Mikroökonomik 4. Vorlesungswoche Fortsetzung

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1 Mikroökonomik 4. Vorlesungswoche Fortsetzung Tone Arnold Universität des Saarlandes 14. November 2007 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

2 Slutzky Zerlegung bei Giffen Gut x 2 m/p 2 x k x alt x neu EE SE GE m/p 1 m/p 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

3 Giffen Gut Bei einem Giffen Gut gilt: GE ist positiv: Aufgrund der Preiserhöhung steigt die Nachfrage von 4 auf 5. Daher liegt ein Giffen Gut vor. SE ist immer negativ: Nachfrage sinkt von 4 auf 2. EE verläuft entgegen gesetzt zum SE, d.h. Senkung des Einkommens bewirkt Erhöhung der Nachfrage von 2 auf 5. Daher ist das Gut inferior. Giffen Gut SE und EE gehen in verschiedene Richtungen und EE ist betragsmässig grösser als SE. Jedes Giffen Gut ist automatisch auch inferior. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

4 Drei mögliche Fälle: 1 Das Gut ist normal und superior: SE und EE wirken in die selbe Richtung. Preiserhöhung und Einkommenssenkung führen zu Nachfragerückgang. 2 Das Gut ist normal und inferior: SE und EE wirken in entgegengesetzte Richtungen. SE stärker als EE. Nachfrage sinkt aufgrund einer Preiserhöhung. 3 Das Gut ist Giffen und inferior: SE und EE wirken in entgegengesetzte Richtungen. SE schwächer als EE. Nachfrage steigt aufgrund einer Preiserhöhung. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

8 Ergebnisse Beobachtung 1 Jedes superiore Gut ist normal und jedes Giffen Gut ist inferior. Die Umkehrung gilt nicht. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

9 Ausgabenminimierung Bisher: Nutzenmaximierung u.d.n., dass das Budget nicht überschritten wird. Neu: Wir haben ein vorgegebenes Nutzenniveau ū, das mit den geringst möglichen Ausgaben erreicht werden soll. Grafisch: Wir suchen die niedrigste Budgetgerade, die die vorgegebene Indifferenzkurve gerade noch berührt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

10 Ausgabenminimierung x 2 ū = 10 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

14 Ausgabenminimierung x 2 xk ū = 10 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

15 Ausgabenminimierung Das Ergebnis ist die kompensierte Nachfrage (x k 1, x k 2 ). Im Tangentialpunkt gilt: Steigung der Indifferenzkurve = Steigung der Budgetgerade: GRS = p 1 /p 2. Dies ist die selbe Bedingung wie bei der Nutzenmaximierung! Dualität zwischen Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

16 Ausgabenminimierung Beispiel: u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2. Das Ausgabenminimierungsproblem lautet min x 1,x 2 p 1 x 1 + p 2 x 2 u.d.n. x1 + x 2 = ū. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

17 Ausgabenminimierung Lagrangefunktion: L(x 1, x 2, λ) = p 1 x 1 + p 2 x 2 + λ ( ū x 1 x 2 ). B.1.O. L = p 1 λ x 1 2 = 0, x 1 L = p 2 λ x 2 2 = 0, x 2 L λ = ( ū x 1 x 2 ) = 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

20 Ausgabenminimierung Wir bringen die Terme mit λ auf die rechte Seite: p 1 = p 2 = λ 2 x 1, λ 2 x 2. Dividieren der oberen Gleichung durch die untere ergibt p 1 p 2 = λ 2 x 1 2 x2 λ = x2 x1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

21 Ausgabenminimierung p 1 x2 =. p 2 x1 Auflösen nach x 2 ergibt Dies setzen wir in die NB ein: x2 = p 1 p 2 x1. ū = x 1 + p 1 x1 p 2 = ( x p ) 1 p 2 = ( ) p1 + p 2 x 1. p 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

24 Ausgabenminimierung Auflösen nach x 1 ergibt ( ) p1 + p 2 ū =. p 2 x1 = ūp 2 p 1 + p 2. Quadrieren beider Seiten ergibt die kompensierte Nachfrage nach Gut 1: ( ) 2 x1 k (p ūp2 1, p 2, ū) =. p 1 + p 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

25 Kompensierte Nachfrage Die kompensierten Nachfragefuktionen lauten ( ) 2 ( ) 2 x1 k (p ūp2 1, p 2, ū) =, x2 k p 1 + p (p ūp1 1, p 2, ū) =. 2 p 1 + p 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

26 Cobb Douglas Nutzenfunktion u (x 1, x 2 ) = x α 1 xβ 2 mit α + β = 1 Ausgabenminimierungsproblem: min x 1,x 2 p 1 x 1 + p 2 x 2 u.d.n. x α 1 xβ 2 = ū. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

27 Lagrangefunktion: L(x 1, x 2, λ) = p 1 x 1 + p 2 x 2 + λ ( ) ū x1 α xβ 2. B.1.O. L = p 1 λαx (α 1) x 1 x β 2 1 = 0 (1) L = p 2 λβx 1 αx β 1 x 2 2 = 0 (2) L λ = ū xα 1 xβ 2 ; = 0. (3) Division von Gleichung (1) durch Gleichung (2) ergibt αx 2 βx 1 = p 1 p 2. (4) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

28 Auflösen nach x 2 ergibt: x 2 = βp 1 αp 2 x 1. (5) Einsetzen in die Nebenbedingung ū x α 1 ( ) β βp1 x 1 = 0 αp 2 und Auflösen nach x 1 x k 1 (p 1, p 2, ū) = ( ) β αp2 ū (6) βp 1 ergibt die kompensierte Nachfragefunktion für Gut 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

29 Für Gut 2 ergibt sich durch Einsetzen in Gleichung (5) x k 2 (p 1, p 2, ū) = ( ) α βp1 ū. (7) αp 2 Achtung: Anders als im Fall der Marshall Nachfragefunktionen für Cobb Douglas Präferenzen hängen die kompensierten Nachfragefunktionen jeweils vom eigenen Preis und dem Preis des anderen Gutes ab. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

30 Vollkommene Komplemente u (x 1, x 2 ) = min {x 1, x 2 } Grafisch: x 2 x k x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

31 Vollkommene Komplemente Die ausgabenminimalen Konsumpläne liegen auf der Diagonalen der Konsummenge: Von beiden Gütern wird die gleiche Menge x = x 1 = x 2 nachgefragt. Der Nutzen eines solchen Konsumplans ist u (x 1, x 2 ) = min{x 1, x 2 } = x 1 = x 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

32 Für den vorgegebenen Nutzen ū erhalten wir die kompensierte Nachfragefunktion x k (p 1, p 2, ū) = ( x k 1 (p 1, p 2, ū),x k 2 (p 1, p 2, ū) ) = (ū, ū). (8) Damit lauten die kompensierten Nachfragefunktionen x k 1 (p 1, p 2, ū) = x k 2 (p 1, p 2, ū) = ū. (9) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

33 Vollkommene Substitute u (x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 Drei mögliche Fälle p 1 p 2 > 1, d. h., die Budgetgerade verläuft steiler als die Indifferenzkurven, p 1 p 2 < 1, d. h., die Budgetgerade verläuft flacher als die Indifferenzkurven, p 1 p 2 = 1, Budgetgerade und Indifferenzkurven haben die selbe Steigung. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

34 Randlösung x 2 x k x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

35 Randlösung x 2 x k x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

36 x 2 Nachfragepunkte x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

37 Fall p 1 p 2 > 1 Es wird nur Gut 2 konsumiert, d. h. sein Nutzen ist gleich x 2. kompensierte Nachfrage x k = (0, ū). Fall p 1 p 2 < 1 Es wird nur Gut 1 konsumiert, d. h. sein Nutzen ist gleich x 2. kompensierte Nachfrage x k = (ū, 0). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

38 Fall p 1 = p 2 Die nachgefragte Menge beider Güter ist gegeben durch die Bedingung x 1 + x 2 = ū Achtung! In diesem Fall gibt es keinen eindeutigen Nachfragepunkt, sondern alle Punkte auf der Budgetgeraden sind mögliche Nachfragepunkte (kompensierte Nachfragekorrespondenz). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

39 Kompensierte Nachfragekorrespondenz (0, ū), falls p 1 > p 2, x k (p 1, p 2, ū) = {(x 1, x 2 ) X x 1 + x 2 = ū}, falls p 1 = p 2, (ū, 0), falls p 1 < p 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

40 Ausgabenfunktion Die minimalen Ausgaben zur Erreichung des vorgegebenen Nutzenniveuas sind gegeben durch die Ausgabenfunktion: e (p 1, p 2, ū) = p 1 x k 1 (p 1, p 2, ū) + p 2 x k 2 (p 1, p 2, ū). Die Ausgabenfunktion e im Ausgabenminimierungsproblem entspricht der indirekten Nutzenfunktion v im Nutzenmaximierungsproblem. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

41 Eigenschaften der Ausgaben- und kompensierten Nachfragefunktionen Multiplikation beider Preise mit dem gleichen Faktor ändert nichts an der kompensierten Nachfrage, da sich dadurch nichts an der Steigung der Budgetgerade ändert. Beobachtung 2 (0 Homogenität in p) Für eine kompensierte Nachfragekorrespondenz x k gilt für alle Preise p 1, p 2, für alle Nutzenniveaus ū und für alle Faktoren a R ++ x k 1 (ap 1, ap 2, ū) = x k (p 1, p 2, ū). d. h., kompensierte Nachfragefunktionen sind homogen vom Grade 0 in den Preisen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

42 Eindeutigkeit des Substitutionseffektes Im Unterschied zu der Marshallschen Nachfrage ist die Änderung der kompensierten Nachfrage bezüglich einer Preisänderung eindeutig! Die nachgefragte Menge eines Gutes sinkt mit steigendem Preis des selben Gutes (oder bleibt gleich). Beobachtung 3 Sei x k (p 1, p 2, ū) eine kompensierte Nachfragefunktion. Dann gilt, dass xi k (p 1, p 2, ū) nicht steigend in p i ist. Ist xi k differenzierbar heisst das x k i p i 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

43 Substitutionseffekt Die aus einer Preiserhöhung resultierende Änderung der kompensierten Nachfrage heisst Substitutionseffekt (SE). Der SE ist immer der Änderung des Preises entgegengesetzt (oder gleich null). Bei Senkung des Preises eines Gutes kann die kompensierte Nachfrage nach diesem Gut nicht sinken und bei einer Preiserhöhung nicht steigen. Der SE ist negativ, da die partielle Ableitung x k i (p,ū) p i 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

44 Grafische Darstellung des Substitutionseffektes x 2 x k ( p 1, p 2, ū ) x k (p 1, p 2, ū) SE x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

45 Steigt p 1 auf p 1, so wird die Budgetgerade (BG) steiler. Die kompensierte Nachfrage nach Gut 1 nimmt mit der Erhöhung von p 1 ab. Grund: Andernfalls müsste der neue kompensierte Nachfragepunkt rechts vom alten liegen. Auf der neuen BG und rechts vom alten Punkt wäre aber unterhalb der Budgetgerade zu den ursprünglichen Preisen durch x k (p 1, p 2, ū). Widerspruch dazu, dass x k (p 1, p 2, ū) die kompensierte Nachfrage zu den ursprünglichen Preisen ist. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

46 Eigenschaften der Ausgabenfunktion Die minimalen Ausgaben, die aufgewendet werden müssen, um ein vorgegebenes Nutzenniveau zu erreichen, können nicht geringer werden, wenn einer der Güterpreise steigt andernfalls wären die ursprünglichen Ausgaben nicht minimal gewesen. Beobachtung 4 (Nichtabnehmend im Preis) Die Ausgabenfunktion ist nichtabnehmend in den Preisen. Das heisst, falls die Ausgabenfunktion differenzierbar ist, gilt, für alle i = 1, 2,...,n e p i (p, ū) 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

47 Ein analoges Argument zeigt, dass die Ausgabenfunktion auch nichtabnehmend in u ist. Beobachtung 5 (Streng monoton steigend in ū) Die Ausgabenfunktion ist streng monoton steigend im Nutzenniveau ū. Das heisst, falls die Ausgabenfunktion differenzierbar ist, gilt für alle i = 1, 2,...,n e (p, ū) > 0. ū Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41

48 Wenn alle Preise um den gleichen Faktor steigen, nehmen auch die Ausgaben um diesen Faktor zu: Für alle λ R ++ gilt: e (λp, ū) = λp x k (λp, ū) = λ p x k (p, ū) = λ e (p, ū). Beobachtung 6 (1 Homogenität in p) Die Ausgabenfunktion ist homogen vom Grade 1 in den Preisen, d. h., für alle Preise p, für alle Nutzenniveaus ū und für alle λ R ++ gilt e (λp, ū) = λ e (p, ū). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche Fortsetzung 14. November / 41