der Grenzgewinn aus dem Gemüse- und dem Getreideanbau Da immer positiv ist, kann es nicht optimal sein, Land liegen zu lassen. Also muß die Nebenbedin

Transkript

1 eispiel: Das odenallokationsproblem 2. des auern Landwirt hat 2 Hektar Land, auf dem er Getreide oder Ein anbauen kann. Sei Gemüse x 2 x cfl Klaus Schmidt 200 VWL III (Sommer 200) 2- Prof. Dr. Klaus M. Schmidt 2 Maximierung mit Nebenbedingungen Literatur: Hoy et.al. (995), hapter 3. Gravelle und Rees (992), hapter 2 F,G und 5 A,. hiang (984), hapter 2. inmore (983), hapter 3. Hektar Land für Getreideproduktion Hektar Land für Gemüseproduktion (x ) Gewinn aus Getreideproduktion, G (x ) = 8x G 2 (x 2 ) Gewinn aus Gemüseproduktion, G 2 (x 2 ) = 32 p x 2 G Sein Gewinnmaximierungsproblem lautet: x ;x 8x max + 32 p x 2 2

2 der Grenzgewinn aus dem Gemüse- und dem Getreideanbau Da immer positiv ist, kann es nicht optimal sein, Land liegen zu lassen. Also muß die Nebenbedingung mit brach erfüllt sein. Gleichheit Lagrange-Funktion ist also einfach die ursprüngliche Die abzüglich eines Produkts. Dieses Produkt Zielfunktion dem sog. Lagrange Parameter und der linken Seite der Nebenbedingung, die so aufgelöst daß alle Terme auf der linken Seite stehen und wurde, gleich 0 sind. zusammen Sie: Wenn die Nebenbedingung mit Gleichheit eachten ist, muß der zweite Term dieses Produkts gleich erfüllt Partielle Ableitungen bilden und gleich 0 setzen: = 8 = 0 VWL III (Sommer 200) 2-2 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt unter der Nebenbedingung x + x 2» 2 : Das Lagrange-Verfahren:. Aufstellen der Lagrangefunktion: L(x ;x 2 ; ) = 8x + 32 p x 2 (x + x 2 2) setzt sich zusammen aus 0 sein.

3 = x x = Auflösen dieses Gleichungssystems nach den drei 3. x, x 2 und : Unbekannten = 8 x 2 = 4 x = 8 Eigentlich müssen wir jetzt überprüfen, ob die Lagrangebedingungen 4. auch hinreichend für die optimale Lösung Der Landwirt wird den Gemüseanbau solange ausdehnen, bis der Grenzertrag einer Einheit Land beim Gemü- genau so groß ist wie der Grenzertrag einer Einheiseanbau Land beim Getreideanbau. Zeigen Sie rechnerisch, Man kann das auch sofort an den beiden ersten Lagrangebedingungen erkennen, wenn man dort jeweils VWL III (Sommer 200) 2-3 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt = p 6 = 0 x2 sind. Siehe unten. Interpretation: daß diese Aussage stimmt.

4 die rechte Seite bringt und dann beide Gleichungen auf dividiert: durcheinander Der Lagrangeparameter ist genau so groß wie der aus einem zusätzlichen Hektar Land (egal Grenzgewinn in der Getreide- oder Gemüseverwendung). Man sagt ob daß der Lagrangeparameter ein Schattenpreis" auch, in diesem eispiel für den knappen oden. Er gibt ist, wieviel der Landwirt für einen zusätzlichen Hektar an, Lagrange-Ansatz wird in allen Gebieten der Ökonomie Der häug verwendet. Darum soll er hier etwas ausführlicher sehr allgemeiner beschrieben werden. etrachten wir zunächst und Maximierungsproblem mit nur einer Nebenbedingung ein in Gleichungsform ohne Nicht-Negativitäts-edingungen. VWL III (Sommer 200) 2-4 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt 8 G0 = (x ) G 0 6 (x 2) = = p 2 x2 Land maximal zu zahlen bereit wäre. 2.2 Das Lagrange-Verfahren x max ;:::;xn f (x ;:::;x n ) u.d.n. g(x ;:::;x n ) = b Die Lagrange-Funktion für dieses Problem lautet: L(x ;:::;x n ) = f (x ;:::;x n ) [g(x ;:::;x n ) b]

5 Vereinfachung der Notation sei x = (x ;:::;x n ). Außerdem Zur bezeichnen wir mit f i die partielle Ableitung der 2. (Lagrange) Wenn der Vektor x Λ die Theorem f (x) unter der Nebenbedingung g(x) = b Funktion und wenn g i (x Λ ) 6= 0 für wenigstens ein maximiert, 2 f;:::;ng, dann existiert eine reelle Zahl Λ, so i L (x Λ ; Λ ) = 0 Die edingung g i (x Λ ) 6= 0 für wenigstens ein i 2. ist die sog. onstraint Qualication", die f;:::;ng" normalerweise einfach ignorieren kann. Wenn jedoch man irgendetwas schief läuft und man kein oder ein unplausibles Ergebnis bekommt, sollte man diese sehr überprüfen. edingung Das Theorem von Lagrange besagt nur, daß die edingungen 2. an die ersten Ableitungen der Lagrange-Funktion notwendige edingungen für eine Lösung des Ma- VWL III (Sommer 200) 2-5 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt Funktion f (x) nach x i. daß L i (x Λ ; Λ ) = 0 8i 2 f;:::;ng und emerkungen:

6 sind, d.h., jede Lösung muß diese ximierungsproblems erfüllen. edingungen Die Lagrange-edingungen werden auch edingungen 3. erster Ordnung" genannt. Es gibt (N+) solcher edingungen mit (N+) Unbekannten, nämlich den Werten x Λ ;:::;xλ n Lösung hat, dann erhält man einen (eventuell auch eine Kandidaten für die Lösung des Maximierungs- mehrere) ei diesem Kandidaten kann es sich jedoch problems. um ein Minimum oder um ein lokales (und nicht auch 2.2 Die Lagrange-edingungen sind nicht Theorem notwendig, sondern auch hinreichend für eine nur wenn die Menge, über die maximiert wird, konvex und ist wenn die Zielfunktion f (x) global streng quasikonkav ist. vielen einfachen Optimierungsproblemen ist die Menge, ei die maximiert wird, eine Gerade (udgetgerade beim über VWL III (Sommer 200) 2-6 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt und. dieses Gleichungssystem Wenn globales) Maximum handeln. Darum ist das folgende Theorem sehr nützlich: eindeutige optimale Lösung,

7 x + x 2 = 2 beim odenallokationsproblem, Nutzenmaximierungsproblem, etc.) Eine Gerade ist immer eine konvexe bleibt zu klären, wann eine Funktion streng quasikonkav Es ist. wissen bereits aus Kapitel, daß die edingungen erster Wir Ordnung die optimale Lösung eindeutig charakterisie- wenn die Zielfunktion streng konkav ist. Die Forderunren, nach strenger Konkavität ist jedoch etwas zu stark. Es 2. (Quasikonkavität) Eine Funktion Denition (x) : IR N! IR ist (streng) quasikonkav genau f VWL III (Sommer 200) 2-7 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt Menge. In diesem Fall gibt es also kein Problem. komplizierteren Optimierungsproblemen muß man überprüfen, ei ob die Nebenbedingungen eine konvexe Menge einschließen. 2.3 Quasikonkave Funktionen genügt, daß die Funktion streng quasikonkav ist. wenn für alle k 2 (0; ) und alle x 0 ;x 00 2 IR N dann, gilt: f (x 0 ) f (x 00 ) ) f (kx 0 +( k)x 00 ) (>) f (x 00 ) Interpretation:

8 alle k 2 (0; ). Hier sind x 0 und x 00 zwei Punkte, die auf für Konturlinie ( Höhenlinie", z.. Indifferenzkurve, Iso- einer von f (x) liegen. Eine konvexe Kombination gewinnkurve) x 0 und x 00 führt also zu einem höheren Funktionswert. von Die oberen Konturmengen einer quasikonkaven Funktion ) sind konvex. x 2 r rrrr rrrrr rrrrr r rrrr x x 2 r rr rrrrrr rrrrrrr r rr x VWL III (Sommer 200) 2-8 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt Diese edingung impliziert f (x 0 ) = f (x 00 ) ) f (kx 0 + ( k)x 00 ) (>) f (x 00 ) rrrrrrr r rrrrrrrrr rrrrrrr r rrrrrrrrr Figur 2.: Konturlinien einer quasikonkaven Funktion emerkungen:. Wenn ein Konsument konvexe Präferenzen hat, dann

9 das genau, daß die oberen Konturmengen seiner bedeutet Nutzenfunktion konvex sind. Also hat ein Konsu- mit konvexen Präferenzen eine quasikonkave Nutzenfunktionment Aber: Nicht jede quasikonkave Funktion ist auch konkav. 3. Die Eigenschaft der Quasikonkavität bleibt bei einer monotonen 4. Transformation der Funktion erhalten (Nutzen- Das gilt nicht für die Eigenschaft der Konkavitätfunktionen!). VWL III (Sommer 200) 2-9 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt 2. Jede konkave Funktion ist auch quasikonkav. eweis: Eine Funktion f (x) ist konkav, wenn gilt: f (kx 0 + ( k)x 00 ) kf(x 0 ) + ( k)f (x 00 ) Wähle x 0 und x 00 so, daß f (x 0 ) f (x 00 ). Dann gilt: f (kx 0 + ( k)x 00 ) kf(x 0 ) + ( k)f (x 00 ) f (x 00 ) Also ist diese Funktion auch quasikonkav. eispiele: ei Funktionen mit einer Veränderlichen ist jede monotone Funktion quasikonkav, aber nicht jede monotone Funktion ist konkav. Eine Glockenkurve ist quasikonkav aber nicht konkav.

10 überprüft man, ob eine differenzierbare Funktion Wie streng quasikonkav ist? DieFunktion ist streng quasikonkav, wenn die Vorzeichen der geränderten Hauptminoren abwechselnd streng < 0; ( ) m > 0 Die Funktion ist quasikonkav, wenn die Vorzeichen geränderten Hauptminoren dieser Matrix abwech- der nicht-positiv und nicht-negativ sind (schwache Ungleichheitszeichen)selnd VWL III (Sommer 200) 2-0 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt 0 Man bildet die Hesse-Matrix der zweiten Ableitungen Funktion und rändert" sie mit den. Ableitun- dieser gen: f 2 f n f f 2 f 22 f 2n f 2 A n f n2 f nn f n f f 2 f n 0 f negativ und streng positiv sind: f 2 f m f f 2 f 22 f 2m f 2 f f f 0 f..... m f m2 f mm f m f f 2 f m 0 f für alle 2» m» n.

11 Ist die Zielfunktion des Landwirts f (x ;x 2 ) = eispiel: + 32 p x 2 streng quasikonkav? 8x ersten und zweiten partiellen Ableitungen dieser Funktion Die sind: f f x 2 2 8x x x x ist die Zielfunktion quasikonkav und wir können sicher Also daß die Lösung, die wir oben gefunden haben auch sein, ist manchmal etwas aufwendig, zu überprüfen, ob man Es ein globales Maximum gefunden hat. Darum tatsächlich VWL III (Sommer 200) 2- Prof. Dr. Klaus M. Schmidt = 8; f 2 = 6x 2 2 f 3 = 0; f 22 = 8x 2 2 ; f 2 = f 2 = 0 f Also gilt: 0 8 f f 0 f = = 0 64 < 0; f 2 f f 2 f 22 f 2 f = 0 8 = x 2 2 > 0 : 8 = tatsächlich das globale Maximum beschreibt.

12 Konsument erzielt Einkommen in mehreren Perioden Ein will seinen Konsum über mehrere Perioden aufteilen. und 2 Perioden, t = ; 2; Einkommen des Konsumenten in Periode t ist m t ; ;m 2 ) = Einkommens-Ausstattung. (m Ein (zusammengesetztes) Gut in jeder Periode, Konsumplan (x ;x 2 ); Preis des Gutes in beiden Perioden derselbe, normiert ; auf Präferenzen des Konsumenten können durch Indifferenzkurven Die im (x ;x 2 )-Raum dargestellt werden. Hier ist monoton und VWL III (Sommer 200) 2-2 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt wir Sie in Übungsaufgaben explizit auffordern, diese werden Überprüfung vorzunehmen. Ansonsten können Sie darauf verzichten. Anwendung: Intertemporale Konsumentscheidungen 2.4 Einfachster Fall: es sehr natürlich anzunehmen, daß die Präferenzen

13 und daß der Konsument in beiden Perioden konsumieren sind will (innere Lösung). wir an, daß der Konsument einen Kredit zum Zinssatz Nehmen r aufnehmen und Ersparnisse zum Zinssatz r anlegen A der etrag, den der Konsument in Periode ausleiht. Sei A negativ ist, spart der Konsument. ei monotonen Wenn nach A in der ersten Gleichung und einsetzen in Auflösen zweite ergibt: die M der arwert des Vermögens des Konsumenten wobei ist. VWL III (Sommer 200) 2-3 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt konvex kann (perfekter Kapitalmarkt). Präferenzen muß gelten: x = m + A x 2 = m 2 ( + r)a x 2 = m 2 ( + r)(x m ) bzw. + x 2 x + r = m + m 2 + r M

14 x 2 3.: udgetbeschränkung auf einem perfekten Figur Kapitalmarkt sieht die udgetbeschränkung aus, wenn der Konsument Wie Sie, daß der Punkt (m ;m 2 ) in allen diesen Fällen eachten der udgetmenge liegen muß. in rr rrrrrr rrr r rrrrrr x VWL III (Sommer 200) 2-4 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt r rrrrrrr r rrrrrrr weder sparen noch einen Kredit aufnehmen kann, nur zinslos sparen, aber keinen Kredit aufnehmen kann, zum Habenzinssatz r h sparen und zum Sollzinssatz r s anlegen kann (r h < r s )? Geld Welchen Konsumplan wird der Konsument wählen?

15 x 2 Die Steigung der Indifferenzkurve ist die Grenzrate der die angibt, in welchem Verhältnis der Kon- Substitution, bereit ist, Konsum heute" gegen Konsum morgensument auszutauschen. rr rrrrrr rrr r rrrrrr x VWL III (Sommer 200) 2-5 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt r rrrrrrr r rrrrrrr Figur 2.2: Der optimale Konsumplan eachten Sie: Der optimale Konsumplan ist dadurch charakterisiert, die höchste erreichbare Indifferenzkurve die ud- daß getgerade tangiert. Die Steigung der udgetgeraden gibt an, in welchem der Konsument Konsum heute" gegen Kon- Verhältnis sum morgen" austauschen kann.

16 Im Optimum müssen diese beiden Verhältnisse übereinstimmen. Warum? estimmung des optimalen Konsumplans m + x 2 m 2 + r = 0 VWL III (Sommer 200) 2-6 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt die Präferenzen des Konsumenten werden Angenommen, die Nutzenfunktion u(x ;x 2 ) repräsentiert. Dann lau- durch tet das Nutzenmaximierungsproblem des Konsumenten: x ;x u(x max ;x 2 ) 2 unter der Nebenbedingung: + x 2 x + r = m + m 2 + r. Aufstellen der Lagrange-Funktion: 0 A L(x ;x 2 ; ) = u(x ;x 2 ) + r 2. Partielle Ableitungen bilden und gleich 0 setzen: = ;x ) = ;x ) = x + m x 2 m = 0 + r

17 Jetzt haben Sie drei Gleichungen, die Sie nach den drei 3. (x ;x 2 ; ) auflösen können. Unbekannten Schließlich müssen Sie noch überprüfen, ob die Lagrangebedingungen 4. auch hinreichend für die optimale Lösung den beiden ersten Gleichungen folgt sofort, daß Aus ;x ;x 2 = + r ist die edingung, daß im Nutzenmaximum der etrag Das Grenzrate der Substitution gleich dem Preisverhältnis der eispiel: etrachte die Nutzenfunktion u(x ;x 2 ) = u(x ) + fu(x 2 ) den optimalen Konsumplan konkret ausrechnen zu können, Um wir noch etwas spezischer sein. Wir nehmen an, müssen u(x ;x 2 ) = ln x + f ln x 2 VWL III (Sommer 200) 2-7 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt sind. für gegenwärtigen und zukünftigen Konsum sein muß. Form einer additiv separablen Nutzenfunktion wird Diese intertemporalen Konsumentscheidungen sehr häug ver- bei Hier sind die Präferenzen des Konsumenten in jeder wendet. dieselben, aber er diskontiert den zukünftigen Nut- Periode zen mit einem Diskontierungsfaktor f < (sprich: Delta). daß u(x) = ln x, d.h.,

18 = = 0 = f 2 + r = 0 x 4x m + x 2 m 2 wir bei den beiden ersten edingungen die negativen Wenn auf die andere Seite bringen und dann die beiden Terme durcheinander teilen, erhalten wir: Gleichungen 2 x fx = + r der linken Seite steht das Verhältnis der Grenznutzen, Auf nichts anderes ist als die Grenzrate der Substitution. was VWL III (Sommer 200) 2-8 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt Nutzenmaximierungsproblem: x ;x ln max x + f ln x 2 2 unter der Nebenbedingung: + x 2 x + r = m + m 2 + r Die Lagrangefunktion lautet: L = ln x + f ln x 2 + r Ableiten nach x, x 2 und ergibt: = x + m x 2 m = 0 + r

19 der rechten Seite steht das Preisverhältnis von Konsum Auf zu Konsum morgen". heute" x = x 2 als der Marktzins, d.h., wenn f < hat Λ > xλ 2 x VWL III (Sommer 200) 2-9 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt Auflösen nach x ergibt: f( + r) in die dritte edingung und Auflösen nach x 2 Einsetzen ergibt: + m 2 A x Λ 2 f( + r) = + f + r 0 Wenn wir x 2 in den Ausdruck für x einsetzen, erhalten + m 2 A Λ = x + f + r eachten Sie: Der optimale Konsumpfad ist völlig unabhängig davon,. die Verteilung des Einkommens über die Zeit aus- wie sieht, solange der arwert des Vermögens derselbe ist. Wenn der Konsument zukünftigen Konsum mit dem 2. abdiskontiert, d.h., wenn f = +r, dann Marktzinssatz gilt x Λ = xλ Wenn der Konsument dagegen eine höhere Zeitpräferenzrate +r, dann gilt, d.h., der Konsument möchte in der Gegenwart etwas mehr konsumieren als in der Zukunft.

20 Wenn umgekehrt f > +r, dann gilt xλ < xλ 2 4. möchte in der Gegenwart etwas weniger konsumieren Konsument als in der Zukunft. müssen wir prüfen, ob die Lagrange edingungen Schließlich hinreichend für eine optimale Lösung sind. Das ist der auch ersten und zweiten partiellen Ableitungen dieser Funktion Die sind: gilt: Also f = x ; f 2 = f x 2 f = x 2 ; f 22 = f x 2 2; f 2 = f 2 = 0 f f 2 0 = x 2 f x 2 2 x 2 f 2 x f 0 2 x x 0 x x 2 0 f x 2 2 x = 0 x 2 x f 2 x f 0 2 x f x 0 2 x 0 0 f x 2 2 x f 2 x VWL III (Sommer 200) 2-20 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt, d.h., der wenn die Nutzenfunktion u(x ;x 2 ) = ln x + f ln x 2 Fall, quasikonkav ist. streng f f 0 f = < 0; 0 f 2 f f 2 f 22 f 2 f = 0 + x

21 f 2 = x x 2 2 x x 2 2 Interpretation des Lagrange Parameters 2.5 Prameter sind nicht nur ein sehr nützliches mathematisches Lagrange Hilfsmittel, sie haben auch eine wichtige ökonomische Lagrange Parameter gibt an, um welchen etrag Der sich der Wert der Zielfunktion ändert, wenn die Landwirt maximiert seinen Gewinn unter einer odenbeschränkung.. Λ gibt an, um wieviel der Gewinn des Landwirtes ) würde, wenn er eine zusätzliche Einheit oden steigen Konsument maximiert seinen Nutzen unter einer udgetbeschränkung. 2. VWL III (Sommer 200) 2-2 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt f f 2x2 ( = f) > 0 : 2 x Interpretation: Nebenbedingung um eine Einheit gelockert wird. eispiele: zur Vefügung hätte.

22 Λ gibt an, um wieviel der Nutzen des Konsumenten ) wenn er eine zusätzliche Geldeinheit udget zur steigt, Unternehmen maximiert seinen Gewinn unter einer Input- 3. Restriktion. Λ gibt an, um wieviel der Gewinn des Unternehmens ) steigt, wenn es eine zusätzliche Inputeinheit zur Unternehmen minimiert seine Kosten unter der Nebenbedingung, 4. daß es eine bestimmte Menge Output pro- muß. duzieren Λ gibt an, um wieviel die Kosten sinken, wenn eine ) diese Interpretation zu sehen, betrachten Sie das folgende Um Maximierungsproblem: v Λ (b) = f (x Λ (b);xλ 2 (b)) VWL III (Sommer 200) 2-22 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt Verfügung hat. Verfügung hat. Outputeinheit weniger produziert werden muß. x ;x f max (x ;x 2 ) 2 u.d. Nebenbedingung g(x ;x 2 ) = b Die Lösung dieses Problems hängt von dem Parameter b ab: x Λ = xλ (b); xλ 2 = xλ 2 (b) : Sei

23 x Λ und xλ 2 Λ. Die Frage ist: Wie verändert sich v Λ (b), wenn sich b v verändert? dv Λ L (x Λ ; Λ ) = 0 ) f = Λ g L 2 (x Λ ; Λ ) = 0 ) f 2 = Λ g 2 dv Λ = dx Λ db + g 2 dx 2 muß die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt Schließlich sein: wir diese Gleichung total nach b differenzieren, erhalten Wenn wir dv Λ VWL III (Sommer 200) 2-23 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt der Wert der Zielfunktion an der optimalen Lösung. Da von b abhängen, gilt das offensichtlich auch dx Λ dx Λ 2 = dx Λ = + f 2 f db db db db Die Lagrange edingungen. Ordnung verlangen: Also muß gelten: 0 dx Λ 2 A : db db g(x Λ (b);xλ 2 (b)) = b : dg g Λ dx = db db + g 2 dx Λ 2 = db Einsetzen in die obige Gleichung ergibt: = Λ = Λ : db

24 Wert des Lagrange Parameters gibt also an, wie sich Der Wert der Zielfunktion marginal verändert, wenn sich die der Lagrange mit Nicht-Negativitätsbeschränkungen 2.6 haben wir das Problem von Randlösungen ignoriert. isher vielen ökonomischen Problemen gibt es aber natürliche In (NN). Zum eispiel Nicht-Negativitäts-eschränkungen Konsum- oder Produktionsmengen nicht negativ können Die NN können sich natürlich auch nur auf eine Teilmenge. der x i beziehen. Ignorieren Sie die NN und verwenden Sie den normalen Lagrange-Ansatz ohne NN. VWL III (Sommer 200) 2-24 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt Nebenbedingung marginal ändert. werden. In diesem Fall lautet unser Maximierungsproblem: x max ;:::;xn f (x ;:::;x n ) u.d.n: g(x ;:::;x n ) = b x i 0 8i 2 f;:::;ng emerkungen: 2. Das einfachste Vorgehen ist wie folgt:

25 Wenn die Lösung des unbeschränkten Problems die erfüllt, ist alles in Ordnung. NN Wenn eine oder mehrere NN verletzt sind, können das folgende Theorem von Lagrange verwenden: Sie 2.3 (Lagrange mit NN) Wenn der Vektor Theorem x Λ die Funktion f (x) unter der Nebenbedingung wenigstens ein i 2 f;:::;ng, dann existiert eine für reelle Zahl Λ, so daß für alle i 2 f;:::;ng L (x Λ ; Λ ) = 0 Die edingung x Λ i L i(x Λ ; Λ ) = 0" wird auch komplemetäre. Slackness" (komplementärer Schlupf) genannt: Entweder die NN bindet nicht (x Λ i 0). Dann muß die Ableitung = der Lagrangefunktion nicht-positiv (negativ Oder die NN bindet (x Λ i null) sein: Der Wert der Zielfunktion verringert oder wenn man x i von 0 weg erhöht. sich, VWL III (Sommer 200) 2-25 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt g(x) = b und x i 0 maximiert, und wenn g i (x Λ ) 6= 0 L i (x Λ ; Λ )» 0; x Λ i 0; x Λ i L i(x Λ ; Λ ) = 0; und emerkungen: > 0). In diesem muß die Ableitung der Lagrangefunktion nach x i Fall 0 sein. gleich

26 Vorgehensweise: Man versucht wieder, Kandidaten für 2. Lösung zu nden, d.h. Vektoren (x ;:::;x n ; ), eine aufwendiger, weil viele Fälle unterschieden werden deutlich müssen. Ein bißchen Nachdenken über das zugrun- liegende ökonomische Problem ermöglicht es oft, zu de welche NN binden werden und welche nicht. ahnen, Theorem 2.2 über hinreichende edingungen für eine 3. global optimale Lösung gilt weiterhin. eindeutige, Anwendung: Kostenminimierung bei 2.7 Produktionsfunktion substitutionaler Der Preis für eine Arbeitsstunde ist p l p k = 0. Das Unternehmen möchte einen gegebenen Kapital Output von mindestens 20 Einheiten mit minimalen l + 2k = 20 VWL III (Sommer 200) 2-26 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt die die Lagrange-edingungen erfüllen. Das ist jetzt Ein Unternehmen hat die Produktionsfunktion f (l; k) = l + 2k : = 4, der Preis für Kosten produzieren. min 4l + 0k l;k unter der Nebenbedingung

27 muß eine NN binden. Es können nicht beide gleichzeitig Hier binden, sonst wäre der Output 0. Also gibt es nur VWL III (Sommer 200) 2-27 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt und den Nicht-Negativitäts-edingungen l 0; k 0 Lagrangeansatz (ignorieren der NN): max 4l 0k [20 l 2k] l;k edingungen erster Ordnung: = 4 + = = = = 20 + l + 2k = Auflösen der beiden ersten Gleichungen ergibt: 4 0 = 2 Das ist Unsinn! zwei Möglichkeiten:. Im Optimum gilt l = 0 und k > 0: Lagangebedingun-

28 Sie, daß wir hier die komplementären Slackness eachten edingungen schon verwendet haben. Aus der Gleichung folgt Λ = 5. Einsetzen in die erste zweiten edingung führt dazu, daß diese dann verletzt ist. Im Optimum gilt l > 0 und k = 0: Lagangebedingungen 2. (mit NN): der ersten Gleichung folgt Λ = 4. Das ist kompatibel Aus mit der zweiten edingung. Einsetzen von k = 0 erfüllt der Vektor (l Λ ;k Λ ; Λ ) = (20; 0; 4) die edingungen Also aus Theorem 2.3. Gleichzeitig sind die e- VWL III (Sommer 200) 2-28 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt gen (mit NN): = 4 +» = = = 20 + l + 2k = Also kann das nicht die Lösung sein. = 4 + = = 0 + 2» = 20 + l + 2k = in die dritte edingung ergibt l Λ = 20.

29 aus Theorem 2.2 erfüllt. Also liegt hier ein dingungen Optimum vor. globales ein bißchen ökonomischer Intution hätten wir dieses Mit schneller nden können: Das (konstante) Grenz- Ergebnis des Faktors Kapital ist doppelt so groß wie das produkt Grenzprodukt des Faktors Arbeit. Gleichzeitig (konstante) 2,5 mal so teuer wie Arbeit. Also sollte die Produktion ist mit Arbeit erfolgen. nur VWL III (Sommer 200) 2-29 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt

30 wir jetzt ein Maximierungsproblem mit einer etrachten in Ungleichheitsform und NN. Nebenbedingung 2.4 (Kuhn-Tucker) Wenn x Λ die Funktion Theorem f (x) unter den Nebenbedingungen g(x)» b und x i ein i 2 f;:::;ng, dann existiert eine wenigstens Zahl Λ, so daß für alle i 2 f;:::;ng reelle Die Interpretation der komplementären Slackness-edingungen. für L ist ganz analog zu der von L i : VWL III (Sommer 200) 2-30 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt 2.8 Der Kuhn-Tucker Ansatz x max ;:::;xn f (x ;:::;x n ) u.d. Nebenbedingungen g(x ;:::;x n )» b x i 0; i 2 f;:::;ng 0 maximiert, und wenn g i (x Λ ) 6= 0 für L i (x Λ ; Λ )» 0; x Λ i 0; x Λ i L i(x Λ ; Λ ) = 0 und L (x Λ ; Λ ) 0; Λ 0; Λ L (x Λ ; Λ ) = 0 emerkungen:

31 Entweder die Nebenbedingung bindet. In diesem Fall wir zurück bei Lagrange und es muß gelten: sind L (x Λ ; Λ ) = g(x Λ ) + b = 0 Oder die Nebenbedingung bindet nicht. In dem Fall die Nebenbedingung, weil der zugehörige verschwindet daß eine marginale Lockerung dieser Nebenbedingung auch, keinen Einfluß auf den Wert der Zielfunktion Auch das Vorgehen ist analog zu Lagrange. Aber: Es 2. jetzt noch mehr Fallunterscheidungen. Insbesonde- gibt wenn es mehrere Nebenbedingungen in Ungleichheitsforre gibt, wird es sehr aufwendig, alle Kandidaten für In der Praxis wird man diejenigen Nebenbedingungen, 3. denen man vermutet, daß sie nicht binden, einfach von Wenn die gefundene Lösung die weggelassenen ignorieren. Nebenbedingungen erfüllt, ist alles in Ordnung. VWL III (Sommer 200) 2-3 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt Lagrange Parameter gleich 0 wird. Das bedeutet an der optimalen Lösung hat. eine optimale Lösung zu bestimmen. In diesen Fällen eine gute ökonomische Intuition sehr wichtig, um ist ahnen, welche Nebenbedingungen binden und wel- zu che nicht. Wenn nicht, muß man einen neuen Versuch starten.