Teil III: Routing - Inhalt I. Literatur. Geometric Routing. Voraussetzungen. Unit Disk Graph (UDG) Geometric Routing 29
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- Ulrich Bauer
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1 1 29 Teil III: Routing - Inhalt I Literatur Compass & Face Routing Bounded & Adaptive Face Routing Nicht Ω(1) UDG E. Kranakis, H. Singh und Jorge Urrutia: Compass Routing on Geometric Networks. Canadian Conference on Computational Geometry, 51 54, August Fabian Kuhn, Roger Wattenhofer und Aaron Zollinger: Asymptotically Optimal Geometric Mobile Ad-Hoc Routing. Dial-M 02, September Voraussetzungen 31 Unit Disk Graph (UDG) Kommunikationsgraph ist zshgd. Unit Disk Graph Einbettung in die Ebene ( Geometrisches Netzwerk) Jeder Knoten kennt seine Koordinaten Bezeichne euklidischen Abstand zwischen u und v als d(u, v) Koordinaten des Zielknotens t sind dem Startknoten s bekannt Algorithmen sind verteilt und lokal Algorithmen arbeiten auf planarem zshgd. Teilgraph Schnitt mit Gabriel Graph Schnitt mit Relative Neighbourhood Graph...
2 32 UDG Relative Neighbourhood Graph (RNG) 33 UDG Gabriel Graph (GG) 34 Kosten 35 Ω(1)-Modell Verschiedene Kostenfunktionen abhängig vom euklidischen Abstand d: Konstant: ck (d) := 1 Euklidisch: c d (d) := d Energie: ce (d) := d 2 (evtl. auch höhere Exponenten) Kosten einer Kante: c x (u, v) := c x (d(u, v)) Kosten des Algorithmus: Summe der Kantengewichte über alle gesendeten Nachrichten Kosten der Route: Summe aller Kanten auf der Route Definition 9 Im Ω(1)-Modell wird vorausgesetzt, dass es eine Konstante d 0 gibt, so dass je zwei Knoten mindestens Abstand d 0 haben. Lemma 10 Für Unit Disk Graphen im Ω(1)-Modell sind die drei Kostenmodelle Konstant, Euklidisch und Energie eines Weges p = (e 1,..., e k ) bis auf einen konstanten Faktor gleich. (Beweis s. Übung)
3 36 Gabriel Graph: Kürzeste Wege im Ω(1)-Modell Compass & Face Routing 37 Greedy Compass Routing Lemma 11 Im Ω(1) Modell ist ein kürzester Weg im Schnitt des Unit Disk Graph mit dem Gabriel Graph höchstens um einen konstanten Faktor länger ist als ein kürzester Weg im Unit Disk Graph, für alle drei oben genannten Kostenmodelle. (Beweis s. Übung) Bemerkung Teilgraphen mit dieser Eigenschaft nennt man Spanner. Im Allgemeinen, also ohne die Voraussetzung eines Ω(1) Modells, ist der Schnitt eines UDG mit dem Gabriel Graph kein Spanner bzgl. der konstanten und euklidischen Kosten. Algorithmus CR (für jeden Knoten v) 1. Sei e die Kante, deren Richtung am wenigsten von vt abweicht 2. Sende Nachricht über e Compass & Face Routing 38 Greedy Compass Routing Nachricht muss nicht immer ankommen Compass & Face Routing 39 Face Routing Algorithmus FR 1. Sei f die Facette, die st bei s schneidet 2. Solange t noch nicht erreicht wurde 3. Traversiere die Kanten von f 4. Merke die Kante e f, deren Schnitt p mit st am nächsten an t ist 5. Traversiere die Kanten von f bis e f erreicht ist 6. Sei f die Facette, die st bei p schneidet
4 Compass & Face Routing 40 Face Routing Beispiel Compass & Face Routing 41 Face Routing Korrektheit & Kosten Lemma 12 Beim Face Routing Algorithmus wird das Ziel t stets erreicht. Dabei werden höchstens O(n) Kanten traversiert. Compass & Face Routing 42 Bounded & Adaptive Face Routing43 Diskussion Bounded Face Routing Voraussetzungen Greedy Routing Keine Garantie, dass Route gefunden wird Effizient, falls Route gefunden wird Face Routing Route wird garantiert gefunden Alle Kanten auf Facetten, die st schneidet, werden traversiert Verbessere Face Routing Traversiere weniger Kanten Betrachte allgemeine UDG (ohne Ω(1)-Modell Einschränkung) Kombiniere Greedy- und Face Routing Sei p ein kürzester s-t-weg mit Kosten c d (p ) Sei ĉ d obere Schranke für kürzesten s-t-weg, also c d (p ) ĉ d Wir nehmen an, ĉ d sei dem Routing-Algorithmus bekannt E sei Ellipse mit Brennpunkten s und t u E g.d.w. d(s, u) + d(u, t) ĉ d Jeder Weg über Punkt außerhalb von E ist länger als ĉ d p ist komplett in E enthalten
5 Bounded & Adaptive Face Routing44 Bounded & Adaptive Face Routing45 Bounded Face Routing Algorithmus Boudend Face Routing Beispiel 1: Nachricht erreicht t Algorithmus BFR(ĉ d ) Wie Face Routing mit folgenden Änderungen: Traversiere die Facette nur innerhalb von E Beim ersten Verlassen von E traversiere die Facette in umgekehrter Richtung Beim zweiten Verlassen von E Falls kein besserer Schnittpunkt p als im vorigen Schritt gefunden kehre zurück zu s Bounded & Adaptive Face Routing46 Bounded & Adaptive Face Routing47 Boudend Face Routing Beispiel 2: Nachricht kehrt zu s zurück Bounded Face Routing - Korrektheit & Kosten Lemma 13 Sei G ein Graph im Ω(1)-Modell. Falls c d (p ) ĉ d, so erreicht eine Nachricht beim Bounded Face Routing immer das Ziel t. Wenn das Ziel nicht erreicht wird, so kehrt die Nachricht zu s zurück. In jedem Fall werden höchstens O(ĉ d 2 ) Kanten traversiert.
6 Bounded & Adaptive Face Routing48 Bounded & Adaptive Face Routing49 Adaptive Face Routing Adaptive Face Routing Korrektheit & Kosten Algorithmus AFR 1. Setze c d := 2d(s, t) 2. Führe BFR( c d ) aus 3. Falls t noch nicht erreicht wurde Lemma 14 Im Ω(1)-Modell erreicht der Face Routing Algorithmus stests das Ziel t und traversiert höchstens O(c 2 d (p )) Kanten. 4. Setze c d := 2 c d 5. Gehe zu 1. Bounded & Adaptive Face Routing50 Bounded & Adaptive Face Routing51 Untere Schranke für geometrisches Routing Lemma Untere Schranke für geometrisches Routing Beweisskizze Lemma 15 Seien c die Kosten einer optimalen Route. Dann hat jeder verteilte geometrische Routing Algorithmus im Worst-case Kosten von Ω(c 2 ) für jedes der drei betrachteten Kostenmodelle.
7 Bounded & Adaptive Face Routing52 Nicht Ω(1) UDG 53 Adaptive Face Routing Ergebnis Verallgemeinerung des Ω(1)-Modells I Satz 16 Seien c die Kosten einer optimalen Route. In zusammenhängenden planaren Teilgraphen eines Unit Disk Graphen im Ω(1)-Modell ist Adaptive Face Routing stest erfolgreich für die drei betrachteten Kostenfunktionen c k, c d und c E mit Worst-Case Kosten von Θ(c 2 ). Definition 17 Sei G ein Unit Disk Graph. Falls der Grad jedes Knoten durch eine vorgegebene Zahl k beschränkt ist, heisst G Bounded Unit Disk Graph (BUDG) der Ordnung k. Nicht Ω(1) UDG 54 Verallgemeinerung des Ω(1)-Modells II Nicht Ω(1) UDG 55 AFR auf Bounded Unit Disk Graphen Lemma 18 Sei ein Unit Disk Graph G im Ω(1)-Modell gegeben mit Konstante d 0. Dann ist G ein Bounded Unit Disk Graph der Ordnung 4/d /d Satz 19 Seien c die Kosten einer optimalen Route. In zusammenhängenden planaren Teilgraphen eines Bounded Unit Disk Graphen ist Adaptive Face Routing stest erfolgreich für die drei betrachteten Kostenfunktionen c k, c d und c E mit Worst-Case Kosten von Θ(c 2 ). (ohne Beweis)
8 Nicht Ω(1) UDG 56 Linear beschränkte Kostenfunktionen Nicht Ω(1) UDG 57 Allgemeine Unit Disk Graphen Definition 20 Eine Kostenfunktion c(d) heisst linear beschränkt falls c(d) lim d 0 d = 0. Nicht linear beschränkte Kostenfunktionen heissen superlinear. Bemerkung Die konstante und euklidische Kostenfunktionen sind linear beschränkt, die Energiekosten sind superlinear. Verwende einen Backbone Graph welcher Bounded Unit Disk Graph, Spanner bzgl. linear beschränkten Kostenfunktionen und Connected Dominating Set ist. Algorithmus AFR-Backbone 1. Falls s kein Dominator schicke Nachricht an Dominator 2. Führe AFR auf planarem Teilgraph des Backbone aus 3. Falls Dominator v mit d(v, t) 1 erreicht ist 4. Schicke Nachricht direkt zu t Nicht Ω(1) UDG 58 AFR-Backbone Beispiel Nicht Ω(1) UDG 59 AFR mit Backbone auf allgemeinen UDG Satz 21 Seien c die Kosten einer optimalen Route. In zusammenhängenden Unit Disk Graphen ist der Algorithmus AFR-Backbone stest erfolgreich für linear beschränkte Kostenfunktionen mit Worst-Case Kosten von Θ(c 2 ). (ohne Beweis)
9 Nicht Ω(1) UDG 60 Superlineare Kostenfunktionen Satz Nicht Ω(1) UDG 61 Superlineare Kostenfunktionen Beweisskizze Satz 22 Sei p die optimale Route bzgl. einer superlinearen Kostenfunktion c( ). Dann gibt es keinen geometrischen Ad-hoc Algorithmus, dessen Kosten beschränkt sind durch eine Funktion von c(p ).
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