c) Skalenniveau von Variablen: Art der Meßskala

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1 c) Skalenniveau von Variablen: Art der Meßskala..5 Nominalskala: unterschiedl. Kategorien ohne Rangordnung Bsp.: Geschlecht mit 0 = männlich, = weiblich Zulässig: jede eineindeutige Transformation (keine Einheiten, Null ohne besondere Bedeutung) Ordinalskala: Ordnung Bsp.: Zahlenschlüssel für militärische Rangordnung Zulässig: jede zunehmende Transformation (keine Einheiten, Null ohne besondere Bedeutung) Intervallskala: Ordnung, Verhältnis von Differenzen bedeutsam Bsp.: Temperatur ( doppelt so große Temperaturdiff. sinnvoll) Zulässig: jede zunehmende affine Transformation (freie Wahl von Nullpunkt und Einheit) Verhältnisskala: Ordnung, Verhältnis von Werten bedeutsam Bsp.: Zeit ( doppelt so lang sinnvoll) Zulässig: jede zunehmende lineare Transformation (freie Wahl 6 der Einheit, Nullpunkt gegeben) Grundzüge der VWL A 6

2 b) Transformationen von Variablen (Transf.: Funktion)..5 Zunehmende Transformation t(z): t(z ) > t(z 0 ) g.d.w. z > z 0 (im allg.: stetige Nutzenfkt., daher stetige Transformationen). linear: x = t(z) = az, a > 0 x (Zeit: z in Std., x in min, a = 60). affin: x = t(z) = az+b, a > 0 (Temperatur: z in Celsius, x in Fahrenheit, a = 9/5, b = 3) z x 3. beliebig: bei der Variable Nutzen zulässig, bei den Variablen Zeit und Temperatur nicht z Zulässigkeit von Transf. bestimmt durch Skalenniveau! 6 Grundzüge der VWL A 6

3 ..5 d) Skalenniveau der Variable Nutzen Verhältnisskala: gegeben, wenn man z.b. von einem Bündel sagen kann, daß es doppelt so gut ist wie ein anderes. Unplausibel: Hypothese zu stark. Intervallskala: gegeben, wenn man z.b. sagen kann, daß die Verbesserung von Bündel x zu y doppelt do groß ist wie die Verbesserung von Bündel z zu w. Unplausibel: Hypothese zu stark. Ordinalskala: gegeben, wenn man von zwei Bündeln nur sagen kann, welches besser ist oder ob sie gleich gut sind. Halbwegs plausibel. Nominalskala: gegeben, wenn man von zwei Bündeln nur sagen kann, ob man sie unterschiedlich bewertet oder nicht. Unplausibel: Hypothese zu schwach. 63 Grundzüge der VWL A 63

4 Ordinale Nutzentheorie: Nutzen ist ordinalskaliert...5 Differenzen und Verhältnisse sind bedeutungslos. Nutzeneinheiten ( utils ) wären bedeutungslos, daher ist Nutzen eine dimensionslose Größe (Nutzenindexfkt.) Nutzen von Null hat keine besondere Bedeutung. Kardinale Nutzentheorie: Nutzen ist intervallskaliert. Verhältnisse von Nutzendifferenzen sind bedeutsam. Nutzeneinheiten ( utils ) sind sinnvoll. Nutzen von Null hat keine besondere Bedeutung. Umverteilungen: Ist As Verlust größer/ kleiner als Bs Gewinn? Bewertung Nutzendifferenzen, kard. Nutzenth. notwendig. Im folgenden: ordinale Nutzentheorie, keine interpersonellen Nutzenvergleiche, Beschränkung auf Pareto-Kriterium 64 Grundzüge der VWL A 64

5 e) Wahl einer Nutzenfunktion..5 Zunehmende Transf. t(z): t(z ) > t(z 0 ) g.d.w. z > z 0 Es gilt: Wenn u(x,x ) die Präferenzen eines Konsumenten repräsentiert, gilt das auch für v(x,x ) := t[u(x,x )]. Beweis Annahme : Repräsentation der Präferenzen durch u: u ( x, x ) > u( x, x ) g.d.w. ( x, x ) f ( x x ), Annahme : v ist eine zunehmende Transformation von u: ( x, x ) > v( x, x ) g.d.w. u( x, x ) u( x x ) v >, Folgerung: v repräsentiert dieselben Präferenzen wie u: v ( x, x ) > v( x, x ) g.d.w. ( x, x ) f ( x x ), Das heißt auch: Die Indifferenzkurven werden durch solche Transformationen nicht verändert. 65 Grundzüge der VWL A 65

6 f) Indifferenzkurven und Nutzenfunktionen Werden die Präferenzen mit Hilfe einer Nutzenfunktion dargestellt, dann sind die Indifferenzkurven die Höhenlinien der Nutzenfunktion. Einfaches Beispiel Allgemeine Gleichung einer Indifferenzkurve: u(x,x ) = u 0 Beispiel für eine Nutzenfunktion: u(x,x ) = x x Berechnung einer beliebigen Indifferenzkurve für diese Nutzenfunktion: u(x,x ) = x x = u 0 x = u 0 /x Berechnung einer bestimmten Indifferenzk.: u 0 = 7 x = 7/x Wichtig: Eigenschaften der Indifferenzkurven korrespondieren zu Eigenschaften der Nutzenfunktion. Normalfall der Präferenzen: Die Nutzenfunktion ist zunehmend in allen Argumenten und streng quasikonkav Grundzüge der VWL A 66

7 ..6 Die Grenzrate der Substitution (GRS) GRS von Gut durch Gut am Punkt a = Steigung der (Tangente an die) Indifferenzkurve am Punkt a x GRS am Punkt a: Δx = tan α Δx Δx > 0 α a α x Δx < 0 Substitution: Ersetzung (hier von Gut durch Gut ) Grenzrate: Grenz- ( marginal ) deutet Ableitung an 67 Grundzüge der VWL A 67

8 Ökon. Interpretation der GRS Der Konsument besitzt das Güterbündel a. Er kann Δx frei wählen. Die Tauschrate T > 0 von Gut gegen Gut ist gegeben: Δx = -T Δx. Bei welcher Tauschrate T will er nicht tauschen? x T > tan α: Δx < 0 -GRS am Punkt a: tanα..6 a T < tan α: Δx > 0 α Kein Tausch nur bei T = -GRS. Absolutwert der GRS von Gut durch Gut : interne Tauschrate von Gut gegen Gut! x 68 Grundzüge der VWL A 68

9 ..6 Normalfall: (absolut) fallende GRS Im Normalfall nimmt der Absolutbetrag der GRS von Gut durch Gut ab, wenn x zunimmt. x Fallende GRS: Die Tauschrate von Gut gegen Gut, die man dem Konsumenten bieten muß, damit er bereit ist, Gut gegen Gut zu tauschen, fällt entlang der Indifferenzkurve. Also: Entlang einer Indifferenzkurve fällt aus Sicht des Konsumenten der relative Wert eines Gutes mit zunehmender Menge dieses Gutes. x 69 Grundzüge der VWL A 69

10 Berechnung der GRS intuitiv Eine erste Näherung für die Veränderung der Nutzenfunktion an der Stelle a = (a,a ) ist Δu D u(a,a )Δx + D u(a,a )Δx. Im Normalfall der Präf.: D j u(x,x ) > 0 (Monotonie). Für Schritte entlang der Tangenten gilt, daß die Veränderung der Nutzenfunktion in erster Näherung gleich Null ist: D u(a,a )Δx + D u(a,a )Δx = 0 Daraus erhält man die Tangentensteigung (= GRS): Δx /Δx = -D u(a,a )/D u(a,a ) < 0..6 GRS von Gut durch Gut = umgekehrtes negatives Verhältnis der Grenznutzen 70 Grundzüge der VWL A 70

11 Rechenbeispiel..6 Nutzenfunktion Grenznutzen (partielle Ableitungen) D ( x x ) = x u + D u u, x 0.5 ( x, x ) = 0.5x 0. 5 ( x, x ) = 0.5x Näherungsformel GRS allgemein GRS an der Stelle (x,x ) = (,8) Δu Δx Δx 0.5x x Δx 0.5 Δx x = 0.5x Δx Δx ( x, x ) = (,8) 0.5 x = x = Grundzüge der VWL A 7

12 Exakte Methode zur Berechnung der GRS (Satz über die Ableitung einer impliziten Funktion)..6 Sei x = h(x ) die Gleichung der Indifferenzkurve durch a = (a,a ). Es gilt also a = h(a ). Das Nutzenniveau u(a,a ) bezeichnen wir mit u 0. Dann gilt u[x,h(x )] u 0. Die Funktion g(x ) := u[x,h(x )] ist eine konstante Funktion, deren Ableitung somit überall gleich Null ist: g (x ) := D u[x,h(x )] + D u[x,h(x )] h (x ) 0 Daraus erhält man die Steigung der Indifferenzkurve (=GRS): h (x )= -D u(x,x )/D u(x,x ) Insbesondere gilt an der Stelle a = (a,a ): h (a )= -D u(a,a )/D u(a,a ) 7 Grundzüge der VWL A 7

13 GRS und Wahl der Nutzenfunktion Nutzenfunktion: u=u(x,x )..6 Zunehmende Transformation t(z): t(z ) > t(z 0 ) g.d.w. z > z 0 Es gilt: u(x,x ) und v(x,x ) := t[u(x,x )] repräsentieren dieselben Präferenzen. Folgerungen. Grenznutzen wird durch die Transformation verändert: D j v(x,x ) = t [u(x,x )] D j u(x,x ) (Kettenregel) [D j u(x,x )] = /ME j. GRS wird durch die Transformation nicht verändert: GRS = -D v(x,x )/D v(x,x ) = -D u(x,x )/D u(x,x ) [GRS] = ME /ME 73 Grundzüge der VWL A 73

14 .3 Die Entscheidung Grundlegende Prinzipien der Mikroökonomie: Restriktionen und Präferenzen sind unabhängig voneinander. Restriktionen und Präferenzen zusammen bestimmen die Entscheidung..3. Inneres Optimum im Normalfall der Präferenzen.3. Beispiel: Der Cobb-Douglas-Fall.3.3 Der Lagrange-Ansatz 74 Grundzüge der VWL A 74

15 .3. Inneres Optimum im Normalfall der Präferenzen Nutzenmaximierung: Ein rationaler Konsument wählt das Güterbündel auf der höchsten erreichbaren Indifferenzkurve (optimales Güterbündel). x Innere Lösung: beide Gütermengen > 0! x* GRS = tan α = p p α x 75 Grundzüge der VWL A 75

16 .3. Das optimale (nutzenmaximierende) Güterbündel x* ist im Normalfall der Präferenzen und bei innerer Lösung durch zwei Bedingungen bestimmt. a) Tangentialbed.: -GRS = D u(x,x )/D u(x,x ) = p /p b) Nebenbed.: p x + p x = m Ökonomische Interpretation der Tangentialbedingung. Variante: Tauschraten (TR) -GRS: interne Tauschrate Preisverhältnis p /p : externe Tauschrate Tangentialbedingung: interne = externe Tauschrate Interpretation: Der optimale Punkt ist so gewählt, daß interne und externe Tauschrate übereinstimmen, so daß der Konsument nicht mehr tauschen möchte.. Variante erfordert einen neuen Begriff! 76 Grundzüge der VWL A 76

17 Grenznutzen des Geldes.3. Wir bezeichnen die Ausgaben für Gut j mit e j := p j x j. Werden bei konstanten Preisen die Ausgaben für die Güter verändert, gilt folgende Näherung: Δu D u(x,x )Δx + D u(x,x )Δx = = D u ( x, x ) D u( x x ), pδx + p p D u ( x, x ) D u( x, x ) Δe + Δe p p p Δx D j u(x,x )/p j : Grenznutzen einer Erhöhung der Ausgaben für Gut j ( Grenznutzen des Geldes ), Dimension /GE. 77 Grundzüge der VWL A 77

18 Ökonomische Interpretation der Tangentialbedingung. Variante: Grenznutzen des Geldes Tangentialbedingung: Du D u ( x, x ) p = ( x, x ) p.3. Äquivalente Umformung: D u ( x, x ) D u( x x ), p = p Interpretation: Der Grenznutzen des Geldes ist in allen Verwendungen gleich. (Verwendung = Kauf eines Gutes) Vorteil der Umformung: leicht zu merken, gilt für beliebig viele Güter 78 Grundzüge der VWL A 78

19 . Variante der Tangentialbed.: Intuitive Herleitung Ausgaben für Gut j: e j := p j x j Ausgabenänderung bei Gut j: Δe j := p j Δx j Umschichtung der Ausgaben: Δe =Δe, Δe =-Δe Optimalität: keine Nutzenerhöhung durch Umschichtung Δe In erster Näherung: Δu D u ( x, x ) D u( x x ), pδx + p p ( x, x ) D u( x, x ) D u = e Δe Δ p = p Daraus folgt die Tangentialbedingung: D u ( x, x ) D u( x x ), p = p p Δx Grundzüge der VWL A 79

20 .3. Der Cobb-Douglas-(CD-)Fall CD-Nutzenfunktion (allgemeine Form): ( x x ) u = Ax A, α, β > 0 α β, x einfach, wird häufig für Rechenbeispiele verwendet im allgemeinen unrealistisch beschreibt monotone, str. konvexe Präferenzen (Normalfall) innere Lösung garantiert Beachten Sie die Möglichkeit von Transformationen! Bsp.: Die beiden folgenden Nutzenfkt. sind äquivalent zu u. w α + β α + β α + β ( x, x ): u( x x ) x x v α β =, A ( x, x ): = ln[ u( x, x )] ln A + α ln x + β ln x 80 Grundzüge der VWL A 80

21 .3. CD-Nutzenfunktion: ( x x ) u = Ax A, α, β > 0 α β, x ) Partielle Ableitungen und GRS im CD-Fall α β ( x x ) = αa x x D u, x α β ( x x ) = βa x x D u, x GRS = Δx Δx = Du D u ( x, x ) α x = ( x, x ) β x 8 Grundzüge der VWL A 8

22 ) Bedingungen. Ordnung im CD-Fall a) Tangentialbedingung i) -GRS = Preisverhältnis Du D u ( x, x ) α x p = = ( x, x ) β x p.3. ii) Grenznutzen des Geldes bei beiden Gütern gleich D u α β α β ( x, x ) αax x βax x D u( x x ), p = p x = p x = p b) Nebenbed. p x p x = + m 8 Grundzüge der VWL A 8

23 Grundzüge der VWL A ) Einsetzen von 3) in die Nebenbed.: * p m x β α β + = * p m x β α α + = p x p x β α = 3) Tangentialbed. auflösen nach Menge eines Gutes: 5) Einsetzen von 4) in 3):.3.

24 Grundzüge der VWL A Optimaler (nutzenmaximierender) Konsum im CD-Fall: CD-Resultat: fixe Einkommensanteile für die Güter (unrealistisch); das Einkommen wird im Verhältnis der Exponenten auf die Güter verteilt. Sie müssen dieses CD-Resultat auswendig wissen und herleiten können!.3. * p m x β α α + = * p m x β α β + = Optimale Ausgaben im CD-Fall: m x p e β α α + = = * * m x p e β α β + = = * *

25 .3.3 Der Lagrangeansatz Der Lagrangeansatz ist eine allgemeine Lösungsmethode für Optimierungsprobleme (Maximierungs- bzw. Minimierungsprobleme) unter Nebenbedingungen in Gleichungsform. Die folgende Darstellung beschränkt sich jedoch auf das Problem der optimalen Konsumentscheidung. Vorgehensweise bei Verwendung des Lagrangeansatzes. Formulierung des Optimierungsproblems. Aufstellung der Lagrangefunktion 3. Herleitung der Bed.. Ord. 4. Prüfung der Bed.. Ord. 5. Versagen des Ansatzes Begründung des Ansatzes: s. Mathematikveranst. 85 Grundzüge der VWL A 85

26 ) Optimierungsproblem: max x, x ) Lagrangefunktion L: Nebenbed. in die Form Term = 0 bringen, L := Zielfunktion minus Lagrangemultiplikator x Term L(x,x,λ) := u(x,x ) - λ(p x + p x -m) Alternativ: L * (x,x,λ) := u(x,x ) - λ(m - p x -p x ) 3) Bed.. Ord.: Nullsetzen der ersten Ableitungen von L D L(x,x,λ) = D u(x,x ) - λp = 0 D L(x,x,λ) = D u(x,x ) - λp = 0 { u( x, x ): p x p x = m} Zielfunktion u, Instrumentvariable x j, Nebenbed. (Budgetrestr.) D 3 L(x,x,λ) = - p x -p x + m = 0 86 Grundzüge der VWL A 86

27 Umformung: Δu ( ) D u(x,x )/p = λ ( ) D u(x,x )/p = λ (3 ) -p m = xp -p x + x p+ xm = 0 Daraus: ( ) D u(x,x )/p = λ D u ( x, x ) D u( x x ), Δe + p p ( Δe + Δe ) = Δm = λ λ Δe Verwendung der alternativen Lagrangefkt. L * liefert dieselbe Lösung, nur λ wechselt das Vorzeichen..3.3 (Interpretation s.u.) ( ) D u(x,x )/p = D u(x,x )/p (Tangentialbed.) (3 ) m= p x + p x (Nebenbed.) Lagrangemultiplikator λ = Grenznutzen des Einkommens 87 Grundzüge der VWL A 87

28 .3.3 4) Bed.. Ordnung: Im Normalfall der Präferenzen (Monotonie u. str. Konvexität) ist ein Güterbündel, das den Bed.. Ord. genügt, auch das (einzige!) Nutzenmaximum. 5) Versagen des Ansatzes: Es könnte sein, dass der Normalfall gegeben ist, die Bed.. Ord. aber keine oder keine zulässige Lösung haben. Dann ist die Lösung eine Randlösung. Häufiges Missverständnis: Die Lösung der Bed.. Ord. des Lagrangeansatzes liefert ein Maximum der Lagrangefunktion. Das ist im allgemeinen falsch. 88 Grundzüge der VWL A 88

29 .4. Definition.4 Die individuelle Nachfragefunktion.4. Einkommensänderungen.4.3 Änderungen des eigenen Preises.4.4 Kreuzpreiseffekte.4.5 Inverse Nachfrage.4.6 Elastizitäten 89 Grundzüge der VWL A 89

30 .4. Definition Nutzenmaximierende Gütermengen in Abhängigkeit von Preisen und Einkommen: x = f (p,p,m), x = f (p,p,m) Bsp.: CD-Nutzenfunktion Nachfragefkt. ( ) u x, x = x x m x =, x = 3 p 3 m p Die Form der Nachfragefkt. hängt ab von den Präferenzen! Übliche Schreibweise: x = x (p,p,m), x = x (p,p,m) (Name Fkt. = Name abh. Variable, spart Symbole) 90 Grundzüge der VWL A 90

31 .4. Einkommensänderungen Komparative Statik: Wie ändert sich Konsum (= endogene Variable), wenn sich Einkommen (= exogene Variable) ändert? x j = x j (p,p,m) D 3 x j (p,p,m) =? x Beide Güter normal! x Gut normal, Gut inferior! x D 3 x j (p,p,m) > 0 D 3 x (p,p,m) < 0 D 3 x (p,p,m) > 0 x 9 Grundzüge der VWL A 9

32 .4. Einkommens-Konsum-Kurve (Expansionspfad) u. Engel-Kurve Achsenabschnitte: m/p x Winkelhalbierende Expansionspfad m tan α = p α x Homothetische Präf.: Expansionspfade sind Ursprungsstrahlen. Bsp.: CD-Präferenzen! m Engel-Kurve 9 Grundzüge der VWL A 9

33 Expansionspfad u. Engel-Kurve bei inferiorem Gut.4. Achsenabschnitte: m/p x m Winkelhalbierende tan α = p α x m 93 Grundzüge der VWL A 93

34 .4.3 Änderungen des eigenen Preises Komparative Statik: Wie ändert sich Konsum (= endogene V.), wenn sich der Preis des Gutes (= exogene V.) ändert? x x j = x j (p,p,m) D j x j (p,p,m) =? m p. Möglichkeit: D x (p,p,m) < 0 (Gut ist ein gewöhnliches Gut.) m p + Δp m p x 94 Grundzüge der VWL A 94

35 .4.3 x. Möglichkeit: D x (p,p,m) > 0 m p (Gut ist ein Giffen-Gut.) m p + Δp m p x 95 Grundzüge der VWL A 95

36 Preis-Konsum-Kurve und Nachfragekurve.4.3 x Übertragung in p -x -Diagramm: individuelle Nachfragekurve p x Achtung: Der Preis wird auf der Ordinate abgetragen, auch wenn er die unabhängige Variable ist. x Fallend für gewöhnliche, steigend für Giffen-Güter! 96 Grundzüge der VWL A 96

37 .4.4 Kreuzpreiseffekte Problem: Was geschieht mit der Nachfrage nach einem Gut, wenn sich der Preis eines anderen Gutes ändert? Antwort: hängt davon ab, ob die Güter eher Komplemente oder Substitute sind (Präferenzen!) Bsp.:. Hauptverwendung von Feuerzeugen ist Anzünden von Zigaretten (unvollk. Komplemente), also: Erhöhung Zigarettenpreis senkt Feuerzeug-Nachfrage. Butter und Margarine sind (unvollk.) Substitute, also: Erhöhung Butterpreis erhöht Margarine-Nachfrage Gut ist Bruttokomplement zu Gut gdw D x (p,p,m) < 0. Gut ist ein Bruttosubstitut zu Gut gdw D x (p,p,m) > 0. Gut ist Bruttokomplement zu Gut gdw D x (p,p,m) < 0. Gut ist ein Bruttosubstitut zu Gut gdw D x (p,p,m) > 0. Grenzfall: Cobb-Douglas-Präf. mit D x (p,p,m) = 0 97 Grundzüge der VWL A 97

38 Vorsicht! Asymmetrie ist (auch im -Güter-Fall) möglich..4.4 Beispiel für Asymmetrie: Stone-Geary-Nutzenfkt. u(x,x ) = A(x -a ) α (x -a ) β, A,α,β > 0 Verallgemeinerung der CD-Nutzenfkt. (CD-Fall: a,a = 0), oft verwendet für empirische Nachfrageuntersuchungen beschreibt monotone, str. konvexe Präferenzen (Normalfall) Randlösungen möglich, Def. für Bereiche x j -a j < 0 fehlt Spezialfall A,α,β, a =, a = - u(x,x ) = (x -)(x +) Nachfragefkt. bei innerer Lösung: x (p,p,m) = (m+p )/p x (p,p,m) = (m-p )/p D x (p,p,m) > 0: Gut Bruttosubstitut zu Gut D x (p,p,m) < 0: Gut Bruttokomplement zu Gut 98 Grundzüge der VWL A 98

39 .4.5 Inverse Nachfrage Lesarten für eine (fallende!) Nachfragekurve von Gut : Nachfragefunktion: unabhängige Variable ist der Preis inverse Nachfragefkt.: unabhängige Variable ist die Menge p x Die inv. Nachfragefkt. gibt zu jeder Menge den Preis an, zu dem genau diese Menge nachgefragt würde. 99 Grundzüge der VWL A 99

40 .4.6 Elastizitäten Elastizität der Nachfrage: Maß für die Sensitivität, mit der die Nachfrage auf Änderungen von Preisen/Einkommen reagieren Frage: Wie stark reagiert die Nachfrage nach einem Gut auf Änderungen des eigenen Preises? Naheliegende Antwort: Ableitung (Steigung) Problem: Die Ableitung hängt von den gewählten Einheiten ab. Beispiel: Sei x (p,p,m) eine (linear-affine) Nachfragefunktion mit [p ] = DM! p Übergang zu Euro, sonst alles gleich p Nachfragekurve flacher, aber das Verhalten des Nachfragers ist unverändert! x x 00 Grundzüge der VWL A 00

41 .4.6 Lösung des Problems: Betrachtung prozentualer Änderungen (dimensionslos, Einheiten spielen keine Rolle) Beispiel: Eine %ige Preiserhöhung ist immer dasselbe, egal ob der Preis in Euro oder in DM angegeben wird. Eine 3%ige Mengensenkung ist immer dasselbe, egal ob die Menge in kg oder in g angegeben wird. Prozentuale Preisänderung: Δp /p Prozentuale Mengenänderung: Δx /x (Eigen-)Preiselastizität der Nachfrage: prozentuale Mengenänderung dividiert durch die dazugehörige prozentuale Änderung des (eigenen) Preises = Punktelastizität: kleine Änderungen, Ableitung statt Δx /Δp Im folgenden: Elastizität = Punktelastizität, Definition für beliebige Funktionen Δx Δp p x 0 Grundzüge der VWL A 0

42 Elastizitäten für Funktionen einer Variablen: y = f(x) Δy f (x)δx Proz. Änd. d. unabhängigen Variablen: Δx/x Proz. Änd. d. abhängigen Variablen: Δy/y f (x)δx/f(x) Elastizität der Funktion f an der Stelle x: f (x)x/f(x).4.6 Interpretation: Verhältnis der prozentualen Änderung von y zu der dazugehörigen (kleinen) prozentualen Änderung von x Grafisch: f (x) ist die Steigung des Graphen von f an der Stelle x (d.h. Tangentensteigung). f(x)/x ist die Steigung eines Fahrstrahls an den Graphen von f an der Stelle x (d.h. Steigung der Verbindungslinie zwischen (x, f(x)) und dem Nullpunkt). Funktionen mehrerer Variabler: Elastizitäten definiert mit Hilfe der partiellen Ableitungen, Interpretation wie zuvor 0 Grundzüge der VWL A 0

43 Elastizität einer Funktion f(x) y Elastizität von f an der Stelle x: tanα /tanβ.4.6 α β x tan α = f (x) tan β = f(x)/x f(x) Grafische Interpretation: nützlich, um sich die Veränderung der Elastizität zu überlegen x 03 Grundzüge der VWL A 03

44 Preiselastizität der Nachfrage am Bsp. linear-affiner Nachfragekurven mit Steigung -tanα.4.6 p p 3 p p α elast. Bereich Gewöhnliches Gut: Nachfrageelastizität < 0 p p 3 p Steigung Fahrstrahl <tanα Elastizität absolut > (elastische N.) Steigung Fahrstrahl =tanα Elastizität absolut = Steigung Fahrstrahl >tanα Elastizität absolut < (unelastische N.) unelast. B. Steigung Fahrstrahl: relativ zu p -Achse x 04 Grundzüge der VWL A 04

45 Elastizitäten der Nachfragefunktionen x j (p,p,m). (Eigen-)Preiselastizität: Elastizität der Nachfrage nach Gut j bei Änderung des eigenen Preises.4.6. Kreuzpreiselastizität: Elastizität der Nachfrage nach Gut j bei Änderung des Preises des anderen Gutes 3. Einkommenselastizität: Elastizität der Nachfrage nach Gut j bei Änderung des Einkommens Generell: Zu jeder Funktion kann man Elastizitäten bezüglich aller unabhängigen Variablen definieren! Beispiel: Exponenten der Gütermengen in der CD-Nutzenfunktion = Elastizität der Nutzenfunktion bzgl. einer Änderung der entsprechenden Gütermenge Zur Übung: Nehmen Sie CD-Nutzenfunktion und CD-Nachfragefunktionen und rechnen Sie alle möglichen Elastizitäten aus! 05 Grundzüge der VWL A 05

46 Frage: Wie reagieren die Ausgaben für Gut auf eine Erhöhung des Preises dieses Gutes? Ausgaben für Gut : e (p,p,m) := p x (p,p,m).4.6 p Ausgaben können sinken oder steigen, je nachdem, wie elastisch die Nachfrage reagiert. p 0 p x 0 0 ( p, p m ), x 0 x x 06 Grundzüge der VWL A 06

47 Berechnung der Ausgabenänderung.4.6 Annahme: gewöhnliches Gut, d.h. D x (p,p,m)< 0 Ausgaben für Gut : e (p,p,m) := p x (p,p,m) Ableitung: D e (p,p,m) = x (p,p,m) + p D x (p,p,m) x ( ) = x (p,p,m) = [+ p D x ( )/x ( )] x ( ) Preiselastizität: ε (p,p,m) := p D x ( )/x ( ) < 0 Somit: D e = [- ε ] x Folgerung: Eine Preiserhöhung führt zu einer Ausgabenerhöhung g.d.w. die Nachfrage unelastisch reagiert, d.h. ε <. Wann ist die Nachfrage eher unelastisch? Noch kürzer: Funktionsnamen. Funktion oder Variable? 07 Grundzüge der VWL A 07

48 .5 Die Vorhersagen der Nachfragetheorie Für den gesamten Abschnitt: Normalfall der Präferenzen (monotone und streng konvexe Präferenzen).5. Offenbarung von Präferenzen.5. Einkommens- und Substitutionseffekt (Varian: Hicks-Substitutionseffekt) 08 Grundzüge der VWL A 08

49 .5. Offenbarung von Präferenzen Bisherige Ergebnisse der Nachfragetheorie: Wenn sich irgendeine exogene Grösse ändert, kann die individuelle Nachfrage steigen oder fallen. Frage: Ist überhaupt irgendetwas ausgeschlossen? Macht die Theorie irgendeine Vorhersage außer alles ist möglich? Antwort: Ja! (Annahme: stabile Präferenzen) Revealed Preference Approach : Der Normalfall der Präferenzen schließt gewisse Beobachtungen aus. Entscheidungen erlauben Rückschlüsse auf Präferenzen. Daraus lassen sich Vorhersagen ableiten. Verallgemeinerung über Normalfall hinaus möglich! 09 Grundzüge der VWL A 09

50 .5. x. Schritt Wir beobachten Frau A. Wir kennen ihre Präferenzen nicht. Ist Bündel x oder z besser für Frau A? Hängt ab von ihren Präferenzen, läßt sich so nicht beantworten. x z x 0 Grundzüge der VWL A 0

51 x. Schritt Wir beobachten: Frau A wählt bei blauer Budgetgerade z. Ist Bündel x oder z besser für Frau A?.5. Bündel z muß besser sein, sonst hätte sie es nicht gewählt. Sie offenbart durch ihre Wahl ihre Präferenzen: z f x. x z Allgemein: Das gewählte Bündel ist besser als jedes andere erreichbare Bündel. Wäre x besser als z, hätte Frau A natürlich nicht x, sondern ein noch besseres Bündel als x auf der Budgetgeraden gewählt. x Grundzüge der VWL A

52 Schritt Preise und Einkommen ändern sich, für Frau A gilt jetzt die rote Budgetgerade. x Wird sie nun Bündel x wählen? Nein, denn z ist erreichbar und besser als x. x Die Beobachtung z bei blauer, x bei roter Budgetgerade wird von der Theorie ausgeschlossen. Frau A wählt ein Bündel, das noch besser ist als z. z x Grundzüge der VWL A

53 Verallgemeinerung.5. x Für jedes Bündel x z auf und unterhalb der blauen Budgetgeraden gilt z f x. Vorhersage: Wenn sich die Budgetgerade so verändert, dass das alte Bündel weiter erreichbar ist, wird ein Bündel gewählt, das vorher nicht erreichbar war. x ausgeschlossener Bereich z Vorhersagebereich x 3 Grundzüge der VWL A 3

54 .5. x Schwaches Axiom der Präferenzoffenbarung: Wird bei Preisen p, p und Einkommen m das Bündel z =(z,z ) gewählt, dann gilt für jedes Bündel x = (x,x ) z mit p x + p x m: z f x. x ausgeschlossener Bereich z Vorhersagebereich x 4 Grundzüge der VWL A 4

55 x Extremfall des schwachen Axioms: Drehung der Budgetgerade um das gewählte Bündel.5. Vorhersagebereich ausgeschlossener Bereich z x 5 Grundzüge der VWL A 5

56 x Starkes Axiom der Präferenzoffenbarung = schwaches Axiom + Transitivität y Beobachtungen: z bei blauer Budgetgerade, x bei roter Budgetgerade Frage: Vorhersage für gelbe Budgetgerade? Punkte wie w? x f w (schw. Axiom) Punkte wie y? z f y (schw. Axiom) x f z (schw. Axiom).5. x f y (Transitivität) z Vorhersage x w x 6 Grundzüge der VWL A 6

57 .5. Einkommens- und Substitutionseffekt Ziel: Erklärung für Giffen-Fall, Herleitung des sog. Nachfragegesetzes (moderne Version) Vorgehensweise: gedankliche Zerlegung des Effekts einer Preisänderung Δp auf die nachgefragte Menge von Gut in zwei Teileffekte Einkommenskompensation: Ausgleich der Preisänderung durch eine Einkommensveränderung Δm Substitutionseffekt: Wirkung einer Preisänderung mit gleichzeitiger Einkommenskompensation Einkommenseffekt: Wirkung der Rücknahme der Einkommenskompensation Beachten Sie: Die Zahlung der Einkommenskompensation Δm ist nur ein Gedankenexperiment! Kreuzpreiseffekte: Analyse ganz analog 7 Grundzüge der VWL A 7

58 .5. Zwei Varianten der Einkommenskompensation: Slutsky-Kompensation: Die Einkommensänderung ist so gewählt, daß das alte Güterbündel gerade erreichbar bleibt. Hicks-Kompensation (wird nachher benutzt): Die Einkommensänderung ist so gewählt, daß die alte Indifferenzkurve gerade erreichbar bleibt. Im Falle einer Preiserhöhung Δp > 0: x Slutsky x Hicks Δ Slutsky m = x Δp > 0 Δ Slutsky m > Δ Hicks m > 0 x x 8 Grundzüge der VWL A 8

59 .5. Zwei Varianten der Einkommenskompensation: Slutsky-Kompensation: Die Einkommensänderung ist so gewählt, daß das alte Güterbündel gerade erreichbar bleibt. Hicks-Kompensation (wird nachher benutzt): Die Einkommensänderung ist so gewählt, daß die alte Indifferenzkurve gerade erreichbar bleibt. Im Falle einer Preissenkung Δp < 0: x Slutsky x Hicks Δ Slutsky m = x Δp < 0 0 > Δ Slutsky m > Δ Hicks m x Im folgenden: Zeichnungen nur für Preiserhöhung! Kleine Preisänderung: Δ Hicks m Δ Slutsky m = x Δp x 9 Grundzüge der VWL A 9

60 Preiserhöhung und Hicks-Kompensation x x x 0 x Preisänderung Gut : Δp > 0 Mengenänderung Gut : x Δ Δx Durch den Substitutionseffekt S bestimmte Änderung: Durch den Einkommenseffekt E bestimmte Änderung: Δx Δ x x Ausgangspunkt: x = x ( p, p m ), 0 = x x 0 : = x x : = x x S E S E = Δ x + Δ x Also: Δx Δp Δp Δp Δ x Δ x Δ E x Δ S x 0 Grundzüge der VWL A 0