Korrelationen, Portfoliotheorie von Markowitz, Capital Asset Pricing Model

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1 Korrelationen, Portfoliotheorie von Markowitz, Capital Asset Pricing Model Matthias Eltschka 13. November 2007

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Vorbereitung Diversifikation Erwartungswert Risiko Korrelationen Portfoliotheorie von Markowitz Annahmen Zwei-Anlagen-Fall Effizienzkurven von Portfolios Capital Asset Pricing Model (CAPM) Annahmen Kapitalmarktlinie Wertpapierlinie

3 1 Einleitung Die Bewertung von Wertpapieren ist eine zentrale Fragestellung der Wirtschaftswissenschaften. Dabei geht es nicht nur darum einzelne Anlagen zu bewerten, sondern diese in Zusammenhang mit anderen Anlagen und in Zusammenhang mit dem gesamten Kapitalmarkt zu setzen. Im ersten Abschnitt werden einige zentrale Beobachtungen des Kapitalmarktes vorgestellt und die mathematischen Ausdrücke für die beiden folgenden Abschnitte vorgestellt. Anschließend geht es um die Portfoliotheorie von Markowitz. Anhand eines exemplarischen, aus nur zwei Wertpapieren bestehenden Portfolios werden die Kernaussagen dieser Theorie besprochen. Im letzten Abschnitt wird gezeigt, wie die Portfoliotheorie von Markowitz durch die zusätzliche Annahme der Existenz einer risikolosen Anlage erweitert werden kann. Das Ergebnis wird die Standardgleichung des Capital Asset Pricing Models sein. Dieses Modell ist von zentraler Bedeutung zur Berechnung von Diskontierungsfaktoren für die Kapitalwertgleichungen und daher Voraussetzung für die Bewertung jedes einzelnen Projektes. 3

4 2 Vorbereitung 2.1 Diversifikation Allgemein lässt sich an Kapitalmärkten beobachten, dass Anleger ihr Vermögen nicht nur auf eine einzelne Anlage setzen, sondern es aufteilen. Dieses Verhalten lässt sich nur damit erklären, dass der Erwartungswert der Rendite nicht die einzige relevante Entscheidungsgröße ist. Ansonsten gäbe es keinen Anlass, neben dem Wertpapier mit den höchsten Renditeversprechen noch weitere Anlagen zu kaufen. Außer dem Erwartungswert der Rendite ist eine weitere wichtige Größe für die Beurteilung von Wertpapieren die Standardabweichung dieses Erwartungswertes als Risikomaß. In Abb. (1) lässt sich die Risikoabnahme als Abnahme der Standardabweichung des Erwartungswertes der Rendite eines Portfolios durch zunehmende Diversifikation erkennen. Besitzt das Portfolio eine ausreichend große Zahl verschiedener Aktien, sinkt das Portfoliorisiko bis es schließlich auf das Marktrisiko fällt. Diesem Sachverhalt liegt zugrunde, dass die einzelnen Aktien untereinander in Korrelation stehen und durch eine geeignete Auswahl des Portfolios sich so einzelne Schwankungen ausgleichen lassen. Abbildung 1: Abnahme des Portfoliorisikos durch Diversifikation. Aus Brealey and Myers, Principles of Corporate Finance, McGraw-Hill,

5 2.2 Erwartungswert Der Erwartungswert ist eine wichtige Größe zur Bewertung von Wertpapieren. Um den Erwartungswert der Rendite eines einzelnen Wertpapiers E i zu berechnen, müssen die Rendite R it dieses Wertpapiers i pro Zeitperiode t über einen bestimmten Zeitraum T zeitlich gemittelt werden. T E i = 1 T t=1 R it Dieser Mittelungsprozess kann durch Gewichtungsfunktionen ergänzt werden, so dass die zeitlich kürzer zurückliegenden Renditen stärker berücksichtigt werden. Aus dem Erwartungswert der Renditen eines einzelnen Wertpapiers E i lässt sich nun der Erwartungswert der Rendite eines Wertpapierportfolios E p berechnen. Dieser entspricht dem nach Anteilen gewichteten Mittelwert der Erwartungswerte der einzelnen Wertpapierrendite. E p = n a i E i i=1 Dabei entspricht a i dem Anteil des Wertpapiers i am Portfolio und n der Anzahl der im Portfolio enthaltenen Wertpapiere. Im Erwartungswert der Rendite eines Wertpapierportfolios steckt also sowohl eine zeitlich Mittelung, als auch eine nach Anteil gewichtete Mittelung. 2.3 Risiko Als weitere entscheidende Größe zur Wertpapierbewertung wurde bereits das Riskio angesprochen. Damit ist die Standardabweichung σ des Erwartungswertes E gemeint. Zunächst werden die Rendite R pt des Portfolios p in der Zeitperiode t berechnet. n R pt = R it a i i=1 5

6 Diese entsprechen der nach Anteil a 1 gewichteten Mittelung über die Rendite R it des Wertpapiers i in Periode t. Dabei entspricht n der Anzahl der im Portfolio enthaltenen Wertpapiere. Damit lässt sich nun die Varianz eines Portfolios σp 2 berechnen. σ 2 p = 1 T T (R pt E p ) 2 t=1 Sie entspricht der zeitlichen Mittelung über den Zeitraum T der quadratischen Abweichung der Rendite R pt von den im letzten Abschnitt berechneten Erwartungswerten E p. Die Standardabweichung σ entspricht nun der Quadratwurzel der Varianz und ist wieder das Ergebnis sowohl einer zeitlichen, als auch einer nach Anteil gewichteten Mittelung. 2.4 Korrelationen Bereits in der Einleitung wurde darauf hingewiesen, dass die Preisänderungen von Wertpapieren untereinander korreliert sind. Als Maß für diese Korrelation dient die Kovarianz. Die Kovarianz COV ij zwischen den Wertpapieren i und j ist das zeitlich gemittelte Produkt der jeweiligen Abweichungen der Rendite R it von den jeweiligen Erwartungswerten E i. COV ij = 1 T T (R it E i )(R jt E j ) t=1 Dabei steht T wieder für die Anzahl der Zeitperioden. Es bietet sich an einen so genannten Korrelationskoffizienten k ij aus Kovarianz und Standardabweichungen zu definieren. k ij = COV ij σ i σ j Durch diese Definition sind die Korrelationskoeffizienten auf den Bereich zwischen 1 und +1 genormt. 6

7 3 Portfoliotheorie von Markowitz 3.1 Annahmen Die 1990 mit dem Nobelpreis der Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnete Portfoliotheorie von Markowitz benutzt die im letzten Abschnitt eingeführten Größen. Der Grundgedanke ist eine Bewertung des Portfolios nach Rendite und Risiko. Die Theorie berücksichtigt keine Transaktionskosten und geht davon aus, dass alle Anleger gleiche Steuersätze zu entrichten haben. Außerdem wird die beliebige Teilbarkeit von Wertpapieren angenommen. Die ersten beiden Annahmen erscheinen für den Privatanleger sehr einschränkend, allerdings sind sie für große Konzerne durchaus eine sinnvolle Nährung. 3.2 Zwei-Anlagen-Fall In diesem Abschnitt wird die Portfoliotheorie an einem sehr einfachen Spezialfall dargestellt. Es soll ein Portfolio, das aus nur zwei Wertpapieren besteht, bewertet werden. Der einzige noch frei wählbare Parameter ist also das Verhältnis dieser beiden Wertpapiere. Gemäß des letzten Abschnittes berechnet sich der Erwartungswert der Portfoliorendite E p gemäß der folgenden Gleichung: E p = a 1 E 1 + a 2 E 2 = a 1 E 1 + (1 a 1 )E 2 Dabei sind E 1 und E 2 die Erwartungswerte der beiden einzelnen Wertpapiere, a 1 und a 2 geben das Verhältnis an. Aufgrund der Normierung von i a i = 1 lässt sich die Gleichung weiter vereinfachen. Der Ausdruck für die Varianz lässt sich mittels der Kovarianz ausdrücken, wenn man beachtet, dass die Kovarianz eines Wertpapieres mit sich selbst 7

8 der Varianz entspricht: σ 2 p = n n a i a j COV ij i=1 j=1 = a 2 1σ a 2 2σ a 1 a 2 COV 12 = a 2 1 σ2 1 + a2 2 σ a 1a 2 σ 1 σ 2 k 12 In beiden Gleichungen tauchen noch a 1 und a 2 als wählbares Verhältnis zwischen den beiden Wertpapieren auf. Außerdem hängt die Varianz noch von dem Korrelationskoeffizienten ab. Ist der Korrelationskoeffizient k 12 = 0, folgt für den Varianzterm: σ 2 p = a 2 1 σ2 1 + a2 2 σ a 1a 2 σ 1 σ 2 k 12 = a 2 1 σ2 1 + (1 a 1) 2 σ2 2 σ p = a 2 1σ1 2 + (1 a 1 ) 2 σ2 2 Dies lässt sich in einem Schaubild wie in Abb. 2 veranschaulichen. Wertpapier A hat eine erwartete Rendite von 5 Prozent bei einem Risiko von 40 Prozent. Wertpapier B verspricht deutlich höhere Rendite bei einem sehr hohem Risiko. Der dritte Punkt in diesem Diagramm entstpricht der Rendite und dem Risiko eines Portfolios, das jede Aktie genau zur Hälfte enthält. Für verschiedene Verhältnisse entsteht eine Portfoliokurve, wie sie in Abb. 3 dargestellt ist. Dabei wird deutlich, dass es durch geschicktes Diversifizieren möglich ist das Risiko zu verkleinern und die Rendite zu erhöhen. In einigen Fällen ist es sogar möglich, mittels des Portfolios das Risiko der risikoärmeren Aktie zu unterbieten. Für den Fall, dass der Korrelationskoeffizient k 12 = 1, sich also die Wert- 8

9 Abbildung 2: Bewertung eines Portfolios nach Rendite und Risiko papiere genau gleich verhalten, ergibt sich für die Varianz der folgende Term. σp 2 = a 2 1 σ2 1 + a2 2 σ a 1a 2 σ 1 σ 2 k 12 = a 2 1 σ2 1 + (1 a 1) 2 σ a 1(1 a 1 )σ 1 σ 2 = (a 1 σ 1 + (1 a 1 )σ 2 ) 2 σ p = a 1 σ 1 + (1 a 1 )σ 2 Mittels der ersten binomischen Formel lässt sich sofort die Standardabweichung berechnen und es wird deutlich, dass sich das Portfoliorisiko genau aus den beiden einzelnen Risiken zusammensetzt. Da sich die beiden Aktienkurse identisch verhalten, gibt es offensichtlich keine Korrelationseffekte und eine Verkleinerung des Risikos ist durch Diversifikation nicht möglich. Im bereits oben erwähnten Schaubild 3 entspricht dieser Fall der direkten Verbindung der beiden einzelnen Anlagen. Im letzten diskutierten Fall wird der Korrelationskoeffizient k 12 = 1 angenommen. Das bedeutet, dass sich die Wertpapiere genau gegensätzlich 9

10 Abbildung 3: Portfoliokurven für verschiedene Korrelationskoeffizienten verhalten. Der Varianzterm lässt sich dann wie folgt berechnen: σp 2 = a 2 1 σ2 1 + a2 2 σ a 1a 2 σ 1 σ 2 k 12 = a 2 1 σ2 1 + (1 a 1) 2 σ2 2 2a 1(1 a 1 )σ 1 σ 2 = (a 1 σ 1 (1 a 1 )σ 2 ) 2 σ p = a 1 σ 1 (1 a 1 )σ 2 Für die Berechnung der Standardabweichung wurde die zweite binomische Formel benutzt. Im Abb. 3 wird deutlich, dass in diesem Fall eine Reduktion des Risikos bis auf null möglich ist. In der Realität wäre dies nährungsweise durch Optionen auf sinkende und steigende Kurse anwendbar. 3.3 Effizienzkurven von Portfolios In Abb. 4 ist ein Portfolio dargestellt, das aus einer Vielzahl von Aktien besteht. Jeder Punkt des dunkel eingefärbten Bereichs kann durch eine entsprechende Kombination der verschiedenen Wertpapiere erreicht werden. Wieder fällt sofort auf, dass durch Diversifikation das Risiko unter den Wert der risikoärmsten Aktie gebracht werden kann. Betrachtet man ein beliebiges Portfolio innerhalb des dunklen Bereichs, lässt sich immer ein effizienteres 10

11 Abbildung 4: Portfoliodarstellung. Aus Brealey and Myers, Principles of Corporate Finance, McGraw-Hill, 2003 Portfolio in y-achsenrichtung finden. Erst wenn das Portfolio auf der oberen einhüllenden Kurve, der so genannten Effizienzkurve des Portfolios, liegt, ist ein effizientes Portfolio gefunden. Welches Portfolio auf der Effizienzkurve gewählt wird, hängt dabei von der persönlichen Risikoneigung des Anlegers ab. Auf Sicherheit bedachte Anleger werden sich weiter links, risikofreudige Anleger weiter rechts orientieren. Ohne Kenntnis der persönlichen Einstellung, lässt sich zunächst kein Portfolio auf der Effizienzkurve hervorheben. 11

12 4 Capital Asset Pricing Model (CAPM) 4.1 Annahmen Das Capital Asset Pricing Model stellt eine Erweiterung der im letzten Abschnitt vorgestellten Portfoliotheorie von Markowitz dar. Es werden die Fragen nach der Auswirkung einer risikolosen Anlage und nach dem Preis eines Wertpapiers aus dem Portfolio im Vergleich zum Markt beantwortet. Zusätzlich zu den bereits im letzten Abschnitt getroffenen Annahme wird nun noch die Existenz eines risikolosen Zinssatzes angenommen. 4.2 Kapitalmarktlinie Im letzten Abschnitt wurde dargestellt, wie Anleger ihre Portfolios auf der Effizienzkurve wählen. Durch die Annahme eines risikolosen Zinssatzes könnten nun alle Portfolios auf der Effizienzkurve damit kombiniert werden. Veranschaulicht man sich diese Kombinationen wie in Abb. 5 dargestellt durch Geraden, wird deutlich, dass alle Geraden durch die so genannte Kapitalmarktlinie dominiert werden. Diese stellt die Tangente an das Portfolio dar. Der Berührpunkt wird Markportfolio genannt und die Kapitalmarktlinie lässt sich mit der Geradengleichung E(R i ) = R f + E(R m) R f σ m beschreiben. Die erwarteten Rendite des Gesamtportfolios lassen sich also durch den risikolosen Zinssatz R f und einer Risikoprämie E(Rm) R f σ m auf das Martportfolio darstellen. Nach der Tobin-Separation wird in der Betriebswirtschaftslehre davon ausgegangen, dass jeder Anleger eine Kombination aus diesen beiden hält. Die genaue Kombination hängt dabei wieder von der persönlichen Risikoneigung ab. Auf Sicherheit bedachte Anleger werden sich wieder weiter links, risikofreudige Anleger weiter rechts orientieren. Die Punkte oberhalb des Marktportfolios auf der Kapitalmarktlinie lassen sich dadurch erreichen, dass zum risikolosen Zinssatz geliehenes Geld in dem Marktportfolio angelegt wird. σ i 12

13 Abbildung 5: Motivation der Kapitalmarktlinie. Aus Bruns und Steiner, Wertpapiermanagement, Handelsblatt, Wertpapierlinie In diesem Abschnitt soll die Frage nach dem Preis eines einzelnen Wertpapiers aus dem Portfolio im Marktgleichgewicht beantwortet werden. Dazu wird ein aus dem Marktportfolio und dem einzelnen Wertpapier konstruiertes Portfolio betrachtet. In diesem künstlichen Portfolio soll nun mittels einer Variationsrechnung der Anteil des einzelnen Wertpapiers variiert werden. Die Ausdrücke für den Erwartungswert der Rendite E(R p ) und die Standardabweichung σ p lassen sich auf den Zwei-Anlagen-Fall zurückführen. E(R p ) = a E(R i ) + (1 a)e(r m ) σ p = a 2 σi 2 + (1 a)2 σm 2 + 2COV im a(1 a) Dabei ist a wieder der Anteil des Wertpapiers i am Portfolio p. E(R i ) steht für den Erwartungswert der Rendite des Wertpapiers i, E(R m ) für den Erwartungswert der Rendite des Martportfolios und E(R p ) ist Erwartungswert 13

14 der Rendite des Portfolios p. Nun muss das Austauschverhältnis de(rp) dσ p von Rendite und Risiko berechnet werden. Dazu werden zunächst die Ableitungen nach dem Verhältnis a gebildet: de(r p ) = de(r p)/da dσ p dσ p /da de(r p ) = E(R i ) E(R m ) da dσ p = 1 ( a 2 σi 2 + (1 a) 2 σm 2 + 2COV im a(1 a) ) da ( 2 ) 2aσ 2 i 2σm 2 + 2aσm 2 + 2COV im 4aCOV im de(r p ) a=0 = E(R i ) E(R m ) da dσ p da 1 ( ) a=0 = 2σ 2 COV im σ 2σ m + 2COV im = m 2 m σ m Dabei wurde ausgenutzt, dass der Preis für das Marktgleichgewicht (a = 0) berechnet werden sollte. Für das Austauschverhältnis folgt als Ergebnis: de(r p ) dσ p = de(r p)/da dσ p /da = E(R i) E(R m ) (COV im σ 2 m )/σ m Nach Abb. 5 entspricht die Steigung der Geradengleichung am Berührpunkt gerade dem Austauschverhältnis von Rendite und Risiko. Die Steigung erhält man aus folgender Gleichung: d E(R p ) = d ( R f + E(R ) m) R f σ p dσ p dσ p σ m Da diese nun dem Austauschverhältnis entsprechen soll, gilt der folgende Ausdruck: E(R m ) R f σ m = E(R i ) E(R m ) (COV im σ 2 m )/σ m E(R i ) = R f + (E(R m ) R f ) COV im σ 2 m σ 2 m steht für die Varianz des Marktportfolios und R f ist die Rendite der risi- 14

15 kolosen Anlagemöglichkeit. Als Maß für die Risikohöhe hat sich der folgende Zusammenhang bewährt: β i = COV im σ 2 m = k im σ i σ m Damit lässt sich der Erwartungswert der Rendite des einzelnen Wertpapiers vereinfachen und so die Standardgleichung des CAPM schreiben: E(R i ) = R f + (E(R m ) R f ) β i Der so berechnete Zinssatz kann als Basis für die Bewertung von Projekten benutzt werden und ist in der Praxis ein häufig angewendetes Verfahren zur Berechnung von Diskontierungsfaktoren. 15

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