Derivate und Interne Modelle

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1 Hans-Peter Deutsch Derivate und Interne Modelle Modernes Risikomanagement 4., überarbeitete Auflage 2008 Schäffer-Poeschel Verlag Stuttgart

2 Vll Inhaltsverzeichnis I Grundlagen 1 1 Einleitung 3 2 Die grundlegenden Risikofaktoren der Finanzmärkte Zinsen Day Count Conventions Business Day Conventions Diskontfaktoren Zinsmethoden 12 I Spot Rates 17 / Forward Rates Kurse Ein anschauliches Modell für die Risikofaktoren Der Random Walk als Grundlage vieler Preis- und Risikomodelle Risikofaktoren als Random Walks Ito-Prozesse und stochastische Analysis Der allgemeine Diffusionsprozess Ito's Lemma Übergangswahrscheinlichkeiten, Forward- und Backward Equation Forward und Backward Equation in der Black-Scholes Welt Finanzinstrumente: Eine Systematik von Derivaten und Underlyings Kassageschäfte Geldmarktpapiere Kapitalmarktpapiere Swaps Termingeschäfte Optionen 53 II Methoden 57 4 Überblick über die Voraussetzungen 59

3 viii INHALTSVERZEICHNIS 5 Barwerte, Renditen und traditionelle Risikokennzahlen Barwert und Yield To Maturity Effektivzins und Net Present Value Stückzinsen, Restschuld und Par Rates Traditionelle Kennzahlen von Zinsinstrumenten Mittlere Laufzeit und Macaulay Duration Modified Duration und Convexity Addition traditioneller Sensitivitäten 75 6 Arbitrage Termingeschäfte Terminkurs und Cash And Carry-Arbitrage Der stochastische Prozess für den Terminkurs Forward-Positionen Future-Positionen und Basisrisiko Optionen Ober- und Untergrenzen für Optionspreise Vorzeitige Ausübung amerikanischer Optionen Beziehungen zwischen Put und Call 83 7 Black-Scholes Differentialgleichungen 85 / 7.1 Die Black-Scholes DGL aus Arbitrageüberlegungen Die Differentialgleichung für Europäische Optionen Die Differential Ungleichung für Amerikanische Optionen Ein erster Kontakt mit der risikoneutralen Welt Die Black-Scholes DGL und die Backward Equation Ein zweiter Kontakt mit der risikoneutralen Welt Der Zusammenhang zur Diffusionsgleichung 94 8 Integralformen und analytische Lösungen in der Black-Scholes Welt Optionspreise als Lösungen der Diffusionsgleichung Optionspreise und Übergangswahrscheinlichkeit Black-Scholes Optionspreise für verschiedene Underlyings Optionen auf den Spotkurs Optionen auf den Terminkurs Optionen auf Zinsen Numerische Lösung von Differentialgleichungen mittels Finiten Differenzen Diskretisierung der Black-Scholes Gleichung Die explizite Methode Die implizite Methode Die verallgemeinerte Crank-Nicolson Methode Symmetrische finite Differenzen für das Underlying Differenzen Schemata Anfangswertbedingungen 118

4 INHALTSVERZEICHNIS ix Dirichletsche Randbedingungen Neumannsche Randbedingungen Nicht explizit vorgegebene Randbedingungen Freie Randbedingungen für amerikanische Optionen Konvergenzkriterien Verbesserung der Konvergenzeigenschaften Diskrete Dividenden Beispiel Binomial- und Trinomialbäume Allgemeine Bäume Das Underlying und das replizierende Portfolio Das Derivat Termingeschäfte Rekombinierende Bäume Das Underlying Die Binomialverteilung für Europäische Derivate Ein dritter Kontakt mit der risikoneutralen Welt !3 Die Verbindung zwischen Random Walk und Binomial-Parameter Das Binomialmodell für unendlich kleine Schritte Die Bestandteile der Black-Scholes Optionspreisformeln Trinomialbäume 159 / Der Trinomialbaum als verbesserter Binomialbaum Zusammenhang mit der expliziten Methode fmiter Differenzen Monte-Carlo Simulationen Ein einfaches Beispiel: Der Flächeninhalt eines Kreises Die allgemeine Vorgehensweise der Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulationen von Risikofaktoren Simulation der zeitlichen Entwicklung eines Risikofaktors Simulation mehrerer miteinander korrelierter Risikofaktoren Preisberechnung Hedging Replizierende Portfolios als synthetische Derivate Hedging von Derivaten mit Kassageschäften Forwards und Futures als Derivate Hedging von Derivaten mit Termingeschäften Hedging mit Forwards Hedging mit Futures Die Differentialgleichung für Derivate auf Futures Hedge-Ratios für beliebige Kombinationen von Finanzinstrumenten Griechisches" Risikomanagement mit Sensitivitäten Sensitivitäten und die Wertänderung eines Portfolios Omega und Beta Addition von Sensitivitäten bzgl. verschiedener Underlyings

5 INHALTSVERZEICHNIS 12.6 Berechnung der griechischen Risikokennzahlen Sensitivitäten im Binomialmodell Sensitivitäten im Black-Scholes Modell Sensitivitäten mittels der Finite-Differenzen Methode Sensitivitäten mittels Monte-Carlo Simulationen Martingale und Numeraire Die Martingaleigenschaft Die Normierung (Numeraire) Selbstfinanzierende Portfoliostrategien : Die Verallgemeinerung auf stetige Zeit Die Drift Der Marktpreis des Risikos Handelbare Underlyings Anwendung auf die Black-Scholes Welt Zinsen und Zinsstrukturmodelle Instantane Spot Rate und Instantane Forward Rate Die wichtigsten Normierungen Das risikoneutrale Maß Das Terminpreis-neutrale Maß Der Spezialfall deterministischer Zinsen Handelbare und nicht handelbare Größen Convexity Adjustments LIBOR In Arrears Swaps Geldmarktfutures Arbitragefreie Gittermodelle (Bäume) Backward Induction Forward Induction und Greens-Funktionen Marktzinsen versus Instantane Zinsen Arrow-Debreu Preise Bewertung von Caplets mittels Arrow-Debreu Preisen Explizite Spezifikation von Short Rate Modellen Der Einfluss der Volatilität Normal Models Lognormal Models Das Beispielprogramm TERMSTRUCTUREMODELS.XLS Aufbau des Zinsbaumes und Optionsbewertung Absolute und relative Volatilitäten Kalibrierung der Volatilitäten Monte-Carlo On The Tree Die Drift bei Zinsstrukturmodellen Heath-Jarrow-Morton Modelle Short Rate Modelle Short Rate Modelle in Diskreter Verzinsung Normal Models 274

6 INHALTSVERZEICHNIS xi Lognormal Models 274 III Instrumente Zinskassageschäfte Zerobonds Cash Flows und Barwert Yield To Maturity und Par Rate Sensitivitäten Floater Cash Flows und Barwert Yield To Maturity, Par Rate und Sensitivitäten Kuponbonds Cash Flows und Barwert Yield To Maturity Par Rates Sensitivitäten Swaps Cash Flows und Barwert Yield To Maturity und Swap Rate 290, Sensitivitäten 292 ^15.5 Annuitätendarlehen Cash Flows und Restschuld Barwert Yield To Maturity und Par Rates Sensitivitäten Bemerkungen zum Kreditrisiko Zinstermingeschäfte Forward Rate Agreements Zinsfutures Futures auf Zerobonds Futures auf Kuponbonds Forward Swaps Barwert Forward Swap Rates und Forward Yield To Maturity Forward Bonds Barwert Forward Par Rate und Forward Yield To Maturity Piain Vanilla-Optionen Optionen auf Spot- und Terminkurse Europäische Optionen Amerikanische Optionen Index-Optionen und -Futures 318

7 xü INHALTSVERZEICHNIS 17.3 Devisen-Optionen und -Futures Put-Call Äquivalenz bei Devisenoptionen Devisentermingeschäfte und Swapsätze Zinsoptionen Optionen auf Bonds Optionen auf Bond Futures Caps und Floors Swaptions Exotische Optionen Klassische und allgemeine Definition einer Option Auszahlungsprofile für ausgewählte Exoten Power-Optionen Cliquet-und Coupe-Optionen Look Back-Optionen Asiatische Optionen Rainbow- und Austausch-Optionen Compound- und Bermuda-Optionen Black-Scholes für Exoten Pay Later-Optionen Digitale Optionen 340 / Barrier-Optionen Ladder-Optionen Bewertungsmöglichkeiten für Exoten Monte-Carlo für europäische Exoten Das Binomial-Modell für amerikanische Exoten 353 IV Risiko Grundlagen Konfidenz, Quantil und Risiko Andere Risikomaße Der Value at Risk eines einzelnen Risikofaktors Näherungen in der Verteilung der Risikofaktoren Die Kovarianzmatrix Renditen und Logarithmische Änderungen Kovarianzmatrizen von Datenlieferanten Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix Die Varianz-Kovarianz Methode Portfolios vs. Finanzinstrumente Die Delta-Normal Methode Der Value at Risk bzgl. eines einzelnen Risikofaktors Der Value at Risk bzgl. mehrerer Risikofaktoren Die Delta-Gamma Methode 392

8 INHALTSVERZEICHNIS xiii Entkopplung der Risikofaktoren Diagonalisierung der Gamma-Matrix Die Verteilung der Portfolio-Wertveränderungen Momente der Portfoliowertverteilung Fourier-Transformation der Portfoliowertverteilung Monte-Carlo Simulationen der Portfoliowertverteilung Simulationsmethoden Monte-Carlo Simulation Die Risikofaktoren als korrelierte Random Walks Structured Monte-Carlo Historische Simulation Crash- und Stress-Testing: Worst Case-Szenarien Zinsrisiko und Cash Flows Cash Flow Strukturen von Finanzinstrumenten Kassageschäfte Termingeschäfte Optionen ' Interpolationen und Cash Flow Mapping Interpolationen Risiko-basiertes Cash Flow Mapping Duration-basiertes Cash Flow Mapping Beispiel für eine VaR-Berechnung Das Portfolio Marktdaten Cash Flow Mapping Risikoberechnung Backtesting: Überprüfen der verwendeten Methode Profit Löss Berechnungen Das Ampelkonzept der Aufsichtsbehörden Anpassung des Value at Risk (gelbe Zone) Kriterien zur Ablehnung eines Modells (rote Zone) Die grüne Zone Multiplikator und Add On 451 V Portfolien Klassisches Portfoliomanagement Vom Risikomanagement zum Portfoliomanagement Finanzinstrumente und Risikofaktoren Portfoliorisiko und Volatilität Risikobeitrag und Attribution 461

9 xiy INHALTSVERZEICHNIS 25.2 Portfolio Optimierung, Das Portfolio mit minimalem Risiko Die Effizienzlinie Die Sharpe Ratio und das optimale Portfolio Die Kapitalmarktlinie Attribute und ihre charakteristischen Portfolien Allgemeine Eigenschaften Charakteristischer Portfolien Relationen mit mehreren charakteristischen Portfolien Der Investitionsgrad oder Leverage Die Überschussrendite Das optimale Portfolio Die Effizienzlinie als Kombination charakteristischer Portfolien Aktives Management und Benchmarking Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) Benchmarking gegenüber einem Index Aktive Portfolioeigenschaften Residuale Portfolioeigenschaften Benchmark und Charakteristische Portfolien Das voll investierte Minimalrisiko-Portfolio Das charakteristische Portfolio zu Beta Das charakteristische Portfolio zu Alpha Relationen zwischen Sharpe Ratio und Information Ratio Das Marktportfolio Das charakteristische Portfolio der Überschussrendite 511 VI Marktdaten Zinsstrukturkurven Bootstrapping Die allgemeine Bootstrapping-Gleichung Bootstrapping für gleich lange Kuponperioden Klassisches Bootstrapping Interpolationen Volatilitäten Implizite Volatilitäten Smiles und Volatilitätsindizes Lokale Volatilitätsflächen Implizite Übergangswahrscheinlichkeiten Implizite lokale Volatilitätsflächen Volatilitätstransformationen Transformation zwischen relativer und absoluter Volatilität Addition von Volatilitäten 53t

10 INHALTSVERZEICHNIS xv Transformation zwischen Yield- und Preis-Volatilität Währungstransformationen von Volatilität und Korrelation Marktparameter aus historischen Zeitreihen Historische Mittelwerte als Schätzer für Erwartungswerte Abschätzung statistischer Fehler Fehler unkorrelierter Messungen Fehler autokorrelierter Messungen Rendite und Kovarianzschätzungen Renditeschätzungen Kovarianzschätzungen Modellierung historischer Zeitreihen Stationäre Zeitreihen und autoregressive Modelle Der AR(p) Prozess Der univariate GARCH(p, ^-Prozess Generierung eines GARCH-Prozesses Kalibrierung von Zeitreihenmodellen Parameterschätzung für den AR(p)-Prozess Parameterschätzung für den GARCH(p, c/)-prozess Der Simulated Annealing Algorithmus 583 / ' 32 Prognosen mit Zeitreihenmodellen Prognosen mit dem Autoregressiven Modell GARCH(p,g)-Volatilitätsprognosen Prognosen über mehrere Schritte Prognose der Gesamtvarianz Volatility Term Structure GARCH(1,1)-Volatilitätsprognosen Volatilitätsprognosen mittels gleitenden Durchschnitten Hauptkomponentenanalyse (PCA) Prinzipielles Vorgehen Hauptkomponentenanalyse der deutschen Zinsstruktur Vorverarbeitung und Gütemaße Vorverarbeitung von Zeitreihen Differenzenbildung Filter ' Skalentransformation Gütemaße für Zeitreihenprozesse Hypothesentests Anpassungsgüte versus Prognosegüte :3 Beispiele: Gütemaße für GARCH-Modelle 620

11 xyi INHALTSVERZEICHNIS A Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 627 A.l Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Varianz 627 A.2 Multivariate Verteilungen, Kovarianz, Korrelation und Beta 629 A.3 Momente und Charakteristische Funktionen 632 A.3.1 Moment Generating Functions 633 A.3.2 Charakteristische Funktionen 635 A.4 Einige wichtige Verteilungen 637 A.4.1 Die Gleichverteilung 637 A.4.2 Die Binomialverteilung und Bernoulli-Versuche 638 A.4.3 Die Normalverteilung und der zentrale Grenzwertsatz 640 A.4.4 Die Lognormalverteilung 647 A.4.5 Die Gamma-Verteilung 648 A.4.6 Die x 2 -Verteilung 650 A.5 Transformationen zwischen Verteilungen 657 A.5.1 Summationen 657 A.5.2 Box-Muller Transformation 658 A.5.3 Inversion der Kumulierten 658