bestimmen wir diskutieren noch, wie man diese algorithmische Idee effizient realisiert (/* wie das geht, ist nicht ganz offensichtlich*/) 7/, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung