Vorlesung 3: Versicherungsnachfrage

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1 Vorlesung 3: Versicherungsnachfrage Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie, FS 12 Versicherungsnachfrage 1/20

2 2 / Das Versicherungsnachfrageproblem Notationswarnung: Die Notation in diesem Kapitel lehnt sich weitgehend (aber nicht vollständig) an die aus dem Lehrbuch von Gravelle und Rees an. Insbesondere: y 0 : Ausgangsvermögen eines Versicherungsnehmers Es gibt nur zwei Zustände i = 1,2 mit: π 1 > 0. Wahrscheinlichkeit, dass kein Schaden auftritt. π 2 > 0. Wahrscheinlichkeit, dass ein Schaden auftritt. Schadensbetrag in diesem Fall ist L mit 0 < L < y. Beachte: π 1 + π 2 = 1. p > 0: Prämiensatz. q: Deckungsbetrag mit 0 q L. u: Bernoulli-Nutzenfunktion des Versicherungsnehmers mit u > 0 (strenge Monotonie) und u < 0 (strenge Risikoaversion).

3 3 / Das Versicherungsnachfrageproblem Versicherung erlaubt es dem Versicherungsnehmer einen Deckungsbetrag q zu wählen. Dafür zahlt er die Prämie p q. Tritt kein Schaden ein, ist das Vermögen des Versicherungsnehmers nach Abschluss eines solchen Vertrages y 1 = y 0 p q. Tritt ein Schaden ein, so ist das Vermögen des Versicherungsnehmers y 2 = y 0 L + (1 p) q. Die Nutzenbewertung dieses bedingten Konsumplans ist π 1 u(y 1 ) + π 2 u(y 2 ).

4 4 / Das Versicherungsnachfrageproblem Wir nehmen an, dass die nachgefragte Versicherungsdeckung q durch die Lösung des Problems max V (q) := (1 π 2)u(y 0 p q) + π 2 u(y 0 L + (1 p) q) q [0,L] gegeben ist. y 0, p, L und π 2 sind die Parameter dieses Versicherungsnachfrageproblems Ebenfalls gegeben in diesem Problem ist die Bernoulli-Nutzenfunktion u des Versicherungsnehmers. Gesucht ist der optimale Deckungsbetrag q.

5 5 / Das Versicherungsnachfrageproblem Bemerke: Der erwartete Gewinn eines Versicherungsunternehmes, dass den Deckungsbetrag q gegen Zahlung von p q verkauft ist π 1 pq π 2 (1 p)q = [(1 π 2 )p π 2 (1 p)]q = [p π 2 ]C. Hierbei werden alle Kosten des Versicherungsvertrages ausser der Zahlung im Schadensfall, sowie alle Erlöse (z.b. aus der Anlage des Versicherungsprämie) ausser der Prämienzahlung des Versicherungsnehmers ignoriert. Gilt p < π 2 erleidet das Versicherungsunternehmen im Erwartungswert einen Verlust. Wir gehen davon aus, dass solche verlustbringenden Verträge nicht angeboten werden. Annahme im Folgenden: p π 2.

6 3.2 Lösung des Versicherungsnachfrageproblems Bilde die Ableitung der Zielfunktion nach q: V (q) := (1 π 2 )u(y 0 p q) + π 2 u(y 0 L + (1 p) q) V (q) = p(1 π 2 )u (y 0 pq) + (1 p)π 2 u (y 0 L + (1 p)q). Für die zweite Ableitung gilt: V (C) = p 2 (1 π 2 )u (y 0 pq)+(1 p) 2 π2u (y 0 L+(1 p)q) < 0 Da die zweite Ableitung streng negativ ist, hat das Problem eine eindeutige Lösung: 1. Gilt V (0) 0, dann ist q = 0 die Lösung. 2. Gilt V (L) 0, dann ist q = L die Lösung. 3. Gilt V (0) > 0 und V (L) < 0, dann gilt 0 < q < L, wobei q die eindeutige Lösung der Bedingung erster Ordnung p(1 π 2 )u (y 0 pq) + (1 p)π 2 u (y 0 L + (1 p)q) = 0 ist. 6 / 20

7 7 / Lösung des Versicherungsnachfrageproblems Satz (Mossins Theorem) Für die Lösung des Versicherungsnachfrageproblems gilt: Es existiert p > π, so dass für die optimale Versicherungsnachfrage gilt: p = π 2 q = L p > p > π 2 0 < q < L p p q = 0. Beachte insbesondere: vollständige Versicherung (q = L) nur bei fairem Prämiensatz (p = π 2 ) optimal. Wie passt das zur Empirie?

8 8 / Ein alternativer Ansatz Durch Wahl eines Deckungsbetrages q entscheidet sich der Versicherungsnehmer für den bedingten Konsumplan, y 1 = y 0 pq, y 2 = y 0 L + (1 p)q den wir als Punkt in einem Zustandsraum mit n = 2 interpretieren können: Eliminiert man q aus den obigen Gleichungen erhält man (1 p)y 1 + py 2 = W 0 pl. (1)

9 9 / Ein alternativer Ansatz Gleichung (1) kann wie eine Budgetbeschränkung interpretiert werden: (1 p) ist der Preis für eine zusätzliche Einheit Konsum in Zustand 1 p ist der Preis für eine zusätzliche Einheit Konsum in Zustand 2 y 0 pl = (1 p)y 0 + p(y 0 L) ist der Wert der Erstausstattung. Beachte Die Steigung der Budgetgeraden ist 1 p p der relative Preis (1 p)/p ist der zusätzliche Konsum im Schadensfalle der resultiert, wenn man auf eine Einheit Konsum im Nicht-Schadensfall verzichtet. Die Budgetgerade verbindet die Punkte (y 0,y 0 L) und (y 0 pl,y 0 pl) die zu q = 0 und q = L korrespondieren.

10 3.3 Ein alternativer Ansatz Das Problem der Bestimmung der optimalen Versicherungsnachfrage kann somit als max(1 π 2 )u(y 1 ) + π 2 u(y 2 ) unter den Nebenbedingung y 1,y 2 (1 p)y 1 + py 2 = y 0 pl und y 2 y 1 y 0 geschrieben werden. Die Bedingung erster Ordnung für eine innere Lösung dieses Problems lautet: (1 π 2 )u (q 1 ) πu (q 2 ) = 1 p p. Aus der strengen Konvexität der Indifferenzkurve folgen die bereits vertrauten Ergebnisse zur Optimalität (un)vollständiger Versicherung. Insbesondere: p = π 2 q 1 = q 2, p > π 2 q 1 > q / 20

11 3.4 Komparative Statik: Vorbemerkungen Die Versicherungsnachfrage q hängt von den Parametern des Problems ab: q = D(y 0,L, p,π 2 ) Ziel der komparativen Statik ist es, Eigenschaften dieser Funktion zu bestimmen. Wir betrachten dazu Situationen, in denen q durch die Bedingung erster Ordnung V (q ) = 0 gegeben ist, so dass die Nachfragefunktion D(y 0,L, p,π 2 ) implizit durch die Gleichung gegeben, ist wobei f (y 0,L, p,π 2,D(y 0,L, p,π 2 )) = 0 (2) f (y 0,L, p,π 2,q) := p(1 π 2 )u (y 0 pq)+(1 p)π 2 u (y 0 L+(1 p)q) definiert ist. 11 / 20

12 3.4 Komparative Statik: Vorbemerkungen Betrachtet man alle Parameter bis auf einen als gegeben, dann hat Gleichung (2) die Form f (x,d(x)) = 0, wobei x der betrachtete Parameter und D(x) die Versicherungsnachfrage in Abhängigkeit von diesem Parameter ist. Der Satz über implizite Funktionen stellt einen Zusammenhang zwischen den partiellen Ableitungen der Funktion f, die wir zur Vereinfachung mit f x und f q bezeichnen, und der Ableitung der Funktion D her: D x (x) = f x(x,d(x)) f q (x,d(x)). Hinweis: Dieses gilt unter geeigneten Annahmen an die partiellen Ableitungen f x und f q, die hier erfüllt sind. 12 / 20

13 13 / Komparative Statik: Vorbemerkungen Beachte: Die Zielfunktion des Versicherungsnachfrageproblems ist wie bereits gezeigt wurde - streng konkav in q. Also gilt f q < 0. Aus D x (x) = f x(x,d(x)) f q (x,d(x)). folgt, dass deswegen das Vorzeichen von D x (x) mit dem Vorzeichen von f x (x,d(x)) übereinstimmt. In den folgenden Überlegungen können wir uns alle darauf beschränken, das Vorzeichen von f x (x,d(x)) zu bestimmen, um zu klären, ob die Versicherungsnachfrage in dem betrachteten Parameter steigt oder fällt.

14 14 / Komparative Statik des Ausgangsvermögens Die relevante Ableitung ist f y0 = p(1 π 2 )u (y 1) + (1 p)π 2 u (y 2) (3) wobei wir hier (und im Folgenden durchweg) die Abkürzungen y 1 = y 0 pq, y 2 = y 0 L + (1 p)q verwenden. Für p = π 2 ist (3) gleich Null, da y 1 = y 2 gilt. Also gibt es hier keinen Vermögenseffekt - aber das wussten wir schon! Für p > π 2 ist das Vorzeichen von (3) ohne weitere Annahmen unbestimmt. Beachte aber, dass in diesem Fall y 1 > y 2 gilt was wir nun ausnutzen werden.

15 15 / Komparative Statik des Ausgangsvermögens Um hier (und in ähnlichen Problemen) weiter zu kommen, verfährt man wie folgt: Versuche die Bedingung erster Ordnung zu verwenden. Versuche dass Mass der absoluten Risikoaversion ins Spiel zu bringen. Umsetzung dieses Programms: Nach Bedingung erster Ordnung gilt p(1 π 2 )u (y 1) = (1 p)π 2 u (y 2). Der Ausdruck, der uns interessiert, kann wie folgt geschrieben werden: f y0 = p(1 π 2 )u (y 1)ρ A (y 1) (1 p)π 2 u (y 2)ρ A (y 2) Einsetzen aus der Bedingung erster Ordnung führt auf: f y0 = (1 p)π 2 u (y 2)[ρ A (y 1) ρ A (y 2)]

16 3.5 Komparative Statik des Ausgangsvermögens Satz Das Vorzeichen des Ausdrucks (1 p)π 2 u (y 2)[ρ A (y 1) ρ A (y 2)] ist gleich dem Vorzeichen von ρ A (y 1 ) ρ A(y 2 ). Bei fallender absoluter Risikoaversion ist q fallend in y 0. Bei konstanter absoluter Risikoaversion ist q unabhängig von y 0. Bei steigender absoluter Risikoaversion ist q steigend in y 0. Empirische Evidenz? Warum war das so mühsam? Besagt denn nicht z.b. die Definition der fallenden absoluten Risikoaversion, dass man bei grösserem Vermögen ein grösseres Risiko wählen wird? 16 / 20

17 17 / Komparative Statik der Schadenshöhe Es gilt f L = (1 p)π 2 u (y 2). Dieser Ausdruck ist streng positiv. Also steigt q bei einem Anstieg von L. Hinweis: Interessant wäre es, eine gleichzeitige Veränderung von L und y 0 zu betrachten. Z.B.: Angenommen es gilt L = λy 0 mit 0 < λ < 1, so dass ein möglicher Schaden proportional mit dem Ausgangsvermögen ansteigt. Wird in einem solchen Fall die Versicherungsnachfrage mit y 0 steigen oder fallen?

18 18 / Komparative Statik des Prämiensatzes Es gilt f p = [ (1 π 2 )u (y 1) + π 2 u (y 2) ] [ p(1 π2 )u (y 1) + (1 p)π 2 u (y 2) ] q Der rote Ausdruck ist streng negativ. Dieser Ausdruck stellt den Substitutionseffekt der Preisänderung dar. Der blaue Ausdruck ist f y0 f y0 q stellt den Einkommenseffekt der Preisänderung dar. Das Vorzeichen des Einkommenseffekt ist im allgemeinen unbestimmt.

19 19 / Komparative Statik des Prämiensatzes Satz Bei konstanter oder steigender absoluter Risikoaversion ist die Versicherungsnachfrage q fallend in dem Prämiensatz p. Bei fallender absoluter Risikoaversion ist keine eindeutige Aussage möglich - insbesondere kann hier q auch steigend in p sein. Beachte: Unter der plausiblen Annahme von fallender absoluter Risikoaversion kann Versicherung also die Eigenschaften eines Giffen-Guts aufweisen. Woran liegt das??

20 20 / Komparative Statik der Schadenswahrscheinlichkeit Es gilt: f π2 = pu (W 1 ) + (1 p)u (W 2 ) Dieser Ausdruck ist streng positiv. Also ist C streng steigend in π 2. Macht diese komparative Statik Sinn? Unterschiedliche Schadenswahrscheinlichkeiten sollten mit unterschiedlichen Prämiensätzen einhergehen oder nicht? Allgemeiner stellt sich die Frage, wie sich Änderungen in der Verteilung des Schadensrisikos die Versicherungsnachfrage beeinflussen. Hier stellt sich heraus, dass die ungeschulte Intuition kaum zu den richtigen Einsichten gelangt.