Praktikum Planare Graphen

Transkript

1 1 Praktikum Planare Graphen Michael Baur, Martin Holzer, Steffen Mecke 10. November 2006

2 Einleitung Gliederung 2 Grundlagenwissen zu planaren Graphen Themenvorstellung Gruppeneinteilung

3 Planare Graphen Einleitung 3 Inventur Was wissen Sie über planare Graphen?

4 Planare Graphen Grundlagenwissen 4 Wasser-Gas-Strom-Problem Aufgabe: 3 Häuser, 3 Versorger vollständige Versorgung, direkte Leitungen keine Kreuzung von Leitungen W G S 1 2 3

5 Planare Graphen Grundlagenwissen 4 Wasser-Gas-Strom-Problem Aufgabe: 3 Häuser, 3 Versorger vollständige Versorgung, direkte Leitungen keine Kreuzung von Leitungen W G S 1 2 3

6 Planare Graphen Grundlagenwissen 4 Wasser-Gas-Strom-Problem Aufgabe: 3 Häuser, 3 Versorger vollständige Versorgung, direkte Leitungen keine Kreuzung von Leitungen W G S 1 2 3

7 Planare Graphen Grundlagenwissen 4 Wasser-Gas-Strom-Problem Aufgabe: 3 Häuser, 3 Versorger vollständige Versorgung, direkte Leitungen keine Kreuzung von Leitungen W G S 1 2 3

8 Planare Graphen Grundlagenwissen 4 Wasser-Gas-Strom-Problem Aufgabe: 3 Häuser, 3 Versorger vollständige Versorgung, direkte Leitungen keine Kreuzung von Leitungen W G S 1 2 3

9 Planare Graphen Grundlagenwissen 4 Wasser-Gas-Strom-Problem Aufgabe: 3 Häuser, 3 Versorger vollständige Versorgung, direkte Leitungen keine Kreuzung von Leitungen W G S 1 2 3

10 Planare Graphen Grundlagenwissen 4 Wasser-Gas-Strom-Problem Aufgabe: 3 Häuser, 3 Versorger vollständige Versorgung, direkte Leitungen keine Kreuzung von Leitungen W G S 1 2 3

11 Planare Graphen Grundlagenwissen 4 Wasser-Gas-Strom-Problem Aufgabe: 3 Häuser, 3 Versorger vollständige Versorgung, direkte Leitungen keine Kreuzung von Leitungen W G S 1 2 3

12 Planare Graphen Grundlagenwissen 4 Wasser-Gas-Strom-Problem Aufgabe: 3 Häuser, 3 Versorger vollständige Versorgung, direkte Leitungen keine Kreuzung von Leitungen W G S 1 2 3

13 Planare Graphen Grundlagenwissen 4 Wasser-Gas-Strom-Problem Aufgabe: 3 Häuser, 3 Versorger vollständige Versorgung, direkte Leitungen keine Kreuzung von Leitungen W G S 1 2 3

14 Planare Graphen Grundlagenwissen 4 Wasser-Gas-Strom-Problem Aufgabe: 3 Häuser, 3 Versorger vollständige Versorgung, direkte Leitungen keine Kreuzung von Leitungen Geht nicht!

15 Planare Graphen Grundlagenwissen 5 Planarität Ein Graph ist planar gdw. er keine Unterteilung des K 5 oder K 3,3 als Subgraph enthält. Unterteilung: G H

16 Planare Graphen Grundlagenwissen 6 Forschungsgegenstand Manche Probleme sind N P-schwer auf allgemeinen Graphen, aber in P auf planaren Graphen Beispiel: maximaler Schnitt (MAX CUT) Zerlegung von PGen mittels Planar Separator oft hilfreich ( Divide-and-Conquer-Verfahren)

17 Planare Graphen Grundlagenwissen 7 Grundbegriffe ungerichtet gerichtet/bigerichtet Schleife (Schlinge), Multikanten Pfad, Kreis (Zykel),... Einbettung: kombinatorisch geometrisch Facette/äußere Facette

18 Planare Graphen Grundlagenwissen 7 Grundbegriffe ungerichtet gerichtet/bigerichtet Schleife (Schlinge), Multikanten Pfad, Kreis (Zykel),... Einbettung: kombinatorisch geometrisch Facette/äußere Facette

19 Planare Graphen Grundlagenwissen 7 Grundbegriffe ungerichtet gerichtet/bigerichtet Schleife (Schlinge), Multikanten Pfad, Kreis (Zykel),... Einbettung: kombinatorisch geometrisch Facette/äußere Facette

20 Planare Graphen Grundlagenwissen 7 Grundbegriffe ungerichtet gerichtet/bigerichtet Schleife (Schlinge), Multikanten Pfad, Kreis (Zykel),... Einbettung: kombinatorisch geometrisch Facette/äußere Facette

21 Planare Graphen Grundlagenwissen 7 Grundbegriffe ungerichtet gerichtet/bigerichtet Schleife (Schlinge), Multikanten Pfad, Kreis (Zykel),... Einbettung: kombinatorisch geometrisch Facette/äußere Facette

22 Planare Graphen Grundlagenwissen 8 Eulerformel In welcher Beziehung stehen Knoten-, Kanten- und Facettenanzahl eines planaren Graphen zueinander? n m + f = 2

23 Planare Graphen Grundlagenwissen 8 Eulerformel In welcher Beziehung stehen Knoten-, Kanten- und Facettenanzahl eines planaren Graphen zueinander? n m + f = 2

24 Planare Graphen Grundlagenwissen 9 Dualgraph Facette Knoten adjazente Facetten Kante Antenne Schleife Schnitt Kreis G=(V,E) G*

25 Planare Graphen Grundlagenwissen 10 Graphsuche 3 5 Breitensuche (BFS) Tiefensuche (DFS) Auswahlstrategie: z. B. Right-First-DFS

26 Planare Graphen Grundlagenwissen 10 Graphsuche 5 Breitensuche (BFS) Tiefensuche (DFS) Auswahlstrategie: z. B. Right-First-DFS

27 Planare Graphen Grundlagenwissen 11 Triangulierung Mache Facetten zu Dreiecken......durch Einziehen neuer Kanten Gilt auch für äußere Facette

28 Planare Graphen Grundlagenwissen 11 Triangulierung Mache Facetten zu Dreiecken......durch Einziehen neuer Kanten Gilt auch für äußere Facette

29 Planare Graphen Ausleitung 12 Inventur Was wissen Sie nun über planare Graphen?

30 Praktikum Ablauf 13 Gruppeneinteilung 11 Teilnehmer, 4 Themen 3 Gruppen à 3 Personen, 1 Gruppe à 2 Personen Wichtig: Organisation, Definition von Schnittstellen

31 Praktikum Themen 14 Übersicht Graphenfärben Konvexes Layout Menger-Problem Planar-Separator-Theorem

32 Praktikum Graphenfärben 15 Problemstellung Färben der Knoten mit min. Anzahl Farben Adjazente Knoten sollen verschiedene Farbe haben PGen sind 4-färbbar (schwierig)

33 Praktikum Graphenfärben 16 Verfahren Fünffärbungsalgorithmus (Linearzeit) Iterative Hinzunahme von Knoten Aspekte Heuristiken zur Umfärbung/Optimierung

34 Praktikum Konvexes Layout 17 Problemstellung Gegeben: innen dreifach zusammenhängender Graph, Polygon (sternförmig) Zeichne äußere Facette auf Polygon......und innere Facetten konvex

35 Praktikum Konvexes Layout 18 Verfahren Algorithmus von Hong/Nagamochi (Linearzeit) Berechne Grundgerüst aus geeigneten Pfaden Füge restliche Knoten in Teilflächen ein Aspekte Festlegung der genauen Positionen: Symmetrien, Winkelauflösung Visualisierung der iterativen Konstruktion der Pfade

36 Praktikum Menger-Problem 19 Problemstellung Gegeben: ungerichteter PG, Start- und Endknoten Finde max. Anzahl knoten-/kantendisjunkter Wege Hier: kantendisjunkte Variante s t

37 Praktikum Menger-Problem 20 Verfahren Algorithmus von Weihe/Coupry (Linearzeit) Umweg über gerichteten Graphen Right-First-DFS Aspekte Evaluation auf unterschiedlichen Graphen Herausforderung: schöne Visualisierung der Doppelkanten Relaxierung: max. k mehrfach benutzte Kanten Zusatz: Implementation der knotendisjunkten Version (?) Direktes Verfahren???

38 Praktikum Planar-Separator-Theorem 21 Problemstellung Zerlegung eines PG in (mind.) zwei Komponenten Separator möglichst klein (Garantie: S 4 n) Komponenten möglichst balanciert (Garantie: K 1, K 2 2n/3)

39 Praktikum Planar-Separator-Theorem 22 Verfahren Einfache Zerlegung: BFS, Level(s) als Separator Komplexe Zerlegung: Verschmelzung, Triangulierung, Fundamentalkreis Verschiedene Freiheitsgrade Aspekte Evaluation verschiedener Graphen Berücksichtigung verschiedener Optimierungskriterien Einstellen von Parametern