Moment Swaps. Volatilität, Korrelation und andere Verteil ungsmomente als eigene Asset-Klasse. Stephan Krügel

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1 Stephan Krügel Moment Swaps Volatilität, Korrelation und andere Verteil ungsmomente als eigene Asset-Klasse Frankfurt School of Finance & Management Bankakademie-Verlag

2 1. Moment Swaps: Anlagemedium zum direkten Handel von Verteilungsmomenten 1 2. Die Rolle von Momenten in der Realität und in Modellen Eigenschaften empirischer Finanzmarktzeitreihen Die Rendite eines Assets Ausgangspunkt Normalverteilung Das 1. Moment: Der Erwartungswert Das 2. Moment: Die Varianz Die Normalverteilung: Anschaulich - Aber realitätsfern Das 3. Moment - Die Schiefe Das 4. Moment - Die Kurtosis Empirische Renditeverteilungen sind nicht stationär Die Implizite Volatilitäts Oberfläche Kreuzmomente: Kovarianz und Korrelation Das Handwerkszeug: Modellierungstechniken Partielle Differentialgleichungen (Arbitrage Pricing) Risikoneutrale Bewertung (Spezialfall des Martingale Pricing) Implizite Wahrscheinlichkeitsverteilungen Das Standard Marktmodell: Die Geometrische Brownsche Bewegung Funktionen stochastischer Prozesse Änderungen vollkommen deterministischer Funktionen Änderungen stochastischer Funktionen: Ito's Lemma Populäre Marktmodelle - Oder: Welche Rolle spielen Momente bei der Bewertung? Das Black Scholes Merton Modell und die geometrische Brownsche Bewegung Jump Diffusion Modelle Stochastische Volatilitätsmodelle Das Local Volatility Modell Berücksichtigung von Momenten in Modellen - Aufgabenstellung noch nicht gelöst 92 in

3 3. Momente als investierbare Asset-Klasse Prinzip eines Moment Swaps Motivation für Moment Swaps Bausteine eines Moment Swaps Das Landau-Symbol, Log-Kontrakte und der Replikationsfehler Herleitung der Struktur eines Moment Swaps Der Log-Kontrakt Theoretischer fairer Wert des Log-Kontrakts Merkmale des Log-Kontrakts Hedging von Moment Swaps Bewertung des Log-Kontrakts in stetiger Zeit Statische Replikationsstrategie mit Optionen: Allgemeine Vorgehensweise Statische Replikationsstrategie mit Optionen: Der Log-Kontrakt Trend: Simple Auszahlungs-Strukturen für exotische Basisinstrumente Volatility und Variance Swaps Volatilität als Asset-Klasse Volatilitätshandel mit Piain Vanilla Optionen Der Volatility Swap Das Auszahlunsgprofil eines Volatility Swaps Floating-Leg: Berechnung der realisierten Volatilität Fixed-Leg: Die Volatility Swap Rate Der Variance Swap Das Auszahlunsgprofil eines Variance Swaps Floating-Leg: Berechnung der realisierten Varianz Fixed-Leg: Die Variance Swap Rate Bewertung von Variance Swaps Modellierung des Kursprozesses Ein alternativer Ausdruck für Varianz Risikoneutraler Erwartungswert für die Varianz Mark-to-Market Bewertung von Variance Swaps Risikoneutrale Varianz: Herleitung der fairen Variance Swap Rate mit Hilfe der Carr-Madan Zerlegungsformel Bewertung von Volatility Swaps Die faire Volatility Swap Rate und die Konvexitätsanpassung nach Brockhaus undlong Risikoneutraler Erwartungswert der zukünftigen Volatilität Risikoneutrale Varianz der zukünftigen Volatilität Mark-to-Market Bewertung von Volatility Swaps 164 IV

4 5. Variance Swaps der zweiten Generation: Feinschliff für den Volatilitätshandel Corridor Variance Swaps Einsatzmöglichkeiten für Corridor Variance Swaps Floating-Leg: Die Definition macht den Unterschied Fixed-Leg: Günstiger als bei Variance Swaps Bewertung von Corridor Variance Swaps: Wir verallgmeinern den Variance Swap Corridor Variance Swaps: Die kommerzielle Variante Conditional Variance Swaps Einsatzmöglichkeiten für Conditional Variance Swaps Replikation des Conditional Variance Swaps mit Hilfe von Corridor Variance Swaps Replikation des Conditional Variance Swaps ohne Zukauf des Corridor Variance Swaps Bewertung von Range Optionen Aus der Praxis: Korridorhandel - Carry Trades mit Volatilität Gamma Swaps (Weighted Variance Swaps) Floating-Leg Fixed-Leg Bewertung von Gamma Swaps Einsatzmöglichkeiten für Gamma Swaps Forward Starting Variance Swaps Floating-Leg Fixed-Leg Bewertung von Forward Starting Variance Swaps Correlation und Covariance Swaps Korrelation als Ässet-Klasse Korrelationshandel mit Basket Optionen Werttreiber einer Dispersion Position Der Covariance Swap Auszahlungsprofil eines Covariance Swaps Floating-Leg: Berechnung der realisierten Kovarianz Fixed-Leg: Die Covariance Swap Rate Der Correlation Swap Auszahlungsprofil eines Correlation Swaps Floating-Leg: Berechnung der realisierten Korrelation Fixed-Leg: Die Correlation Swap Rate Bewertung von Covariance und CorrelationSwaps - Der Preis der Gleichläufigkeit Covariance Swap für zwei Währungsrelationen Covariance Swap zwischen einer Aktie und einer Währung 221

5 Covariance Swap auf zwei Rohstoffe oder JY Aktien Covariance und Correlation Swap im Heston Modell Mark-to-Market Bewertung von Covariance und Correlation Swaps Skew Swaps Schiefe als Asset-Klasse Schiefehandel mit Piain Vanilla Optionen Implizite Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Signalgeber für Schiefe Trades Andere Modelle, andere Verteilungen, andere Griechen Der Skew Swap Auszahlungsprofil eines Skew Swaps Floating-Leg: Berechnung der realisierten Schiefe Fixed-Leg: Die Skew Swap Rate Bewertung von Skew Swaps - Der Preis von Asymmetrie Aus der Praxis: Smile Trades mit Variance und Gamma Swaps Risikoneutrale Schiefe: Herleitung der fairen Skew Swap Rate mit Hilfe der Carr-Madan Zerlegungsformel Kurtosis Swaps Kurtosis als Asset-Klasse Kurtosishahdel mit Piain Vanilla Optionen Der Kurtosis Swap Auszahlungsprofil eines Kurtosis Swaps Floating-Leg: Berechnung der realisierten Kurtosis 247 ; Fixed-Leg: Die Kurtosis Swap Rate Bewertung von Kurtosis Swaps - Der Preis seltener Ereignissen Risikoneutrale Kurtosis: Herleitung der fairen Kurtosis Swap Rate mit Hilfe der Carr-Madan Zerlegungsformel Variance Swaps in der Praxis Rechenbeispiel: Fairer Wert eines Variance Swaps Diskrete Näherung des Log-Kontraktes Diskrete Näherung des Variance Swaps Stabile Griechen durch ein Optionskontinuum kreieren Griechen für Variance Swaps Wichtigste Griechen Major Greeks Achtung: Shadow Delta Minor Greeks 263 VI

6 9.3. Näherung an das Optionskontinuum: Worauf man bei der Replikation des Variance Swaps achten sollte Einbindung in ein traditionelles Optionsbuch Einbindung in ein breit diversifiziertes Piain Vanilla Buch Einbindung in ein Exotics Buch Variance Swaps als Anlagemedium: Empirische Ergebnisse 272 A. Zentrale Eigenschaften von stetiger und diskreter Rendite 277 A. 1. Stetige Renditen sind additiv entlang der Zeitachse 277 A.2. Diskrete Renditen sind additiv innerhalb eines Portfolios 278 B. Herleitung der Black Scholes Formel 279 B.l. Herleitung der Black Scholes Formel via Arbitrage Pricing 279 B.2. Herleitung der Black Scholes Formel via Martingale Pricing 282 C. Heuristische Herleitung von Ito's Lemma 289 Literaturverzeichnis 291 vn