Kapitel 5: Die Entscheidung. moodle.tu-dortmund.de. Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 1 / 46

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1 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 1 / 46 Kapitel 5: Die Entscheidung moodle.tu-dortmund.de

2 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 2 / 46 Outline Optimale Entscheidung als Berührungspunkt Beispiele Cobb-Douglas Quasi-lineare Ausnahmen der Tangentialbedingung Implikationen der Tangentialbedingung Mengensteuer vs. Pauschalsteuer Optimale Entscheidung bei n 2 Gütern

3 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 2 / 46 Optimale Entscheidung als Berührungspunkt Beispiele Cobb-Douglas Quasi-lineare Ausnahmen der Tangentialbedingung Implikationen der Tangentialbedingung Mengensteuer vs. Pauschalsteuer Optimale Entscheidung bei n 2 Gütern

4 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 3 / 46 Die optimale Entscheidung bei monotonen Präferenzen Die Konsumenten wählen die besten Güterbündel, die sie sich leisten können. bestes Güterbündel : Güterbündel liegt auf der höchsten Indifferenzkurve... sich leisten können :... auf der Budgetgeraden... in der Budgetmenge. Mathematisch: p 1 x 1 + x 2 = m max u(x 1, x 2 ) u.d.b. p 1 x 1 + x 2 m x 1,x 2 0

5 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 4 / 46 Die optimale Entscheidung bei monotonen Präferenzen Im besten Güterbündel, dass man sich leisten kann berührt die Indifferenzkurve die Budgetgerade. Gut 2 m x 2 optimales Güterbündel Budgetgerade Indifferenzkurven x 1 m p 1 Gut 1

6 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 5 / 46 Angenommen, die Indifferenzkurve durch (x 1, x 2 ) schneidet die Budgetgerade... Gut 2 m x 2 Diese Güterbündel sind besser als x und man kann sie sich leisten. Indifferenzkurve x 1 m p 1 Gut 1... dann ist die Konsumentscheidung nicht optimal.

8 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 7 / 46 Optimale Entscheidung bei Cobb Douglas Präferenzen Nutzenfunktion: u(x 1, x 2) = x c 1 x d 2 Gut 2 m x Im Optimum x hat die Indifferenzkurve die gleiche Steigung wie die Budgetgerade. Tangentialbedingung : MRS = p 1 Budgetgerade Indifferenzkurven m p 1 Gut 1

9 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 8 / 46 Optimale Entscheidung bei Cobb Douglas Präferenzen Lösungsweg per Lagrange, siehe Kapitel 9, Satz 9.4 MfÖ Optimierungsproblem: max u(x 1, x 2 ) u.d.b. p 1 x 1 + x 2 = m x 1,x 2 0 Voraussetzungen: Randlösung kein Optimum u(x 1, x 2 ) zweimal stetig differenzierbar Lagrange Ansatz: L(x 1, x 2, λ) := u(x 1, x 2 ) λ (p 1 x 1 + x 2 m) Die Bedingungen 1. Ordnung sind notwendig für ein Optimum des originalen Problems.

10 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 9 / 46 Optimale Entscheidung bei Cobb Douglas Präferenzen Lösungsweg per Lagrange, notwendige Bedingungen L(x 1, x 2, λ) := u(x 1, x 2 ) λ (p 1 x 1 + x 2 m) L x 1 = 0 u(x 1,x 2 ) x 1 λ p 1 = 0 1 p 1 MU 1 = λ L x 2 = 0 u(x 1,x 2 ) x 2 λ = 0 1 MU 2 = λ 1 p 1 MU 1 = λ = 1 MU 2 MU 1 MU 2 = p 1 Tangentialbedingung!

11 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 10 / 46 Optimale Entscheidung bei Cobb Douglas Präferenzen Lösungsweg per Lagrange, notwendige Bedingungen L(x 1, x 2, λ) := u(x 1, x 2 ) λ (p 1 x 1 + x 2 m) L λ = 0 p 1 x 1 + x 2 m = 0 p 1 x 1 + x 2 = m Budgetbedingung!

12 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 11 / 46 Optimale Entscheidung bei Cobb Douglas Präferenzen Nutzenfunktion: u(x 1, x 2) = x c 1 x d 2 Gut 2 MRS = c d x2 x 1 = p 1 m x x 1 = c c+d m p 1, x 2 = d c+d m p 1 x 1 + x 2 = m m p 1 Gut 1

14 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 13 / 46 Optimale Entscheidung bei quasilinearen Präferenzen u(x 1, x 2) = v(x 1) + x 2, Lösungsweg per Lagrange L(x 1, x 2, λ) = v(x 1 ) + x 2 λ (p 1 x 1 + x 2 m) L x 1 = v (x 1 ) λ p 1! = 0 v (x 1 ) = p 1 L x 2 = 1 λ! = 0 λ = 1 Tangentialbedingung: v (x 1 ) = p 1 L λ = p 1 x 1 + x 2 m! = 0 Budgetbeschränkung : p 1 x 1 + x 2 = m

15 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 14 / 46 Optimale Entscheidung bei quasilinearen Präferenzen Gut 2 m MRS = v (x 1 ) x Tangentialbedingung: v (x 1 ) = p 1 Budgetbeschränkung: p 1 x 1 + x 2 = m Budgetgerade x1, x 2 Indifferenzkurven m p 1 Gut 1

16 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 15 / 46 Optimale Entscheidung bei quasilinearen Präferenzen u(x 1, x 2) = v(x 1) + x 2 mit v(x 1) = ln(x 1) v(x 1 ) = ln(x 1 ): Tangentialbedingung: v (x 1 ) 1 x 1 = p 1 x 1 = p 1 Budgetbeschränkung: p 1 x 1 + x 2 = m x 2 = m p 1 x 1 x 2 = m 1

17 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 16 / 46 Optimale Entscheidung als Berührungspunkt Beispiele perf. Substitute perf. Komplemente Cobb-Douglas Quasi-lineare Ausnahmen der Tangentialbedingung Implikationen der Tangentialbedingung Mengensteuer vs. Pauschalsteuer Optimale Entscheidung bei n 2 Gütern

18 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 17 / 46 Optimale Entscheidung bei quasilinearen Präferenzen Nutzenfunktion: u(x 1, x 2) = v(x 1) + x 2 Vorsicht Ausnahme! Falls ein Gut sehr teuer ist, sind Randlösungen möglich. Die Tangentialbedingung gilt bei Randlösungen nicht.

19 Optimale Entscheidung bei quasilinearen Präferenzen Beispiel für eine Ausnahme Gut 2 Randlösung, falls Gut 2 zu teuer. m x m p 1 Gut 1 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 18 / 46

20 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 19 / 46 Weitere Ausnahmen für die Tangentialbedingung Konkave Präferenzen: nicht aus Versehen die Tangentialbedingung benutzen! Gut 2 Indifferenzkurven y Budgetgerade x Gut 1

22 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 21 / 46 Implikationen der MRS Bedingung Externe Tauschrate: Marktbewertung durch Preise p 1, p 1 Interne Tauschrate: Grenzrate der Substitution MU 1 MU 2 Optimum: jede/r hat gleiche interne Grenzbewertung: MU 1 MU 2 = p 1. Preisverhältnisse dienen als Indikatoren für interne Grenzbewertungen. wir können wirtschaftspolitische Maßnahmen beurteilen: Ist es wünschenswert auf ein Gut zu Gunsten eines anderen Gutes zu verzichten?

24 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 23 / 46 Anwendung: Die Entscheidung über Steuern Was ist besser: eine Mengensteuer oder eine Kopfsteuer? Mengensteuer t auf Gut 1: Preis für Gut 1 steigt von p 1 auf p 1 + t. Budgetgleichung: (p 1 + t) x 1 + x 2 = m. Steigung der Budgetgerade bei Mengensteuer t: p 1+t Steuereinnahmen bei optimaler Entscheidung (x t 1, x t 2 ): t x t 1

25 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 24 / 46 Gut 2 m Budgetgerade mit Budgetgerade ohne Mengensteuer Mengensteuer t x t Steigung: p 1 Steigung: p 1+t m p 1 +t m p 1 Gut 1

26 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 25 / 46 Anwendung: Die Entscheidung über Steuern Was ist besser: eine Mengensteuer oder eine Kopfsteuer? Kopfsteuer T Das Einkommen m sinkt um T auf m T. Budgetgleichung: p 1 x 1 + x 2 = m T Steigung der Budgetgerade bei Kopfsteuer T : p 1 Steuereinahmen bei optimaler Entscheidung (x T 1, x T 2 ): T

27 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 26 / 46 Gut 2 m m T Budgetgerade ohne Steuer Budgetgerade bei Kopfsteuer T x T Steigung: p 1 Steigung: p 1 m T p 1 m p 1 Gut 1

28 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 27 / 46 Anwendung: Die Entscheidung über Steuern Was ist besser: eine Mengensteuer oder eine Kopfsteuer? Wähle Kopfsteuer T so, dass die gleichen Steuereinnahmen wie bei Mengensteuer t erzielt werden! Steuereinnahmen bei Mengensteuer: t x t 1 Steuereinnahmen bei Kopfsteuer: T T = t x t 1 Budgetgerade bei Mengensteuer t: (p 1 + t) x 1 + x 2 = m Budgetgerade bei Kopfsteuer T : p 1 x 1 + x 2 = m t x t 1 }{{} =T Übung: Zeigen Sie, dass sich die beiden Budgetgeraden im Bündel (x t 1, x t 2 ) schneiden!

29 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 28 / 46 Wähle Steuersatz T so, dass beide Steuerregime für den Staat gleich gut sind (gleiche Steuereinnahmen)! Gut 2 m m T Budgetgerade bei Mengensteuer t x t x T Die Konsumentin findet die Kopfsteuer besser. Budgetgerade bei Kopfsteuer T = t x t 1 m p 1 +t m T p 1 Gut 1

31 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 30 / 46 Die Optimale Entscheidung bei n Gütern Im Folgenden leiten wir eine einfache notwendige und hinreichende Bedingung für die optimale Entscheidung bei n Gütern her. Wir beschränken uns allerdings auf Präferenzen, die durch eine Cobb-Douglas-Nutzenfunktion dargestellt werden können!

32 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 31 / 46 Die Entscheidung bei drei Gütern Falls zwei Tangentialbedingungen erfüllt sind, so ist auch die dritte Bedingung erfüllt. Gut 1 Gut 2 MU 1 MU 2 = p 1 MU 2 MU 3 = p3 MU 1 MU 3 ( ) ( = MU 1 MU 2 MU 2 ( ) ( ) = p 1 p 3 = p 1 p 3 MU 3 ) Gut 3

33 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 32 / 46 Die Entscheidung bei drei Gütern Drei Gleichungen und drei Unbekannte: Das optimale Güterbündel (x1, x 2, x 3 ) erfüllt demnach zwei Tangentialbedingungen und die Budgetbedingung. Es ist unwichtig, welche zwei der drei Tangentialbedingungen benutzt werden.

34 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 33 / 46 Die Entscheidung bei vier Gütern Falls drei bestimmte Tangentialbedingungen der sechs möglichen Bedingungen erfüllt sind, so sind auch die anderen drei Bedingungen erfüllt. Gut 2 MU 1 MU 2 = p 1 Gut 1 MU 2 MU 3 = p 3 MU 3 MU Gut 3 4 = p 3 p 4 Gut 4

35 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 34 / 46 Die Entscheidung bei vier Gütern Vier Gleichungen und vier Unbekannte: Das optimale Güterbündel (x1, x 2, x 3, x 4 ) erfüllt demnach drei Tangentialbedingungen und die Budgetbedingung. Es ist wichtig, welche drei der sechs Tangentialbedingungen benutzt werden.

36 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 35 / 46 Die Entscheidung bei n 2 Gütern Falls n 1 bestimmte Tangentialbedingungen erfüllt sind, dann sind alle n (n 1) 2 möglichen Bedingungen erfüllt. Gut 1 Gut 2 MU 1 MU 2 = p 1 Gut n MU 2 MU 3 = p 3 MU n 1 MUn = p n 1 pn Gut 3 Gut n 1 MU 3 MU 4 = p 3 p 4 MU n 2 MU n 1 = p n 2 p n 1 Gut 4... Gut n 2

37 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 36 / 46 Die Entscheidung bei n 2 Gütern n Gleichungen und n Unbekannte: Das optimale Güterbündel (x 1, x 2,..., x n) erfüllt demnach n 1 Tangentialbedingungen und die Budgetbedingung. Es ist wichtig, welche n 1 der n (n 1) 2 Tangentialbedingungen benutzt werden.

38 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 37 / 46 Die einfachere Entscheidung bei n 2 Gütern Wit hatten in Kapitel 02 Die Budgetbeschränkung festgestellt: Der Preisvektor ist senkrecht zur Budgetgeraden! Gut 2 ( p1 ) Gut 1

39 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 38 / 46 Der Preisvektor als Normalenvektor Bei n 2 Gütern ist die Budgetgerade eine (Hyper-)Ebene mit Normalenvektor (p 1,,..., p n ) T : Gut 2 y p = p 1 p 3 x Gut 1 Gut 3 Für jede zwei Güterbündel x und y, die auf dem Rand der Budgetmenge liegen gilt: (y x) p = 0.

40 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 39 / 46 Die einfachere Entscheidung bei n 2 Gütern Wir hatten in Kapitel 04 Nutzen festgestellt: Der Gradient u ist senkrecht zur Indifferenzkurve! Gut 2 ( MU1 u = MU 2 ) Gut 1

41 Indifferenkurve bei drei Gütern Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 40 / 46

42 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 41 / 46 Betrachte kleine Veränderung dx = (dx 1, dx 2,..., dx n ): u(x + dx) u(x) + dx 1 MU dx n MU n. Falls dx eine Veränderung entlang der Indifferenzkurve ist, also x + dx x, also u(x + dx) = u(x), dann muss auch gelten dx 1 MU 1 + dx 2 MU dx n MU n = 0. Mit Gradient u T = (MU 1, MU 2,..., MU n ) ist Interpretation als Skalarprodukt möglich: (dx 1, dx 2,..., dx n ) MU 1 MU 2. MU n = dx u = 0 der Gradient u ist senkrecht zur Indifferenzkurve!

43 Der Gradient u ist senkrecht zur Indifferenzkurve. Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 42 / 46

44 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 43 / 46 Die Optimalitätsbedingung bei n Gütern Anzahl der Güter 2 Der Preisvektor p ist senkrecht zur Budgetgerade. n Der Preisvektor p ist senkrecht zur Budget-Hyperebene. 2 Der Gradient u ist senkrecht zur Indifferenzkurve. n Der Gradient u ist senkrecht zur Indifferenzkurve. 2 Die Budgetgerade hat im optimalen Güterbündel x die gleiche Steigung wie die Indifferenzkurve. n Der Preisvektor p ist im optimalen Güterbündel x kollinear zum Gradienten u.

45 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 44 / 46 Lösung für u(x) = x α 1 1 x α x α n n Preisvektor: p T = (p 1,..., p n ) Grenznutzen: n u(x) j=1 = α i x α j j x i x i = α i x i u(x) Gradient: u T = ( α1, α 2,..., α ) n u(x) x 1 x 2 x n

46 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 45 / 46 Optimalitätsbedingung: p kollinear zu u in x p und u kollinear: es existiert ein β so dass p = β u. p i = β αi x i u(x ) für alle i = 1,..., n x i = β αi p i u(x ) für alle i = 1,..., n Budgetbedingung p 1 x p n x n = m: p 1 β α1 p 1 u(x ) p n β αn p n u(x ) = m β = m u(x ) (α α n ) x i = α i α α n m p i

47 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 46 / 46 Summary Im optimalen Güterbündel berührt die Indifferenzkurve die Budgetgerade. Bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen und bei Quasi-linearen Nutzenfunktionen (vorsicht Ausnahme!) ist die Tangentialbedingung nur im optimalen Güterbündel erfüllt. Wenn jeder die gleichen Preise für ein Paar von Gütern zahlen muss, ist die gerade noch akzeptierte Tauschrate für alle sich optimal entscheidenden Personen gleich. Für n 2 Güter können wir die Tangentialbedingung in eine einfache Kollinearitätsbedingung übersetzen.